DM “ Charlie and the chocolate factory ” A sa grande surprise

DM “ Charlie and the chocolate factory ”
A sa grande surprise, Charlie vient d'être nommé responsable de la
chocolaterie de son village. Malheureusement, l'entreprise est en difficulté
et Charlie doit trouver une solution pour que la production soit de nouveau
rentable.
On note q la quantité de chocolat produite (en quintaux), avec 0 < q < 60.
Charlie sait que le coût de production comme le chiffre d'affaire de son
entreprise est fonction de la quantité produite.
Son objectif est double :
 Rendre la production rentable
 Maximiser le bénéfice de la chocolaterie.
Le graphique ci-dessous donne le coût de production ainsi que le chiffre d'affaire (en €) en
fonction de la quantité produite (en quintaux). La courbe est associée au coût, la droite au
chiffre d'affaire.
1) a) A partir de ce graphique, conjecturer la quantité de chocolat que doit produire la
chocolaterie pour être rentable.
b) Conjecturer la quantité à produire pour que le bénéfice soit maximal et donner la valeur de
ce dernier.
2) Le coût total C est constitué d’un coût fixe CF égal à 1 000 € et d’un coût de production CP lié
à la quantité produite par la relation CP = q2 + 30q.
On admet que toute la quantité q produite est vendue au prix de 100 € le quintal.
Écrire les expressions de C(q) et du chiffre d’affaire R(q).
3) En déduire l’expression du bénéfice B(q).
4) Étudier le signe de B(q).
5) En déduire l’intervalle de production pour lequel la chocolaterie réalise un bénéfice.
6) Déterminer, de deux façons différentes, la production correspondant à un bénéfice maximal.
7) Calculer ce bénéfice maximal.
8) En déduire le bénéfice, arrondi au 1/10 de centime d’Euro, réalisé par kg produit.
9) Autre approche :
a) Simplifier l'expression algébrique : f (q) = 225 - B(q)
b) Écrire f (q) sous sa forme canonique.
c) Conclure sur le second objectif de Charlie.