Terminale ES Devoir à la maison n°7 : corrigé

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Devoir à la maison n°7 : corrigé
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Exercice 1 :
Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de
randonnée. Son matériel est constitué de 50 % de skis de piste, le reste étant également réparti entre
les snowboards et les skis de randonnée. Après la journée de location, le matériel est contrôlé et
éventuellement réparé.
Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des skis de
randonnée nécessitent une réparation.
Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi. On tire
au hasard une fiche. On considère les évènements suivants :
A = « La fiche est celle d'une paire de skis de piste » ;
B = « La fiche est celle d'un snowboard » ;
C = « La fiche est celle d'une paire de skis de randonnée » ;
D = « Le matériel nécessite une réparation » ; D est son évènement contraire.
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune
explication).
2. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une
réparation.
1
P(A∩ D ) =
4
3. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation.
1 1
3 25
P( D ) = P(A ∩ D ) + P(B ∩ D ) + P(C ∩ D ) = +
+ =
4 12 16 48
4. La fiche tirée concerne du matériel ayant nécessité une réparation. Quelle est la probabilité que
cette fiche concerne un snowboard ?
p(B ∩ D)
p(B ∩ D)
8
PD(B) =
=
=
p(D)
23
1 - p( D )
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Exercice 2:
L’objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : lim
x→+ oo
lnx
=0
x
Partie A - Étude d'une fonction
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ln x - x
2 - x
1. Calculer f '(x) et montrer que l’on a f '(x) =
2x
1
1
2 - x
f ‘(x) = (ln x - x )’ = –
=
2x
x 2 x
2. En déduire le tableau de variation de f sur ]0 ; +∞ [ (les limites aux bornes ne sont pas
demandées).
f ’(x) est du signe de 2 - x, donc nulle en x = 4 et positive pour x < 4
x 0
4
+∞
f'
+
−
f(x)
− 0,61
3. Justifier alors que, pour tout x de ]0 ; +∞[ on a : ln x < x
La fonction f(x) admet un maximum égal à -0,61 en x = 4 ce qui signifie que f(x) < 0 pour tout x.
Donc ln x - x < 0 soit ln x < x
Partie B - Utilisation des théorèmes de comparaison
lnx 1
1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : 0 <
<
x
x
ln x
x
ln x
1
ln x < x or pour x >1, lx > 0 donc 0 <
<
soit 0 <
<
x
x
x
x
1
lnx
2. Déterminer lim
. En déduire lim
x
x→+ oo
x→+ oo
x
1
lim
x = + ∞ donc par passage à l’inverse lim
= 0 alors les fonctions étant continues,
x→+ oo
x→+ oo
x
ln x
1
ln x
0 < lim
< lim
c'est-à-dire 0 < lim
<0
x
x
x→+ oo
x→+ oo
x→+ oo
x
ln x
=0
D’après le théorème d’encadrement (dit des gendarmes) lim
x
x→+ oo
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Exercice 3:
x – 3y = 2ln 2
1. Résoudre le système  x + y = 4ln 2

Une résolution par substitution (ou addition) donne x =
7ln 2
ln 2
et y =
2
2
ex + 3
1
ln 16
dx et J = ⌠
dx
⌡0
ex + 4
ex + 4
a. Calculer I – 3J et I + J.
x
ex + 3
1
e + 3 - 3 1 
ln
16
ln
16
ln
16

 dx
⌠
⌠
⌠
I – 3J = ⌡0
dx – 3 ⌡0
dx = ⌡0
x
x
e + 4 e + 4 
ex + 4
ex + 4
ex
ln
16
⌠0
I – 3J = ⌡
dx = ln(ex + 4) ln0 16 = 2 ln 2
ex + 4
ex + 3
1
ln
16
⌠0
⌠0ln 16 x
⌠0ln 16 1 dx = [x] ln0 16 = ln 16 = 4 ln 2
I+J=⌡
dx + ⌡
dx = ⌡
ex + 4
e +4
En déduire les valeurs exactes de I et J.
x
1
ln 2
ln 16 e + 3dx = 7ln 2 et J = ⌠ ln 16
D’après la question 1, I = ⌠
dx
=
x
x
⌡0
⌡
0
e +4
2
e +4
2
ln 16
2. On pose I =⌠
⌡0
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