G45 Maîtrise statistique des procédés

Maîtrise statistique des procédés
G45
G45.1
Maîtrise statistique des procédés
1°) Introduction
a) Signification
La M.S.P (maîtrise statistique des procédés) est la traduction de S.P.C (statistical process
control). Son but est d'améliorer la qualité afin d'arriver à la qualité totale.
b) Causes assignables - Causes aléatoires
Il existe deux causes provoquant la non qualité :
• les causes assignables dont les effets sont souvent isolés dans le temps et/ou assez marqués.
Si ces causes assignables sont difficiles à prévoir, en général l'outil statistique permet de les
mettre en évidence et de les gérer.
• les causes aléatoires dont les effets sont toujours présents mais peu marqués. S'il est
impossible de débarrasser entièrement le procédé de ces causes aléatoires, la variation
globale qu'elles engendrent est prévisible.
Exemple
Dans un atelier de production "classique", la fabrication de pièces sur un tour fait apparaître
différentes causes de variabilité sur le diamètre :
a - jeu dans les glissières,
b - température de l'atelier,
c - bris d'outils,
d - usure des outils,
e - matière usinée.
Dans ces cinq exemples de causes :
• a est une cause aléatoire : elle est toujours présente sur le procédé et c'est une source de
variation ;
• b est, pour les mêmes raisons que a, une cause aléatoire ;
• c est une cause assignable car son effet est isolé dans le temps ;
• d est une cause assignable car son effet n'est pas une source de variation, elle affecte les
mesures des pièces de façon croissante ;
• e n'est pas correctement défini : s'il s'agit de la variation de la qualité de la matière c'est une
cause aléatoire, par contre s'il s'agit d'un défaut matière c'est une cause assignable.
Tout changement dans le temps d'un indicateur du procédé de production est une cause
assignable en puissance.
Dans la pratique, la distinction entre causes assignables et aléatoires est moins nette.
En effet, l'usure des outils ou une cause assignable non encore identifiée peuvent toujours
intervenir.
Il va de soi que les causes non connues à un instant donné font partie des causes aléatoires.
Certaines causes, comme l'usure d'outil qui fait partie des causes assignables, sont admises
dans le lot des causes aléatoires. Cependant, elle reste par nature une cause assignable pouvant
être éliminée dans le cas d'un rattrapage d'usure d'outils. Une telle assimilation permet de
définir le procédé stable.
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c) Hypothèse pour appliquer la M.S.P
L'hypothèse statistique à la base de la théorie de la M.S.P est d'avoir un processus qui ne
présente qu'une variabilité aléatoire de façon à être modélisé par une loi normale.
On pourra alors calculer les différentes capabilités (coefficient d'aptitude de la machine et
coefficient d'aptitude du procédé).
2°) Capabilités
a) Préliminaires
• AFNOR X06-030
Un processus sera déclaré "apte" s'il a démontré, pour les caractéristiques sélectionnées, qu'il
était capable de produire pendant une période suffisamment longue, avec un taux théorique
de non-conformités inférieur aux exigences internes à l'entreprise ou contractuelles. Ce taux
est fréquemment fixé à 0,27%.
• Après une étude de capabilité on se trouve devant deux possibilités.
1. Le processus ou la machine est capable, il faut encore le vérifier dans le temps on
utilisera donc les cartes de contrôle avec un journal de bord.
2. Le processus ou la machine n'est pas capable il faut donc trouver les causes de ces
variances ou décalages et pour cela on peut utiliser des plans d'expériences pour faire des
tests de manière économique et facilement interprétable.
• Soit une machine M chargée de produire des pièces dont la cote x doit appartenir à
l'intervalle de tolérance [Ti ; Ts] (Ti = tolérance inférieure et Ts = tolérance supérieure). On
suppose qu'à chaque "instant" i, la variable statistique x peut être modélisée par une variable
aléatoire Xi qui suit une loi normale N(mi ; σi) et que sur une longue période, elle peut être
modélisée par une variable aléatoire Xo qui suit une loi normale N(mo ; σo).
• Il se peut que l'intervalle de tolérance soit de la forme [Ti ; +∞[ ou ]-∞ ; Ts] , dans ce cas il
faut adapter ce qui suit.
• On définit la performance (ou variabilité) demandée par IT = Ts - Ti
.
• Après avoir remarqué que P(mk - 3σk < Xk < mk + 3σk) ≈ 99,73 % , on définit la performance
(ou la variabilité) réelle de la machine M par Dk = 6σk .
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b) Coefficient d'aptitude machine
• Le coefficient d'aptitude de la machine M, à l'instant i, est le quotient de la variabilité
Ts - Ti
T − Ti
demandée par la variabilité réelle : C.A.M =
≈ s
.
6σi
6.σn −1
•
C.A.M < 1
C.A.M = 1
C.A.M > 1,33
La machine n'est pas capable de produire des pièces conformes aux
spécifications. Des valeurs seront supérieures ou inférieures aux
tolérances spécifiées, ce qui signifie qu'une partie de la production sera
hors tolérance. Le contrôle unitaire est impératif.
La machine est tout juste apte. Elle produit bien 99,73 % de pièces
bonnes mais la moindre variation entraînera la production de pièces
non conformes. Le contrôle unitaire est préférable.
La machine est apte et tolère une dérive d'autant plus grande que le
CAM est élevé.
CAM < 1
non capable
CAM = 1
juste capable
CAM = 1,33
acceptable
CAM = 1,66
performant
Ti
• Remarques :
Ts
* σi peut être estimé par l'écart-type σn-1 de l'échantillon n°i.
* Si la machine n'est pas apte, deux types d'action peuvent être décidées :
- intervenir sur la machine pour la rendre apte ou changer de machine.
- modifier ou faire modifier les spécifications du produit par le bureau d'études,
* Si la machine est apte, l'implantation des cartes de contrôle peut avoir lieu.
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* Valeurs minimum recommandées pour le CAM (Montgomery 1985)
- processus existant : 1,33
- nouveau processus : 1,50
- paramètre de sécurité ou critique processus existant : 1,50
- paramètre de sécurité ou critique, nouveau processus : 1,67
c) Coefficient d'aptitude du procédé
• Le coefficient d'aptitude du procédé est le réel : CAP =
Ts - Ti
6σo
.
• Remarques :
* L'indicateur CAM est un indicateur à court terme pour une seule machine tandis que
l'indicateur CAP est un indicateur à long terme qui caractérise la régularité de la
fabrication qui souvent nécessite plusieurs machines.
* Compte tenu de la dérive du procédé, la dispersion de la cote x à l'instant i est en général
plus faible que la dispersion globale. Donc s'il n'y a pas un incident de production à
l'instant i, σi ≤ σo et par suite CAP ≤ CAM . Le premier objectif de la MSP est de
régulariser le procédé (en évitant toute dérive de la dispersion) de façon à ce que
l'indicateur CAM reste constant dans le temps (à chaque instant σi = σo et par suite CAM
= CAP).
* σo peut être estimé en calculant l'écart-type σn-1 de l'ensemble des échantillons. On peut
–s
aussi l'estimer par C où –s désigne la moyenne des écarts-type des échantillons et C4
4
figure dans le tableau ci-dessous.
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C4
0,7919
0,8862
0,9213
0,9400
0,9515
0,9594
0,9650
0,9693
0,9727
0,9754
0,9776
On peut encore estimer σo à partir de l'écart-type σn d'un échantillon en utilisant la
n.σn
formule
(voir le chapitre "Intervalles de confiance") .
2
χn-1(0,05)
d) Coefficient de stabilité du procédé
• Le deuxième objectif de la MSP est de stabiliser le procédé de façon à ce que la cote x reste
à l'intérieur de l'intervalle de tolérance.
 Ts − m o m o − Ti 
;
 .
3σo 
 3σo
• Le coefficient de stabilité du procédé est le réel : CPK = min 
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• Illustrations de différentes valeurs du CPK pour un CAM de 1,33.
CPK = 0,66
rebut
CPK = 1
risquˇ
CPK = 1,33
centrˇ
Ti
Ts
• Remarques :
* Le CPK ne se calcule que lorsque CAM ≥ 1,33 et que le procédé est sous contrôle (on a
supprimé les causes assignables). Le CPK permet alors d'évaluer la performance du
procédé et de suivre son évolution.
*
CPK ≤ 1
Le procédé n'est pas capable de maintenir toute la production à
l'intérieur des spécifications.
1 < CPK < 1,33 C'est le minimum acceptable, il faut améliorer le procédé.
1,33 ≤ CPK ≤ 2 Le coefficient est satisfaisant, on peut encore l'améliorer.
2 < CPK
Le coefficient est excellent.
* Pour estimer mo on peut calculer la moyenne de l'ensemble des échantillons c-à-d la
moyenne des moyennes des échantillons. Pour l'estimation de σo, voir le paragraphe
précédent.
Exemple
La société Soutrete doit fournir 1 500 pièces de diamètre 8,70 mm avec une tolérance de
± 0,15 mm.
À 8h 30, le responsable de la production, prélève un échantillon de 5 pièces dont les cotes
figurent ci-dessous.
8,71 8,77 8,69 8,67 8,72
À 18h, le responsable de la production, prélève un échantillon de 26 pièces dans le bac qui
contient toutes les pièces produites dans la journée. Il mesure les cotes ci-dessous.
8,71
8,70
8,68
8,68
8,77
8,76
8,67
8,80
8,82
8,74
8,78
8,80
8,75
8,74
8,81
8,74
8,73
8,71
8,69
8,69
8,75
8,72
8,76
8,76
8,88
8,76
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a) Calculez le CAM à l'instant t = 8h 30.
b) Calculez le CAP et le CPK pour la journée complète.
c) Conclusion ?
3°) Cas d'une dérive linéaire
• Ce modèle est souvent utilisé lorsqu'il y a une usure de l'outil.
• Afin de maîtriser un procédé, on prélève un échantillon de n pièces à intervalle régulier (cet
intervalle pouvant être compté en minutes ou en nombre de pièces).
On suppose que,
* les variations du processus sont distribuées suivant une loi normale N(mi ;σi ) où mi est le
réglage de la machine à l'instant ti ,
* la moyenne instantanée mi est une fonction affine du temps (mi = mo + a.ti) ou du nombre
de pièces (mi = mo + a.ni)
* l'écart-type σi est constant et vaut σ.
• Lorsque a > 0 , on règle la machine sur la cote Ti + 3σ
σ puis on laisse le procédé dériver
jusqu'à la cote Ts - 3σ.
Distribution
de la cote x
m4
m3
m2
m1
mo
0
1
2
3
4
Numéro d'ordre
du prélèvement
• Lorsque a < 0 , on règle la machine sur la cote Ts - 3σ
σ puis on laisse le procédé dériver
jusqu'à la cote Ti + 3σ.
• Dans les deux cas, le nombre d'intervalles sans réglage est
NSR =
IT - 6σ
a
.
Autrement dit, on pourra vraisemblablement effectuer NSR prélèvements avant de régler à
nouveau la machine.
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4°) Démarche à suivre pour assurer une production à la cote m avec une tolérance ± ε
• On règle la machine sur la cote m puis on produit un échantillon de n pièces (n ≈ 50). On
représente graphiquement le film de la production pour vérifier qu'il n'y a pas de points
aberrants ni de dérive perceptible. Si ce n'est pas le cas, il faut en rechercher les causes et y
remédier ou alors il faut changer de machine.
• En utilisant la droite de Henry et le test de Kolmogorov, on vérifie que la production de cet
échantillon est modélisée par une loi normale. Si ce n'est pas le cas, il faut en rechercher les
causes et y remédier ou alors il faut changer de machine.
• On calcule la moyenne mn et l'écart-type σn-1 de l'échantillon des n pièces.
σn-1
, il y a un problème de réglage. Il faut en rechercher les causes et y
n
remédier ou alors il faut changer de machine.
Si |m-mn|> 1,96
• On calcule le CAM =
2ε
6σn-1
. Un CAM (Coefficient d'Aptitude Machine) supérieur à 1,33
indique que la machine est capable. On peut alors lancer la production et mettre en œuvre
des cartes de contrôle pour suivre et améliorer le processus. La fréquence des contrôles
dépendra :
# de la cadence de la machine,
# de l'importance de la caractéristique à contrôler (voir le cahier des charges),
# de la fréquence des réglages à apporter à la machine.
5°) Carte de contrôle moyenne - étendue
On suppose que le procédé est parfait : la cote x peut être modélisée par une variable aléatoire
X qui suit une loi normale N(m ; σ).
Remarque : mi est constante et vaut m, σi est constant et vaut σ.
a) Limites pour la moyenne
σ
n
.
• Limite supérieure de surveillance : Lss = m + 1,96
σ
n
• Limite supérieure de contrôle : Lcs = m + 3,09
• Limite inférieure de surveillance : Lsi = m - 1,96
σ
n
σ
n
.
• Limite inférieure de contrôle : Lci = m - 3,09
.
.
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b) Limites pour l'étendue
• Limite supérieure de contrôle : Lcs = Dc2 σ
.
• Limite supérieure de surveillance : Lss = Ds2 σ
• Limite inférieure de surveillance : Lsi = Ds1 σ
• Limite inférieure de contrôle : Lci = Dc1 σ
.
.
.
Remarques :
* Le tableau des coefficients Dc2 ; Ds2 ; Ds1 ; Dc1 figure ci-dessous.
risque = 0,2 % : U0,2 = 3,09
n
dn
DC1
DC2
DS1
DS1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1,128
1,693
2,059
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
3,173
3,258
3,336
3,407
3,472
0,00
0,06
0,20
0,37
0,54
0,69
0,83
0,96
1,08
1,20
1,30
1,39
1,48
1,56
4,65
5,06
5,31
5,48
5,62
5,73
5,82
5,90
5,97
6,04
6,09
6,14
6,19
6,23
0,04
0,30
0,59
0,85
1,06
1,25
1,41
1,55
1,67
1,78
1,88
1,97
2,06
2,14
3,17
3,68
3,98
4,20
4,36
4,49
4,61
4,70
4,79
4,86
4,92
4,99
5,04
5,09
* Lorsque les limites inférieures (de surveillance et de contrôle) sont franchies, cela signifie
que la dispersion décroît et que le procédé s'améliore. Il faut en tenir compte et refaire la
carte de contrôle en fonction du nouvel écart-type.