Commande Robuste Professeur Michel de Mathelin Cours intégré

Transcription

Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg
Option ISAV
Master ISTI, spécialité PARI, parcours AV
Commande Robuste
Professeur Michel de Mathelin
Cours intégré : 15 h+10 h
Programme du cours de commande robuste (1)
• Chapitre I: Introduction
– Objectifs
– Différentes approches
• Chapitre II: Robustesse et performance
– Fonctions de sensibilité
– Critères de robustesse
– Critères de performance
– Gabarits fréquentiels
• Chapitre III: Synthèse H∞ standard
– Algorithme de Glover-Doyle
– Synthèse H∞
– Correcteurs à deux degrés de liberté
– Modelage de la boucle ouverte
• Chapitre IV: Mise en oeuvre
– Réduction de modèle
– Discrétisation
Programme du cours de commande robuste (2)
• Chapitre V: µ-analyse et µ-synthèse
– µ-analyse
– µ-synthèse
• Chapitre VI: Etude de cas
Bibliographie – ouvrages en français
• J. Bernussou, coordinateur, Commande robuste: développements et
applications.
Hermès, Paris, 1996.
• G. Duc et S. Font, Commande H∞ et µ-analyse.
• A. Oustaloup, coordinateur, La robustesse: analyse et synthèse de
commandes robustes.
• A. Oustaloup, La commande CRONE.
Bibliographie – ouvrages en anglais (1)
• S. Bhattacharyya, H. Chapellat, & L. Keel, Robust control : the parametric
approach.
Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
• S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, & V. Balakrishnan, Linear matriux
inequalities in system and control theory.
SIAM Studies in Applied Mathematics, vol. 15, SIAM, Philadelphie, 1994.
• M. Green and D. J. Limebeer, Linear robust control.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1995.
• I. Horowitz, Quantitative feedback design.
QFT Publications, Boulder, 1993.
• J. M. Maciejowski, Multivariable feedback control.
Addison Wesley, Wokingham, 1989.
• D. C. McFarlane and K. Glover, Robust controller design.
Lecture Notes in control and information sciences, Springer, Berlin, 1989.
Bibliographie – ouvrages en anglais (2)
• M. Morari and E. Zafiriou, Robust process control.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989.
• S. Skogestad and I. Postlethwaite, Multivariable feedback control.
Wiley, Chichester, 1996.
• K. Zhou, J. C. Doyle, & K. Glover, Robust and optimal control.
• K. Zhou with J. C. Doyle, Essentials of robust control.
I. INTRODUCTION
I.1 Objectifs (1)
• Méthodes classiques
Objectifs:
– Suivre les variations de la consigne
– Rejeter les perturbations et le bruit
Méthode:
– Synthèse à partir d’un modèle nominal du système
sur base de critères de stabilité et de performance
– Analyse a posteriori de la robustesse
I. INTRODUCTION
I.1 Objectifs (2)
• Méthodes de commande robuste
Objectifs:
– Suivre les variations de la consigne
– Rejeter les perturbations et le bruit
– Garantir des marges de robustesse
Méthode:
– Synthèse à partir d’un modèle nominal du système
sur base de critères de stabilité et de performance
– Prise en compte dans la synthèse de critères
explicites de robustesse vis à vis des incertitudes
I. INTRODUCTION
I.2 Différentes approches
• Commande avec modèle interne
• Commande LQG/LTR (Linéaire Quadratique Gaussienne avec
Recouvrement de transfert de boucle)
• Commande prédictive (GPC, MPC)
• Approche QFT (Quantitative Feedback Theory)
• Placement de pôle robuste
• Approche paramétrique (Théorème de Kharitonov)
• Commande CRONE (Commande Robuste d’Ordre Non Entier)
• Commande H∞
• µ-analyse et µ-synthèse
• Approches basées sur des LMI (Inégalités Linéaires Matricielles)
Les 3 dernières approches sont multivariables et font l’objet de ce cours
II. ROBUSTESSE ET PERFORMANCE
– Fonctions de sensibilité
– Critères de robustesse
– Marges de stabilité
– Robustesse vis-à-vis des dynamiques négligées
– Critères de performance
– Gabarits fréquentiels sur les fonctions de sensibilité
II.1 Fonctions de sensibilité (1)
δu
r
e
-
K(s)
u
ym
G(s)
K(s)
r
u
y
ym
Fonction de transfert du système
Fonction de transfert du correcteur
Signal de consigne ou de référence
Signal de commande
Signal de sortie (grandeur à réguler)
Mesure de la sortie
δy
-
ε
y
G(s)
b
δu Perturbation d’entrée
δy Perturbation de sortie
b
Bruit de mesure
e
Erreur d’asservissement
Erreur de suivi
(non mesurable)
ε
2.11 Cas monovariable (SISO)
e = r − ym = r − ( y + b)
y = δy + G[δu ] + KG[e] = δy + G[δu ] + KG[r − y − b]
⇒ y = S[δy ] + GS[δu ] + T[r − b]
1
S( s ) =
1 + KG( s )
KG( s )
T( s ) =
= 1 − S( s )
1 + KG( s )
(1)
Fonction de sensibilité
Fonction de sensibilité complémentaire
2.11 Cas monovariable (suite)
e = r − y m = r − ( y + b)
= S[r ] − S[δy ] − S[b] − GS[δu ]
(2)
⇒ u = − T[δu ] + KS[r − δy − b]
(3)
ε = r − y = S[r ] − S[δy ] + T[b] − GS[δu ]
(4)
2.12 Cas multivariable (MIMO)
e = r − ym = r − ( y + b)
y = δy + G[δu ] + GK [e] = δy + G[δu ] + GK [r − y − b]
⇒ y = S s [δy ] + S sG[δu ] + Ts [r − b]
(5)
S s ( s ) = (I + GK) −1
Fonction de sensibilité en sortie
Ts ( s ) = (I + GK) −1 GK = I − S s
complémentaire en sortie
2.12 Cas multivariable (suite)
e = r − ( y + b) = r − δy − b − G[δu ] − GK [e]
= S s [r − δy − b] − S sG[δu ]
ε = r − y = S s [r − δy ] + Ts [b] − S sG[δu ]
(6)
(7)
u = K [r − δy − b] − KG [δu ] − KG[u ]
⇒ u = −Te [δu ] + S e K [r − δy − b]
(8)
S e (s) = (I + KG) −1
Fonction de sensibilité en entrée
Te (s) = (I + KG) −1 KG = I − S e
complémentaire en entrée
2.12 Cas multivariable (suite)
KS s = K (I + GK ) −1 = S e K = (I + KG) −1 K
KS sG = K(I + GK) −1 G = Te = (I + KG) −1 KG ≠ Ts
II.2
Critères de robustesse (1)
2.21
Marges de stabilité (cas monovariable)
Diagramme de Nyquist (monovariable)
−1
−1
KG(jω)
•
g′
-1
•δ •
• ϕ
g
1
ωc
Critère de Nyquist:
Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi KG(jω)
encercle le point -1 dans le sens anti-horlogique un nombre
de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte
II.2
2.21
1° Marge de phase
ϕ
= déphasage qui entraîne l’instabilité (retard de phase)
2° Marge de retard
τ
= retard qui entraîne l’instabilité
soit
{ω ci }
les pulsations telles que
soit ϕ i = π − arg KG ( jω ci )
⇒ τ = min
i
ϕi
ω ci
KG ( jω ci ) = 1
II.2
2.21
3° Marges de gain
g et g’ < 1
= gain qui entraîne l’instabilité
4° Marge de module δ
= distance minimale entre KG(jω) et -1
δ = inf {1 + KG ( jω ) } =
ω∈R
1
1
ω ∈R 1 + KG ( jω )
⇒δ =
sup
∞
1
S ∞
= norme H ∞
ou L∞
II.2
2.21
Définition 2.1
* Soit une fonction de transfert G(s ), la norme L∞ de G(s) est égale à :
G
∞
= sup G ( jω )
ω
∈R
Définition 2.2
* Soit une fonction de transfert stable G(s ), la norme H ∞ de G(s) est égale à :
G
∞
= sup G ( jω )
ω
∈R
Remarque : La norme H ∞ d’une fonction de transfert correspond
à son amplitude maximale dans un diagramme de Bode
II.2
2.21
Marges de stabilité (cas multivariable)
pôles de la boucle fermée = zéros det{I + KG( s )}
det{I + KG ( s )} = ∏ λi {I + KG ( s )} = ∏ (1 + λi {KG ( s )})
i
i
=> arg det{I + KG ( jω )} = ∑ arg{(1 + λi {KG ( jω )})}
i
Critère de Nyquist généralisé
Le système asservi est stable ssi :
les lieux caractéristiques λi {KG ( jω )} pris tous ensembles
encerclent le point –1 dans le sens anti-horlogique un nombre
de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte
II.2
2.21
1° Marge de phase
ϕ
= déphasage appliqué identiquement sur chaque sortie qui entraîne
l’instabilité de la boucle
= déphasage minimum entraînant l’instabilité d’un des lieux
caractéristiques
2° Marge de retard τ
= retard appliqué identiquement sur chaque sortie qui entraîne
3° Marges de gain
g et g’ < 1
= gain appliqué identiquement sur chaque sortie qui entraîne
II.2
2.21
4° Marge de module δ
= distance minimale entre les lieux caractéristiques λi {KG ( jω )}
et le point -1
δ = inf  min 1 + λi {KG ( jω )} 
ω∈R


i
= inf λmin {I + KG ( jω )}
ω∈R
= inf σ min {I + KG ( jω )}
ω∈R
{
−1
(I + KG ( jω ) )
= inf σ max
ω∈R
−1
1
}= sup σ {(I + KG
( jω ) ) }
−1
ω ∈R
⇒δ =
1
S∞
II.2
2.21
Définition 2.3
* Soit une matrice de transfert G(s ), la norme L∞ de G(s) est égale à :
G
∞
= sup σ {G ( jω )}
ω
∈R
Définition 2.4
* Soit une matrice de transfert stable G(s ), G ( s ) ∈ RH ∞
et la norme H ∞ de G(s) est égale à :
G
∞
= sup σ {G ( jω )}
ω
∈R
II.2
2.22
Robustesse vis à vis des dynamiques négligées
2.221 Erreur de modèle multiplicative
Cas monovariable (SISO)
où
G∆ = (1 + ∆ M )G
est une fonction de transfert inconnue
∆M
⇒ ∃ une fonction de transfert stable W1 telle que:
∆ M ( jω ) < W1 ( jω )
∀ω ∈ R
⇒ KG∆ ( jω ) = KG ( jω ) + KG ( jω )∆ M ( jω )
⇒ KG∆ ( jω ) − KG ( jω ) < KG ( jω ) W1 ( jω )
II.2
2.221 Erreur de modèle multiplicative
-1
1+KG(jω)
•
•
•
•
KG ( jω ) W1 ( jω )
KG(jω)
Condition de stabilité
1 + KG ( jω ) > KG ( jω ) W1 ( jω )
⇔ W1T
∞
<1
si G∆ et
• • ••
∀ω
⇔
KG ( jω ) W1 ( jω )
1 + KG ( jω )
< 1 ∀ω
G ont le même nombre de pôles à partie réelle < 0
II.2
2.22
Robustesse vis à vis des dynamiques négligées
2.222 Erreur de modèle additive
où
G∆ = G + ∆ A
est une fonction de transfert inconnue
∆A
⇒ ∃ une fonction de transfert stable W2 telle que:
∆ A ( jω ) < W2 ( jω )
∀ω ∈ R
⇒ KG∆ ( jω ) = KG ( jω ) + K ( jω )∆ A ( jω )
⇒ KG∆ ( jω ) − KG ( jω ) < K ( jω ) W2 ( jω )
II.2
2.222 Erreur de modèle additive
-1
1+KG(jω)
•
•
•
•
K ( jω ) W2 ( jω )
KG(jω)
1 + KG ( jω ) > K ( jω ) W2 ( jω )
⇔ W2 KS
∞
< 1 + G∆ et G
• • ••
∀ω
⇔
K ( jω ) W2 ( jω )
1 + KG ( jω )
< 1 ∀ω
ont le même nombre de pôles à partie réelle < 0
II.2
2.22 Robustesse vis à vis des dynamiques négligées
2.223 Schéma standard
∆
Le système nominal + dynamiques
négligées est mis sous une forme standard
w
u
P = système augmenté
Pzw Pzu  P11 P12 
P=
=


P
P
P
P
 ew eu   21 22
Exemple
z
e
+
-
K
u
∆
G
P(s)
z
e
K(s)
w W
2
+
I 
 0
P=

−
W
I
−
G
 2

II.2
La fonction de transfert w → z
Twz = Fl (P, K)
= P11 + P12K(I − P22K) P21
−1
La fonction de transfert u → e
Tue = Fu (P, ∆)
= P22 + P21∆(I − P11∆) P12
−1
∆
w
Fl (P, K )
= transformation linéaire
fractionnaire inférieure
= transformation linéaire
fractionnaire supérieure
u
z
Fu (P, ∆ )
K
e
II.2
Théorème des petits gains
soit K stabilisant Fu (P,0) (cad, tel que Fl (P, K ) est stable)
alors K stabilise Fu (P, ∆ ) ∀∆ ∈ RH ∞
ssi
Fl (P, K )
∞
<
1
ε
tel que ∆ ∞ < ε
=γ
∆
où RH ∞
est l’espace des fonctions
de transfert réelles stables
w
Fl (P, K )
z
II.2
Exemple 1: incertitudes additives en sortie
z
e
+
-
K
u
w W
2
∆
G
+
σ {∆( jω)} <1 ∀ω ⇔ ∆ ∞ <1
⇔σ {∆( jω)W2 ( jω)} < W2 ( jω)
1442443
∆A  jω
G∆ = G + ∆A
Théorème des petits gains
Stable ssi Fl (P,K) <1
I 
 0
avec P = 

I
G
−
W
−
 2

∞
⇔ P11 + P12K(I − P22K) P21 <1
−1
∞
⇔ K(I + GK) W2 <1
−1
∞
⇔ KSsW2 ∞ <1
II.2
Exemple 2: incertitudes multiplicatives en sortie
w
z
∆
W1
e
u
+
K(s)
G(s)
+
G ∆ = (I + ∆ M )G
σ (∆ M ( jω )) < W1 ( jω ) ∀ω ∈ R ⇔ ∆ M = ∆W1 avec ∆ ∞ ≤ 1
G
 0
−1
⇒ P=
⇒
F
(
P,
K
)
=
−
GK(I
+
GK)
W1
l

−W1I − G
= − (I + GK) −1 GKW1 = − TsW1
TsW1
∞
<1
(théorème des petits gains)
II.3
Critères de performance (1)
•Suivi de consigne
•Rejet de perturbation
•Atténuation du bruit de mesure
•Modération de la commande
y = S s [δy ] + Ts [r − b] + S sG[δu ]
e = S s [r − δy − b] − S sG[δu ]
ε = S s [r − δy ] + Ts [b] − S sG[δu ]
u = −Te [δu ] + S e K [r − δy − b]
(5)
(6)
(7)
(8)
∃ des critères contradictoires => compromis nécessaires
Synthèse H ∞ => transformation en critères fréquentiels
II.3
2.31
Suivi de consigne
•Précision statique
•Temps de réponse
•Dépassement ou facteur d’amortissement
2.311 Précision statique
ε = S s [r ]
1° erreur de position
e p = lim ε (t ) où r (t ) = U (t )I ⇔ lim sε (s ) = lim S s ( s ) = S s (0) = e p
t →∞
s →0
s →0
erreur de position = 0 ⇔ σ {S s (0)} = 0
⇒ σ {S s ( jω )} a une pente ≥ 20dB/décade à l’origine
II.3
2.31
Suivi de consigne
2.311 Précision statique
2° erreur de vitesse
1
ev = lim ε (t ) où r (t ) = tU (t )I ⇔ lim S s ( s ) = ev
t →∞
s →0 s
 1

S s ( jω ) = 0
erreur de vitesse = 0 ⇔ lim σ 
ω →0

 jω
⇒ σ {S s ( jω )} a une pente ≥ 40dB/décade à l’origine
3° erreur d’accélération
ea = lim ε (t )
t →∞
t2
1
où r (t ) = U (t )I ⇔ lim 2 S s ( s) = ea
s →0 s
2
II.3
2.31 Suivi de consigne
2.312 Temps de réponse
Le temps de réponse est corrélé à la bande passante en B.F. : Ts ( jω )
1
1° système du premier ordre
1+τ s
1
Pulsation de coupure ω C =
τ
Temps de montée t m = t10% −90% = 2,2τ
ω n2
2° système du deuxième ordre 2
s + 2ζω n s + ω n2
Pulsation naturelle ω n = pulsation de coupure diagramme de Bode asymptotique
Temps premier maximum t1 =
π
ωn 1− ζ
2
(ζ < 1)
Temps d’établissement (temps de réponse) à x % t x %
 x 1−ζ 2
=
ln
ζω n  100
−1

 (ζ < 1)


II.3
2.312 Temps de réponse
2° système du deuxième ordre (suite)
Temps de montée
tm ≈
1,8
ωn
(ζ < 1)
⇒le temps de réponse est inversement proportionnel
à la bande passante en boucle fermée
Bande passante ⇔fréquences où le gain de la boucle fermée ≥ -3dB
Si ω c est la pulsation de coupure :
⇒ σ {Ts ( jω )} ≥ 0,707 ∀ω ≤ ω C
⇐ σ {S s ( jω )} ≤ 0,293 ∀ω ≤ ω C
II.3
2.313 Facteur d’amortissement
Système du deuxième ordre
D% = 100e
−πζ / 1−ζ 2
1
ζ est lié à δ =
S∞
=> L’amortissement peut être spécifié par
Typiquement:
Ss
∞
ζ
S
0,3
0,5
0,7
0,9
S
2 (6dB)
1,5
1,3 (3dB)
1,2
∞
= sup σ {S s ( jω )} ≤ 3 ou 4 dB
ω
∞
II.3
2.32 Rejet de perturbations
2.321 Rejet de la perturbation de sortie
Supposons que δ y
⇒ Il faut S s ( jω )
y = S s [δ y ]
soit une perturbation basse-fréquence
proche de zéro dans les basses fréquences
⇒ Définir une fonction de transfert W1 telle que
le rejet de perturbation est correctement effectué si
W1S s ( jω ) ≤ γ
Par exemple
∀ω
⇔
W1S s
w1
W1 =
jω
⇒ σ {S s (0)} = 0
∞
≤γ
W1 ( jω ) = fonction de
pondération
fréquentielle
⇒ rejet de perturbation constante
II.3
2.32 Rejet de perturbations
2.321 Rejet de la perturbation d’entrée
y = S sG[δ u ]
⇒Il faut S sG ( jω ) proche de zéro dans les fréquences où
la perturbation δ u est significative
⇒ Définir une fonction de transfert W3 telle que
le rejet de perturbation est correctement effectué si
W3S sG ( jω ) ≤ γ
∀ω
⇔
W3S sG
∞
≤γ
W3 ( jω ) = fonction de pondération fréquentielle proportionnelle
à la perturbation
II.3
2.33
Atténuation du bruit de mesure
y = −Ts [b] et u = −S e K[b]
A. ⇔ dans la plage de fréquence du bruit σ {Ts ( jω )} ≈ 0
⇔ Définir W2 tel que l’effet du bruit est atténué
sur la sortie si W2 Ts ≤ γ
∞
Exemple
W2 =
s
w
⇒ Ts ( jω ) ≤ 2 γ
w2
ω
∀ω
roll-off de –20dB/décade
B. ⇔ Définir W4 tel que l’effet du bruit est atténué
sur la commande si W4S e K ≤ γ
∞
II.3
2.34
u = S e K [r ]
Modération de la commande
⇒ Limiter σ {S e K ( jω )} dans la bande passante
⇒ 1°
SeK
∞
< constante
2° σ {S e K ( jω )} < filtre passe - bas
⇔ Définir W4 tel que W4S e K
∞
≤γ
II.4
2.41
S sW1
Gabarits fréquentiels (1)
Gabarit sur S s
∞
<γ
1
δ
σ {S s ( jω )}
= K1
S = transfert consigne → erreur
= transfert perturbation de sortie → sortie
γ
ωs
W1 ( jω )
•
ω
Ep
W1 ( jω ) grand dans les basses-fréquences => précision statique
( E p borne supérieure de l’erreur de position)
ω s ≅ bande passante minimale ω > ω
s
c
δ = K 1−1 = limite supérieure de la marge de module
δ s + ωS
W
(
s
)
=
γ
Exemple :
1
s + E pω S
II.4
2.42
σ {Ts ( jω )}
Gabarit sur Ts
⇔ TsW2
∞
<γ
ωc
•
•
ωr
ω
-3dB
γ
W 2 ( jω )
W2 ( jω ) grand dans les hautes-fréquences ⇒ atténuation du bruit
σ {Ts ( jω )} ≥ 0,707 ∀ω ≥ ω c bande passante
1
s
Ts = I −S s ∀ω
ωr > ωc
Exemple : W2 (s ) =
!
γ
ωr
⇒ les 2 gabarits ne sont pas indépendants!
II.4
2.43 Gabarit sur S sG
W3
S sGW3
∞
<γ
permet d’ajuster le rejet de perturbation d’entrée
sur la sortie
σ {S s G ( jω )}
W3 constant
ω
γ
W3 ( jω )
W3
variable
II.4
2.45 Gabarit sur KS s ou S e K
KS sW4
∞
<γ
σ {KS s ( jω )}
k1
ωc
Permet d’éviter d’exciter
Les commandes au-delà de la
bande passante choisie
k2
k
⇒
2 petit
•
ωu
•
ω
γ
W4 ( jω )
W4 ≅ bande passante commande
Exemple:
ou bien
1
γ
W4 ( s ) =
1
1 k1s + ω u
k1 k 2 s + ω u
1
W4 ( s ) =
γ
k1
ωu > ωc
II.4
2.44 Gabarit sur KS sG = Te
KS sGW5
∞
<γ
W4 permet d’ajuster le rejet de perturbation d’entrée sur
la commande mais aussi le « roll-of » et le bruit de
mesure par rapport à la sortie
σ {KS sG ( jω )}
ω
γ
W5 ( jω )
II.5
Récapitulatif
Stabilité robuste
Marge de module δ
Incertitudes additives en sortie
Incertitudes multiplicatives en sortie
Incertitudes multiplicatives en entrée
Ss
∞
≤1 δ
≤γ
WKS s
∞
WTs
∞
≤γ
WTe
∞
≤γ
II.5 Récapitulatif (suite)
Performance robuste
Erreur de position e p
Erreur de vitesse ev
Erreur d’accélération ea
Bande passante ω c
Amortissement ζ > 0,7
e p = lim S s ( s )
s →0
1
ev = lim S s ( s )
s →0 s
1
ea = lim 2 S s ( s )
s →0 s
σ {S s ( jω )} < 0,293 ∀ω ≤ ω c
S s ∞ ≤ 3dB
Rejet perturbation de sortie (en sortie)
Rejet perturbation d’entrée (en sortie)
Atténuation du bruit de mesure (en sortie)
Rejet perturbations d’entrée (en entrée)
Modération de la commande
WS s
∞
≤γ
≤γ
WS s G
∞
WTs
∞
≤γ
WTe
∞
≤γ
WS e K
∞
≤γ

Commande Robuste Professeur Michel de Mathelin Cours intégré

Transcription

Documents pareils

carte des facteurs de robustesse en santé mentale

Axe2 (Recherche) - Mounier-Grapin

KM4000 Food Preparation

KM4700 Food Preparation

THÈSE

Fiche produit

DIMENSION DU PNEU ET DÉFINITIONS

Shure SM 94 - CentralSono