Exercices d`entraînement au calcul. Le but de cette feuille d

Exercices d’entraînement au calcul. Le but de cette feuille d’exercices est de maîtriser des éléments
de calcul qui sont aux mathématiques ce que la grammaire est à la littérature. Un objectif raisonnable est
de parvenir à répondre juste à tous les exercices en 30-35 minutes. Si vous mettez plus de temps ou ne
trouvez pas les réponses, laissez la feuille de côté une journée, réessayez la feuille du premier TD, avant de
revenir à celle-ci, ainsi de suite jusqu’à ce que vous vous sentiez plus à l’aise. Se familiariser avec le calcul
est nécessaire pour mettre toute sa concentration sur les concepts plus compliqués qui viennent ensuite.
Les réponses sont disponibles au dos de la feuille. Ce ne sont pas des corrigés complets, demandez de
l’aide si vous ne parvenez pas au résultat après plusieurs essais.
Exercice 1. Fractions. Calculer les quantités suivantes. On donnera le résultat sous forme de fraction
irréductible. Pensez à simplifier les fractions dès que possible.
a=
4 8 1
− × ,
3 7 3
3
d=1− ×
2
2 4
−
3 5
4 5 1
b=− × + ,
5 6 7
,
5 6
−
g = 4 3,
4
1−
7
c=
14
7
−2× ,
4
2
4 1
−
e= 7 3 ,
1 4
− +
2 6
2 3
−
f = 5 4,
1 4
−
2 3
27
1
h=
− ,
1
5
5
5
−1
9
.
i=
2
1 1
− −
−
3
3 4
√
√
Exercice 2. Racines carrées. Mettre sous la forme x y, où y n’est pas entier :
a=
√
28,
b=
√
54,
c=
√
72,
√
d = 2 50,
√
e = 3 200,
√
f = 4 27.
√
Calculer (donner tous les résultats sous la forme x y)
√
r
√
√
√
80
39
×
, i = ( 7)2 , j = ( 7)3 , k = ( 7)4 .
13
4
√
√
√
Utiliser des factorisations du type a b + c b = (a + c) b pour calculer :
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
l = 12 5 − 3 5 + 5, m = 2 + 8 + 18, n = 3 20 + 45, o = 180 − 3 5.
g=
6×
√
r
21,
h=
n
.
o
Exercice 3. Puissances. Calculer
Enfin, calculer n × o et
a = 53 × 5−2 ,
b=
24 × 22
,
23
c = (32 )−4 ,
d = (22 × 3−1 )2 .
Mettre sous forme scientifique (a × 10n ) les nombres suivants :
e=
4 × 101 × 60 × 10−1
,
6 × (10−3 )2
f=
120 × 10−2 × 480 × 108
,
120 × 1010
g=
40 × 109 × 240 × 106
.
1, 2 × (105 )5
Exercice 4. Développement. Développer et réduire les écritures suivantes :
a = 25x2 − 16 − (−2x − 3)(5x + 4),
b = −(x − 2)(−10x + 7) − (−x + 9)(−10x + 7),
c = −(−8x − 4) − (9x − 7)(−8x − 4),
d = (2x + 1)2 − (3x − 2)(3x + 2),
e = (2x + 3)2 − (2x + 3)(x − 7),
f = 3(7x − 4)2 − (x + 2)2 .
1
Exercice 5. Factorisation. Factoriser les expressions suivantes. N’oubliez pas les identités remarquables !
a = 25x2 − 16 − (−2x − 3)(5x + 4),
b = −(x − 2)(−10x + 7) − (−x + 9)(−10x + 7),
c = −(−8x − 4) − (9x − 7)(−8x − 4),
d = −4 + 9x2 ,
e = −x2 + 14x − 49,
√
f = 3x2 + 24x + 2,
g = −(−2x + 2)(6x − 6) − 8x + 4x2 + 4,
h = −(5x − 1)(6x − 9) + 25x2 + 1 − 10x,
i = 9 + 24x + 16x2 − (10 − x)(4x + 3).
Fractions.
20
,
21
a=
b=−
11
,
21
7
c=− ,
2
d=
4
,
5
e=
10
,
7
f=
21
,
10
7
g=− ,
4
h=
2
,
5
i=−
Racines carrées.
√
a = 2 7,
√
b = 3 6,
√
c = 6 2,
√
d = 10 2,
√
e = 30 2,
√
f = 12 3.
√
√
√
g = 3 14, h = 2 15, i = 7, j = 7 7, k = 49.
√
√
√
√
l = 10 5, m = 6 2, n = 9 5, o = 3 5, n × o = 135,
n
=3
o
Puissances.
a = 5,
b = 8,
c=
1
,
38
d=
16
,
9
e = 4 × 107 ,
f = 4, 8 × 10−2 ,
g = 8 × 10−7 .
Développement.
a = 35x2 + 23x − 4,
b = 70x − 49,
c = 72x2 − 12x − 24,
d = −5x2 + 4x + 5,
e = 2x2 + 23x + 30,
f = 146x2 − 172x + 44.
b = −7(10x + 7),
e = −(x − 7) ,
c = −(8x + 4)(−9x + 6),
√
√
f = (x 3 + 2)2 ,
h = (5x − 1)(8 − x),
i = (4x + 3)(5x − 7).
Factorisation.
a = (5x + 4)(7x − 1),
d = (3x − 2)(3x + 2),
g = 8(1 − x)
2
2
2
16
.
27