Examen 2007-2008
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Examen 2007-2008
Recherche opérationnelle et applications Master en sciences informatiques - Charleroi Session de juin 2008 – – – – Indiquez vos noms et prénoms sur chaque feuille. Commencez chaque question sur une nouvelle feuille. L’examen est à notes ouvertes. Durée de l’examen : 3 heures. Bon travail ! Bernard Fortz Question 1 Une société fabrique deux types de jouets en bois : des soldats et des trains. Un soldat est vendu 28 EUR et utilise 8 EUR de matières premières. Chaque soldat coûte 12 EUR en main d’oeuvre. Un train est vendu 20 EUR et utilise 6 EUR de matières premières. Chaque train coûte 10 EUR en main d’oeuvre. Un soldat demande une heure de travail de menuiserie et deux heures de finition, tandis qu’un train demande une heure de menuiserie et une heure de finition. Le travail par semaine est limité à 80 heures de menuiserie et 100 heures de finition. La demande pour les trains est illimitée, mais au plus 40 soldats sont achetés chaque semaine. 1. Formuler le problème de la détermination du plan de production optimal comme un programme linéaire. 2. Résoudre ce programme linéaire (par la méthode graphique ou le simplexe, au choix). 3. Ecrire le dual de ce problème. 4. Déduire la valeur optimale des variables duales de la solution du primal (en utilisant les règles de complémentarité). Interpréter la valeur de ces variables. Question 2 Appliquez la méthode de branch-and-bound pour montrer que les deux programmes linéaires en nombres entiers suivants n’admettent pas de solution admissible. Résolvez les différents programmes linéaires rencontrés de manière graphique (gardez les contraintes x1 ≤ 1 et x2 ≤ 1 dans la relaxation). (a) (b) min s.c. 10x1 + 15x2 x1 + x2 −2x1 + 2x2 x1 , x2 min s.c. 2x1 + x2 x1 + 4x2 ≤ 2 −4x1 + 4x2 ≥ 1 x1 ≥ 0, x2 ∈ {0, 1} 1 ≥2 ≥1 ∈ {0, 1} Question 3 SuperDodo fabrique des matelas qui peuvent être envoyés directement d’une de ses deux usines aux magasins, ou bien transiter par l’entrepôt de la compagnie. La table qui suit présente les coûts de transport d’un matelas à partir des usines ou de l’entrepôt vers les deux magasins, ainsi que les demandes finales et les capacités des usines. L’envoi d’un matelas à l’entrepôt coûte 15 EUR. Usine 1 Usine 2 Entrepôt Demande Frais de transport (EUR) Magasin 1 Magasin 2 25 30 45 23 11 31 160 700 Capacité 400 600 - SuperDodo cherche à acheminer la demande vers les clients à coût minimal. 1. Représentez le problème par un graphe. Indiquez quels sont les noeuds d’offre, de demande et de transit. 2. Ramenez le problème à un problème de transport, et présentez-le sous forme de tableau. 3. Résolvez le problème en trouvant une première solution de base par la méthode du Nord Ouest. Question 4 1. Définissez ce qu’est une variable d’écart d’une inégalité dans un programme linéaire. 2. Enoncez le théorème de dualité forte en programmation linéaire. 3. (a) Enoncez le problème d’affectation (en français) et formulez le problème d’affectation comme un problème en nombre entiers. (b) Enoncez le problème de transport (en français) et formulez le problème de transport comme un problème en nombre entiers. (c) Quel est le lien entre les deux problèmes ? 2