MMC - Mécaniques des Milieux Continus - INSA Rouen

INSA de Rouen - MECA3 - Année 2012-2013
MMC - Mécaniques des Milieux Continus
Sommaire
1
Rappels mathématiques et notations indicielles
1.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Tenseurs du deuxième ordre . . . . . . . .
1.3 Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Outils de l’analyse . . . . . . . . .
1.3.2 Théorème de la divergence . . . . .
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3
3
3
3
3
4
Description du mouvement
2.1 Description lagrangienne
2.1.1 Position . . . . .
2.1.2 Définitions . . .
2.2 Description eulérienne .
2.2.1 Vitesse . . . . .
2.2.2 Trajectoire . . .
2.2.3 Définitions . . .
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5
5
5
5
5
5
5
Déformations
3.1 Cas général : grandes déformations . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Hypothèse des petites perturbations (HPP) . . . . . . . . . .
3.2.1 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Composantes du mouvement au voisinage d’un point
3.2.3 Etats particuliers de déformation . . . . . . . . . . .
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6
6
6
6
6
6
6
7
4
Cinématique d’un milieu continu
4.1 Cinématique lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cinématique eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
5
Représentation des efforts et lois de conservation
5.1 Expression générale des lois de conservation et Schématisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Lois de conservation utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
6
Contraintes
6.1 Définitions et conventions . . . . . . . . . .
6.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Etats particuliers des contraintes . . . . . .
6.4 Représentation géométrique des contraintes
6.4.1 Introduction sur le tricercle de Mohr
6.4.2 Construction du cercle de Mohr . .
2
3
7
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10
10
10
11
11
11
Notions de lois de comportement
7.1 Exemples simples de comportement en milieu fluide
7.2 Elasticité linéaire isotrope dans les solides . . . . . .
7.2.1 Loi de comportement générale . . . . . . . .
7.2.2 Cas d’un matériau isotrope . . . . . . . . . .
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13
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13
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1
8
Application à un cas de traction uniaxiale
8.1 Données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Expression des conditions aux limites . . . .
8.2.2 Détermination des contraintes . . . . . . . .
8.2.3 Calcul des déformations . . . . . . . . . . .
8.2.4 Calcul des déplacements à une constante près
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15
15
15
15
15
16
1
Rappels mathématiques et notations indicielles
1.1
Vecteurs
−
−
Vecteur : →
v = vi →
ei
−
−
Application linéaire : →
w = A→
v =⇒ wi = Ai j v j
Produit matriciel : C = AB =⇒ Ci j = Aik Bk j
Produit avec une transposée : C = AtB =⇒ Ci j = Aik B jk
−
−
Produit scalaire : →
v ·→
w = vi wi = v0k w0k
Le produit scalaire est invariant par changement de base.
→
−
−
Changement de repère : Soit Qi j matrice de passage de →
ei à e0j
→
−
→
−
−
−
v Changement retour →
Changement direct v0 = Q→
v = tQ v0
→
−0
→
−
→
−
−
e i = Qi j →
ei = Q ji e0j
Vecteurs de la base
ej
Vecteurs quelconques
v0i = Qi j v j
vi = Q ji v0j
Matrices
A0i j = Qik Q jl Akl
Ai j = Qkl Ql j A0kl
1 si i = j
Symbole de Kronecker : δi j =
0 sinon
−
−
On a aussi δ = →
e ·→
e =Q Q
ij
1.2
i
j
ik
jk
Tenseurs du deuxième ordre
−
−
ei ⊗ →
ej
Expression : A = Ai j →
Propriétés :
(A = tA)
• Symétrie si Ai j = A ji
• Antisymétrie si Ai j = −A ji
(A = a × 1)
• Isotropie si Ai j = aδ ji
Parties symétrique et antisymétrique :
(A = −tA)
Ai j = ASij + AAij
Parties sphérique (hydrostatique) et déviatorique :
=
!
!
1
1
(Ai j + A ji ) + (Ai j − A ji )
2
2
Ai j = Ahij + A0i j
=
!
!
Akk
Akk
δi j + Ai j −
δi j
3
3
Invariants fondamentaux : On pose l’équation caractéristique det(A − x1) = 0
=⇒
−x3 + I1 x2 − I2 x + I3 = 0
• I1 = Tr(A)
1 2
Tr (A) − Tr A2
2
• I3 = det(A)
• I2 =
1.3
Analyse vectorielle
1.3.1
Outils de l’analyse
Divergence
Rotationnel
Gradient
∂ f→
−−→
−
−
grad ( f ) =
ei = f,i →
ei
∂ xi
∂ vi
−
div (→
v)=
= vi,i
∂ xi
−
div (A) = Ai j, j →
ei
−
→
−
rot (~v) = Ei jk vk, j →
ei
−
−
−
grad (→
v ) = vi, j →
ei ⊗ →
ej
Fonction scalaire f
−
Fonction vectorielle →
v
Fonction tensorielle A
3
Laplacien
∂2 f
∆ f = 2 = f,ii
∂ xi
−
−
∆→
v =v →
e
i, j j i
1.3.2
Théorème de la divergence
Fonction scalaire f
−
Fonction vectorielle →
v
R
Expression générale
R −−→
−
f→
n dS = grad ( f ) dV
∂D
D
D
D
∂D
R →
R
−
−
−
v ·→
n dS = div (→
v ) dV
∂D
Fonction tensorielle A
Expression indicielle
R
R
f ni dS = f,i dV
R
R
vi ni dS = vi,i dV
D
∂D
R
R
−
A→
n dS = div (A) dV
R
∂D
D
∂D
R
Ai j n j dS = Ai j, j dV
D
4
2
Description du mouvement
2.1
Description lagrangienne
On identifie chaque particule du système par ses coordonnées ai dans la configuration K0 . On exprime toute grandeur physique à
l’instant t en fonction des coordonnées de la particule à laquelle elle est attachée.
2.1.1
Position
−
−
−
La position à l’instant t de la particule située initialement en M0 (a1 , a2 , a3 ,t) s’exprime par la fonction vectorielle →
x =→
ϕ (→
a ,t) =⇒
xi = ϕi (a1 , a2 , a3 ,t).
En description lagrangienne, les variables sont les ai , c’est donc selon elles que l’on dérive.
−
Jacobien de ϕ : J(a1 , a2 , a3 ,t) = det grad →
ϕ
Variation de volume : dΩt = J(a1 , a2 , a3 ,t) dΩ0
Conditions sur le Jacobien : J(a1 , a2 , a3 ,t0 ) = 1 et 0 < J < +∞
2.1.2
Définitions
Ligne d’émission d’un point P à l’instant td : La particule au point Pi est passé par P à l’instant ti . L’ensemble de ces particules
passées par le point P à l’instant ti forment la ligne d’émission du point P à l’instant td .
L’exemple associé est grossièrement celui d’un panache de fumée : toutes les particules sorties du cratère d’un volcan forment
la ligne d’émission depuis le volcan (en considérant le bouche du volcan comme le point P). Cette ligne d’émission est ici le
panache de fumée.
−
−
d→
ϕ (→
a ,t)
→
−
Vitesse : V =
dt
−
−
d2→
ϕ (→
a ,t)
−
Accélération : →
γ =
dt 2
2.2
Description eulérienne
A tout instant t, la configuration actuelle Kt est prise comme configuration de référence pour décrire l’évolution à l’instant t + dt.
2.2.1
Vitesse
→
−
−
On dispose à chaque instant de la vitesse V de la particule située en Mt (→
x ) dans la configuration actuelle : ∀t, ∀M ∈ Ωt , nous avons
→
− →
−
V ( x ,t)
La description eulérienne est une description par les vitesses.
→
− −
→
− −
On obtient V (→
x ,t) à partir de V (→
a ,t) en s’arrangeant pour faire disparaître les ai grâce aux expressions de position et de vitesse.
2.2.2
Trajectoire
→
− −
→
− −
−
−
Connaissant V (→
x t), on peut remonter à la trajectoire de M(→
x ) en intégrant le système d →
x = V (→
x ,t) dt avec la condition initiale
→
−
−
x|
=→
a
t=t0
2.2.3
Définitions
→
− −
Ligne de courant à un instant td : Elle se caractérise par le fait que V (→
x ,t) est tangent en chacun de ses points.
dx1
dx2
dx3
→
− →
−
− →
On doit vérifier dx ∧ V = 0
=⇒
=
=
→
−
→
−
−
V1 ( x ,td ) V2 ( x ,td ) V3 (→
x ,td )
→
− −
→
− −
Mouvement stationnaire (ou permanent) : V (→
x ,t) = V (→
x ) - Indépendance du temps.
→
− −
→
− −
Mouvement semi-permanent : V (→
x ,t) = λ (t) V (→
x)
5
3
Déformations
3.1
Cas général : grandes déformations
3.1.1
Introduction
−
→ −−→
→
− −−−→
On considère deux vecteurs da = MM 0 dans la configuration K0 et son transformé dx = Mt Mt0 dans la configuration Kt .
−
→
→
−
On a da 7−→ dx
On définit le tenseur gradient de transformation F par
→
−
−
→
dx = F da
=⇒
Fi j =
dxi
da j
En considérant la variation du produit scalaire de deux vecteurs, on se rend réellement compte des déformations de longueur et
d’angle.
→
→ −
→
− −
→ −
C = T FF
On pose le tenseur de dilatation par dx · δ x = da ·Cδ a =⇒
3.1.2
Tenseur des déformations
1
Tenseur des déformations de Green-Lagrange : E = (C − 1)
2
et
1
Ei j = (Ci j − δi j )
2
Mt Mt0 − MM 0 p
−
−
= 1 + Ei j ni n j − 1
Allongement dans la direction →
n : ε(→
n)=
MM 0
!
π −−−→0 −−→0 2Ei j mi n j
→
−
→
−
→
−
→
−
Glissement dans les directions m et n : γ( m , n n ) = − Mt Mt , MM = arcsin
−
−
2
(1 + ε(→
n ))(1 + ε(→
m ))
!
1 ∂ ui ∂ u j ∂ uk ∂ uk
Relations déplacements-déformations : Ei j =
+
+
2 ∂ a j ∂ ai ∂ ai ∂ a j
3.2
Hypothèse des petites perturbations (HPP)
On se situe dans un cas où déformations et déplacements sont petits.
3.2.1
Conséquences
1 ∂ ui ∂ u j
Tenseur des déformations linéarisé : εi j =
+
2 ∂ a j ∂ ai
−
Allongement : ε(→
n ) = εi j ni n j
=⇒
!
=⇒
ε=
1
−
−
grad (→
u ) + T grad (→
u)
2
−
ε(→
ei ) = εi j δi j
−
−
−
−
Glissement : γ(→
m,→
n ) = 2εi j mi n j =⇒ γ(→
ei →
e j ) = 2εi j pour i 6= j
Variation relative de volume : En repère principal,
∆V
≈ ε1 + ε2 + ε3
V
Parties sphérique et déviatorique : Dans le repère considéré, la partie sphérique caractérise le changement de volume (mais pas de
forme) de l’objet tandis que la partie déviatorique constate du changement de forme à volume constant.
3.2.2
Composantes du mouvement au voisinage d’un point
−−−→
∂ ui
∂ ui
Expression du mouvement : M 0 Mt0 = ui +
da j = ui + dui ≈ ui +
dx j
∂ a j!
∂xj
i
!
∂ ui 1 ∂ ui ∂ u j
1 ∂ ui ∂ u j
On a
+
= εi j + ωi j
=
+
−
∂ x j 2 ∂ x j ∂ xi
2 ∂ x j ∂ xi

0
1
−
−
→
−
−
Tenseur antisymétrique des rotations : ω = grad (→
u ) − T grad (→
u ) = −ω3
2
−ω2
6
−ω3
0
ω1

ω2
−ω1 
0
ω1
−
−
Vecteur →
ω adjoint de ω : →
ω = ω2
ω3
−−−→
Expression finale : M 0 Mt0 = ui + εi j dx j + ωi j dx j
i
−−−→ −
→
− − →
−
Expression vectorielle : M 0 M 0 = →
u + ε dx + →
ω ∧ dx
t
3.2.3
Etats particuliers de déformation


α
0
0
0 
Extension simple : ε =  0 −β
0
0 −β


α 0 0
Déformation sphérique : ε =  0 α 0 
0 0 α


γ
0
0

2 


Glissement simple : ε =  γ


0 0
2
0 0 0
7
4
4.1
Cinématique d’un milieu continu
Cinématique lagrangienne
•
Expression d’une dérivée particulaire : Pour une grandeur A (scalaire, vectorielle ou tensorielle), on a A =
•
•
−
→
→
−
−
a ,t) da avec
Gradient de transformation : dx = F(→
dA
dt
•
−−→ →
− − −
F(→
a ,t) = grad V (→
a ,t)
•
d Ωt
−
Taux de dilatation volumique : J(→
a ,t) =
dΩ0
→
−−−−→
−−−−→
→
•
•
1
1 T•
− − − − −
−
T
a ,t) grad ϕ(→
Taux de déformation lagrangien : E =
FF + F F = T grad V (→
a ,t) + T grad ϕ(→
a ,t) grad V (→
a ,t)
2
2
•
4.2
Cinématique eulérienne
•
→
→
−
−
− − →
Dérivée particulaire : dx = grad V (→
x ,t) dx
•
→
−
→
→ →
− −
−
Taux de déformation eulérien : dx · δ x = dx · 2Dδ x
avec D =
•
dx
Taux d’allongement : D11 =
dx
•
Taux de glissement : γ = 2Di j pour i 6= j
•
→
d Ωt
− − Taux de dilatation volumique :
= div V (→
x ,t) = Tr(D)
dΩt
•
d Ωt
Fluide incompressible :
=0
dΩt
→
→
1
− − T
− − grad V (→
x ,t) − grad V (→
x ,t)
2
−
→
−
→
−
→
− →
Vecteur tourbillon : Vecteur Ω adjoint de Ω par Ω ∧ dx = Ωdx
Mouvement irrotationnel : Ω = 0
Taux de rotation : Ω =
8
→
→
1T
− − − − grad V (→
x ,t) + grad V (→
x ,t)
2
5
5.1
Représentation des efforts et lois de conservation
Expression générale des lois de conservation et Schématisation des efforts
Enoncé : Une variation d’une quantité caractérisée par une densité volumique A dans un domaine D provient :
∂A
(densité volumique)
∂t
• des échanges avec l’extérieur à travers la frontière ∂ D caractérisée par une densité surfacique AS
• de la variation interne de cette quantité caractérisée par AV =
Z
Z
dZ
Première forme :
AdV = AV dV +
AS dS
dt D
D
∂D
Représentation des efforts : Pour représenter les efforts selon AS et AV , on doit poser ceci :
→
−
• Les efforts appliqués à distance (telle la pesanteur) seront caractérisés pas une densité volumique f
→
−
• les efforts appliqués par contact seront caractérisés par une densité surfacique T qui dépend du point d’application et de
→
−
−
−
n
la normale →
n en ce point : vecteur contrainte T = σ →
Seconde forme (pour utilisation pratique) : D’après les théorèmes de la divergence, on obtient
→
dA
−
−
+ Adiv V − AV − div (→
a)=0
dt
5.2
=⇒
dA
+ AVi,i − AV − ai,i = 0
dt
Lois de conservation utiles
1 dρ
ρ dt !
d A
Expression de la loi de conservation sous cette condition : ρ
= AV + ai,i
dt ρ
Conservation de la masse dans un système fermé : On a Vi,i = −
→
−
−
Conservation de la quantité de mouvement : Equation du mouvement ρ →
γ = f + div (σ )
Conservation du moment cinétique : Elle conditionne la symétrie du tenseur σ
9
6
6.1
Contraintes
Définitions et conventions
→
−
d f
→
− −
Vecteur contrainte : T (→
n ) = lim
dS→0 dS
−
avec →
n la normale extérieure sortante.
x2
→
−
→
−
−
Décomposition : T = Tn →
n + Tt t
σ22
→
−
−
Tenseur des contraintes σ : T = σ →
n
σ12
σ21
σ32
σ23
Ti = σi j n j
Changement de repère : σibj = Qik Q jl σkl
On a (de façon très moche) pour revenir au premier repère
σ11
σ13
⇐⇒
→
−
T
σ31
−
Q−1 Q σ Q−1 Q →
n
→
−
−1
−1
Qσ Q
Qn
= Q
→
−
−1
b b
= Q
σ n
x1
σ33
−
n
= σ→
=
x3
−
→
= Tb
Représentation schématique des σi j
Il faut penser que le changement de repère affecte le tenseur
comme sa normale, notamment quand on utilise le cercle de
Mohr.
6.2
Propriétés
Symétrie : σi j = σ ji
Classification des contraintes : σi j avec i = j : contrainte normale
σi j avec i 6= j : contrainte tangentielle
Dimensions : σi j est une pression
Invariants : σI = Tr(σ )
1
σII = Tr σ 2
2
1
σIII = Tr σ 3
3
Parties sphérique et déviatorique : Dans le repère considéré, la partie sphérique est responsable des variations de volume tandis
que la partie déviatorique est responsable des variations de forme à volume constant.
6.3
Etats particuliers des contraintes
x1

σ11
Traction ou compression simple : σ =  0
0

0 0
0 0
0 0

σ
Tension ou compression hydrostatique : σ =  0
0
0
σ
0

0
0
σ
10

σ11
Etat de contrainte de révolution : σ =  0
0

0
Cisaillement pur : σ =  0
σ13
0
0
0
0
σ22
0

0
0 
σ22

σ13
0 
0

0
Etat plan des contraintes : σ =  0
σ13
0
0
0

σ13
0 
0
6.4
Représentation géométrique des contraintes
6.4.1
Introduction sur le tricercle de Mohr
→
−
→
−
−
−
On considère l’état de contrainte qui s’exerce sur une facette →
n : T = Tn →
n + Tt t .
On représente cet état des contraintes dans l’espace (Tn , |Tt |).
On choisit σ1 > σ2 > σ3 les contraintes principales.
|Tt |
σ3
σ2
σ1
Tn
−
Lorsque →
n varie, l’état de contrainte reste dans la zone hachurée.
6.4.2
Construction du cercle de Mohr
−
Le cercle de Mohr est un représentation de l’état de contraintes supposé plan dans l’espace (Tn , Tt ) lorsque →
n varie.
x2
→
−
T
x20
→
−
t
x10
→
−
n
θ0
θ
x1
−
On va chercher à exprimer T à partir de →
n puis Tn et Tt à partir de T1 , T2 et θ .
La direction principale est définie à θ = θ0 avec Tt = 0.
v
!
u
u σ11 − σ22 2
σ11 + σ22
Tn = a + R cos(2(θ0 − θ ))
t
2
On obtient :
avec a =
et R =
+ σ12
Tt =
R sin(2(θ0 − θ ))
2
2
−
Ceci nous permet d’établir le cercle de Mohr. Il est à noter qu’une variation d’un angle θ pour →
n amène une variation de −2θ sur le
cercle.
11
Tt
|Tt |max
x1
M1 =
σ12
σ2
R
a
Ω
σ11
σ12
2θ0
σ11
12
σ1
Tn
7
Notions de lois de comportement
•
•
De manière générale, une loi de comportement relie σ , ε et certaines autres variables et/ou vitesses (ε, T , T ,. . . ). Une loi de
comportement introduit une spécificité par rapport au matériau et implique une relation universelle valable en tout repère.
7.1
Exemples simples de comportement en milieu fluide
La loi de comportement en milieu fluide relie σ et D.
Fluide Newtonien : σi j = −Pδi j +λ Dkk δi j +2µDi j
avec
Fluide incompressible visqueux : Dkk = 0
σi j = −Pδi j + 2µdi j
=⇒
P = f (ρ, T ) la pression absolue
λ et µ coefficients de viscosité
ρ masse volumique
Fluide Newtonien : λ et µ indépendants de D.
avec
d déviateur de D
Fluide incompressible non visqueux (dit parfait ou pascalien : µ = 0 et Dkk = 0
7.2
Elasticité linéaire isotrope dans les solides
7.2.1
Loi de comportement générale
=⇒
σi j = −Pδi j
A partir de l’inégalité de Clausius-Duhem issue des deux principes de la thermodynamique, on a :
•
•
σi j εi j = W + Φ
avec
•
σi j εi j la puissance fournie
•
W la puissance stockée (potentiel élastique)
Φ la puissance dissipée
De cette inégalité dans le cas d’une transformation élastique linéaire, on déduit l’expression générale de la loi d’élasticité :
σi j = Ai jkl εkl ⇐⇒ σ = A ε avec A le tenseur d’élasticité (ou de rigidité)
εi j = Si jkl σkl ⇐⇒ ε = S σ avec S le tenseur de souplesse : S = A−1
A et S sont des tenseurs du 4e ordre.
Propriétés de A :
• Symétrie de A : Ai jkl = Akli j
• Symétrie de σ : σi j = Ai jkl εkl = σ ji = A jikl εkl
• Symétrie de σ : σi j = Ai jkl εkl = Ai jlk εlk
=⇒
=⇒
Ces propriétés sont identiques pour S.
  
A1111
σ11
σ22  A2211
  
σ33  A3311
 
Représentation de la loi en notation ingénieur : 
σ23  = A2311
  
σ13  A1311
A1211
σ12
Ai jkl = A jikl
Ai jkl = Ai jlk
A1122
A2222
A3322
A2322
A1322
A1222
A1133
A2233
A3333
A2333
A1333
A1233
A1123
A2223
A3323
A2323
A1323
A1223
A1113
A2213
A3313
A2313
A1313
A1213
 

A1112
ε11


A2212 
  ε22 


A3312   ε33 

×

A2312 
 2ε23 
A1312  2ε13 
A1212
2ε12
Notion d’isotropie : Physiquement, l’anisotropie est le fait qu’un matériau ne répond pas de la même façon selon la direction d’une
même sollicitation. Elle peut être naturelle ou artificielle (issue d’une industrie humaine). Mécaniquement, cela correspond à
la dépendance du repère choisi.
Si anisotropie, on a alors A0i jkl = Qim Q jn Qkp Qlq Amnpq
Pour un matériau isotrope, A est invariant : Ai jkl = Qim Q jn Qkp Qlq Amnpq
7.2.2
Cas d’un matériau isotrope
Loi de comportement : Pour répondre à la condition d’isotropie, le tenseur d’élasticité est de la forme :
Ai jkl = λ δi j δkl + µ δik δ jl + δ ilδ jk
avec λ et µ les coefficients de Lamé.
Expression des contraintes : σi j = λ εkk δi j + 2µεi j
1
λ
σi j −
σkk δi j
Expression des déformations : εi j =
2µ
2µ(3λ + 2µ)
13




0
ε 0 0
0  ε = 0 ε 0 =⇒
σ
0 0 ε
3λ + 2µ
On introduit alors le module de rigidité à la compression : K =
3


γ12


0
0 σ12 0
 0
2


Glissement simple : σ = σ12 0 0 ε =  γ12
 =⇒ σ12 = µγ12


0
0
0
0 0
2
0
0 0
De fait, µ est appelé module de cisaillement.





λ +µ

 ε11 =
σ11 0 0
ε11 0
0
σ11

µ(3λ + 2µ)
Traction simple : σ =  0 0 0 ε =  0 ε22 0  =⇒
λ


0 0 0
0
0 ε33
ε22 = −
σ11
2µ(3λ + 2µ)
3λ + 2µ
On identifie le module de Young ou d’élasticité E =
3
ε22
λ
le coefficient de Poisson ν = −
=
ε11 2(λ + µ)
σ
Application en tension/compression hydrostatique : σ =  0
0
Nouvelle expression de la loi d’élasticité isotrope : εi j =
0
σ
0
ν
1+ν
σi j − σkk δi j
E
E
14
σ = (3λ + 2µ) ε
8
Application à un cas de traction uniaxiale
8.1
Données du problème
On considère une poutre droite de section quelconque.
→
−
Cette poutre subit une traction uniaxiale F e03 .
Son matériau est considéré isotrope, élastique, linéaire (coefficients E et ν).
Son poids propre est négligé.
R
R
G centre de gravité et centre géométrique de la section : x1 dS = x2 dS = 0.
S
8.2
S
Résolution du problème

σ11
On considère a priori que σ = σ12
σ13
8.2.1
σ12
σ22
σ23

σ13
σ23 
σ33
Expression des conditions aux limites
Surface de coupe :
Equilibre des moments :
Equilibre des forces :
Z
S
 
x1
−−→ →
−−→
−
GM ∧ T dS = 0 avec GM = x2 
S
0
→
−
→
−
T dS = F e03
Z
En projection :
En projection :
Z
S
= 0
Z
σ23 dS
= 0
ZS
σ33 dS
= F
σ13 dS
x2 σ33 dS
= 0
x1 σ33 dS
= 0
(x1 σ23 − x2 σ13 ) dS
= 0
Z
ZS
S
S
Z
S
 
n1
−
Surface latérale : ∀→
n = n2 
0
Ti = σi j n j = 0
=⇒

σ11 n1 + σ12 n2 = 0
σ12 n1 + σ22 n2 = 0

σ13 n1 + σ23 n2 = 0
8.2.2
Détermination des contraintes


0 0 0
A priori, on a donc σ = 0 0 0 
0 0 σ33
→
−
→
−
−
Equations d’équilibre interne : En posant l’hypothèse quasi-statique (→
γ = 0 ) et en négligeant le poids propre ( f = 0), on
→
−
pose les équations d’équilibre interne : div (σ ) = 0 .
∂ σ33
Ici, les équations se réduisent à
= 0 donc σ33 est une constante.
∂ x3
F
F
On obtient que σ33 = d’après l’équilibre des forces sur la section de coupe. Comme σ33 = satisfait toutes les équations, c’est la
S
S
solution attendue.
8.2.3
Calcul des déformations
1+ν
ν
εi j =
σi j − σkk δi j
E
E
=⇒

σ33 −ν
 0
E
0
0
−ν
0

0
F
0 avec σ33 =
S
1
15
8.2.4
Calcul des déplacements à une constante près
!
1 ∂ ui ∂ u j
Avec l’HPP, on a εi j =
+
2 ∂ x j ∂ xi


σ33
σ33
∂ u1
∂ u1




ε11 =
u1 =
= −ν
= −ν
x1 + ϕ1 (x2 , x3 )




∂
x
E
∂
x
E
1
1




∂ u1
σ33
∂ u1
σ33
Ainsi, ε22 =
=⇒
= −ν
u2 =
= −ν
x2 + ϕ2 (x1 , x3 )


∂
x
E
∂
x
E


1
1




∂ u1 σ33
∂ u1 σ33




ε33 =
u3 =
=
=
x3 + ϕ3 (x1 , x2 )
∂ x1
E
∂ x1  E


 ∂ ϕ1 + ∂ ϕ2 = 0
 ∂ u1 + ∂ u2 = 0







 ∂ x2 ∂ x1
 ∂ x2 ∂ x1
ε12 = 0


∂ u1 ∂ u3
∂ ϕ1 ∂ ϕ3
=⇒
et ε13 = 0
=⇒
+
= 0
+
= 0



∂
x
∂
x
∂ x3 ∂ x1


3
1
ε23 = 0




∂u
∂u
∂ϕ
∂ϕ




 2+ 3 = 0
 2+ 3 = 0
∂ x3 ∂ x2
∂ x3 ∂ x2
16