Poker avec des dés ou avec des cartes

Poker avec des dés ou avec des cartes
Ceux qui étaient présent au dépannage de vendredi dernier se souviendront que j’ai été pris par surprise
par une question concernant le numéro 2.9.14 où l’on joue au poker avec des dés. Pour rectifier ma
bévue, et pour aider à la compréhension, j’ai préparé ce petit document qui clarifiera, je l’espère, les
choses. Commençons par présenter les contextes bien différents. Jouer au poker en tirant cinq cartes
à jouer régulières d’un côté, ou en lancant cinq dés balancés de l’autre.
La probabilité d’obtenir exactement deux paires (par exactement on veut dire et pas un jeux meilleur)
avec des cartes est :
13 11 4 4 4
2
alors qu’avec des dés elle est
1
2 2
52
5
6 4 5!
2 1 2! 2! 1!
65
1
= 0.04753901561
= 0.2314814815
Dans les deux cas, on fait appel à des raisonnements similaires :
1) De combien de façon peut-on choisir le type de nos deux paires ?
13
2 dans le cas des cartes,
6
2 pour les dés.
2) De combien de façon peut-on choisir le type de la carte ?
11
1 dans le cas des cartes (il reste 11 types),
4
1 pour les dés (4 des 6 chiffres possibles restent).
Mais ce qui suit diffère. Dans un cas on fait des piges, alors que dans l’autre, on fait des permutations.
D’où vient la différence ? Pour répondre à la question, nous allons examiner d’un peu plus pret nos
dénominateurs, c’est-à-dire nos cas possibles.
Pour les cartes, c’est simple, on choisit 5 cartes parmis les 52 du paquets. Clairement, on considére 52
5 .
On ne se préoccupe pas de l’ordre dans lequel on recoit les cartes. Le fait de recevoir { A-pi, 7-tr, 2-co,
2-ca, 7-ca} ou encore { 7-tr, 2-co, 2-ca, A-pi, 7-ca} ne sont pas différenciés. Pour les dés cependant, on
a intuitivement pris comme dénominateur 6 5 . Il y a cinq dés pour lesquels on a 6 faces possibles. Ce
choix a cependant le résultat suivant : la combinaison {1,1,2,2,4} et la combinaison {2,4,2,1,1} sont
comptées séparément, même si elles sont, en quelque sorte, la même. Aussi, on s’aperçoit que les deux
“2” qui composent la paire ici sont indistinguables, tandis que le 2 de coeur et le 2 de carreau qui
composaient la paire avec les cartes sont aisément distinguables.
On peut voir la différence entre les deux contextes en réalisant la chose suivante : les tirages de dés
sont indépendants alors que ceux des cartes ne le sont pas. Si le premier dé observé affiche un six,
1
cela n’a aucune influence sur les résultats possibles pour le 2 e dé. Les tirages sont indépendants, c’est
équivalent à un cas de tirage avec remise. Pour les cartes, si la première carte tirée est un sept de
pique, alors la deuxième carte tirée ne peut pas être le sept de pique. Les tirages sont dépendants, c’est
un cas de tirage sans remise.
La réponse courte à la question qui m’a été posée au dépannage est donc relativement simple. Pourquoi
considérer des permutations dans un cas et pas dans l’autre ? Parce qu’un de nos dénominateurs
considère les permutations et l’autre pas. Si le dénominateur d’une probabilité de ce type fait intervenir
l’ordre, le numérateur devrait le faire aussi. L’inverse est aussi vraie.
Donc, une fois le type des cartes (les cartes sont peut-être des dés. . . ) déterminé, les questions qui
restent ne sont pas du tout les mêmes.
Avec les dés, supposons qu’on a choisi des paires de 1 et de 2, et que le singleton soit un 4, on se
demande :
Je sais que j’ai eu une combinaison du type : {1, 1, 2, 2, 4}, {1, 2, 1, 2, 4}, {4, 1, 2, 2, 1}, . . .
Combien de telles combinaisons sont possibles ?
5!
Réponse : 2! 2!
1! , autant qu’il existe de mots à cinq lettres dont deux paires sont indistinguables.
Avec les cartes, supposons qu’on a choisi des paires de 7 et de 2, et que le singleton soit un as, on
se demande :
Quels deux “7” ai-je reçu, coeur et carreau ? Trèfle et pique ? . . . 42
Quels deux “2” ai-je reçu ? 42
Quel as ai-je reçu ? 41
On aurait pu traiter le cas des cartes en considérant l’ordre dans lequel on reçoit les cartes. Les cas
possibles cepedant auraient été beaucoup plus nombreux. On aurait eu 52 choix pour la première carte,
52
51 pour la deuxième, . . . et 48 choix pour la cinquième. Donc 52!
47! au lieu de 5 . Pour le numérateur,
il ne faudrait plus simplement compter les ensembles possibles, mais aussi les ordres possibles pour
ces ensembles.
En espérant que ces quelques lignes rendent la chose plus claire.
Jean-Hubert Smith
février 2004
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