Le nombre pi
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Le nombre pi
1. Définitions du nombre Π Première définition de Π Π est le rapport de la circonférence au diamètre: c = 2 Π1 r = Π1 d c d c Π1 = circonférence = d diamètre bn = côté du polygone inscrit à n côtés hn = apothème du polygone inscrit à n côtés pn = périmètre du polygone inscrit à n côtés: pn = n bn Bn = côté du polygone circonscrit à n côtés Pn = périmètre du polygone circonscrit à n côtés: Pn = n Bn Figure pour n = 12 r bn hn Bn bn Bn bn Bn On démontre d’abord les propositions suivantes qui se fondent sur la géométrie élémentaire des polygones réguliers: lim hn = r n®¥ lim HPn - pn L = 0 n®¥ La longueur d’arc du cercle est, par définition, la limite de la suite pn , ce qui définit le nombre Π1 lim pn = 2 Π1 r n®¥ et les suites pn et Pn ont une limite commune lim pn = 2 Π1 r = lim Pn n®¥ n®¥ 2 pi.nb Deuxième définition de Π Π est le rapport de l'aire du disque à l'aire du carré dont le coté est le rayon: A = Π2 r2 A r2 A Π2 = aire du disque de rayon r = r2 aire du carré de côté r Aire des polygones inscrit et circonscrit: 1 an = n 1 bn hn = 2 1 pn hn 2 1 An = n Bn r = 2 Pn r 2 Passages à la limite: 1 lim an = n®¥ 2 1 lim An = n®¥ 2 H2 Π1 rL HrL = Π1 r2 H2 Π1 rL r = Π1 r2 L'aire du disque étant encadrée par les aires des polygones inscrit et circonscrit, son aire est Π1 r2 ce qui établit que Π2 = Π1 Troisième définition de Π Le volume d'une boule est 4 V= Π3 r3 3 De ce point de vue, le volume d'une boule de rayon 1 est V1 = 4 3 Π3 . Considérons une demi-boule de rayon 1 et déterminons une approximation par défaut au moyen d'un empilement de n disques de même épaisseur h = Coupe pour n = 5 Le rayon du i-ème cylindre vérifie ri2 + Hi hL2 = 12 d'où ri = 1 - Hi hL2 = 1 - InM i 2 1 n pi.nb Rayon du i-ème cylindre. Fig. pour i = 3 ri ih 1 Le volume de l'empilement de cylindres est donc Π r21 h + Π r22 h + Π r23 h + .. + Π r2n = Π h I r21 + r22 + r23 + .. + r2n M = 1 1 1- Π 2 2 2 +1- n n = Π -Π: 1 3 n 2 1 2 n 2 1 + n n 2 +1- 3 + n n n 2 n 2 + ... + 1 - K O = n n 2 1 + ... + K O > n n n 1 Dans cette expression, la valeur de Π est celle qui apparaît dans l'aire du disque. La dernière accolade représente un volume que nous représentons graphiquement comme suit: Pour n tendant vers l'infini, ce volume tend vers une pyramide dont la base est un carré de côté 1 et la hauteur est de 1; son volume est donc Π -Π: 1 2 1 2 2 1 + n n 1 3 3 + n n 1 × 12 × 1 = 3 . Le volume de l'empilement de cylindres tend donc vers n 2 n 2 1 + ... + K O > n n n 1 1 ® Π -Π 2Π = 3 3 3 4 pi.nb qui représente le volume de la demi-boule. Le volume de la boule de rayon 1 est 2Π 4 V1 = 2 × = 3 Π 3 Il s'ensuit que Π3 = Π. Quatrième définition de Π L'aire d'une sphère est A = 4 Π4 r2 De ce point de vue, l'aire d'une boule de rayon 1 est A = 4 Π4 . Sans démonstration: Π4 = Π. 2. Calcul numérique du nombre Π Chez les Egyptiens Vers 2700 ans avant J.-C. , les Egyptiens, selon qu'ils calculaient des longueurs ou des aires, utilisaient deux valeurs distinctes de Π. La circonférence d'un cercle était déterminée de la manière suivante: C = 3 d ce qui correspond à Π = 3. Mais, pour calculer l'aire d'un disque, ils procédaient comme suit: A = I correspond à 16 2 Π=I 9 M > 3.1605. 8d 2 M 9 ce qui Chez les Grecs r bn hn Bn bn Bn bn Bn Périmètres des polygones inscrit et circonscrit à 12 côtés 2Π 24 r SinB 24 6 3 2 I- 1 + 3 Π= DΠ = 2 I- 1 + F £ 2 Π r £ 24 r TanB 24 3 M r £ 2 Π r £ 24 I2 - 2 I- 1 + 12 I2 - 2Π 3 M £ Π £ 12 I2 3 M + 12 I2 2 3 M-3 2 I- 1 + 2 Π = 3.16 ± 0.06 3M 3M F 3 Mr 3M > 3.16061 > 0.0547809 Calcul numérique de Π à 100 chiffres (vers 1700) On met au point une méthode de calcul efficace mais malheureusement trop longue à expliquer ici (ce développement pourrait faire l'objet d'un travail de maturité). pi.nb 5 Grégory, 1671 La réciproque de la fonction tangente est exprimée au moyen d'une série arctan HxL = x - x3 x5 x7 + x9 - 3 5 + 7 x11 - 9 x13 - ... + 11 13 Machin, 1706 1 Π 1 = 4 arctan - arctan 4 5 239 Calcul numérique des 100 premiers chiffres (il suffit de prendre les 70 premiers termes de la série): x3 x- x5 + x7 x9 5 + x11 - x13 + x15 x17 - + x19 - x21 + x23 - x25 + x27 - x29 + x31 + 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 x33 x35 x39 x41 x43 x45 x47 x49 x51 x53 x55 x57 x59 + + + + + + + 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 x61 x63 x65 x67 x69 x71 x73 x75 x77 x79 x81 x83 x85 x87 + + + + + + + 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 x89 x91 x93 x95 x97 x99 x101 x103 x105 x107 x109 x111 x113 + + + + + + 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 113 x115 x117 x119 x121 x123 x125 x127 x129 x131 x133 x135 x137 x139 + + + + + + 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 3 - - 7 x37 On obtient l'approximation de Π suivante: 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 6280348253421170676778279277 L'erreur est - 3.043201588 ´ 10-100 Aujourd'hui Avec des méthodes plus performantes encore et des ordinateurs, on peut calculer des millions de décimales de Π. La formule suivante, découverte en 1997 par David Bailey, Peter Borwein et Simon Plouffe Π=â ¥ n=0 4 2 - 8 n+1 1 - 8 n+4 1 1 8 n+6 16 n 8 n+5 Le principe du calcul est le suivant: le nombre Π est approché par une suite de nombres rationnels. La somme des 18 premiers termes suffit pour déterminer les 25 premiers chiffres caractéristiques du nombre Π 6 pi.nb n Coefficient Terme Valeur numérique approchée 0 47 15 106 819 829 19 635 316 15 225 857 69 597 3802 466 785 5273 911 547 776 179 645 1787 533 715 11 126 4 165 161 4519 2 072 385 16 228 8 947 437 19 139 12 491 175 1486 1 133 055 25 681 22 621 131 29 312 29 539 125 3687 4 214 903 37 294 48 002 745 47 15 53 6552 829 5 026 560 79 15 590 400 857 4 561 108 992 1901 244 729 774 080 5273 15 293 220 913 152 97 6 027 885 936 640 1787 2 292 288 470 384 640 5563 143 113 842 220 597 248 4519 2 278 611 404 728 565 760 4057 39 351 244 081 172 840 448 19 139 3 515 953 192 213 728 460 800 743 2 551 413 037 895 138 672 640 25 681 1 630 024 274 276 786 808 815 616 229 266 064 784 685 701 005 312 000 3687 77 751 236 936 510 610 234 933 248 18 647 7 083 954 814 804 326 482 297 487 360 3.133333333333333333333333 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.141422466422466422466422 3.141587390346581523052111 3.141592457567435381837005 3.141592645460336319557021 3.141592653228087534734378 3.141592653572880827785241 3.141592653588972704940778 3.141592653589752275236178 3.141592653589791146388777 3.141592653589793129614171 3.141592653589793232711292 3.141592653589793238154766 3.141592653589793238445978 3.141592653589793238461732 3.141592653589793238462593 3.141592653589793238462641 3.141592653589793238462643 Voir aussi Calcul numérique du nombre Π à plus de 120 décimales: http://www.deleze.name/marcel/culture/pi/decimales/index.html 3. Transcendance du nombre Π Les problèmes de quadrature Considérons par exemple le problème de la quadrature du parallélogramme: un parallélogramme étant donné, construire - avec la règle et le compas - un carré de même aire. 1° 2° 3° le parallélogramme est transformé en un rectangle de dimensions p, q; au moyen du théorème de la hauteur, on construit h tel que h2 = p q; le carré de côté h est solution. La quadrature du cercle Un disque étant donné, construire - avec la règle et le compas - un carré de même aire. Pendant des siècles, de nombreux mathématiciens ont effectué de nombreuses recherches sur ce problème, sans succès. En 1882, l'allemand Ferdinand Lindemann démontra que Π est un nombre transcendant (c'est-à-dire qu'il ne vérifie aucune équation à coefficients entiers). Une conséquence de ce théorème d'algèbre est que le problème de la quadrature du cercle n'a pas de solution. Une autre conséquence est que Π est un nombre irrationnel (en particulier Π ¹ 3.1416 et Π ¹ 22 ). 7 pi.nb Lien hypertexte vers la page mère: Les mathématiques dans la culture générale http://www.deleze.name/marcel/culture/ 7