LE CALCUL SYMBOLIQUE SOMMATOIRE

LE CALCUL SYMBOLIQUE SOMMATOIRE
PAR M. AMSLER
-3ee-
Ce calcul repose sur les propriétés du tableau des nombres figurés. Il permet la
sommation des valeurs prises par un polynôme en x quand x reçoit des valeurs
entières consécutives. Il rend intuitive la théorie des polynômes et nombres de Bernoulli et des séries où interviennent ces nombres. Il transforme en une opération
arithmétique régulière la séparation et l'approximation des racines réelles d'une
équation algébrique, les méthodes de Newton et des parties proportionnelles pouvant être appliquées sans quitter la forme symbolique du calcul.
La notation symbolique s'applique à la transformation des séries entières en x
en passant des puissances aux factorielles. 11 ne sera question ici que des éléments
du calcul.
Symboles d'un polynôme en x.
Posons :
*"
=
x(x 4- i)(x -f- 2) . . . (x 4- m — 1)
m\
'
x(x — i)(x — 2) ... (x — m 4- 1)
m étant un entier positif.
Tout polynôme f(x) se met sous les formes :
V.'m + 'ViV-* + ••• bm>
LE CALCUL SYMBOLIQUE SOMMATOIRE.
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m étant le degré de f(x), a0, a4, . . . am, b9, 6t> . . . bm, des constantes. Les symboles
def(x) s'obtiennent en reportant en exposants les indices des cp et des y.
Les deux symboles d'un même polynôme sont dits.équivalents.
Sommations.
La somme des valeurs de f(x) pour les valeurs entières consécutives i, 2, . . . ,
x — 1, x de la variable a pour symbole en cp le produit par cp du symbole de/(ce).
La somme des valeurs âej(x) pour les valeurs o, r, 2, ..., x — 1, x de la variaible a pour symbole en y le produit par y 4- 1 du symbole def(x).
L'équivalence P(cp) = Q(y) donne donc, par sommation, soit :
cpP(cp) = ( y + i ) Q ( y ) - . Q ( o )
soit
?P(cp)
+ P(o) = ( y + i ) Q ( y ) ,
<p = y donnera :
co
T«=T(Y
»par sommations successives entre 1 et x.
(2)
?* + ?
«-t+...
+ ,)-'
cp 4- 1 = y 4- 1 donnera :
+ T +
I =
(
Y +
I )»
par sommations successives entre o et x.
Changement de symbole.
La formule (1) conduit à la règle suivante que nous appliquons au symbole :
5<ps— 2cp* 4- 4<p — 1, par exemple.
Former un tableau dont la première ligne contient les coefficients 5 — 2 4-4 — 1 ,
la première colonne contenant quatre fois le coefficient 5.
l5o
AMSLER.
Tout élément du tableau est la somme du précédent dans la colonne et du précédent dans la ligne. La diagonale ascendante qui aboutit au coefficient — i du symbole donné renferme les coefficients du symbole en y cherché 5y3 4- 8y* 4- 7y — i.
Le même tableau, construit à partir de la diagonale, résout la question inverse..
Changer x en — x.
Dans un symbole en cp, changer cp en —y; dans un symbole en y, changer y
en — cp. Si l'on veut rester dans la même notation, effectuer au préalable un changement de symbole. Ainsi :
f(x) = 5cp3 — 2cp8 4- 4? — i,
donne
/(*) =
_5y:j-2y*-4y-i.
Mais comme on a aussi :
/(x) = 5 y 3 4 - S Y 4 - 7 Y - ' ,
on en conclut :
f(-x)
= -5cp 3 + 8cp* — 7<p- i.
Les formules (i) et (2) sont transformées, par le changement de x en — x, en,
(3)
T" = ?(? - • ) ' " - ' .
(4)
Y" - Y'""1 + Y'"" - • • • + ( - 0"'-'Y + ( - O"'=(? - O™-
l5l
LE CALCUL SYMBOLIQUE SOMMATOIRE.
Multiplier par x un polynôme en x.
L'identité
x+m
m 4- i X %,
conduit à
<5)
»X/(a?) = ( p - 5 r - [ ( ? - i ) P ( ¥ ) ] ,
P(cp) symbolisant f(x)
On a de même
<6)
x Xf(x) = y — [(y 4- i)Q(y)],
Q(y) symbolisant/^).
Les formules (5) et (6) attirent l'attention sur les symboles (cp — i)m et (y 4- i)mQ
On les interprète en imaginant qu'on multiplie par x les polynômes en x correspondants. On en conclut :
(x-i)(x-2)...(x-m)
(7)
(8)
_ ^ _ l)
— T-»
m!
(
_
l )
-
Y+i
m\
(x + i)(x + 2)...(x
+
+ m)
=
cp'»" - i
> —
i
Augmenter ou diminuer x d'un nombre entier.
On s'appuie sur les formules (7) et (8).
Pour augmenter x de l'entier positif p, on prend le quotient de <ppP(cp) par
Pour diminuer x de p , on divise par cpp le produit de P(cp) par (<p — i) p .
Il y a des règles, analogues pour les symboles en y.
i5a
AMSLER.
Prendre la différence d'un polynôme.
Appelons différence en arrière de/(se) la quantité/(ce) — f(x — i), différence en-.
avant la quantité f(x 4- i) — f(x).
La différence en arrière est la partie entière de -^L ou de
.
cp
y 4- i
P(cp)
Q(V)
La différence en avant est la partie entière de — — ou de - ^ - .
cp — I
y
Généralisation immédiate pour les différences successives :
A"w =
, etc.
E
•-«(?)•
Ces formules indiquent la signification des coefficients des symboles P(cp) et Q(y)r
pour peu qu'on y fasse x = o. L'interprétation de Q(y) donne la formule d'interpolation de Newton.
Formule des accroissements finis.
En augmentant x de i à plusieurs reprises dans le symbole 5cps — 2cp* 4- 4? — 1,
par exemple, ce qui nécessite des divisions par cp — 1, on forme le tableau :
/(*)
/(*+0
/(* + *)
8 /
i5
21
/ ( * + 3)
i3 .
28
49
Ce tableau coïncide avec celui du changement de symbole ; la diagonale 5 8 7 — 1
contient les coefficients du symbole en y de /(2). Comme la dernière colonne renferme les nombres/(o), / ( i ) , /(a), /(3), . . . , on a encore une confirmation de la formule d'interpolation de Newton.
LE CALCUL SYMBOLIQUE SOMMATOIRE.
l53
L'augmentation, par exemple, égale à 5 de la variable x revient, comme on l'a
vu plus haut, à la division de <p3P(cp) par (cp — i)5, d'où le dispositif suivant :
5 —-2
4-4
—i
25
—5o
4-5o
4-n5
—23o
i — 5 4- io— io
5 4- 2 3 4- 69 4- 164
4-345
d'où le symbole :
5cp3 4-23cp2 4-699 4-164.
En augmentant x de h plusieurs fois dans om, on trouve :
(9)
h
h(h+i)
<P«0* + A) = ?» + 7 ?•.-. + —777— ? - - . + • • •
, h(h+i)...(h+p—i)
, A ( f t + i ) . . . ( f t + m —1)
?—, + • • • +
J\
+
—1
r
h étant entier et positif. On généralise aisément, de sorte que h peut recevoir unevaleur entière ou fractionnaire, positive ou négative.
Le second dispositif d'augmentation s'appliquera donc pour un accroissement
quelconque. A la place du diviseur, figurent les coefficients :
1,
h
1
,
h(h—i)
'-, etc.,
1.2
m 4- 1 étant leur nombre, si m est le degré du symbole, les derniers d'entre eux.
pouvant être nuls, si h est entier et positif.
Multiplication.
Deux polynômes en x étant donnés par leurs symboles, on cherche le symbole
de leur produit. Un produit réel est représenté par le signe X, un produit symbolique par un simple point.
En partant de cpOT+p et diminuant x de m dans les deux membres (réel et symbolique) de l'égalité
9
m+p
_ x{x + 1) ... (x + m + p— 1)
(m +p)\
154
AMSLER.
on trouve que
î , x ( T - i ) - = F.'Tf(T-ir.
(w)
Par extensions progressives on arrive à :
(ii)
P(y) X Q(?) = P.Q +
+ ? ' ( ?~,°V.Q"
fe^P'.Q'
+
(3!)'
P
Q
+
Il existe une formule analogue en y.
Dérivation.
La formule (9) donne
rfcp
dx
1
cp™-3
cp'"-3
cp
I
2
3
m—1
m
On en déduit :
2Ï2— /
«as
y0
I
f-cfe
?— z
et, généralement,
# _
U&
/•" P(<p) -- P(z) ^
»/o
cp "
Si m est le degré def(x),
d£_dP^
c?o?
c?cp
^
étant le s y m b o l e de
J^).
on en conclut :
1 — 2cp <TP
2 . 2 ! dfcp2
"*"
p
-2-
1 — 3cp 4- 3cpa (f P
3.3!
G?cp3
( , - T ) * - ( - y ) * (fP
(^^"-(-y^rfT
/f./<r!
<*p* "^ ' " "*"
m.m!
dT* '
La dérivée seconde a une forme compliquée, mais on a des formules simples en
faisant apparaître les différences en avant ou en arrière, désignées par A' et A,
D désignant une dérivatiou, la fonction étant un polynôme en x.
i55
LE CALCUL SYMBOLIQUE SOMMATOIRE.
La formule (12) sert de point de départ; on a, svmboliquement
Dm
_
Lm
_ _ ^ .
Am =
(l
__ e__Dy» .
jy» _ j » ^
+
^ .
A
«
=
^ D _ ,y/i
et par suite,
/
A' \ m
' = ( T T î )
/
•
\m
A
» — ( T = î )
•
Intégration.
Soit m le degré de f(x) et de son symbole P(cp). Imaginons une division où P(cp)
serait le dividende, les coefficients du diviseur étant
1
1
2
3
m
m 4- 1 "
Les coefficients du symbole de la primitive de/(os), nulle pour x = 0, sont ceux
du quotient, le premier étant le coefficient de cpm+1.
Exemple. — Intégrer le polynôme f(x) = 24<p3 — 249s -f- 4? - On a le calcul suivant :
24
—24
4-4
12
—8
—6
4-18
+12
1
1
1
2
3
4
24 — 3 6 4- i 4 — 1
—7
d'où
/
f(x)dx
= 24cp4 — 36cps 4- i4<p* — cp.