Second degré€: Interprétation graphique
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Second degré€: Interprétation graphique
Second degré : Interprétation graphique Préliminaire A chaque expression du second degré de formule générale ax ² + bx + c on peut associer une équation du second degré ax ² + bx + c = 0 , mais aussi associer une courbe, c'est-à-dire l’ensemble des points M de coordonnées x et y qui vérifient l’équation y = ax ² + bx + c (approche géométrique) A cette courbe on peut aussi associer la fonction f ( x) = ax ² + bx + c (approche fonctionnelle) NB : On retrouve la différence entre l’approche géométrique de la droite associée à l’équation y = ax + b et l’approche fonctionnelle associée à la fonction affine f ( x) = ax + b Le but de l’exercice est de faire le lien entre la résolution algébrique de l’équation du second degré et la représentation graphique de la fonction associée. CUEEP Département Mathématiques E910 : Second degré : interprétation graphique p1/6 Déterminer algébriquement les solutions des équations ax ² + bx + c = 0 quand elles existent et vérifier graphiquement ces solutions en traçant les courbes associées y = ax ² + bx + c y = − x² + 4 x − 4 y = − x² + 4 x − 5 x² x y = + −6 2 2 y = 4 x ² − 12 x + 9 y = 3x ² + 2 x + 4 y = − x² − 2 x + 3 − x² + 4 x − 4 = 0 − x² + 4 x − 5 = 0 x² x + −6 = 0 2 2 4 x ² − 12 x + 9 = 0 3x ² + 2 x + 4 = 0 − x² − 2 x + 3 = 0 Résoudre les équations suivantes sachant que quand un produit de facteurs est nul, alors un des facteurs est nul : − ( x − 2)² = 0 x ( x − 3)( + 2) = 0 2 (2 x + 3)² = 0 − ( x − 1)( x + 3) = 0 Développer ces expressions et comparer aux précédentes. Qu’en concluez vous ? CUEEP Département Mathématiques E910 : Second degré : interprétation graphique p2/6 Corrigé y = − x ² + 4 x − 4 = −( x − 2)² y = − x² + 4 x − 5 y = 0 pour pas de solution pour y = 0 x=2 La courbe coupe l’axe des abscisses en x=2 x² x x + − 6 = ( x − 3)( + 2) 2 2 2 y = 0 pour x = 3 et x = −4 y= la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses La courbe coupe l’axe des abscisses en x = 3 et x = -4 y y 2 y 3 2 1 1 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -1 0 1 2 3 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x -2 -1 -3 -2 -4 -3 -5 1 2 3 4 x y = 4 x ² − 12 x + 9 = (2 x − 3)² y = 3x ² + 2 x + 4 y = − x ² − 2 x + 3 = −( x − 1)( x + 3) y = 0 pour x = 3 / 2 pas de solution pour y = 0 y = 0 pour La courbe coupe l’axe des abscisses en x = 3/2 la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses 3 2 1 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 CUEEP Département Mathématiques x -2 -1 0 -1 -2 -3 x = −3 La courbe coupe l’axe des abscisses en x = 1 et x = -3 y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y x = 1 et y 3 2 1 -4 1 x E910 : Second degré : interprétation graphique -3 -2 -1 0 1 2x -1 p3/6 Formalisme On remarque que : Lorsque l’équation ax ² + bx + c = 0 admet deux solutions x' et x' ' le polynôme ax ² + bx + c peut s’écrire sous la forme factorisée : ax ² + bx + c = a ( x − x' )( x − x' ' ) y y 1 1 0 0 1 1 x x La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisse x = x' et x = x' ' Lorsque l’équation ax ² + bx + c = 0 admet une seule solution x' , le polynôme ax ² + bx + c peut s’écrire sous la forme factorisée : y y 2 1 -1 ax ² + bx + c = a ( x − x' )² 1 0 1 2 3 4 x -1 -2 0 1 x -3 La courbe coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse x = x' y y 1 Lorsque l’équation ax ² + bx + c = 0 n’admet pas de solution, le polynôme ax ² + bx + c ne peut pas s’écrire sous une forme factorisée. La courbe ne coupe pas l’axe des abscisses 0 1 x 1 0 1 x En conclusion : lorsqu’il existe au moins une valeur qui annule un polynôme du second degré il pourra s’écrire sous la forme d’un produit de facteurs de deux termes du premier degré. CUEEP Département Mathématiques E910 : Second degré : interprétation graphique p4/6 Applications Factorisation d’un polynôme du second degré Pour savoir si un polynôme du second degré de forme ax ² + bx + c = 0 est factorisable, il suffira de chercher soit algébriquement soit graphiquement les solutions de l’équation ax ² + bx + c = 0 Si elles existent le polynôme pourra s’écrire sous la forme : a ( x − x' )( x − x' ' ) Exemple : l’expression 5 x ² − 8 x + 3 est –elle factorisable ? L’équation 5 x² − 8 x + 3 = 0 admet deux solutions x' = 1 x' ' = et 3 5 3 5 L’expression 5 x ² − 8 x + 3 peut se mettre sous la forme 5( x − 1)( x − ) CUEEP Département Mathématiques E910 : Second degré : interprétation graphique p5/6 Déterminer l’équation d’une parabole Pour déterminer l’équation d’une fonction du second degré à partir de sa représentation graphique, si la courbe coupe l’axe des abscisses il sera inutile de poser un système de 3 équations à 3 inconnues pour déterminer les coefficients a, b et c. Il suffit de repérer les abscisses x' et x' ' correspondant à y = 0 , d’écrire la formule y = a ( x − x' )( x − x' ' ) et de déterminer le coefficient « a » à l’aide d’une autre point appartenant à la courbe (le plus simple est de prendre le point d’abscisse x = 0 ) Exemple : Déterminer l’équation de cette fonction du second degré : La fonction s’annule pour x = −2 et x = 3 . y 2 -4 -3 -2 -1 0 L’équation ax ² + bx + c peut s’écrire a ( x + 2)( x − 3) 1 2 3 -2 -4 4 5 x La courbe passe par le point de coordonnées x = 0 et y = −12 . On a donc : − 12 = −6a a=2 -6 -8 -10 L’équation de la courbe associée à la fonction est alors : y = 2( x + 2)( x − 3) = 2 x ² − 2 x − 12 -12 -14 CUEEP Département Mathématiques E910 : Second degré : interprétation graphique p6/6