2.Hydraulique [Mode de compatibilité]

Ecoulement en régime permanent
Hydraulique des sols
uw = 0 (référence atm.)
uw = γwH
Documents pédagogiques internes au Mastère TOS
Hypothèse : squelette du sol indéformable
écoulement
sol
Rm: Cette hypothèse sera levée
Roche imperméable
Références:
Exemple d’écoulement souterrain – cas d’un barrage
F. Shlosser, 1988. Elements de mécanique des sols. Presse
ENPC.
L’eau a tendances de s’écouler:
• de fortes vers faibles pressions (i.e. dans le sens du −∇
∇uw or −∇
∇u)
B. Das, 1985. Advanced soils mechanics. McGraw Hill
• dans le sens de la gravité (g)
1
Ecoulement en régime permanent
Quand les deux co-existent 2
Ecoulement en régime permanent
Exemple d’écoulement souterrain – cas d’une excavation
3
Exemple d’écoulement souterrain – cas d’un tunnel
4
1
Exemple –Systèmes de barrières
Exemple : écoulement entrainant les polluants
couverture
Documents pédagogiques internes au Mastère TOS
Système primaire de
collection de lixiviat
Rivière
polluée
déchets
nappe
Lac
v
Contaminant
aquifère
Nappe phréatique
5
6
Charge hydraulique
Ecoulement en régime permanent
Exemple 1
Loi de Darcy - Définition de charge hydraulique
1m
2m
Nappe
X
5m
P
1m
Référence
P
z(P)
Calcul de la charge hydraulique
Référence
Calcul de la charge hydraulique aux points P et X
Charge totale:
h( P ) =
u w (P )
γw
z (P ) = 1 m
+ z (P )
uw(P)/γw = contribution de la pression d’eau
z(P)
= contribution due à la gravité
7
z( X ) = 4 m
u w (P ) = 4γ w
u w ( X ) = 1γ w
h(P ) = 4γ w γ w + 1 = 5 m
h( X ) = 1γ w γ w + 4 = 5 m
8
2
Charge hydraulique
Loi de Darcy
Example 2
Expérience de Darcy
1m
Nappe
2m
Référence
∆h
X
5m
Documents pédagogiques internes au Mastère TOS
1m
P
Echantillon
de Sol
Calcul de la charge hydraulique
h(P ) = 4γ w γ w − 4 = 0 m
∆L
h( X ) = 1γ w γ w − 1 = 0 m
Aire de la section, A
Darcy avait trouvé que le débit Q (m3/s):
∝ difference de charge ∆h
∝ aire de la section A
La charge hydraulique est-elle constante dans la zone saturateé ?
∝ 1/∆L
9
Loi de Darcy
10
Loi de Darcy
∆h
∆h
Darcy conclut que:
∆h
Q = kA
∆L
Echantillo
n de Sol
Q = kiA
Echantillo
n de Sol
(m3/s)
∆L
Q
= ki
A
∆L
Aire de la section, A
Expérience de Darcy
La vitesse v est appellée vitesse apparente (en fait un flux),
la “vraie” vitesse est :
L’équation de Darcy peut se mettre sous forme de:
ou
v=
Aire de la section, A
où k est le coefficient de permeabilité (m/s).
Q = ki A
ou
vs nA = vA
v=ki
∴ vs =
v
n
Surface totale de la section = A
i = ∆h ∆L
est le gradient hydraulique
v=Q A
est la vitesse de Darcy ou vitesse de filtration
n est la porosité du sol
11
Surface effective = nA
12
3
Loi de Darcy
Loi de Darcy
Mesure de la Permeabilité
(a) Perméamèter à charge constante
Mesure de la Permeabilité
(b) Perméamèter à charge variable
On observe que:
Dans un intervalle de temps ∆t,
Documents pédagogiques internes au Mastère TOS
Piston pour comprimer sol
Constant
head
device
Q=
∆h
∆h
V
= kA
T
∆L
Tube à section
donstante a
−a
Débit dans le tube =
V = volume écoulé
∆L
Sol
Volume V
h1
T = durée nécessaire
h
∆L
Il vient donc,
k=
V∆L
∆hAT
Soil
Sample,
area A
Débit dans l’échantillon = kA
h2
14
Loi de Darcy
Loi de Darcy
Continuité donne:
−a
Measure in situ de la Permeabilité – essais de pompage
dh
h
= kA
dt
∆L
r2
Puit
d’observation 2
Puit
d’observation 1
r1
Solution :
Tube à section
donstante a
h
∆L
Datum
13
Mesure de la Permeabilité
(b) Perméamèter à charge variable
∆h
∆t
− a ln h =
qz
Puit de
Pompage
Nappe initiale
d
kA
t + constant
∆L
h1
h
∆L
Soil
Sample,
area A
h2
Et que:
H
t = t1 , h = h 1
Aquifère non
confinée, sans fuite
t = t2 , h = h 2
h2
Datum
k=
h1
h
r
a∆L ln (h1 h2 )
A(t 2 − t1 )
15
16
4
Perméabilité
Loi de Darcy
Measure in situ de la Permeabilité – essais de pompage
Valeurs typiques
Loi de Darcy:
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qz = 2πrzk
dz
dr
qz = taux de pompage (m3/s)
10-1
10-2
Graviers
10-3 10-4
10-5
10-6
∫
r2
r1
10-9 10-10 10-11
10-12
cm/s
Argiles homogènes
Argiles fissurées
h2
dr
= 2kπ zdz
r
h1
∫
Taille des grains peut varier de 3-4 ordres de grandeurs
Permeabilité peut varier de 10 ordres de grandeurs (échelle
log)
De sorte que:
k=
10-8
Limons
Sables
Integration:
qz
10-7
qz ln (r2 r1 )
π h22 − h12
(
)
Permeabilité (m/s)
17
18
Effets d’écoulement sur les contraintes
Cas d’un écoulement descendant
Effets d’écoulement sur les contraintes
Cas de l’absence d’écoulement
∆h
h
Soil
X
h
Unit weight of soil = γsat
Unit weight of water = γw
Soil
z
z
X
iγw= force volumique due à l’écoulement
X
X
Au niveau X-X:
Au niveau X-X:
Unit weight of soil = γsat
Unit weight of water = γw
σ = γ w h + γ sat z
u = γ w (h + z )
Contrainte totale
γ ′ = γ sat − γ w
Contrainte totale
Pression d’eau
σ ′ = σ − u = (γ sat − γ w )z + γ w ∆h
= [(γ sat − γ w ) + γ w (∆h z )]z
= (γ ′ + iγ w )z
Pression d’eau
σ ′ = σ − u = (γ sat − γ w )z = γ ′z
σ = γ w h + γ sat z
u = γ w (h + z − ∆h )
Contrainte effective
γ ′ + iγ w
Poids volumique déjaugé
Contrainte effective
Poids effectif = poids déjaugé + iγw
Ainsi le poids effectif est augmenté par iγw. !
19
La pression effective est augmentée par iγwz = γw∆h. !
20
5
Effets d’écoulement sur les contraintes
Cas d’un écoulement montant
Condition de boulance
∆h
Cas d’un écoulement ascendant:
h
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X
iγw= force volumique due à l’écoulement
X
Au niveau X-X:
σ ′ = (γ ′ − iγ w )z
Unit weight of soil = γsat
Unit weight of water = γw
La condition critique est atteinte lorsque:
0 = (γ ′ − ic γ w )z
σ = γ w h + γ sat z
Contrainte totale
u = γ w (h + z + ∆h )
Pression d’eau
ic =
γ ′ − iγ w
Lorsque cette condition est atteinte, le sol devient instable.
Il perd totalement sa résistance au cisaillement (donc de portance à
des fondation), et se comporte comme un liquide
Poids effectif = poids déjaugé - iγw
Ainsi le poids effectif est diminué par iγw. !
La pression effective est diminuée par iγwz = γw∆h. !
γ′
γw
ic : gradient hydraulique critique
σ ′ = σ − u = (γ sat − γ w )z − γ w h
Contrainte effective
= [(γ sat − γ w ) − γ w (∆h z )]z
= (γ ′ − iγ w )z
21
22
Ecoulement 1D
Ecoulement 1D
Sol stratifié – écoulement orthogonal (cas idéalisé)
Sol stratifié – écoulement parallèle (cas idéalisé)
z
z
Qi
di
d=
∑d
Q=
∑Q
i
d=
i
∑d
Q1
d1
∑ Q =∑ k id
i
i
Q kid
=
v= =
d
d
∑ k id
∑k d
k=
i i
i
d
v = vi = k i ii
i
∴ transmitivities sont additive.
i
di,, ∆hi
v
d1,, ∆h1
v
i
x
x
Q=
Effective stress
z
Soil
Permeabilité effective ou équivalente k
dans le cas d’un écoulement parallèle dans
un sol stratifié = moyenne arithmetique
pondérée des permeabilités des couches.
d
∆hi = ii d i =
v=k
d
=
k
23
∆h
d
∑k
∴ résisitivités sont additives
vd i
ki
∆h =
di
i
k=
Permeabilité effective ou équivalente k
dans le cas d’un écoulement orthogonal
dans un sol stratifié = moyenne
harmonique des permeabilités des
couches
vd
k
d
∑d
i
ki
24
6
Ecoulement 3D : cas général
Ecoulement 2D
Loi de Darcy généralisé au cas 3D général
est le champ vectoriel de vitesse de Darcy
Documents pédagogiques internes au Mastère TOS
est le gradient hydraulique
z
écoulement
sol
est le champ de pression hydraulique hétérogène
x
Signe “−” : écoulement des lieux de forte charge vers des lieux de faible charge
Roche imperméable
Rappel :
Dans tout se qui suit, l’écoulement est supposé 2D (écoulement plan), la
composante suivant l’axe y étant supposée nulle. Ceci permet de simplifier la
présentation dans un cadre pédagogique. La généralisation au cas 3D est trivial.
Cas d’un sol isotrope: la perméabilité k est un scalaire
Cas d’un sol anisotrope: la perméabilité k est un tenseur d’ordre 2.
Dans le repère principal:
25
26
Ecoulement 2D
Ecoulement 2D
equation de continuité (conservation de la masse)
vz +
dz
vx
Equations principales
∂vz
dz
∂z
Élément de sol
vx +
∂v x ∂v z
+
=0
∂x
∂z
∂v x
dx
∂x
+
dx
v x = −k H
vz
Débit d’eau sortant =
=
∂v
∂v




 vx + x dx − vx dydz +  vz + z dz − v z dxdy
∂x
∂z




∂v x ∂vz
+
=0
∂x ∂z
Equation de continuité
∂h
∂x
v z = −kV
∂h
∂z
Darcy
⇓
 ∂vx ∂vz 
+

dxdydz
 ∂x ∂z 
∂  ∂h  ∂  ∂h 
kH
 +  kV
=0
∂x 
∂x  ∂z  ∂z 
Division par dxdydx conduit à (i.e. div(v)=0) :
div( v) =
Equation de continuité
27
Equation d’écoulement
28
7
Ecoulement 2D
Exemple 1. Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre à
charge constante
Cas général
∂  ∂h  ∂  ∂h 
=0
 kH
 +  kV
∂x 
∂x  ∂z  ∂z 
Equation d’écoulement
Les données issues d’un essai avec un perméamètre à
charge constante sont reportées dans le tableau ci-dessous.
Tracer le débit Q suivant le gradient hydraulique i puis
estimer la permeabilité initiale k. L’aire de la sectional de
l’échantillon = 8000 mm2
kH
Equation d’écoulement
∂ 2h
∂2h
+ kV 2 = 0
∂x 2
∂z
Pour matériaux homogènes
Cas de matériaux homogènes et isotropes (k=scalaire ne varie pas suivant (x,z))
∆h =
∂ 2h ∂ 2 h
=0
+
∂x 2 ∂z 2
Gradient hydraulique I
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Debit Q (cm3/s)
0
1.0
2.2
3.75
5.8
Laplace equation
29
Exemple 1. Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre
30
Example 2: Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre à
charge variable
7
6
Les données issues d’un essai avec un perméamètre à charge variable
sur un échantillon de sable limoneux sont reportées dans le tableau cidessous. Tracer une graphique de ln(h1/h) vs t et estimer la
permeabilité k au début et en fin de l’essai.
5
4
Q
Documents pédagogiques internes au Mastère TOS
Cas de materiaux homogènes (k ne varie pas suivant (x,z))
3
2
1
1
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
i
kA =
∴ k=
durée t depuis le début d’essai (s)
0
40
100
190
330
600
Hauteur d’eau dans le tube h (m)
1.0
0.85
0.70
0.55
0.40
0.25
sectional de l’échantillon, A = 8000 mm2
dQ
1
=
=5
di 0.2
Section du tube, a = 10 mm2
Longueur de l’échantillon ∆L = 200 mm
5
5
=
= 6.25 × 10 − 2 cm 2 / s
A 8000 × 10 − 2
31
32
8
Example 2: Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre à
charge variable
Après quelque ré-arrangement de l’équation pour la perméamètre à
charge variable:
1.6
1.4
100
ln(h 1/h )
1.2
Documents pédagogiques internes au Mastère TOS
Example 2: Interprétation des résultats d’essai d’un
perméamètre à charge variable
k=
0.12
1
0.8
a∆L ln (h1 h )
A
t
116
0.6
0.5
0.4
où ln(h1/h)/t est la pente de la courbe.
0.2
0
0
100
200
300
400
500
600
Perméabilité initiale :
700
t (sec)
k=
Analyse des données:
durée t depuis le début d’essai (s)
0
40
100
190
330
600
h1/h
1
1.176
1.429
1.819
2.5
4
ln(h1/h)
0
0.163
0.357
0.598
0.916
1.386
k=
Ecoulement 2D : lignes de courant et équi-potentiels
Hyp: matériau homogène et isotrope, perméabilité k est un scalaire constant
116
(0.1)(20) (0.12) = 3.0 × 10 −5 cm/s
80
100
34
Ecoulement 2D : lignes de courant et équipotentiels
Un exemple des « flow net »
Non saturé au dessus de la nappe
ϕ est la fonction potentielle, qui vérifie l’équation de Laplace
eau
Définir la fonction de courant ψ par:
De plus, sur une ligne où ψ est constant:
80
Permeabilité finale :
33
On a:
(0.1)(20) (0.5) = 1.07 × 10 −4 cm/s
Tapis drainant
donc:
Il vient donc:
Ligne de courant
ψ=cst
Equipotentiel
Les lignes:
définissent donc une famille de courbes tangente à la vitesse
d’écoulement, et sont perpendiculaires au réseau des équipotentiels
35
ϕ=cst
• Méthode graphique appelée à disparaître avec l’avancement des outils
informatiques
• Détermination du potentiel h (donc du champ de pression uw) nécessite la
résolution d’un problème aux limites défini par l’équation de Laplace, plus les
conditions aux limites
• Le problème peut être formulé soit avec h, soit avec uw
36
9
Conditions aux limites typiques
Conditions aux limites typiques
Interface sol-matériau imperméable (eg. Fond argileux par
rapport à un sol sableux sus-jacent)
Interface sol-eau
Interface sol-eau
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v
Dans le sol h =
uw
γw
+z
n
Dans la masse d’eau u w = γ w (H − z )
La pression d’eau est continue à l’interface, on en déduit donc:
h=
(H − z )γ w
γw
+z=H
L’eau ne peut pas entrer dans le milieu imperméable, la vitesse doit donc
être parallèle à l’interface (ou orthogonal à la normale sortante). Autrement
dit, l’interface doit correspondre à une ligne de courant.
i.e. a constant
Ainsi, à l’interface sol-eau, la charge hydraulique est constante !
Conditions aux limites typiques
L
A
B
D
C
H
z
F
E
10