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PSI/MP 2008/2009 DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST Lycée Paul Valéry Pour l’étude fréquentielle des systèmes asservis, nous utilisons déjà les diagrammes de Bode de gain et de Phase. Deux autres diagrammes sont souvent utilisés pour étudier la stabilité des systèmes asservis linéaires : • le diagramme de Black • le diagramme de Nyquist L’objectif de ce cours est de savoir tracer le diagramme de Black et savoir lire le diagramme de Nyquist d’un système quelconque dans le but d’étudier sa stabilité. I. ETUDE FREQUENTIELLE : RAPPEL Le système étudié à une fonction transfert H ( p ) quelconque. Il est soumis à une sollicitation (entrée) sinusoîdale. La réponse de ce système linéaire est aussi sinusoïdale de même pulsation que l’entrée mais elle est déphasée et son amplitude est différente. eo différence d'amplitude so s(t) t O e(t) H ( j.ω ) est la fonction transfert complexe du système : s • de module AdB(w)= 20. log H ( jω ) = 20. log 0 qui est le gain en décibel du système. e0 • d’argument Arg(H(jw))= ϕ qui est la phase du système. Conclusion : L’étude de la fonction de transfert harmonique en fonction de la pulsation ω permet de déterminer l’amplitude et la phase de la réponse harmonique du système. On utilisera pour cela les lieux de transfert qui sont des représentations graphiques du gain s0 et de la phase ϕ . e0 Nous étudierons les diagramme de Black et de Nyquist des systèmes du premier ordre et du second ordre. II. DIAGRAMME DE BLACK 1. Définition Le diagramme de Black est le tracé du gain FBK AdB (ω ) en fonction de la phase ϕ (ω ) . 1/6 PSI/MP 2008/2009 DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST Lycée Paul Valéry 2. Système du premier ordre Soit un système du premier ordre de fonction transfert : E(p) K 1+τ.p S(p) Système du premier ordre Le tracé du diagramme de Black se fait à partir du diagramme de Bode de gain et de phase. Diagrammes de Bode Diagramme de Black Gain Phase FBK 2/6 PSI/MP 2008/2009 DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST Lycée Paul Valéry 3. Système du deuxième ordre Soit un système du second ordre de fonction transfert : E(p) S(p) K 1+ 2z ω0 .p + p ω02 système du second ordre Le tracé du diagramme de Black se fait à partir du diagramme de Bode de gain et de phase. Diagrammes de Bode Diagramme de Black Gain Phase FBK 3/6 PSI/MP 2008/2009 III. DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST Lycée Paul Valéry DIAGRAMME DE NYQUIST 1. Définition Le diagramme de Nyquist est le tracé de la partie Im de la fonction transfert complexe en fonction de la partie Re de la fonction transfert complexe H ( j.ω ) . Diagramme de Nyquist : 2. Système du premier ordre Soit un système du premier ordre de fonction transfert : E(p) K 1+τ.p S(p) Système du premier ordre Calcul des parties réelles et imaginaires de FBK H ( j.ω ) : 4/6 PSI/MP 2008/2009 DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST Lycée Paul Valéry Tracé du diagramme de Nyquist : Evolution pour K=1 puis 5 puis 10 IMAG 1 0 K=1 -1 -2 K=5 -3 -4 K=10 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 REEL Transformation : 4. Système du deuxième ordre Soit un système du second ordre de fonction transfert : E(p) S(p) K 1+ 2z ω0 .p + p ω02 système du second ordre FBK 5/6 PSI/MP 2008/2009 DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST Tracé du diagramme de Nyquist pour ω 0 = 1 rad/s , z = Lycée Paul Valéry 1 , K = 1 puis 5 puis 10 : 2 IMAG 2 -1 0 K=1 -2 -4 K=5 -6 -8 K=10 -10 -12 -4 -2 0 2 4 6 8 10 REEL Transformation : Tracé du diagramme de Nyquist pour ω 0 = 1 rad/s , K = 1 , z = 1 1 puis z = puis z = 2,5 puis z = 5 4 2 IMAG 0.5 -1 0.0 z=5 -0.5 z=2,5 -1.0 z=0,5 -1.5 z=0,25 -2.0 -2.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 REEL FBK 6/6