TD n 7 Simulation d`examen

Myriam Bertrand
INSA - 2006/2007
T. D. no 7
Simulation d’examen
Exercice 1. On étudie l’influence d’un antibiotique sur une culture bactérienne. On
répartit dans 10 tubes des volumes égaux de culture additionnés d’une quantité X
d’antibiotique, et on mesure, après incubation, la densité optique D. Les résultats
sont les suivants.
X 0, 2 0, 2 0, 4 0, 4 0, 6 0, 6 0, 8 0, 8 1, 0 1, 0
D 19 21 35 38 64 66 115 130 200 210
a) Donner les principales statistiques descriptives (paramètres de position et de
dispersion) des deux séries d’observations, c’est-à-dire pour X puis pour D.
b) Tracer le nuage de points représentant le tableau de données.
c) Un ajustement linéaire semble-t-il justifié ? Que devez-vous calculer comme
coefficient pour argumenter votre réponse ?
d) En transformant une des deux variables avec une fonction adaptée, déterminer
une équation de la droite de régression des moindres carrés en précisant
quelles sont la variable explicative et la variable expliquée ?
e) Tracer dans le même graphique obtenu à la question c) cette droite.
f) Donner une prévision de D pour une quantité d’antibiotique X = 0, 5.
Exercice 2. Dans un grand magasin, des observations sur un grand nombre de jours
ouvrables au rayon des lecteurs DVD ont amené à faire l’hypothèse selon laquelle
le nombre de lecteurs DVD X vendus au cours d’un jour ouvrable quelconque suit
une certaine loi discrète. Les ventes sont supposées indépendantes.
a) Que proposez-vous comme loi ?
b) Supposons que vous avez trouvé cette loi, le paramètre qui lui est associé
vaut 5. Calculez la probabilité de chacun des événements suivants :
(i) la vente journalière de lecteurs DVD est au plus égale à 2 ou au moins
égale à 6,
(ii) la vente journalière de lecteurs DVD est au plus égale à 6, sachant
qu’elle est au moins égale à 2.
c) Donnez, en la JUSTIFIANT, la loi de la somme des ventes de deux jours
consécutifs.
d) Calculez la probabilité que la somme des ventes de deux jours consécutifs soit
égale à 10.
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Myriam Bertrand
INSA - 2006/2007
Exercice 3. Un appareil électronique est soumis à des impulsions séparées par des
intervalles de temps variables, indépendants les uns des autres. On suppose que la
durée Y (exprimée en secondes) séparant deux impulsions successives est une v.a.
définie ainsi :
Y = 2 + λX
où λ est une paramètre strictement positif et X une v.a. exponentielle de paramètre
1.
a) Déterminer la fonction de répartition de X puis de Y .
b) Calculer le moment d’ordre k de X puis de Y .
c) Déduire l’espérance et la variance de Y .
d) On suppose dans cette question que λ = 5. Calculer
(i) P[Y < 2]
(ii) P[2 ≤ Y ≤ 5].
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