TS spécialité DS n° 1 Divisibilité – Division euclidienne

TS spécialité
DS n° 1
Divisibilité – Division euclidienne
Congruences
08 Octobre 2010
Remarques :
L’usage de la calculatrice est autorisé.
La rédaction devra être claire et précise et entrera pour une part importante dans la notation du devoir.
Durée du devoir : 1 heure
Exercice 1 : Restitution organisée de connaissances :
(4 points)
Exercice 2 :
(4 points)
Exercice 3 :
(6 points)
Question 1 : (ROC)
Soit a, b, c, u et v des entiers. Montrer que si a divise b et a divise c alors a divise bu + cv.
Question 2 :
Soit a et b deux entiers. Montrer que si 3 divise a 3 +b3 alors 3 divise (a+b)3 .
Le reste de la division euclidienne de a par 11 est 8, celui de b par 11 est 2.
Quel est le reste de la division euclidienne des nombres a + b, ab et a2 par 11 ?
1.
a) Montrer que , pour n ∈ IN , 23 n – 1 est un multiple de 7
b) En déduire que 23 n
+1
– 2 et 23 n + 2 – 4 sont des multiples de 7
2.
En déduire les restes de la division par 7 des puissances de 2.
3.
Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de 214 607.
Exercice 4 :
(6 points)
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie (V) ou fausse (F) et donner une
démonstration de la réponse choisie.
1. Soit n un entier naturel. A = 5
2. a est un entier relatif.
2n
− ( −23) n est divisible par 24.
Si a ≡ 0 [4 ], alors a ≡ 0 [2 ] .
3. Si un entier x est un entier relatif solution de x
2
+ x ≡ 0(mod 6) , alors x ≡0(mod3)
4. Soit n un entier naturel. Il existe exactement deux valeurs de n pour lesquelles A = 4n − 1 est un entier
n +1
relatif.
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DS n° 1
Correction
Divisibilité – Division euclidienne
Congruences
Exercice 1 : Restitution organisée de connaissances :
Question 1 : (ROC)
Voir cours.
Question 2 :
Soit a et b deux entiers. Si 3 divise a 3 +b3 alors il existe un entier k tel que a 3 +b3 = 3k.
(4 points)
De plus :
( a + b ) 3 = a 3 + 3a²b + 3ab² + b 3 = a 3 + b 3 + 3( a²b + ab²)
= 3k + 3( a²b + ab²) = 3( k + a²b + ab²)
avec
k + a²b + ab² ∈ Z
Donc si 3 divise a +b alors 3 divise (a + b) .
3
3
3
Exercice 2 :
Le reste de la division euclidienne de a par 11 est 8, celui de b par 11 est 2.
Donc il existe deux entiers q et k tels que a = 11q + 8 et b = 11k + 2.
Calculons a+ b : a + b = 11(q + k) + 10
avec 0 ≤ 10 < 11
Le reste de la division euclidienne du nombre a + b par 11 vaut donc 10.
Calculons ab : ab = 11(qk + 2q + 8k) + 16 = 11(qk + 2q + 8k + 1 ) + 5
avec 0 ≤ 5 < 11
Le reste de la division euclidienne du nombre ab par 11 vaut donc 5.
Calculons a² : a² = 11(11q² + 16q) + 64 = 11(11q²+ 16q + 5 ) + 9
avec 0 ≤ 9 < 11
Le reste de la division euclidienne du nombre a² par 11 vaut donc 9.
Exercice 3 :
1°) a) Montrer que , pour n ∈ IN , 2
3 n
– 1 est un multiple de 7
(4 points)
(6 points)
23 ≡ 1 modulo 7 donc (23)n ≡ 1n modulo 7 donc 23 n – 1 ≡ 0 modulo 7 donc 23 n – 1 est divisible
par 7.
ème
2
Méthode : Ou bien par récurrence :
Initialisation :
pour n = 0
23 (0) – 1 = 0 et 0 est bien divisible par 7.
Donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : On suppose que pour un entier naturel n donné 23 n – 1 est un multiple de 7
(c'est-à-dire : 23 n – 1 = 7k avec k entier).
On veut démontrer que 23 (n+1) – 1 est aussi un multiple de 7
23 (n+1) – 1 = 23n+3 – 1 = 8(23n) – 1 = 7(23 n ) + 23 n – 1 = 7(23 n ) + 7k par hypothèse de
récurrence.
23 (n+1) – 1 = 7(23 n +k) avec 23 n +k entier
Par conséquent 23 (n+1) – 1 est aussi divisible par 7 et la propriété est héréditaire.
Conclusion : pour n ∈ IN , 23 n – 1 est un multiple de 7
1ère Méthode :
b) en déduire que 23 n
+1
– 2 et 23 n + 2 – 4
sont des multiples de 7
23 n ≡ 1 modulo 7 donc 23 n × 2 ≡ 1 × 2 modulo 7 donc 23 n + 1 – 2 ≡ 0 modulo 7 donc 23 n + 1 – 2 divisible par 7
23 n ≡ 1 modulo 7 donc 23 n × 4 ≡ 1 × 4 modulo 7 donc 23 n + 2 – 4 ≡ 0 modulo 7 donc 23 n + 2 – 4 divisible par 7
2°) En déduire les restes de la division par 7 des puissances de 2
si p = 3 n alors 2p ≡ 1 modulo 7 (question 1a)
si p = 3 n + 1 alors 2p + 1≡ 2 modulo 7 (question 1b)
si p = 3 n + 2 alors 2p +2 ≡ 4 modulo 7 (question 1b)
Donc les reste possibles de 2p sont 1, 2 ou 4.
3° Déterminer le reste de la division par 7 de 214 607.
14 607 = 3 × 4869 donc 214 607 = (23)4 869
23 ≡ 1 modulo 7 donc (23)4 869 ≡ 14 869 ≡ 1 modulo 7.
Le reste de la division de 214 607 par 7 est donc égal à 1.
Exercice 4 :
1. Soit n un entier naturel.
(6 points)
A = 52 n − ( −23) n est divisible par 24
52n = (5²)n = 25n or 25 ≡ 1 [24] donc 52n ≡ 1n [24]
De même : -23 ≡ 1 [24]
donc
(-23)n ≡ 1 [24]
Ainsi : A ≡ 0 [24]
A est donc divisible par 24.
2. a est un entier relatif.
donc
: VRAI
52n ≡ 1 [24]
Si a ≡ 0 [4 ], alors a ≡ 0 [2 ] : VRAI
Si a ≡ 0 [4 ] alors a est divisible par 4 et s’écrit donc 4k avec k entier. L’entier a s’écrit donc 2(2k) avec
k entier donc a est divisible par 2 et a ≡ 0 [2 ]
3. Si un entier x est un entier relatif solution de x 2 +x ≡0(mod 6) , alors x ≡0(mod3) :
On peut donner un contre-exemple : x = 2.
x² + x = 2² + 2 = 6 et donc dans ce cas :
x 2 + x ≡ 0(mod6)
et
FAUX
x ≡ 2(mod3)
4. n désigne un entier naturel non nul. Il existe exactement deux valeurs de n pour lesquelles
est un entier relatif : VRAI
A est un entier relatif si et seulement si (n + 1) divise (4n – 1)
¾ Si n+1 divise 4n–1 alors, comme n+1 divise n+1,
n+1 divise 4(n+1)–(4n–1)
divise 5
∈{1;5} d’où n = 0 ou n = 4
¾ Réciproquement, si n = 0 alors A= −1=−1 et si n = 4, alors A=16−1=3 .
1
4+1
Donc n + 1
Dans les deux cas A est un entier relatif.
soit
A= 4n−1
n+1
n+1