Le plan est muni d`un repère orthonormal (O,I,J)

3ème
Problème de synthèse n°4
Dans tout le problème, l’unité est le mètre.
1. Un moulin à vent est constitué d’un cylindre surmonté d’un cône de révolution (figure 1). Le cylindre
et le cône ont la même hauteur h et une base commune de centre 0 et de rayon R.
a) Exprimer le volume du cylindre et du cône en fonction de R et h.
2
b) En déduire que le volume du moulin est égal à 4 R h
3
c) On donne R = 3 et h = 5
Calculer la valeur arrondie à 1 m3 près de ce volume.
2.
Les ailes du moulin sont représentées par la région coloriée de la figure 2. ABCD est un carré de
centre O et de 12 mètres de côtés. Les triangles OMN, OPQ, ORS et OUT sont isocèles en O. On pose
MN = x.
a) Exprimer en fonction de x l’aire du triangle OMN. En déduire que l’aire des ailes du moulin est
égale à 144 – 12x.
b) Déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire des ailes est égale à 36 m².
c) On suppose que x = 9
 Calculer OM.
 Montrer que le périmètre des ailes est égal à 72 m.
3. Dans cette question on suppose que x = 9.
On a réalisé une maquette de ce moulin au 1/20
Calculer :
a) le périmètre des ailes de la maquette ;
b) l’aire des ailes de la maquette ;
3
c) le volume de la maquette du moulin (on utilisera le résultat du 1.c) et on donnera la réponse en m
arrondie au millième).
1
3ème
Problème de synthèse n°4
CORRECTION
1. a) On utilise les formules des volumes du cylindre et du cône :
 R² h
Vcylindre =  R ² h et Vcône =
3
b) Le volume du moulin est égal à la somme des deux volumes de la question a) : Vmoulin =
4
 R² h
3
c) Dans la formule de la question b) on remplace R par 3 et h par 5.
4
V
  9  5 donc V  188 m3
3
2. a) Le triangle OMN est isocèle de côté [MN] et de hauteur correspondante [OH].
MN  OH
x6

 3x
Aire(OMN) =
2
2
Les ailes du moulin ont une aire égale à l’aire du carré ABCD diminuée des aires des 4 triangles égaux à
OMN.
Donc Aire(ailes) = 12  12  4  (3 x)  144  12 x
b) On veut que l’aire des ailes soit de 36 m²
Donc 144  12 x  36
12 x  144  36
12 x  180
x  9m
c) Dans le triangle rectangle OMH on sait que MH = 4,5 m ( car le triangle OMN est isocèle) et OH = 6
m.
Si un triangle est un rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
Donc OM²=OH²+HM²
OM²=36+20,25
OM²=56,25
OM=7,5 m
Le périmètre des ailes s’obtient en faisant la somme de 8 segments égaux à OM et de 8 segments égaux
à MD.
12  x
12  9

 1,5
MD =
2
2
Donc Périmètre(ailes) = 8  7,5  8 1,5  72 donc P = 72 m
a) La maquette étant à l’échelle 1/20, le périmètre est multiplié par 1/20
72
 3, 6
Périmètre(maquette) =
20
Périmètre(maquette) = 3,6 m
b) La maquette étant à l’échelle 1/20, l’aire est multiplié par (1/20)²
36
 0, 09
Aire(maquette) =
400
Aire(maquette) = 0,09 m².
c) La maquette étant à l’échelle 1/20, le volume est multiplié par (1/20)3
188
 0, 0235
Volume(maquette) =
8000
Volume(maquette)  0, 024 m3
2.
2