Proprietes elastiques effectives d`un polycristal de - mms2

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PROPRIETES ELASTIQUES EFFECTIVES D’UN POLYCRISTAL DE CUIVRE
1. Matrices d’élasticité : Ecrire la matrice Ci j des modules d’élasticité
cubique en adoptant la notation dite de Voigt. Ecrire de même la matrice
des souplesses Si j . On introduira les constantes C11 ,C12 et C44 . On définit
les coefficients d’anisotropie :
ac =
2C44
,
C11 −C12
as =
2(S11 − S12 )
S44
Justifier cette dénomination. Montrer que ac = as .
Ces matrices sont destinées à représenter le comportement du
monocristal. Si la distribution des orientations cristallines est purement
aléatoire au sein du polycristal, que pensez–vous de la symétrie de la
matrice d’élasticité du polycristal ?
Microstructure d’un polycristal. La couleur de chaque
grain désigne son orientation cristallographique.
Les alliages métalliques sont des matériaux hétérogènes car ils sont
constitués de grains monocristallins ayant chacun une orientation cristalline
distincte. Les monocristaux présentent en général un comportement
élastique anisotrope (on s’en tiendra ici à la symétrie cubique propre aux
cristaux de structure cristallographique cubique à faces centrées comme le
cuivre considéré dans cet exercice). La différence d’orientation de grain
à grain implique alors que chaque grain répond de façon différente à la
sollicitation appliquée. On cherche ici, connaissant les propriétés élastiques
cubiques du monocristal, à encadrer les propriétés macroscopiques du
polycristal dans le cas où la distribution des orientations cristallines est
purement aléatoire (on parle dans ce cas de texture isotrope).
On rappelle que la notation de Voigt est introduite pour remplacer la
forme générale de la loi d’élasticité
σi j = Ci jkl εkl
par la relation matricielle
σI = CIJ εJ
Les tenseurs de contraintes et de déformation sont identifiés à des vecteurs
de R6 . Dans le cas de l’élasticité cubique et dans la base orthonormée liée
aux axes de symétrie, ces matrices et vecteurs s’écrivent :

 


σ11
C11 C12 C12 0
0
0
ε11
 σ22   C12 C11 C12 0


0
0 

 
  ε22 
 σ33   C12 C12 C11 0


0
0   ε33 

=

 σ23   0


0
0 C44 0
0 

 
  2ε23 
 σ31   0


0
0
0 C44 0
2ε31 
σ12
0
0
0
0
0
C44
2ε12
2
Il faut faire attention au fait que, traditionnellement, ε4 est mis pour
2ε23 = γ23 . Les relations entre les composantes de la matrice et celles du
tenseur d’élasticité sont donc :
Il existe de même une matrice des souplesses
La matrice des SIJ est donc l’inverse de la matrice des CIJ mais on fera
attention au fait que l’identification avec le tenseur d’ordre 4 correspondant
est alors la suivante :
S14 = 2s1123
S44 = 4s2323
Dans le cas cubique, les relations suivantes entre les CIJ et SIJ permettent
de montrer aisément que les coefficients d’anisotropie ac = as sont égaux :
C11 +C12
S11 =
(C11 + 2C12 )(C11 −C12 )
1
Ki jkl = δi j δkl
3
Vérifier que tout tenseur des modules d’élasticité isotrope se met sous la
forme
C
= 2µJ≈ + 3kK
≈
≈
εI = SIJ σJ
S12 = s1122
symétriques. En terme de composantes, on a, pour information :
1
Ii jkl = (δik δ jl + δil δ jk ),
2
C11 = c1111 C12 = c1122 C14 = c1123 C44 = c2323
S11 = s1111
où ≈I est le tenseur identité d’ordre 4 opérant sur les tenseurs d’ordre 2
−C12
S12 =
(C11 + 2C12 )(C11 −C12 )
1
S44 =
C44
où µ et k sont respectivement les modules de cisaillement et de
compressibilité. Montrer que le tenseur des souplesses correspondant
s’écrit :
1
1
−1
S≈ = C
= J≈ + K
≈
2µ
3k ≈
On remarque que J≈ : K
=K
: J≈ = 0≈ et on vérifie alors que l’inverse d’un
≈
≈
tenseur isotrope s’obtient directement en prenant l’inverse des coefficients
devant J≈ et K
. Cela vient simplement du fait que 2µ et 3k sont les valeurs
≈
propres du tenseur isotrope C
, les tenseurs propres associés constituant
≈
respectivement une base des tenseurs déviatoriques et sphériques.
2. Ecriture des tenseurs d’élasticité isotrope : On introduit ici des
opérateurs d’ordre 4 permettant de manipuler simplement les tenseurs
d’élasticité isotrope. L’opérateur J≈ appliqué à un tenseur d’ordre 2
symétrique ∼ε fournit son déviateur ∼e. L’opérateur K
, quant à lui, appliqué
≈
à ∼ε donne sa partie sphérique :
J≈ : ∼ε = ∼e,
V
3. Borne de Voigt pour le polycristal, C
=< ≈c > : Justifier que si
≈
la distribution des orientations cristallines est isotrope, alors la borne
V
supérieure de Voigt C
est un tenseur isotrope :
≈
V
C
= 2µV J≈ + 3kV K
≈
≈
1
K
: ∼ε = (Tr ∼ε) 1∼
≈
3
Il s’ensuit que
J≈ + K
= ∼I
≈
Pour accéder à µV et kV , il faudrait calculer la moyenne sur les matrices
d’élasticité tournées pour toutes les orientations possibles. Un tel calcul est
possible mais fastidieux. On peut s’en sortir plus efficacement en utilisant
les invariants du tenseur ci jkl du monocristal.
On appelle invariant une fonction des composantes d’un tenseur dont
la valeur ne dépend pas du repère choisi pour les exprimer. La trace
et le déterminant sont des invariants d’un tenseur d’ordre 2 car ils
s’expriment en fonction des valeurs propres uniquement. Calculer les
invariants suivants du tenseur d’ordre 4 ≈c :
ciikk ,
ci ji j
3
Pour calculer S≈ R on utilise à nouveau les invariants des tenseurs
d’ordre 4 impliqués. On note ≈s = ≈c−1 le tenseur des souplesses du
monocristal. Calculer successivement sii j j , si ji j , SiiR j j , SiRji j . En déduire les
bornes inférieures µR , kR .
On trouve successivement
Calculer aussi les invariants Jii j j , Ji ji j , Kii j j , Ki ji j . Calculer enfin la valeurs
V
des invariants CiiV j j ,CiVji j pour le tenseur C
en fonctions de µV et kV . En
≈
déduire les bornes supérieures µV et kV en fonction des Ci j du monocristal.
sii j j = 3S11 + 6S12 ,
On fait attention pour ce dernier calcul que s2323 = S44 /4.
On trouve successivement
ciikk = 3C11 = +6C12 ,
Jii j j = 0,
Ji ji j = 5,
V
Ciikk
= 9kV ,
Ki ji j = 1
CiVji j = 10µV + 3kV
V
On fait valoir ensuite le fait que les invariants de C
sont liés à ceux des
≈
modules locaux ≈c par
SiRji j =
5
1
+ R
R
2µ
3k
1/3kR et 1/2µR jouent le rôle de 3kV et 2µV respectivement. On obtient
finalement
1
,
S11 + 2S12
µe f f ≥ µR =
5
4S11 − 4S12 + 3S44
CiVji j =< ci ji j >= ci ji j
On en déduit que les modules effectifs µe f f , ke f f du polycristal à texture
isotrope sont bornés par µV et kV , c’est–à–dire :
C11 + 2C12 e f f C11 −C12 + 3C44
,µ ≤
3
5
V
4. Borne de Reuss pour le polycristal, S≈ =< ≈s > : Justifier que
si la distribution des orientations cristallines est isotrope, alors la borne
inférieure de Reuss S≈ R est un tenseur isotrope :
S≈ R =
1
,
kR
V
Il s’agit formellement du même calcul que pour C
en remarquant que
≈
3ke f f ≥ 3kR =
CiiV j j =< cii j j >= cii j j ,
ke f f ≤ kV =
SiiR j j =
ci ji j = 3C11 + 6C44
Kii j j = 3,
3
si ji j = 3S11 + S44
2
1
1
J≈ + R K
R
2µ
3k ≈
5. Encadrement des modules effectifs : Exprimer kR en fonction des Ci j .
Que remarquez-vous ? Qu’en déduisez–vous sur la valeur de ke f f ? Etait–
ce prévisible ? Donner enfin un encadrement de µe f f en fonction de C44 et
du coefficient d’anisotropie ac = as = a.
En utilisant les relations liant les Ci j et les Si j qui ont été rappelées, on
trouve les relations suivantes entre les modules de compressibilité :
4
3kR =
1
= C11 + 2C12
S11 + 2S12
R
V
k =k =k
ef f
Le module de compressibilité effectif d’un agrégat de grains à symétrie
cubique est donc connu de manière unique en fonction des Ci j du
monocristal. Cela est simplement dû au fait que la réponse d’un monocristal
cubique à une sollicitation sphérique est indépendante de son orientation.
Ce n’est pas le cas si la symétrie du cristal est quadratique ou orthotrope. Il
n’en va pas de même de µe f f dont la valeur exacte dépend de l’arrangement
particulier et de la morphologie des grains. On peut simplement donner
l’encadrement
5C44
3a + 2
≤ µe f f ≤
C44
3 + 2a
5a
6. Application numérique : Pour le cuivre pur monocristallin, on a
C11 = 168400MPa,
C11 = 121400MPa,
C11 = 75390MPa
Calculer a, ke f f , µV , µR . Trouver dans un manuel ou un site de propriétés
mécaniques des matériaux le module de cisaillement du cuivre polycristallin isotrope usuel et vérifier que cette valeur est comprise entre les bornes
de Voigt et Reuss.
On trouve une anisotropie importante, a = 3.21 (en comparaison,
l’aluminium monocristallin par exemple donnerait une valeur proche de
1.1). Dans le cas du cuivre, il vient :
ke f f = 137067MPa,
µV = 54634MPa,
µR = 40032MPa
On trouve usuellement des valeurs expérimentales de l’ordre de 50000 MPa
pour le module de cisaillement du cuivre pur polycristallin isotrope.