I- Polygones.

I-
Polygones.
1- Ligne polygonale.
Le mot polygone est la combinaison de deux mots Grecs et signifie plusieurs angles.
On considère les points
puis on trace les segments
On obtient une ligne polygonale ou une ligne brisée.
A
D
B
C
F
E
Définition (ligne polygonale):
On appelle ligne polygonale l’ensemble de segments, chacun d’eux ayant une
extrémité commune avec le suivant, deux segments consécutifs n’étant pas en ligne droite.
2- Polygone.
Si les extrémités d’une ligne polygonale sont confondues, on dit qu’elle est fermée.
Définition (Polygone) :
On appelle polygone une ligne polygonale fermée.
Vocabulaire :
Les points
, sont les sommets du polygone.
Les segments
, en sont les côtés.
A
D
B
C
F
E
Les mathématiques au collège.
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Définitions :
 On appelle diagonale d’un polygone tout segment de droite joignant deux sommets non
consécutifs.
 On appelle périmètre d’un polygone la somme des longueurs de ses côtés.
A
D
B
C
F
E
Exemples de diagonales
3- Classification.
Un polygone a autant de sommets que de côtés.
Nombre de côtés
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nom du polygone
Triangle
Quadrilatère
Pentagone
Hexagone
Heptagone
Octogone
ennéagone
Décagone
Hendécagone
Dodécagone
La liste est longue voir Wikipédia.
4- Polygones convexes.
Définition :
Une ligne polygonale ou un polygone sont dits convexes s’ils sont situés tout entiers d’un
même côté de la droite illimitée qui porte un côté quelconque.
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D
D
D
C
D
E
Polygone convexe
E
C
B
Polygone concave ou non
convexe
A
F
A
B
D
D
A
D
E
E
Ligne polygonale convexe
C
B
Ligne polygone non convexe
F
A
D
C
B
5- Polygone croisé :
Définition :
On appelle polygone croisé, un polygone qui n’est pas convexe et qui a deux côtés qui se
coupent en un point qui n’est pas un sommet.
A
B
C
E
Les mathématiques au collège.
D
Page 3
II-
Polygones réguliers.
1- Généralités.
Définition :
On appelle polygone régulier « convexe ». Tout polygone convexe qui a tous ses
angles égaux et tous ses côtés égaux.
Exemple de polygone régulier (Pentagone régulier)
On trace cinq angles égaux à
Ils interceptent cinq arcs égaux
 Les cinq angles du pentagone sont
égaux. Car chacun d’eux intercepte
les:
du cercle.
 Les côtés sont égaux car se sont des
cordes qui sous tendent des arcs
égaux.
 Les tangentes au cercle en
forment un polygone régulier.
 On dit que le polygone
est
circonscrit au cercle ou encore que
le cercle est inscrit au polygone.
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Théorème :
Si on divise une circonférence en un nombre quelconque de parties égales :
iLes points de division consécutifs constituent les sommets d’un polygone régulier
convexe inscrit à ce cercle.
iiLes tangentes en ces points constituent un polygone régulier convexe circonscrit à ce
cercle.
Définition :
Le centre commun aux deux cercles circonscrit et inscrit est le centre du polygone
régulier.
 Le symétrique du point par rapport à la droite
est le point
 Le symétrique du segment
par rapport à la droite
et le segment
 Des égalités :
On a donc
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et le cercle passe par le point
.
.
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Dans un polygone régulier un cercle qui passe par trois points consécutifs pass par le
point suivant.
On en déduit qu’un polygone régulier est inscriptible dans un cercle.
Les côtés de ce polygone sont des cordes égales de ce cercle, donc ils sont situés à la
même distance du centre O, ce qui prouve l’existence d’un cercle de centre O et qui est
tangent aux côtés du polygone régulier.
Propriété :
Tout polygone régulier est inscriptible à un cercle et circonscriptible à un
autre de même centre.
Dans le triangle OHA rectangle en H. On a :
D’après le théorème de Pythagore :



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D’autre part on a :
Sachant que la somme des angles d’un triangle est un angle plat. Donc
Soit :
Dans le triangle OAH rectangle en H, on a :
Et
Ou bien :
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