Thème 13: Fonctions, études du signe et esquisses

FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES
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Thème 13: Fonctions, études du signe et esquisses
Introduction: Dans ce chapitre, nous étudierons une démarche permettant d’esquisser le
graphe de fonctions polynomiales de degré supérieur à 2 mais également le
graphe de fonctions rationnelles de type f (x) =
polynôme
.
polynôme
Nous utiliserons un nouvel outil : le tableau de signes de f(x).
13.1 De l’esquisse au tableau de signes :
Modèle 1 : Considérons la fonction f (x) = 2x – 4.
a) Représenter cette fonction sur le système d’axes
y
De l’esquisse au
tableau de signes:
x
b) Compléter les solutions des in/équations ci-dessous :
• 2x – 4 < 0
S=
• 2x – 4 = 0
• 2x – 4 > 0
S=
S=
c) En déduire le tableau de signe de f (x).
Modèle 2 : Déterminer le tableau de signes de la fonction f (x) représentée
ci-dessous.
10
De l’esquisse au
tableau de signes:
-3
-10
-20
-30
-40
2C – JtJ 2015
y
3
x
84
THÈME 13
Exercice 13.1:
Déterminer le tableau de signes des fonctions f (x) représentées
ci-dessous :
y
y
3
3
-3
3
x
-3
-3
3
x
3
x
6
x
-3
a)
b)
y
y
6
3
-3
3
x
-3
-3
-6
c)
d)
y
27
30
y
18
15
9
3
6
3
x
9
e)
f)
Modèle 3 : Déterminer le tableau de signes de la fonction f (x) représentée
ci-dessous.
6
De l’esquisse au
tableau de signes:
y
3
-6
-3
3
6x
-3
-6
2C – JtJ 2015
FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES
Exercice 13.2:
85
Déterminer le tableau de signes des fonctions f (x) représentées
ci-dessous :
9
y
y6
6
3
3
-3
-3
3
-3
x
3
x
-3
-6
a)
b)
6
y
3
-3
3
x
-3
-6
c)
13.2 Tableau de signes d’une fonction du 1er degré:
Le graphique d’une fonction du 1er degré f (x) est toujours une droite. Ainsi
donc, le tableau de signes s’obtiendra directement en résolvant l’équation
f (x) = 0 et en observant le signe de sa pente.
Modèle 4 : Étudier le signe de la fonction f (x) = 2x – 3.
Fonction du 1er degré:
2C – JtJ 2015
86
THÈME 13
Exercice 13.3:
Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = 5x + 3
b) f (x) = 2 – 3x
c) f (x) = -2(x + 1/3)
d) f (x) = 7(x – 7)
e) f (x) = -8x
f) f (x) = -8x – 5
13.3 Tableau de signe d’une fonction du 2ème degré:
Le graphique d’une fonction du 2ème degré f (x) est toujours une parabole.
Ainsi donc, le tableau de signes s’obtiendra directement en résolvant
l’équation f (x) = 0 et en observant le signe sur son esquisse.
Modèle 5 : Considérons la fonction f (x) = 2x2 + 5x – 3.
Après avoir représenté cette parabole sur une esquisse, en déduire
son tableau de signes.
Fonction du 2ème degré:
Modèle 6 : Étudier le signe de la fonction f (x) = -3x2 + 2x – 1.
Fonction du 2ème degré:
2C – JtJ 2015
FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES
Exercice 13.4:
Exercice 13.5:
Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = (x + 1)(x – 2)
b) f (x) = (-2x + 3)(-3x + 2)
c) f (x) = (3x – 3)(-3 + 2x)
d) f (x) =(x + 2)2
e) f (x) = -(4 – x2)
f) f (x) = (x – 7) – (2x – 8)
Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = 2x2 – 5x + 3
b) f (x) = -3x2 + 14x + 5
c) f (x) = -2x2 + 7x – 9
d) f (x) = -9x2 + 6x – 1
e) f (x) = 6x2 + 17x + 5
f) f (x) = 25x2 – 20x + 4
g) f (x) = 3x2 – 8x + 10
h) f (x) = x2 + 4
i) f (x) = x2 + 2x – 2
13.4 Tableau de signes d’une fonction polynomiale
Les études de signes de ces fonctions font appel aux propriétés
suivantes:
(1) La factorisation
(2) l’étude du signe des facteurs simples :
ax + b
et
ax2 + bx + c
(3) La règle des signes:
Signe de A(x)
Signe de B(x)
Signe de A(x) · B(x) ou
+
+
A(x)
B(x)
Modèle 7 : Étudier le signe de f (x) = -2x(x2 – 2x – 3),
puis en déduire l’esquisse de la fonction
Fonction polynomiale:
2C – JtJ 2015
+
–
–
+
–
–
87
88
THÈME 13
Exercice 13.6:
Étudier le signe des fonctions suivantes puis en déduire
l’esquisse du graphique :
a) f (x) = (x + 1)(x – 4)(2 – x)
b) f (x) = (x – 9)(x – 3)(x + 2)
c) f (x) = (x – 7)(2x2 – 4x – 6)
d) f (x) = -x(x + 3)(x – 4)
e) f (x) = (x2 – x – 6)(x2 + 10x + 9) f) f (x) = (x + 1)3 (x – 5)2
13.5 Tableau de signes d’une fonction rationnelle
x −1
,
(5 − x)( x − 2)
puis en déduire l’esquisse de la fonction.
Modèle 8 : Étudier le signe de f (x) =
Fonction rationnelle:
x −1
,
2
x +4
puis en déduire l’esquisse de la fonction.
Modèle 9 : Étudier le signe de f (x) =
Fonction rationnelle:
2C – JtJ 2015
FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES
Exercice 13.7:
89
Déterminer ED, étudier le signe puis en déduire l’esquisse du
graphique de f (x)
3x 2 − 7x − 20
b) f (x) = 2
x + 4x − 12
x−3
a) f (x) = 2
x − 3x + 2
c) f (x) =
(x + 2)(x − 3)(x + 7)
x(x − 2)(x + 1)
d) f (x) =
− x(x 2 + 4x + 4)
x −1
e) f (x) =
− x 3 + x 2 + 6x
2
x +9
f) f (x) =
−3
2
x
13.6 De l’esquisse à la fonction:
En étudiant l’esquisse d’une fonction, on peut repérer ses zéros ainsi que ses
valeurs interdites. On peut alors imaginer de quelle fonction il peut s’agir.
La lecture de l’ordonnée à l’origine sur l’esquisse permet de confirmer ou de
corriger la fonction proposée.
Modèle 10 : En étudiant l’esquisse ci-dessous, deviner de quelle fonction il
peut s’agir.
y
De l’esquisse à la
fonction:
80
-5
2C – JtJ 2015
-2
4
x
90
THÈME 13
Modèle 11 : En étudiant l’esquisse ci-dessous, deviner de quelle fonction il
peut s’agir.
y
De l’esquisse à la
fonction:
3/5
-1
Exercice 13.8:
3
5
x
En étudiant les esquisses ci-dessous, deviner de quelles
fonctions il peut s’agir.
y
y
12
-2
-2
3
3
x
x
-6
a)
b)
y
-2
y
-2
1
1
x
-2
c)
-1/2
x
d)
2C – JtJ 2015
FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES
Exercice 13.9:
En étudiant les esquisses ci-dessous, deviner de quelles
fonctions il peut s’agir.
y
y
1
-2
x
1
-2
a)
b)
y
y
0
-2
4
-3
3
x
-4
2
-3/2
c)
x
-2
-6
2C – JtJ 2015
91
d)
x
92
THÈME 13
13.7 Pour aller un peu plus loin:
Ou comment utiliser les quelques informations que nous avons au sujet d’une
fonction afin d’en compléter l’esquisse.
x 3 + 8x 2 − 21x − 108
dont on
x 2 + 2x − 15
donne un début de l’esquisse. Compléter celle-ci pour que le
graphe corresponde bien à f (x).
Modèle 12 : On considère la fonction f (x) =
De l’esquisse à …
l’esquisse:
2C – JtJ 2015
FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES
Exercice 13.10:
Compléter les esquisses afin que le graphe corresponde bien aux
fonctions f (x) données.
a) f (x) =
x 3 − 9x 2 + 11x + 21
x2
b) f (x) =
c) f (x) =
2x 3 − x 2 − 25x − 12
2x 2 − 3x − 5
2C – JtJ 2015
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x+3
x − x − 16x + 16
3
2
94
THÈME 13
2x 3 − 11x 2 − 8x + 80
d) f (x) = 3
2x − 11x 2 + 16x − 7
2C – JtJ 2015
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95
96
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