Programme - Hachette Education

Programme
Application du programme de mathématiques Seconde (2009-2010), paru au BO n° 30 du 23 juillet 2009,
à l’aide du manuel Déclic 2nde, édition 2004, et du manuel Déclic 1re ES, Obligatoire et option, édition 2005.
2.
GÉOMÉTRIE
L’objectif de l’enseignement de la géométrie plane est de rendre les élèves capables d’étudier un problème dont la résolution repose sur
des calculs de distance, la démonstration d’un alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la recherche des coordonnées du
point d’intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée.
Les configurations étudiées au collège, à base de triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de problèmes pour lesquels la géométrie
repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants.
En fin de compte, l’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier un problème d’alignement de points, de parallélisme ou d’intersection
de droites, de reconnaissance des propriétés d’un triangle, d’un polygone – toute autonomie pouvant être laissée sur l’introduction ou non
d’un repère, l’utilisation ou non de vecteurs.
Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique par les élèves leur donne une plus grande
autonomie et encourage leur prise d’initiative.
La définition proposée des vecteurs permet d’introduire rapidement l’addition de deux vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un
nombre réel. Cette introduction est faite en liaison avec la géométrie plane repérée. La translation, en tant que transformation du plan,
n’est pas étudiée en classe de seconde.
Contenus
Capacités attendues
Coordonnées d’un • Repérer un point donné du plan,
placer un point connaissant ses
point du plan
coordonnées.
Abscisse et ordonnée • Calculer la distance de deux
d’un point dans le points connaissant leurs coordonplan rapporté à un nées.
repère orthonormé. • Calculer les coordonnées du
Distance de deux milieu d’un segment.
points du plan.
Milieu d’un segment.
Configurations du Pour résoudre des problèmes :
• Utiliser les propriétés des trianplan
gles, des quadrilatères des cercles.
Triangles, quadrilatè- • Utiliser les propriétés des syméres, cercles.
tries axiale ou centrale.
Droites
• Tracer une droite dans le plan
repéré.
Droite comme courbe • Interpréter graphiquement le
représentative d’une coefficient directeur d’une droite.
fonction affine.
• Caractériser analytiquement une
Équations de droites. droite.
Droites parallèles, • Établir que trois points sont alignés, non alignés.
sécantes.
• Reconnaître que deux droites
sont parallèles, sécantes.
• Déterminer les coordonnées du
point d’intersection de deux droites
sécantes.
Liens vers le manuel Déclic 2nde,
Ed. 2004
Se reporter essentiellement au chapitre 6.
• p. 140 et 142, cours
• p. 143, Méthode N
p. 145, TD logiciel
p. 158, exercices 95 à 98.
On peut aussi utiliser des logiciels de géométrie dynamique et avoir une approche
analytique (voir les fichiers de figures téléchargeables sur le site DECLIC 2004 :
www.declic2.hachette-education.com).
Se reporter essentiellement aux chapitres 3
et 10.
• p. 56 à 61, cours et méthode
Nombreux exercices dans le chapitre 3 qui
permettent de travailler également le calcul
numérique, la trigonométrie du triangle
rectangle, les angles, les aires…
• p. 270, exercices 80 et 81
p. 271, travaux 82 et 83
p. 272, tous les exercices utilisant des logiciels : exercices 84 et 85
p. 273, exercices sur les trajets
p. 274, exercices sur les symétries.
Se reporter essentiellement au chapitre 7.
• p. 168 et 169, cours et méthode
Systèmes : p. 172, cours
• On peut justifier que trois points sont alignés en utilisant le parallélisme de deux
droites (p. 168) ou l’appartenance à une
droite.
Utilisation d’un logiciel de géométrie :
p. 175, TD Logiciel
Calculatrice : p. 187, travaux, exercices 95
et 96
Valeur absolue et fonction affine par morceau : p. 188, travaux, exercice 97
• Système : p. 184 à 186, exercices 72 à 83
Résolution à la calculatrice (algorithme) :
p. 188, travaux, exercice 98.
Commentaires
Un repère orthonormé du plan
est défini par trois points (O, I, J )
formant un triangle rectangle
isocèle de sommet O.
À l’occasion de certains travaux,
on pourra utiliser des repères non
orthonormés.
Les activités des élèves prennent
appui sur les propriétés étudiées
au collège et peuvent s’enrichir
des apports de la géométrie
repérée.
◊ Le cadre de la géométrie repérée offre la possibilité de traduire
numériquement des propriétés
géométriques et permet de
résoudre certains problèmes par
la mise en œuvre d’algorithmes
simples.
On démontre que toute droite a
une équation soit de la forme
y = mx + p, soit de la forme
x = c.
On fait la liaison avec la colinéarité des facteurs.
C’est l’occasion de résoudre des
systèmes d’équations linéaires.
5
Programme
Contenus
Capacités attendues
Vecteurs
• Savoir que YAB = YCD équivaut à
D é f i n i t i o n d e l a ABCD est un parallélogramme,
translation qui trans- éventuellement aplati.
forme un point A du • Connaître les coordonnées
(xB - xA , yB - yA ) du vecteur YAB.
plan en point B.
• Calculer les coordonnées de la
Vecteur YAB associé. somme de deux vecteurs dans un
repère.
Égalité de deux vecteurs :
• Utiliser la notation mau.
au = YAB = YCD.
• Établir la colinéarité de deux vecteurs.
Coordonnées d’un
v e c t e u r d a n s u n • Construire géométriquement la
repère.
somme de deux vecteurs.
• Caractériser alignement et paralSomme de deux veclélisme par la colinéarité de vecteurs.
teurs.
Produit d’un vecteur
par un nombre réel.
Liens vers le manuel Déclic 2nde,
Ed. 2004
Commentaires
Se reporter essentiellement au chapitre 6. À tout point C du plan, on associe, par la translation qui transC’est cet aspect qui est mis en valeur dans forme A en B, l’unique point D tel
l’ouvrage. Par exemple, page 134, il suffit que [AD ] et [BC ] ont même
de passer rapidement aux coordonnées, sans milieu.
insister sur le calcul vectoriel à proprement
La somme des deux vecteurs ua et
dit.
a v est le vecteur associé à la
Coordonnées : p. 140, cours
translation résultant de l’enchaînement des translations de vecColinéarité : p. 142, cours
teur au et de vecteur av.
Les exercices utilisant les coordonnées sont
tous rassemblés à partir de la page 153 Pour le vecteur ua de coordonnées
(a, b) dans un repère, le vecteur
jusqu’à la page 158.
mau est le vecteur de coordonnées
(ma, mb) dans le même repère. Le
vecteur mau ainsi défini est indépendant du repère.
Relation de Chasles.
S’adressant à tous les élèves de seconde, le programme de géométrie dans l’espace a pour objectif :
– de développer la vision dans l’espace des élèves en entretenant les acquis du collège concernant les solides usuels ;
– d’introduire les notions de plans et droites de l’espace et leurs positions respectives ;
– de fournir ainsi des configurations conduisant à des problèmes aptes à mobiliser d’autres champs des mathématiques (géométrie plane,
fonctions, probabilités) ou de la physique.
Il importe donc tout particulièrement que la géométrie dans l’espace soit abordée tôt dans l’année scolaire.
L’utilisation d’un logiciel de visualisation et de construction est un élément déterminant dans « l’apprentissage de l’espace ».
Les élèves doivent être capable de représenter en perspective parallèle (dite aussi cavalière) une configuration simple et d’effectuer des
constructions sur une telle figure. Ils doivent aussi être capables de mobiliser pour des démonstrations les théorèmes de géométrie plane.
Contenus
Géométrie dans l’espace
Les solides usuels étudiés au
collège :
parallélépipède rectangle, pyramides, cône et cylindre de révolution, sphère.
Droites et plans, positions relatives.
Droites et plans parallèles.
6
Capacités attendues
Liens vers le manuel
Déclic 2nde, Ed. 2004
Commentaires
• Manipuler, construire, représenter Se reporter essentiellement au C’est l’occasion d’effectuer des
calculs de longueur, d’aire et de
en perspective des solides.
chapitre 5.
volumes.
Solides usuels : p. 306
Calculs : p. 120, exercices 1 à 11 On entraîne les élèves à l’utilisation autonome d’un logiciel de
p. 126, exercices 43 et 44
géométrie dans l’espace.
p. 127, exercices 47 à 52
p. 128, travaux, exercices 53 à
56
Positions relatives : p. 112
Utilisation d’un logiciel : p. 129,
exercice 56.
On trouvera les fichiers de nombreux problèmes téléchargeables
sur le site DECLIC 2004 : www.
declic2.hachette-education.
com.