Calcul formel

Calcul formel
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans ∗
Objectif mathématique : étude de fonctions polynômes d’une variable réelle, interpolation et lissage.
Objectif maple : distinction expression et fonctions.
Fonctions maple : limit, D, diff, quo, rem, collect, normal, binomial, "with(CurveFitting), PolynomialInterpolation".
Exercice 1
Développer le polynôme
Q12
Exercice 2
Factoriser les polynômes
Pn
Exercice 3
Effectuer la division euclidienne du polynôme x12 + 1 par le polynôme x3 − x2 + x − 1.
Exercice 4
Soit une fonction polynôme du second degré f : x → f (x) = ax2 + bx + c (avec (a, b, c) ∈ R3 )
i=1 (x
− i).
i i
i=0 Cn x ,
Pn
i i
i=0 iCn x
et
Pn
i=0 i
2 C i xi .
n
et (α, β, t) ∈ R3 .
Faire une procédure (avec maple) permettant de donner :
• la courbe représentative de f sur l’intervalle [α, β],
• les racines de f ,
• l’extremum f et s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum,
• les limites de f en −∞ et en +∞,
• l’équation de la tangente en le point d’abscisse t.
Exercice 5
L’équation du troisième degré a été résolue par Cardan.
Essentiellement, il a montré que si le discriminant d = 27q 2 − 4p3 ≥ 0, alors l’équation du troisième degré
z 3 = pz + q admet une seule solution réelle donnée par
s
s
r
r
1 2
1 2
1 3
1
3 1
3 1
q+
q − p +
q−
q − p3 .
z=
2
4
27
2
4
27
Vérifier la validité de ceci avec maple.
Comment transformer une équation du troisième degré générale ax3 + bx2 + cx + d = 0 en une équation
réduite du troisième degré z 3 = pz + q ?
Vérifier ceci avec maple.
∗
Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1
L1 Maths - Info
Exercice 6
Calcul formel
2011
Trouver un polynôme du troisième degré g(x) = ax3 + bx2 + cx + d qui interpole la fonc-
tion f (x) dont on connaît les quatre valeurs f (1) = 1, f (2) = 5, f (3) = 14, f (4) = 30. Faire le graphe de
g.
Exercice 7
Interpolation de Lagrange.
La formule de Lagrange donne une solution du problème suivant. Etant donnés 2n nombres réels α1 , . . . , αn
deux à deux distincts et β1 , . . . , βn distincts ou non, on veut trouver un polynôme g(x) ∈ R[x] de degré minimal tel que g(αi ) = βi pour tout i = 1, . . . , n.
Le polynôme d’interpolation de plus petit degré est donné par les deux expressions suivantes
g(x) =
n
X
i=1
n
X
Y x − αj
βi p(x)
=
,
βi
αi − αj
(x − αi )p′ (αi )
i=1
j6=i
où
p(x) =
n
Y
(x − αi ).
i=1
Comment implémenter cette formule avec maple et l’employer pour interpoler par exemple sept points
du plan ?
Exercice 8
n (t)
Pour tous entiers m, n avec 0 ≤ m ≤ n, on introduit le m-ème polynôme de Bernstein Bm
ou Bn,m (t) de degré n par
Bn,m (t) =
n
Bm
(t)
n m
t (1 − t)n−m .
=
m
Ces polynômes apparaissent en combinatoire et dans le calcul des probabilités, aussi bien qu’en CAO.
Vérifier avec ou sans maple qu’on a les identités suivantes
n
X
Bn,m (t) = 1 et
n
X
mBn,m (t) = nt
(1)
m=0
m=0
n
X
m(m − 1)Bn,m (t) = n(n − 1)t2
(2)
m=0
Prouver qu’on a les relations de récurrence suivantes
Bn,m (t) = (1 − t)Bn−1,m (t) + tBn−1,m−1 (t)
n+1−m
Bn+1,m (t)
n+1
m+1
Bn+1,m+1 (t)
tBn,m (t) =
n+1
(1 − t)Bn,m (t) =
(n + 1)Bn,m (t) = (n + 1 − m)Bn+1,m (t) + (m + 1)Bn+1,m+1 (t)
(3)
(4)
(5)
(6)
Quels sont les signes distinctifs de ces relations de récurrence ?
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Mathématiques
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Exercice 9
2011
Calcul formel
Une courbe du plan ou de l’espace est dite polynomiale si elle admet une paramétrisation
dont les coordonnées sont des fonctions polynomiales
−
→
−
→
−
→
−
→
r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
où
x(t) =
d
X
a k tk ,
y(t) =
d
X
bk t k ,
z(t) =
k=0
k=0
(7)
d
X
c k tk .
k=0
Soient n + 1 points du plan ou de l’espace, non forcément distincts, P0 , P1 , P2 , · · · , Pn . On définit la
courbe de Bézier dont ces points forment le polygone de contrôle par la paramétrisation polynomiale
n n
−−→ X
−−−→ X n m
−−−→
Bnm (t)OPm =
t (1 − t)n−m OPm
r(t) =
m
(8)
m=0
m=0
Cela étant on donnera successivement 3 puis 4 puis 5 points et l’on vous invitera à programmer et tracer
la courbe de Bézier ayant pour polygone de contrôle ces différents points.
Exercice 10
Les polynômes de Tchébychev de première espèce.
On définit les fonctions Tn sur [−1, 1] par
∀x ∈ [−1, 1], Tn (x) = cos(nΘ) avec Θ = arccosx.
1. Vérifier avec maple que les fonctions Tn satisfont sur [−1, 1] la relation de récurrence à trois termes
Tn+1 (x) − 2xTn (x) + Tn−1 (x) = 0
pour n ≥ 1 avec T0 (x) = 1 et T1 (x) = x.
2. Déduire mathématiquement que les fonctions Tn sont des polynômes sur [−1, 1].
On définit ainsi de façon unique une fonction Tn polynôme sur R.
3. Donner explicitement les fonctions polynômes Tn pour n variant de 0 à 10.
4. Montrer que
∀x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[, Tn (x) =
i
p
p
1h
(x + x2 − 1)n + (x − x2 − 1)n .
2
5. Montrer que les polynômes Tn satisfont l’équation différentielle
(1 − x2 )y ′′ − xy ′ + n2 y = 0.
6. Représenter graphiquement les fonctions Tn pour n variant de 0 à 5.
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