Corrigé Exercice 1 : RÉGULATION DE NIVEAU D`EAU.

TD 04 corrigé - Représentation des SLCI (FT + schémas blocs) - SLCI asservis
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Corrigé Exercice 1 : RÉGULATION DE NIVEAU D’EAU.
Question 1 : Appliquer, pour chacun des modèles de connaissance des constituants du système, la
transformation de Laplace. Puis indiquer sa fonction de transfert, et enfin en déduire son
schéma-bloc.
Composant
Moteur
Relation temporelle
.
d m (t )
dt
 m (t )  Km .um (t )
Réducteur
v (t )  r .m (t )
Vanne
qe (t )  Kv .v (t )
Relation dans le domaine de
Laplace + fonction de transfert
.p.m ( p)  m ( p)  Km .Um ( p)
m ( p).(1  .p)  Km .Um ( p)
m ( p )
Km

Um ( p) 1  .p
v ( p)  r .m ( p)
v ( p)
r
m ( p )
Qe ( p)  Kv .v ( p)
Qe ( p)
v ( p )
qe (t )  qs (t )  S.
Réservoir
dh(t )
dt
Qe ( p)  Qs ( p)  S.p.H( p)
Umes ( p)
H ( p)
(t )  uc (t )  umes (t )
um (t )  A.(t )
Um ( p)
A
 m (p)
Um ( p )
Uc ( p)  Umes ( p)
 v (p)
r
 v (p)
Q e (p)
Kv
Q e (p)
+
H(p)
1
S.p
-
Q s (p)
H(p)
Uc (p)
A
Umes (p)
a
a
 Uc ( p)  Umes ( p)
 m (p)
Km
1  .p
H ( p)
1

Qe ( p)  Qs ( p) S.p
umes (t )  a.h(t )
Régulateur
(comparateur
+ correcteur)
Um (p)
 Kv
Umes ( p)  a.H( p)
Limnimètre
(capteur)
Schéma-bloc
(p)
+
A
-
Um (p)
Umes (p)
Le modèle de connaissance du potentiomètre (interface H/M) n'est jamais donné dans les sujets de
concours, il faut donc être capable de le retrouver !
Question 2 : Donner cette relation entre hc (t ) et uc (t ) qui assure que (t ) soit bien une image de l’erreur
du niveau d’eau. En déduire le schéma-bloc correspondant au potentiomètre.
Pour que ( p) soit l’image de l’erreur, il faut que ( p) soit proportionnelle à l'erreur : ( p)  K.Er ( p)  K. Hc ( p)  H( p)
Or ici,
( p)  Uc ( p)  Umes ( p)
( p)  Finterface H / M ( p).Hc ( p)  Fcapteur ( p).H( p)
Donc la seule possibilité de vérifier que ( p) soit l’image de l’erreur, est que Fint erface H /M ( p)  Fcapteur ( p)  K  Cte .
Le capteur qui mesure la grandeur physique en sortie, et l’interface H/M qui traduit la consigne en entrée
doivent impérativement :
produire une image de même nature (en général une tension électrique) ;
et aussi utiliser le même coefficient de proportionnalité…
Ainsi ( p)  K. Hc ( p)  H( p)  K.Er ( p)
Dans cet exercice, K vaut a.
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Composant
Relation temporelle
Potentiomètre
(interface H/M)
uc (t )  a.hc (t )
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Relation dans le domaine de
Laplace + fonction de transfert
Schéma-bloc
Uc ( p)  a.Hc ( p)
Uc ( p )
Hc ( p )
Hc (p)
Uc (p)
a
a
La relation entre vitesse angulaire m (t ) et position angulaire m (t ) du moteur, n'est aussi jamais donnée
dans les sujets de concours, il faut donc la connaître.
Question 1 : Donner donc en précisant les unités, cette relation temporelle générale qui lie vitesse et
position. En déduire le schéma-bloc qui passe de m ( p) à m ( p)
La vitesse instantanée linéaire est la dérivée de la position linéaire : v (t ) 
dx(t )
.
dt
De même, la vitesse instantanée angulaire est la dérivée de la position angulaire : m (t ) 
d m (t )
dt
.
Avec m (t ) en rad, et m (t ) en rad/s.
Composant
Relation dans le domaine de
Laplace + fonction de transfert
Relation temporelle
Intégrateur
(composant
"virtuel")
m (t ) 
m ( p)  p.m ( p)
m ( p ) 1

m ( p ) p
d m (t )
dt
Schéma-bloc
 m (p)
 m (p)
1
p
Ce bloc est appelé intégrateur car la vitesse angulaire est intégrée en position angulaire…
Question 2 : Donner la variable d’entrée et la variable de sortie du système. Puis, représenter le schémabloc du système entier en précisant le nom des constituants sous les blocs, ainsi que les flux
d’énergie ou d’information entre les blocs.
Variable d'entrée (consigne) : hc (t )
Variable de sortie à asservir : h(t )
Q s (p)
Hc (p)
a
Uc (p)
potentiomètre
(p)
+
-
A
Um (p)
correcteur
Km
1  .p
 m (p)
moteur
1
p
 m (p )
 v (p )
r
Kv
réducteur
vanne
Q e (p )
intégrateur
-
1
S.p
+
réservoir
Umes (p)
a
capteur
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H(p)
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Question 3 : Déterminer les fonctions de transfert F1( p) 
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H ( p)
H ( p)
et F2 ( p) 
.
Hc ( p) Q ( p )0
Qs ( p) H ( p )0
s
c
Si Qs ( p)  0 alors le schéma est similaire à :
Hc (p)
a
Uc (p)
potentiomètre
(p)
+
-
A
Um (p)
Km
1  .p
correcteur
 m (p)
moteur
1
p
 m (p )
 v (p )
r
Kv
réducteur
vanne
Q e (p )
intégrateur
1
S.p
1
H(p)
réservoir
Umes (p)
a
capteur
Km 1
1
. .r .Kv .1.
1  .p p
S.p
 a.
K
1
1
1  a.A. m . .r .Kv .1.
1  .p p
S.p
A.
H ( p)
Donc F1( p ) 
Hc ( p ) Q
s ( p )0
F1( p) 
A.Km .r .Kv
H ( p)
 a.
Hc ( p) Q ( p )0
(1  .p).p.S.p  a.A.K m .r .Kv
s
F1( p) 
a.A.Km .r .Kv
H ( p)

Hc ( p) Q ( p )0 S.p2  .S.p3  a.A.K .r .K
m
v
s
F1( p) 
H ( p)
Hc ( p) Q

H ( p)
Hc ( p) Q

s ( p )0
F1( p) 
s ( p )0
a.A.Km .r .Kv
a.A.K m .r .Kv
On multiplie le numérateur et le
dénominateur, par le dénominateur
du dénominateur…
1
S
.S
1
.p2 
.p3
a.A.Km .r .Kv
a.A.K m .r .Kv
1
1
S
.S
.p2 
.p 3
a.A.Km .r .Kv
a.A.Km .r .Kv
Ainsi si Qs ( p)  0 alors H( p)  F1( p).Hc ( p)
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Si Hc ( p)  0 alors le schéma est similaire à :
Q s (p)
(p)
1
A
Um (p)
correcteur
Km
1  .p
 m (p)
moteur
1
p
 m (p )
 v (p)
r
Kv
réducteur
vanne
Q e (p )
intégrateur
Umes (p)
-
1
S.p
+
H(p)
réservoir
a
capteur
Donc F2 ( p ) 
1
S.p

Km 1
1
1  a.( 1).A.
. .r .Kv .
1  .p p
S.p

H ( p)
Qs ( p ) H
c ( p ) 0
F2 ( p) 
H ( p)
(1  .p).p

Qs ( p) H ( p )0 (1  .p).p.S.p  a.A.K m .r .Kv
c
F2 ( p) 
H ( p)
Qs ( p) H

c ( p ) 0
F2 ( p) 
H ( p)
Qs ( p) H

H ( p)
Qs ( p) H

c ( p ) 0
F2 ( p) 
c ( p ) 0
On multiplie le numérateur et le
dénominateur, par le dénominateur
du dénominateur…
 p  .p2
S.p2  .S.p3  a.A.K m .r .Kv
p
.
a.A.K m .r .Kv
p
.
a.A.K m .r .Kv
1
1
.p2
p
S
.S
.p 2 
.p 3
a.A.K m .r .Kv
a.A.K m .r .Kv
1  .p
1
S
.S
.p2 
.p3
a.A.Km .r .Kv
a.A.K m .r .Kv
Ainsi si Hc ( p)  0 alors H( p)  F2 ( p).Qs ( p)
Question 4 : En déduire, à l’aide du théorème de superposition, l’expression de H( p)  f Hc ( p)  Qs ( p) .
Si les 2 entrées sont présentes en même temps, le théorème de superposition nous donne :
H( p)  F1( p).Hc ( p)  F2 ( p).Qs ( p)
En connaissant la nature (échelon, rampe…) et les caractéristiques (amplitude, pente…) des deux
entrées du système (consigne de niveau d’eau hC(t) et débit d’évacuation qS(t)), on pourrait repasser
dans le domaine temporel et connaître ainsi l’évolution du niveau d’eau h(t) dans le bassin en
fonction du temps…
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Corrigé Exercice 2 : PELLE HYDRAULIQUE.
Question 1 : Représenter le système asservi par un schéma-bloc. (Vous indiquerez le nom des
constituants dans les blocs, ainsi que les flux d’énergie ou d’information entre les blocs).
Consigne
de vitesse
Interface H/M
Vc (p)
Image de
la consigne
Uc (p)
+
Image
de
l’erreur
-
(p)
Correcteur
Tension de
pilotage
Ue (p)
Image mesurée
de la Sortie
Débit
Electrovanne
Q(p)
Vérin
Vitesse
du vérin
V(p)
Capteur
Umes (p)
Corrigé Exercice 3 : BANDEROLEUSE À PLATEAU TOURNANT.
Question 1 : Représenter le système asservi par un schéma-bloc. (Vous indiquerez le nom des éléments
constituants les blocs ainsi que les informations entre les blocs).
Consigne
de vitesse
Interface H/M
 c (p)
Image de
la consigne
Uc (p)
+
Image
Tension de
de
l’erreur Correcteur pilotage
-
(p)
(Amplificateur)
Um (p)
Image mesurée
de la Sortie
Moteur
Vitesse de
rotation du
moteur
m (p)
Réducteur
Vitesse de
rotation du
réducteur
r (p)
Génératrice tachymétrique
Umes (p)
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Exercice 2 : SIMPLIFICATION DE SCHÉMAS-BLOCS A BOUCLES
IMBRIQUÉES.
Système à boucles imbriquées A.
Question 1 : Donner l’expression de la transmittance H ( p) 
E
+-
A
+
S( p )
par réduction du schéma-bloc.
E ( p)
-
B
C
B.C
1  B.C
S
S
1
C
E
+-
A
1
C
B.C
1  B.C
1
B.C
1  .A.
C 1  B.C
A.
E
E
A.B.C
1  B.C  A.B
S
S
NB : Il est plus long de retrouver ce résultat par le calcul...
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Système à boucles imbriquées B.
Question 2 : Donner l’expression de la transmittance H ( p) 
S( p )
par réduction du schéma-bloc.
E ( p)
E
E
A
+
+
S
C
+
D
+
B
E
E
A
+
S
+
+
+
C
D
C
D
1
C
B
E
E
A
++
+
S
+
1
C
B
E
A
B
C
S
CD
1  CDE
Attention, ce sont des blocs en
parallèle, et non pas une boucle de
retour, donc il ne faut pas utiliser la
FTBF !
E
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B   CD 

 A  .

C   1  CDE 

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S
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Système à boucles imbriquées C.
Question 3 : Donner l’expression de la transmittance H ( p) 
S( p )
par réduction du schéma-bloc.
E ( p)
G
+
B+G
C
E
++
1
1  (B  G)
A
C
+
S
+
+
D
+
1
D
C
E
++
1
1  1(B BG)
A
C
+
+
+
S
+
D
1
D
E
++
A
C
1
1  (B  G)
D
1  CD
S
1
D
E
E
MPSI-PCSI
A(C  1  B  G)D
(1  B  G)(1  CD)
1 A(C  1  B  G)D
1 .
D (1  B  G)(1  CD)
S
A(C  1  B  G)D
(1  B  G)(1  CD)  A(C  1  B  G)
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