Coll`ege Saint Gabriel BREVET BLANC n°2

NOM :
Prénom :
Classe :
Collège Saint Gabriel
BREVET BLANC n°2
MATHEMATIQUES
20 Mai 2011
L’usage de la calculatrice est autorisé
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation ( 4 points)
ACTIVITES NUMERIQUES
12 points
4,5 pts
Exercice 1 :
On donne :
A=
6 17 5
−
÷
5 14 7
B=
8 × 108 × 1, 6
0, 4 × 10−3
C=
√
5+
√
10
2
√
− 10 2.
1. Écrire A sous la forme d’une fraction irréductible.
2. Donner l’écriture scientifique de B.
3. Montrer que C est un nombre entier.
Exercice 2 :
2 pts
Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.
1
2
3
4
Questions
Quelle expression est
égale à 6 si on choisit la
valeur x = −1 ?
Le développement de
(x + 3)(2x + 4) − 2(5x + 6)
est :
La factorisation de
9x2 − 16 est :
Les
solutions
de
l’équation
(x − 5)(3x + 4) = 0
sont :
Réponses
B
C
−3x2
6(x + 1)
5x2 + 1
2x2
2x2 + 20x + 24
2x2 + 24
(3x − 4)2
(3x + 4)(3x − 4)
(3x + 4)2
A
4
et 5
3
−
4
et 5
3
4
et −5
3
Exercice 3 :
3 pts
On rappelle dans cet exercice que :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
;
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
et (a + b)(a − b) = a2 − b2
On donne les expressions numériques suivantes :
√
√
2
√
7+3
7−3
A = 3 2 + 5 et B =
Pour les deux questions suivantes, vous indiquerez au moins une étape de calcul.
√
1. Écrire A sous la forme a + b 2 où a et b sont des nombres entiers.
2. Calculer B.
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Brevet Blanc n°2
Exercice 4 :
A
x
−5
−4, 5
−4
−3, 5
−3
−2, 5
−2
−1, 5
−1
−0, 5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
2,5 pts
B
x2 + x − 2
18
13,75
10
6,75
4
1,75
0
−1, 25
−2
−2, 25
-2
−1, 25
0
1,75
4
6,75
10
13,75
18
22,75
28
On a calculé, en colonne B, les valeurs prises
par l’expression x2 + x − 2 pour
les valeurs de x inscrites en colonne A.
On souhaite résoudre l’équation d’inconnue x :
x2 + x − 2 = 4
1. Margot dit que le nombre 2 est solution.
A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
2. Léo pense que le nombre 18 est solution.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.
3. Peut-on trouver une autre solution ?
Justifier la réponse.
2
20 Mai 2011
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ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES
12 points
Exercice 1 :
6,5 pts
On considère la figure ci-dessous qui n’est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de refaire la figure.
•
•
•
•
[ = 75 ° ;
ABD est un triangle isocèle en A tel que ABD
C est le cercle circonscrit au triangle ABD ;
O est le centre du cercle C
[BM] est un diamètre de C.
A
b
M
b
1. Quelle est la nature du triangle BMD ?
Justifier la réponse
[
2. a. Calculer la mesure de l’angle BAD.
b
O
b. Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc que
\
l’angle BMD.
\ mesure 30 °.
c. Justifier que l’angle BMD
75 °
b
B
3. On donne : BD = 5,6 cm et BM = 11,2 cm. Calculer DM.
On arrondira le résultat au dixième près.
b
D
Exercice 2 :
5,5 pts
En travaux pratiques de chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmeyers, comme celui schématisé ci
-dessous.
S
O′
Niveau maximum de l’eau
B′
O
B
Le récipient est rempli d’eau jusqu’au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche.
On note :
C1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB.
C2 le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O′ et de rayon O′ B′ .
On donne : SO = 12 cm et OB = 4 cm
1. Le volume V d’un cône de révolution de rayon R et de hauteur h est donné par la formule :
V =
1
× π × R2 × h
3
Calculer la valeur exacte du volume du cône C1 .
2. Le cône C2 est une réduction du cône C1 . On donne SO′ = 3 cm.
a. Quel est le coefficient de cette réduction ?
b. Prouver que la valeur exacte du volume du cône C2 est égale à π cm3 .
3.
a. En déduire que la valeur exacte du volume d’eau contenue dans le récipient, en cm3 , est 63π.
b. Donner la valeur approchée de ce volume d’eau arrondie au cm3 près.
4. Ce volume d’eau est-il supérieur à 0,2 litres ? Expliquer pourquoi.
3
20 Mai 2011
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Brevet Blanc n°2
PROBLEME
12 points
S
Monsieur Duchêne veut barder (recouvrir) de bois le pignon nord de son atelier.
Ce pignon ne comporte pas d’ouverture.
On donne : AD = 6 m ; AB = 2,20 m et SM = 1,80 m.
M est le milieu de [BC].
B
C
M
A
pignon nord de l’atelier
D
Les parties I, II et III sont indépendantes
Partie 1 : 3 pts
1. Montrer que l’aire du pignon ABSCD de l’atelier est de 18,6 m2 .
2. Les planches de bois qui serviront à barder le pignon sont conditionnées par lot.
Un lot permet de couvrir une surface de 1,2 m2 .
a. Combien de lots monsieur Duchêne doit-il acheter au minimum ?
b. Pour être sûr de ne pas manquer de bois, monsieur Duchêne décide d’acheter 18 lots.
Un lot est vendu au prix de 49 e.
Combien monsieur Duchêne devrait-il payer ?
c. Monsieur Duchêne a bénéficié d’une remise de 12 % sur la somme à payer.
Finalement, combien Monsieur Duchêne a-t-il payé ?
Partie 2 : 7 pts
S
tasseaux de bois
Dans un premier temps, Monsieur Duchêne
va devoir fixer des tasseaux de bois sur le mur.
Ensuite, il placera les planches du bardage sur
les tasseaux, comme indiqué sur la figure cicontre.
B
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A
planches du bardage
Les tasseaux seront placés parallèlement au côté [AB].
Cette partie a pour but de déterminer la longueur de chaque tasseau en fonction de la distance qui le
sépare du côté [AB].
Soit E un point du segment [AD]. La parallèle à (AB) passant par E coupe [BS] en F, et [BM] en H. On admet que la
droite (FH) est parallèle à la droite (SM).
Le segment [EF] représente un tasseau à fixer.
4
20 Mai 2011
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S
1,80 m
F
1. Sachant que M est le milieu de [BC], calculer BM.
B
C
H
2,20 m
2. Dans cette question, on suppose que le tasseau [EF] est
placé à 0,50 m du côté [AB].
On a donc : AE = BH = 0,50 m.
a. En se plaçant dans le triangle SBM et en utilisant
le théorème de Thalès, calculer FH.
M
E
A
0,50 m
b. En déduire la longueur EF du tasseau
3. Dans cette question, on généralise le problème et on suppose que le tasseau [EF] est placé à une distance x du
côté [AB].
On a donc : AE = BH = x (avec x variant entre 0 et 3
m)
D
6m
S
1,80 m
F
B
H
2,20 m
a. Montrer que FH = 0, 6x.
C
b. En déduire l’expression de EF en fonction de x.
M
E
A
D
x
6m
4. Dans cette question, on utilisera le graphique de l’annexe qui donne la longueur d’un tasseau en fonction de la
distance x qui le sépare du côté [AB].
On laissera apparents les tracés ayant permis les lectures graphiques.
a. Quelle est la longueur d’un tasseau sachant qu’il a été placé à 1,50 m du côté [AB] ?
b. On dispose d’un tasseau de 2,80 m de long que l’on ne veut pas couper.
À quelle distance du côté [AB] doit-il être placé ?
Partie 3 : 2 pts
S
Monsieur Duchêne a besoin de connaı̂tre la mesure de
[ pour effectuer certaines découpes.
l’angle SBM
On rappelle que : SM = 1,80 m et BC = 6 m.
[
Déterminer la mesure de l’angle SBM.
On arrondira le résultat au degré près.
B
C
M
A
5
pignon nord de l’atelier
D
20 Mai 2011
Collège Saint Gabriel PONT L’ABBE
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ANNEXE - PROBLEME
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
distance x entre le tasseau et le côté [AB] (en m)
6
20 Mai 2011