Exercices 4-4 p 172

Math 30321
Module 2 – Équations quadratiques
Page 1
Ex : 4.4 p. 172 # 55, 56, 58, 60, 61, 62, 64, 66ac, 67ac, 68
55. Olympieion. L’Olympieion a été construit à Athènes, en Grèce, en l’an 174 av. JC. La base de cet imposant
temple est un rectangle dont le périmètre mesure 300m. L’aire de la base mesure 4400 m2. Quelles sont les
dimensions de la base?
2x + 2y = 300m
2x = 300 − 2y
x = 150 − y
(y
xy = 4400
(150 − y )y = 4400
y 2 − 150 y + 4400 = 0
2
si y = 110
− 150 y + 5625 ) − 5625 + 4400 = 0
x = 150 − 110
(y − 75 )2 − 1225 = 0
(y − 75 )2 = 1225
150 y − y 2 − 4400 = 0
− y 2 + 150 y − 4400 = 0
x = 40
si y = 40
y − 75 = ±35
y 2 − 150 y + 4400 = 0
y = 75 + 35
y = 75 − 35
x = 150 − 40
y = 110
y = 40
x = 110
Les dimensions de la base sont de 40 m par 110 m.
56. Mesure. La base d’un triangle mesure 2cm de plus que sa hauteur. L’aire du triangle mesure 5cm2.
Détermine la longueur de la base, au dixième de centimètre près.
b = h+2
(h
bh
A=
2
(
h + 2)h
5=
2
10 = h 2 + 2h
h 2 + 2h − 10 = 0
2
+ 2h + 1 ) − 1 − 10 = 0
(h + 1)2
Si h = 2,32
= 11
b =h+2
h + 1 = ± 11
b = 2,32 + 2
h = −1 ± 3,22
b = 4,32
h = −1 + 3,32 h = −1 − 3,32
h + 2h − 10 = 0
2
h = 2,32
h = −4,32 à rejeter
La base mesure 4,3 cm.
58. La longueur et la largeur d’un rectangle sont 6m et 4m. Quand on accroît chaque dimension de la même
quantité, l’aire du rectangle qu’on obtient est de 50 m2. Détermine les dimensions du nouveau rectangle, au
dixième de mètre près.
L = 6 + 2x
l = 4 + 2x
[
0 = 4x 2 + 20 x − 26
0 = 4 (x 2 + 5x + 6,25 ) − 6,25 − 6,5
A = Ll
0 = (x + 2,5 )2 − 12,75
50 = (4 + 2x )(6 + 2x )
(x + 2,5)2
0 = 24 + 8x + 12x + 4x 2 − 50
0 = 4x 2 + 20 x − 26
]
= 12,75
x + 2,5 = ±3,6
x = −2,5 + 3,6
x = −2,5 − 3,6
x = 1,1
x = −6,1
Si x = 1,1
L = 6 + 2(1,1 )
L = 8,2
l = 4 + 2(1,1)
l = 6,2
à rejeter
Le nouveau rectangle mesure 6,2 m par 8,2 m.
60. Mesure. Un triangle a une hauteur de 6 cm et une base de 8 cm. Si on diminue la hauteur et la base de la
même quantité, l’aire du triangle qu’on obtient est de 20 cm2. Détermine la base et la hauteur de ce nouveau
triangle, au dixième de centimètre près.
b =8−x
h=6−x
bh
A=
2
(8 − x )(6 − x )
20 =
2
40 = 48 − 8x − 6x + x 2
x 2 − 14x + 8 = 0
(x
x 2 − 14x + 8 = 0
2
− 14x + 49 ) − 49 + 8 = 0
(x − 7 )
2
x − 7 = ± 41
x = 7 ± 6,4
x = 7 + 6,4
x = 7 − 6, 4
x = 13,4
x = 0,6
à rejeter
La base mesure 7,4 cm et la hauteur mesure 5,4 cm.
− 41 = 0
Si x = 0,6
b = 8 − 0,6
b = 7,4
h = 6 − 0,6
h = 5,4
Math 30321
Module 2 – Équations quadratiques
Page 2
Ex : 4.4 p. 172 # 55, 56, 58, 60, 61, 62, 64, 66ac, 67ac, 68
61. Nombres entiers. La somme d’un nombre entier et de son carré est 210. Trouve ce nombre entier.
(x
x + x = 210
x 2 + x − 210 = 0
2
+ x + 0,25 ) − 0,25 − 210 = 0
(x + 0,5 )2 − 210,25 = 0
2
Soit x le nombre entier
x + x − 210 = 0
2
x + 0,5 = ± 210,25
x = −0,5 ± 14,5
x = −0,5 + 14,5
x = −0,5 − 14,5
x = 14
x = −15
Le nombre est 14 ou -15.
62. Mesure. Un carré de longueur de côté x + 1 a une aire de 6 unités carrées. Trouve la valeur de x, au
centième près.
0 = x 2 + 2x − 5
0 = (x 2 + 2x + 1 ) − 1 − 5
A = Ll
6 = (x + 1 )(x + 1)
L = x +1
l = x +1
0 = (x + 1) − 6
2
(x + 1)2
0 = x 2 + x + x +1−6
=6
x + 1 = ±2,45
0 = x 2 + 2x − 5
x = −1 + 2,45 x = −1 − 2,45
x = 1,45
x = −3,45
à rejeter
La valeur de x est de 1,45 unités.
64. Nombres. Quand tu soustrais ce nombre de la moitié de son carré, tu obtiens 13. Exprime les valeurs
possibles de ce nombre en notations radicaux à leur plus simple expression.
Soit x le nombre
x
2
− x = 13
2
2
x − 2x − 26 = 0
(x
x 2 − 2x − 26 = 0
2
− 2x + 1 ) − 1 − 26 = 0
(x
− 1 ) − 27 = 0
2
x − 1 = ± 27
x =1±3 3
66. Résous. Écris chaque solution en notation de radicaux, à la plus simple expression.
a) x(x + 3) = 2x(x + 5 ) + 1
c) 1 (r + 2)2 = 1 (2r − 1)2
2
3
x 2 + 3x = 2x 2 + 10x + 1
3(r 2 + 2r + 2r + 4 ) = 2(4r 2 − 2r − 2r + 1 )
0 = x 2 + 7x + 1
3r 2+6r + 6r + 12 − 8r 2 + 4r + 4r − 2 = 0
 2
49  49
 x + 7 x +
−
+1 = 0
4  4

− 5r 2 + 20r + 10 = 0
2
7
45

=0
x +  −
2
4

2
7
45

x +  =
2
4


x+
7
45
=±
2
4
x =
−7 3 5
±
2
2
[
]
− 5 (r 2 − 4r + 4 ) − 4 − 2 = 0
(r
− 2) − 6 = 0
2
(r
− 2) = 6
2
r −2 = ± 6
r =2± 6
Math 30321
Module 2 – Équations quadratiques
Page 3
Ex : 4.4 p. 172 # 55, 56, 58, 60, 61, 62, 64, 66ac, 67ac, 68
67. Résous chaque équation. Écris chaque solution en notation de radicaux, à sa plus simple expression. Indique
toutes les restrictions qui s’appliquent à la variable.
a) 3 − 4 = x + 1
c) 2y = 3
2
x
3
 
x
y − 15
2x
y 2 −15
2
 2y 
 2

= (3)y −15
 y − 15 
2y = 3y 2 − 45
2x
2x
 4 
2x
−
 = (x + 1 )
 2x 
6 − 4 = 2x 2 + 2x
2x 2 + 2x − 2 = 0
0 = 3y 2 − 2y − 45


1 1
2 x 2 + x +  − − 1 = 0
4
4






2
1 1
3 y 2 − y +  − − 15 = 0
3
9
9




2
1
136

=0
y −  −
3
9

2
1
5

x +  − = 0
2
4

x+
1
5
=±
2
4
y−
1
5
±
2
2
x =
x=
1
136
=±
3
9
1 2 34
±
3
3
68. Football – La fonction h(t) = −5t2 + 20t + 2 correspond à la hauteur d’un ballon de football en fonction du
temps, t, en secondes, qu’il passe dans les airs après qu’on l’a lancé. Le ballon touche le sol avant qu’un
receveur de passe puisse l’attraper.
a) Combien de temps le ballon passe-t-il dans les airs, au dixième de seconde près?
h (t ) = −5t 2 + 20t + 2
0 = −5t 2 + 20t + 2
2

− 5(t 2 − 4t + 4 ) − 4 −  = 0
5

22
(t − 2)2 − = 0
5
2
(t − 2) = 22
5
22
t −2 = ±
5
t = 2 ± 2,1
t = 2 + 2,1
t = 4,1
t = 2 − 2,1
Le ballon passe 4,1 secondes dans les airs.
t = −0,1
à rejeter
b) Pendant combien de secondes le ballon se trouve-t-il à une hauteur d’au moins 17m?
17 = −5t 2 + 20t + 2
[
0 = −5t 2 + 20t − 15
]
− 5 (t 2 − 4t + 4 ) − 4 + 3 = 0 Le ballon se trouve d’au moins 17 m pendant 2 secondes.
(t
− 2) − 1 = 0
2
(t
− 2) = 1
2
t − 2 = ±1
t = 2±1
t =3
t =1