Petits problèmes au quotidien

Petits problèmes au quotidien
Irène Legault
C. s. Saint-Louis
1.
Trouvez les nombres entiers qui, augmentés de la sonmie de leurs chiffres,
donnent 73.
2.
Le rayon du cercle de centre 0 mesure 3 unités et l'aire des parties ombrées est
égale à l'aire du triangle ABC. Quelle est, arrondie au degré près, la mesure de
l'angleA?
3.
Cinq nombres premiers à quatre chiffres ont conmie propriété que le produit
des chiffres qui le composent est aussi un nombre premier. Quels sont ces nombres?
4.
Dans le triangle ABC, m AC = 1 et mZABC - 60°. Si on continue la construction des triangles dont les angles mesurent 30°- 60°- 90°, quelle sera la mesure de l'hypoténuse du dixième triangle?
Tirés de la revue
Mathematics Teacher
Novembre 1996
Le dessus d'une feuille de papier est jaune et le dessous est bleu. On plie le coin
inférieur droit vers la gauche, de façon à obtenir un rectangle jaune et un triangle bleu. La largeur de la feuille est de 10 cm et les surfaces visibles après le
pliage ont la même aire. Trouvez l'aire d'un côté de la feuille de papier.
Un hexagone régulier est inscrit dans un cercle dont le rayon mesure 4 m. Quelle
est l'aire de l'hexagone?
7.
Un nombre palindrome à 4 chiffres est représenté par
nombre est toujours divisible par 11.
8.
Quelle est la plus grande des deux expressions suivantes, 2®° +
Pourquoi?
ENVOL
- JUIN
97
Montrez qu'un tel
ou 2'°°?
43
9.
10.
11.
Un jeu consiste à disposer des pièces d'un cent autour d'un cercle. Le premier
joueur peut enlever une ou deux pièces adjacentes; le deuxième joueur fait de
même. Le jeu se termine lorsqu'il n'y a plus de pièce sur la table. Le gagnant
est celui qui ramasse la dernière pièce. Si vous jouiez à ce jeu, voudriez-vous
être le premier ou le deuxième joueur? Expliquez votre réponse.
13
Deux serviteurs travaillent à la cour d'un roi. Le premier gagne — dinars par
6
3
jour et le deuxième — dinars par jour. Le premier serviteur doit 10 dinars au
second. Calculez le nombre de jour requis pour qu'ils aient le même montant.
Une vigne pousse sur un arbre de 20 unités de hauteur et 3 unités de circonférence. La vigne s'enroule sept fois sur le tronc de l'arbre jusqu'à ce quelle
atteigne le sommet. Quelle est la longueur de la vigne?
12.
Dans une année, combien y a-t-il de jours dont le quantième est un multiple du
nombre correspondant à son mois? Ex. : 22 du I P mois (22 novembre)
13.
Une horloge numérique donne les heures et les minutes toute la journée. Or
2:42 et 13:31 sont des nombres palindromes. Quel est l'intervalle de temps le
plus long entre deux de ces heures qui s'expriment par des nombres palindromes?
14.
Trouvez différentes façons d'écrire 100 en utilisant cinq chiffres identiques.
Voici deux exemples : 100 = 5 x 5 x 5 - 5 x 5 ou 100 = 111-11
15.
On dit qu'un trépied est toujours stable, même si les pattes ne sont pas de la
même longueur. Est-ce que cette affirmation est correcte? Pourquoi?
16.
Calculez la hauteur d'un poteau construit avec les millimètres cubes constituant un mètre cube, si on les superpose.
17.
Soit un angle de 1,5 degrés. Quelle sera la mesure de l'angle si on le regarde en
utilisant une loupe qui grossit les objets quatre fois?
18.
Une pointe de tarte de 10 cm de rayon doit être divisée en deux, tel qu'illustré.
À quelle hauteur de la pointe doit-on couper pour que les deux morceaux soient
approximativement de même aire?
19.
A)
6 cm
B)
7 cm
C)
8 cm
D)
9 cm
On donne les figures suivantes:
•
•
Solutions aux pages
65,66,67,68,69.
44
Trouvez une expression du nombre de tuiles qu'il y aura dans la n'^™ figure.
E N V O I . - JUIN
97
Solutions des petits problèmes
Le seul nombre est 59.
Irène Legault
C.s. Saint-Louis
Il est à noter que tout nombre satisfaisant à la condition donnée est un nombre
à 2 chiffres exprimé ainsi :
\Qd + u, où {\Qd + m) + J +M = 73
11J + 2m = 73
11^^ = 73-2m
Si 0 < M < 9 et 73 - 2m est un multiple de 11, alors w = 9 et 1 It/ = 55 est l'unique
solution et d= 5.
26° ou 64°.
Le triangle ABC est rectangle; l'hypoténuse mesure 6 et les côtés de l'angle
droit mesurent 6 cos A et 6 sin A.
L'aire du triangle ABC = — • 6 sin A • 6 cos A
= 9-2sinAcosA
= 9 sin 2 A
L'aire du triangle ABC égale la moitié de l'aire au demi-disque. Donc,
9sin2A = - - 9 ; r
4
N.B. On peut résoudre ce problème en utilisant les logiciels Geometer's
Sketchpad ou Cabri-géomètre.
3.
1117,1151,1171,1511 et 2111.
À noter : 3 des chiffres doivent être des 1.
4.
1024
= 4,21
243
Les côtés de ces triangles rectangles sont dans le rapport — o
2 2
l'hypoténuse.
Pour le premier triangle,
v 2 .
ENVOL
a est
a = 1 et a =
V3'
l 2J
Pour le deuxième triangle. i l
CiilX
ù
- JUIN
a = —7= et a =
V3
vV3y
97
65
Pour le troisième triangle.
a=
\
/
10
/
Pour le dixième triangle, a =
5.
U:
et a =
/ 2 ^^
V3
>10
vV3y
150 cm2
10
Jaune
Aire de la surface bleue :
- • 1 0 1 0 = 50
2
Aire de la surface jaune :
50 = IOjc
5=;c
Donc, l'aire de la feuille est : 10 x 15 = 150 cm^
24 V3
m
L'hexagone est divisé en six triangles équilatéraux
dont les côtés mesurent 4 m.
L'aire totale est donc : 6 x -(4)(2V3)m^
abba = lOOOfl + 1006+10ft+<ï
=1001a + l l O è
= ll(91a+IOZ7)
Donc, tous les nombres palindromes à 4 chiffres sont divisibles par 11.
8.
2100
et
9.
< 2'°°
Le deuxième joueur peut toujours gagner s'il utilise la symétrie.
Il n'a qu'à laisser une figure symétrique après avoir joué et il ramassera toujours la ou les deux dernières pièces.
Voici un exemple où les pièces sont numérotées de 1 à 7.
66
ENVOL
- JUIN
97
'tlmtv t
Le premier joueur enlève le 1, le second, le 4 et le 5.
®
®
0
( 4 )
Le premier prend le 6 et le deuxième, le 2; on a alors :
( 6
('s^
Cï)
\ ^ _(S)''
^ '
Le premier prend le 3 et le deuxième prend le 7 et gagne.
/
10.
30 jours.
Ils auront le même montant quand le premier serviteur aura gagné 20 dinars de
plus que le deuxième et remis les 10 dinars.
Chaque jour, le premier gagne
13
6
3
2
= - dinar de plus que l'autre
2 3
et 2 0 - - = 30.
3
11.
29 unités.
Considérons le premier enroulement de la vigne. En développant le cylindre
qui le contient, on obtient un rectangle dont la base est égale à la circonférence
du cylindre et dont la hauteur est ^ de la hauteur de l'arbre.
La longueur de vigne dans ce premier enroulement
est
20 + 32 = _29 ce qui correspond à -1 de sa longueur totale.
7 '
7
^7 ;
3 unités
CiilX
ENVOL
- JUIN
97
67
12.
90 jours.
Janvier a 31 jours qui sont des multiples de 1.
Février a 14 jours qui sont des multiples de 2.
Mars a 10 jours qui sont des multiples de 3, etc.
Le total est :31 + 1 4 + 1 0 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 = 90.
13.
4 heures et 11 minutes.
L'intervalle le plus long est entre 15:51 et 20:02.
14.
100 = 3 3 x 3 + 3 - 3
100 = ( 5 - 5 - 5 ) x 5 x 5
On peut trouver d'autres façons en utilisant des symboles plus sophistiqués :
100 = 99+ 9 H-9x0,9
100 = 41x4 + 4x4-5-4
15.
Oui.
Par trois points de l'espace, on peut faire passer un plan et un seul.
16.
1000 kilomètres ou 10' millimètres.
On peut imaginer qu'un mètre cube est formé de mille couches constituées
chacune de 1000 rangées de 1000 cubes. Chacune de ces rangées mesure 1 m.
Avec 1000 X 1000 mètre, la hauteur est 1000 km.
17.
1,5 degrés.
La loupe grossit le rayon et l'arc, mais l'angle ne change pas.
18.
B) environ 7 cm.
Utilisons un triangle pour avoir une approximation
de la pointe de tarte. Soit B, la base et H,
la hauteur de la pointe et b et h, la base
et la hauteur de la partie supérieure.
Alors B:H = b.h et 0,5 BH = 2 (0,5M).
On trouve h = -j=. o\xh = 70,7% de H.
V2
On aurait également pu aborder le problème en comparant les aires des
(\
^
secteurs circulaires par ^^^^
'-dlO'
où 6 est l'angle en radians et rie
2
rayon du petit secteur. On peut aussi remarquer que si on a une homothétie
de rapport
68
•v2
le rapport des aires sera
ENVOL
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97
2
19.
n'+3n + 2
Voici deux possibilités qui illustrent la n'^"'® figure.
22
1
+
l'f;:.
1
lilli
..
H
1
+
1
+,
n
n
ou
+1
3
T
1
+
1
+
3
n
1 + 3 + 1
ENVOL
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1 + n + 1
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