215.05- COURS- FORMULE DE AL KAHSI
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215.05- COURS- FORMULE DE AL KAHSI
http://ducros.prof.free.fr Secteur BACPRO 3 Ans - Première Géométrie Leçon 05 : Les Relations d’Al Kashi Les objectifs de cette petite leçon sont simples : Etre capable d’appliquer les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, Etre capable d’appliquer les relations trigonométriques dans le triangle quelconque, Etre capable d’utiliser les formules d’addition et de multiplication. 1- Calculs dans le triangle rectangle Activité N°1 : Rappeler les formules trigonométriques donnant le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle CAB. Les formules sont : AB BC AC sin B BC AC tan B AB cos B Activité N°2 : Résoudre les deux problèmes suivants : On a sin 20° = x÷5 donc x = 1,71 On a tan 70 = y÷3 donc y = 8,24 Activité N°3 : Calculer la distance la plus courte d’un point à une droite. On crée un triangle ABH (H projeté orthogonal de A sur (D) et B le point d’intersection et on applique les formules trigonométriques : Sin 17 = AH ÷ 25 Donc AH = 7,31 2- Calculs dans le triangle quelconque Activité N°4 : Aire d’un triangle quelconque On connaît l’aire d’un triangle ABC qui vaut A = ½ × base × hauteur soit A = ½ × b × h Or ici on vous demande d’exprimer h en fonction de l’angle BAC et de la longueur c. Sin BAC = h÷c h = c× sin BAC 215.05- Les Relations d’Al Kashi COURS 1-3 http://ducros.prof.free.fr Secteur BACPRO 3 Ans - Première On peut alors donner une nouvelle formule pour l’aire : A 1 bc sin Aˆ 2 On pourrait aussi montrer que : A 1 ac sin Bˆ 2 A 1 ab sin Cˆ 2 Théorème : L’aire d’un triangle quelconque est égale au demi-produit des deux côtés par le sinus de leur angle Activité N°5 : On a : A = ½ × AB × BC× sin B Soit : A = 15,43 Démonstration : Relation entre les côtés et le sinus de l’angle opposé On connaît la formule qui donne l’aire du triangle ABC : A = ½ ac sin B = ½ bc sin A On en déduit donc que : ac sin B = bc sin A Puis on simplifie par c et on en arrive a : a sin B = b sin A Ce résultat est celui d’un produit en croix qui nous permet d’écrire : a sin Aˆ b sin Bˆ Ce qui se généralise par la formule bien connue : a sin Aˆ b sin Bˆ c sin Cˆ Théorème : Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés. Activité N°6 : On a la formule précédente qui nous permet d’écrire la relation : 20 sin 65 sin Cˆ 35 On en déduit alors : C = 31,2 ° Puis en utilisant la somme des angles d’un traingle on en déduit : B = 83,8° 215.05- Les Relations d’Al Kashi COURS 2-3 http://ducros.prof.free.fr Secteur BACPRO 3 Ans - Première Démonstration : Relation entre les côtés et le cosinus de l’angle opposé Dans BHC, on a : BC² = BH² + HC² Et BH = AB – AH BH² = (AB – AH)² D’ou BC² = (AB – AH)² + HC² BC = AB² + AH² - 2×AB×AH Or on vient de démontrer que : cos A AH AC donc AH = AC × cos A d’où BC = AB² + AC² + 2×AB×AC×cos A En utilisant les longueurs des côtés du triangle on en arrive aux Formules d’Al Kashi pour le triangle quelconque : a² = b² + c² - 2 bc × cos A b² = a² + c² - 2 ac × cos B c² = a² + b² - 2 ab × cos C Théorème : Dans un triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminué de leur double produit par le cosinus de leur angle. Activité N°7 : En calculant les angles en degrés et en utilisant les formule d’Al Kashi, on en arrive à : OB² = OA² + AB² - 2× OA × OB × cos OAB OB² = 63,17 OB = 7,95 215.05- Les Relations d’Al Kashi COURS 3-3