UNIVERSITY OF MIAMI

UNIVERSITY OF MIAMI
By
A THESIS
Submitted to the Faculty
of the University of Miami
in partial fulfillment of the requirements for
the degree of Master of
Coral Gables, Florida
UNIVERSITY OF MIAMI
A Thesis submitted in partial fulfillment of
the requirements for the degree of
Master of
Approved:
Ima Sample
Professor of Biolgy
Chairperson of the Thesis
Committee
Jo Anne K. Hecker
Interim Dean of
The Graduate School
Joseph Smith
Professor of Psychology
Frederick Jones
Associate Professor of
Biology
Table des matières
1 Approximation par la méthode de pénalisation du système d’I.Q.V
associé au HJB
5
1.1 Notations et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Inéquations variationnelles d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1
Existence et unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2
Estimations à priori de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3 Position du problème continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5 Approximation par pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.6 Unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.7 Propriétés de la solution continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7.1
Propriété de monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7.2
Propriété de lipchitzianité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.7.3
Régularité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.8 L’équation HJB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2 Problème discret
27
1
2
2.1 Méthode des éléments finis :(semi discretisation de l’espace) . . . . .
27
2.1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.2
Existence de la solution discrète . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.1.3
Unicité de la solution discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.1.4
Monotonie de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.1.5
Lipchitzianité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.6
L’équation HJB discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.1.7
Etude de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.1.8
Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.2 Méthode des différences finies : (discrétisation totale) . . . . . . . . .
43
2.2.1
Etude de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.2.2
Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3 Théorème de l’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3 Le comportement asymptotique de la solution du système de l’I.Q.V
parabolique
51
3.1 Le problème continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.1.1
L’application du point fixe associée au problème continu . . .
52
3.1.2
L’algorithme associé au problème continu . . . . . . . . . . . .
54
3.2 Le problème discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.2.1
L’application du point fixe associé au problème discret . . . .
56
3.2.2
L’algorithme associé au problème discret . . . . . . . . . . . .
57
3.3 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3
4 Localisation de la frontière libre
4.1 le cas stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
4.1.1
Le problème continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.1.2
Le problème discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.1.3
Approximation de la zone de contacte . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2 Comportement asymptotique de la frontière libre (Extension) . . . . .
63
5 Expérimentation numérique
67
4
Chapitre 1
Approximation par la méthode de
pénalisation du système d’I.Q.V
associé au HJB
1.1
Notations et hypothèses
On considère :
Ω un ouvert borné de RN , avec une frontière régulière Γ, Ω0 = Ω × ]0, T [ et
= Γ × ]0, T [ tel que 0 < T < ∞.
On utilisera les espaces L2 (]0, T [; L2 (Ω)) et L2 (]0, T [; H01 (Ω)) , tel que l’espace
L2 (]0, T [; V ) , muni du produit scalaire suivant :
T
u, v
L2 (]0,T [;V )
=
u (t) , v (t)
0
5
V
dt
(1.1)
6
Am , sont les opérateurs du deuxième ordre définit comme suit :
Am =
am
i,j (x, t)
1≤ i,j≤ N
∂2
∂
+
bm
+ am
j (x, t)
0 (x, t)
∂xi ∂xj 1≤j≤N
∂xj
(1.2)
où :
m
m
∞
am
i,j , aj , a0 ∈ L (Ω0 ) , 1 ≤ i, j ≤ N, 1 ≤ m ≤ M
(1.3)
On définit les formes bilinéaires am associées à l’opérateur Am :
am (um , v) =
am
i,j
Ω
1≤ i,j ≤N
∂um ∂v
∂um
m
+
am
v + am
0 u v dx
∂xi ∂xj 1≤ j ≤N j ∂xj
(1.4)
Ces formes bilinéaires vérifient l’hypothèse de coercivité suivante :
1≤ i,j≤ N
2
am
i,j (x, t) ξ i ξ j ≥ α |ξ| ,
x ∈ Ω, ξ ∈ RN , α > 0
(1.5)
et elles sont symétriques :
m
am
i,j = aj,i , ∀ 1 ≤ i, j ≤ N, 1 ≤ m ≤ M
(1.6)
On suppose aussi que :
f m ∈ L∞ (Ω0 ) ,
∂f m
∈ L∞ (Ω0 ) , 1 ≤ m ≤ M
∂t
(1.7)
Noterons dans toute la suite que . , désigne la norme dans H01 (Ω) , et |.| la norme
dans L2 (Ω) .
7
1.2
Inéquations variationnelles d’évolution
1.2.1
Existence et unicité de la solution
Soit
ψ ∈ L2 0, T ; L2 (Ω)
(1.8)
Reprenons d’abord les hypothèses, et les notations de (1.1) à (1.7), sauf l’indice
m, après on donne la définition de la solution forte :
Définition 1 On dit que u est une solution forte d’une I. V. d’évolution si
u ∈ L2 0, T ; H01 (Ω) ,
−
∂u
∈ L2 0, T ; L2 (Ω)
∂t
∂u
(t) , v − u (t) + a (t; u (t) , v − u (t)) ≥ (f (t) , v − u (t)) p.p.ent
∂t
∀v ∈ V tel que v (x) ≤ ψ (x, t) p.p. dansΩ
et u satisf ait
∂u
+ Au − f (u − Ψ) = 0 dans Ω0 , u = 0 sur Σ.
∂t
u (x, 0) = ū (x) ,
x ∈ Ω.
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Théorème 2 On suppose les notations (1.3), (1.5), (1.7), et on suppose que
∂ai,j
∈ L∞ (Ω0 )
∂t
(1.14)
ū ∈ H01 (Ω) , ū ≤ ψ (T )
(1.15)
alors le problème fort (1.9), (1.10) et (1.11) admet une solution unique, telle que
u ∈ L∞ 0, T ; H01 (Ω)
(1.16)
8
On considère maintenant l’équation
∂uε
1
+ A (t) uε + (uε − ψ)+ = f
∂t
ε
(1.17)
uε ∈ L2 0, T ; H01 (Ω)
(1.18)
uε (x, 0) = ū
(1.19)
avec
sa forme variationnelle s’écrit comme suit
−
∂uε
1
, v + a (t; uε , v) +
(uε − ψ)+ , v = (f, v) , ∀v ∈ H01 (Ω) .
∂t
ε
(1.20)
(1.20) est l’équation pénalisée associée au problème (1.9), (1.10) et (1.11).
Théorème 3 On suppose (1.8), (1.15) et (1.5), il existe alors uε unique tel que :
uε ∈ L2 0, T, H01 (Ω) ,
∂uε
∈ L2 0, T ; H01 (Ω)
∂t
(1.21)
et uε vérifie (1.17).
Preuve. ( Voir [1])
1.2.2
Estimations à priori de pénalisation
A la suite du problème continu on a besoin des estimations suivantes pour démontrer l’existence de la solution
uε
L∞ (0,T ;L2 (Ω))
1
√ (uε − ψ)+
ε
≤C
L2 (0,T ;L2 (Ω))
(1.22)
≤C
(1.23)
9
On pose
∂aij ∂u ∂v
dx +
∂t ∂xj ∂xi
ȧ (t; u, v) =
Ω
∂aj ∂u
v dx +
∂t ∂xj
Ω
∂a0
u v dx
∂t
Ω
Ȧ (t) u, v = ȧ (t; u, v) si v ∈ D (Ω)
on pose aussi
∂uε
∂t
T
|wε (t)| +
wε (s)
2
+ u′ε
T
1
ds +
ε
t
L∞ (0,T ;H 1 (Ω))
(1.25)
= wε , alors on a l’estimation suivante :
2
uε
(1.24)
2
∂
(uε − ψ)+ ds ≤ C
∂t
(1.26)
t
L2 (0,T ;L2 (Ω))
1
+ √ (uε − ψ)+
ε
L∞ (0,T ;L2 (Ω))
≤C
(1.27)
On suppose maintenant que
A (t) ψ ∈ L2 (Ω)
(1.28)
alors on a l’estimation de l’erreur de pénalisation suivante
u − uε
L2 (0,T ;H01 (Ω))
+ u − uε
L∞ (0,T ;L2 (Ω))
√
≤C ε
(1.29)
Pour plus de détaille, voir [1].
Preuve. (du théorème 2)
Il résulte de (1.26) que, lorsque ε → 0,
∂u
∂t
demeur dans un borné de L2 (0, T ; H01 (Ω))∩
L∞ (0, T ; L2 (Ω)), on peut donc extraire une sous-suite, encore noté uε , telle que
uε → u dans L∞ (0, T ; H01 (Ω)) faible étoile,
∂uε
∂u
→
dans L2 (0, T ; H01 (Ω)) faible et dans L∞ (0, T ; L2 (Ω)) faible étoile.
∂t
∂t
On a alors
uε → u dans L2 (Ω0 ) fort
10
et comme (uε − ψ)+ → 0 dans L2 (Ω0 ) fort, d’après (1.23), on a
(uε − ψ)+ = 0
on remplace dans (1.20) v par v − uε ; on a :
∂uε
1
, v − uε +a (t; uε , v − uε )−(f, v − uε ) =
(uε − ψ)+ − (uε − ψ)+ , v − uε ≥ 0
∂t
ε
d’où l’on déduit en intégrant sur (s, t) :
t
∂uε
[
, v − uε
∂t
t
+ a (σ; uε , v) − (f, v − uε )]dσ ≥ lim inf
s
a (σ; uε , uε ) dσ
s
d’où l’on déduit (comme uε → u dans L2 (Ω0 ) fort) :
t
t
∂uε
, v − u +a (σ; u, v)−(f, v − u)]dσ ≥ lim inf
[
∂t
s
t
a (σ; uε , uε ) dσ ≥
s
a (σ; u, u) dσ
s
donc quelque soient s et t , on a :
t
[
∂uε
, v − u + a (σ; u, v) − (f, v − u)]dσ ≥ 0
∂t
s
Divisant cette dernière par t − s et faisant tendre s vers t, en en déduit l’inégalité
désirée p.p.
1.3
Position du problème continu
Suivant [1] et [13], on pose le problème continu comme suit : trouver une fonction
U (x, t) = u1 , ..., um , ..., uM telle que um ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)),
∂um
∂t
∈ L2 (0, T ; H01 (Ω))
11
et telle qu’elle vérifie le système suivant :































1.4
∂um
∂t
+ A m um ≤ f m
um ≤ k + um+1
, ∀1 ≤ m ≤ M
uM+1 = u1
∂um
∂t
(1.30)
+ Am um − f m (um − (k + um+1 )) = 0
um (x, 0) = 0
Formulation variationnelle
On introduit la formulation variationnelle associée au problème (1.30), obtenue
par la formule de Green :












∂um
,v
∂t
− um + am (um , v − um ) − (f m , v − um ) ≥ 0, ∀v ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω))
um ≤ k + um+1











1.5
v ≤ k + um+1
uM+1 = u1
(1.31)
Approximation par pénalisation
D’après [1] l’equation d’évolution connue suivante admet une seule solution :







∂um,0
∂t
u
+ Am um,0 = f m
m,0
(x, 0) = 0
,∀ 1 ≤ m ≤ M
On considère le problème pénalisé associé au problème (1.30) comme suit :
(1.32)
12
Trouver um
ε , tel qu’il vérifie :


∂um

1
m
m+1 +
ε

+ Am um
)) = f m

ε + ε (uε − (k + uε
∂t



um
ε (x, 0) = 0







uM+1
= u1ε
ε
, ∀1 ≤ m ≤ M
(1.33)
Pour résoudre ce système on construit une suite um,n
définie à partir de um,n−1
:
ε
ε


+

∂um,n
ε

+ Am um,n
+ 1ε (um,n
− (k + um+1,n−1
)) = f m

ε
ε
ε
∂t



(1.34)
um,n
(x, 0) = 0
ε







uM+1,n
= u1,n
ε
ε
tel que um,0 est la solution de (1.32).
Si on prend ψ m = (k + uεm+1,n−1 ), et comme ce dernier appartient à L2 (0, T ; H01 (Ω)),
d’après le théorème (1.2), la solution de (1.34) existe, et vérifie
∈ L2 0, T, H01 (Ω) ,
um,n
ε
∂um,n
ε
∈ L 0, T ; H01 (Ω)
∂t
(1.35)
Théorème 4 Sous les hypothèses (1.1) à (1.6), la suite définie en (1.34) décroit et



 L2 (0, T ; H01 (Ω)) faible
m,n
m
uε −→ u ε dans
(1.36)


∞

L (Ω) faible
De plus, on a :
m,0
0 ≤ um
,∀ 1 ≤ m ≤ M
ε ≤ u
(1.37)
Preuve. 1) um,n
est décroissante :
ε
Multipliants scalairement (1.32) par v tel que v ∈ L2 (0, T ; V ) :
∂um,0
, v + am um,0 , v = (f m , v)
∂t
(1.38)
13
et (1.34) par v :
∂um,n
1
ε
, v + am (um,n
ε , v) +
∂t
ε
+
− k + um+1,n−1
um,n
ε
ε
, v = (f m , v)
(1.39)
pour n=1, (1.39) s’écrirt comme suit :
∂um,1
1
ε
, v + am um,1
ε ,v +
∂t
ε
− k + um+1,0
um,1
ε
ε
+
, v = (f m , v)
(1.40)
+
dans (1.38) et (1.40), on remplace v par wm,0 = (um,1 − um,0 ) ,et après soustraction
on trouve que :
∂um,1
∂um,0 m,0
1
ε
+am um,1
− um,0 , wm,0 +
−
,w
ε
∂t
∂t
ε
− k + um+1,0
um,1
ε
ε
+
, w m,0 = 0
puisque le dernier membre est ≥ 0,alors :
∂w m,0 m,0
,w
+ am w m,0 , wm,0 ≤ 0
∂t
1 d m,0
2
w (t) + α wm,0 (t)
2 dt
2
≤0
après intégration :
1 m,0
2
w (t) + α
2
t
wm,0 (s)
0
2
ds ≤ 0
w m,0 ≡ 0
Supposons maintenant que la proposition de décroissance est vraie pour (n-1), c-à-d
que um+1,n
≤ um+1,n−1
, et l’on démontre pour n :
ε
ε
Dans (1.39) remplaçons v par wεm = (um,n+1
− um,n
ε
ε )
+
une fois pour l’équation
à la solution um,n+1
,et une autre pour l’équation qui à la solution um,n
ε
ε , et après
soustraction, on trouve :
∂
um,n+1 − um,n
, wεm + am
ε
∂t ε
um,n+1
− um,n
, wεm +
ε
ε
14
+
1
ε
um,n+1
− k + um+1,n
ε
ε
+
− um,n
− k + uεm,n−1
ε
+
, wεm = 0
alors :
∂
− um,n
, wεm + am
um,n+1
ε
ε
∂t
=
um,n+1
− um,n
, wεm +
ε
ε
1 m m
(w , wε )
ε ε
1 m+1,n
uε
− um+1,n−1
, wεm ≤ 0
ε
ε
ce qui nous donne :
∂wεm m
, wε + am (wεm , wεm ) ≤ 0
∂t
1d m
|w (t)|2 + α wεm (t)
2 dt ε
2
≤0
Intégrant de 0 à t :
1 m
|w (t)|2 + α
2 ε
t
wεm (s)
0
2
ds ≤ 0
wεm ≡ 0
2) Convergence de um,n
:
ε
On va montrer d’abord que um,n
est borné :
ε
Soit la formulation variationnelle associée à (1.34) :
1
∂um,n
ε
m,n
, v − um,n
+am (um,n
ε
ε , v − uε )+
∂t
ε
um,n
− k + um+1,n−1
ε
ε
+
, v − um,n
=
ε
(1.41)
= (f m , v − um,n
ε )
alors :
∂um,n
1
ε
m,n
, um,n
+am (um,n
ε
ε , uε )+
∂t
ε
∂um,n
1
ε
, v + am (um,n
ε , v) +
∂t
ε
um,n
− k + uεm+1,n−1
ε
um,n
− k + uεm+1,n−1
ε
+
+
, um,n
− k + uεm+1,n−1
ε
, v − k + uεm+1,n−1
−
=
15
− (f m , v − um,n
ε )
on prend v ≤ k + um+1,n−1 ,ainsi que (1.6), on obtient :
1 d m,n 2
2 1
+
|uε | +α um,n
ε
2 dt
ε
+ 2
− k + uεm+1,n−1
um,n
ε
≤
∂um,n
, v +am (um,n , v) −
∂t
− (f, v − um,n
ε )
après intégration :
t
1 m,n
1 t
2
|uε (t)|2 + α
um,n
um,n
(s)
ds
+
− k + um+1,n−1
ε
ε
ε
2
ε
0
0
t
∂um,n
, v + am (um,n , v) − (f, v − um,n
≤
{
ε )}ds
∂t
0
+ 2
≤ C
On déduit, alors que :
um,n
ε
um,n
ε
1
√
ε
L∞ (Ω)
≤C
L2 (0,T ;H)
um,n
− k + um+1,n−1
ε
ε
(1.42)
≤C
(1.43)
+
L2 (0,T ;H)
≤C
(1.44)
tel que :
On peut, alors extraire une sous suite notée encore um,n
ε
3) Convergence de
D’après [1]
récurrence :
∂ m,0
u
∂t
∞
um,n
−→ um
ε
ε dans L (Ω) faible
(1.45)
2
um,n
−→ um
ε
ε dans L (0, T ; H) faible
(1.46)
∂um,n
ε
∂t
:
est bornée, alors on va démontrer la convergence de
∂um,n
ε
∂t
par
16
On dérive (1.34) par rapport à t ,on pose
∂um,n
ε
∂t
= wεm,n et on obtient :
∂wεm,n
1∂
+ Am wεm,n + Ȧm um,n
+
um,n − k + uεm+1,n−1
ε
∂t
ε ∂t ε
+
=
∂f
∂t
avec :
m
m
am
am
∂v
am
i,j ∂u
j ∂u
+
v + 0 um v dx
∂t ∂xi ∂xj 1≤ j ≤N ∂t ∂xj
∂t
1≤ i,j ≤N
Ȧm um , v = ȧm (um , v) =
Ω
On multiplie scalairement par wεm,n −
∂
∂t
(k + um+1,n−1
) :
ε
∂wεm,n m,n
1 ∂
+ a (wεm,n , wεm,n ) +
, wε
∂t
ε ∂t
=
∂wεm,n ∂
,
k + uεm+1,n−1
∂t ∂t
m,n
−ȧ um,n
− k + uεm+1,n−1
ε , wε
− k + um+1,n−1
um,n
ε
ε
+ a wεm,n ,
+
∂
k + uεm+1,n−1
∂t
+
2
=
−
∂f m,n
, wε − k + euεm+1,n−1
∂t
Utilisons la continuité de a, ȧ et le produit scalaire, le fait que
∂ m+1,n−1
u
∂t ε
est borné,
ainsi que l’inégalité de Young, on trouve que :
1 d m,n 2
|w | + c wεm,n
2 dt ε
2
+
1 ∂
um,n − k + um+1,n−1
ε
ε ∂t ε
+
2
≤C
Ce qui nous donne :
∂ m,n
u
∂t ε
∂ m,n
u
∂t ε
∃ une sous suite notée encore
∂ m,n
u
∂t ε
L∞ (Ω)
≤C
L2 (0,T,H)
≤C
tel que :
∂ m,n
∂
uε −→ um
f aiblement
∂t
∂t ε
m,n
4) um
vérifie (1.11) :
ε = lim uε
n−→∞
(1.47)
(1.48)
17
On utilise la formule de pénalisation suivante :
∂um,n
1
ε
m,n
+am (um,n
, v − um,n
ε
ε , v − uε )+
∂t
ε
um,n
− k + um+1,n−1
ε
ε
+
, v − um,n
=
ε
= (f m , v − um,n
ε )
Utilisons le fait que les formes bilinéaires am sont semi continues inferieurment pour
passer à la limite inf :
∂um
1
ε
m
+am (um
, v − um
ε
ε , v − uε )+
∂t
ε
m+1
um
ε − k + uε
+
, v − um
≤ (f m , v − um
ε
ε )
(*)
Aussi passons à la limite inf dans la formule suivante :
∂um,n
1
ε
, v − um,n
+ am (um,n
ε
ε , v) +
∂t
ε
um,n
− k + uεm+1,n−1
ε
+
, v − um,n
−
ε
m
m,n
m,n
− (f m , v − um,n
ε ) = a (uε , uε )
on trouve
∂um
1
ε
+lim inf am (um,n
, v − um
ε
ε , v)+
∂t
ε
m+1
um
ε − k + uε
+
m
m
, v − um
ε −(f , v − uε ) ≥
m
≥ am (um
ε , uε )
On a aussi :
∂um,n
1
+
ε
− k + uεm+1,n−1
, v + (f m , v)
,v −
um,n
ε
∂t
ε
∂um
1
ε
m+1 +
= −
,v −
um
, v + (f m , v)
ε − k + uε
∂t
ε
lim inf am (um,n
ε , v) = lim inf −
= am (um
ε , v)
Alors :
∂um
1
ε
m
, v − um
+am (um
ε
ε , v − uε )+
∂t
ε
m+1
um
ε − k + uε
+
, v − um
≥ (f m , v − um
ε
ε )
(**)
18
De (*) et (**), on a le resultat :
m,0
5) 0 ≤ um
:
ε ≤ u
+
m,0
Multipliant scalairement (1.32) et (1.33) par wεm = (um
) , après additionε −u
nement, on trouve :
∂um
∂um,0 m
1
ε
m,0
, wεm +
−
, wε + am um
ε −u
∂t
∂t
ε
m+1
um
ε − k + uε
+
, wεm = 0
∂
um − um,0 , wεm + am (wεm , wεm ) ≤ 0
∂t ε
1d m
|wε (t)|2 + α wεm (t)
2 dt
1 m
|w (t)|2 + α
2 ε
t
wεm (s)
2
2
0
≤0
ds ≤ 0
wεm ≡ 0
m
Corollaire 5 um
est une autre soluε est maximale, c’est à dire si on suppose que z
tion de (1.33) avec 0 ≤ z m ≤ um,0 , nous arivons à :
m
um
ε ≥ z
(1.49)
Preuve. Il est claire que la proposition est vraie pour n = 0, on suppose maintenant qu’elle est vraie pour (n − 1) et l’on démontre pour n :
+
On multipli scalairement (1.33) qui a pour solution z m par wεm = (z m − um,n
ε ) :
∂z m m
1
, wε + am (z m , wεm ) +
∂t
ε
m+1
um
ε − k + uε
+
, wεm = (f m , wεm )
la soustraction (1.34) de cette dernière, nous donne :
∂z m ∂um,n
1
m
m+1
− ε , wεm +am (z m − um,n
(z m − um,n
− um+1,n
, wεm = 0
ε , wε )+
ε )− z
ε
∂t
∂t
ε
19
∂ m
m
+ am (wεm , wεm ) ≤ 0
(z − um,n
ε ) , wε
∂t
1d m
|w (t)|2 + α wεm (t)
2 dt ε
1 m
|w (t)|2 + α
2 ε
t
wεm (s)
0
2
2
≤0
ds ≤ 0
wεm ≡ 0
Finalement passons à la limite sur la suite um,n
pour obtenir le résultat.
ε
Théorème 6 On suppose qu’on a les mêmes hypothèses du théorème (3), alors lorsque
m
ε → 0, um
solution de (1.30).
ε converge vers u
Preuve. De (1.42) et (1.43) :
um
ε
um
ε
pour
∂ m
u ,on
∂t ε
L∞ (Ω)
≤ lim inf um,n
ε
L∞ (Ω)
L2 (0,T ;L2 (Ω))
≤ lim inf um,n
ε
L2 (0,T ;L2 (Ω))
≤C
(1.50)
≤C
(1.51)
utilise (1.47) et (1.48) :
∂ m,n
∂ m
uε ≤ lim inf
u
≤C
∂t
∂t ε
(1.52)
m
m
On peut alors extraire une sous suite notée encore um
ε tel que uε faiblement u , et
−−−−−−−→
une autre
∂ m
u
∂t ε
tel que
∂ m
u
∂t ε
f aiblement
−−−−−−−→
∂ m
u .
∂t
On démontre maintenant que cette limite vérifie (1.30) :
De (1.44), on passe directement à limite lorsque n −→ ∞, ε −→ 0,on obtient :
um − k + um+1
+
Ce qui nous donne :
um ≤ k + um+1
=0
20
De (1.33) on a :
∂um
ε
m
+ Am um
ε ≤ f
∂t
Passons à la limite inf, on obtient (1.30).
1.6
Unicité de la solution
Dans (1.31), on prend v = ũ,et dans l’I.Q.V associée à ũ on prend v = u :







∂um
, ũm
∂t
− um + a (um , ũm − um ) ≥ (f m , ũm − um )
∂ ũm
, um
∂t
− ũm + a (ũm , um − ũm ) ≥ (f m , um − ũm )
Aprés addition :
∂ (um − ũm ) m
, u − ũm + a (um − ũm , um − ũm ) ≤ 0
∂t
1
|u − ũ|2 + α
2
t
0
u − ũ
u ≡ ũ
2
ds ≤ 0
21
1.7
1.7.1
Propriétés de la solution continue
Propriété de monotonie
m
Théorème 7 Soit um
deux solutions de (1.32) pour les seconds membres f f˜ ,
f ũf
˜ alors
et soit f ≤ f,
≤ ũm,0
, ∀m ∈ {1, M } .
um,0
f
f˜
(1.53)
+
Preuve. Soit w = (um,0 − ũm,0 ) , dans (1.32), on prend v = w, on obtient ces
deux équations :
∂um,0
, w + a um,0 , w = (f, w)
∂t
∂ ũm,0
˜w
, w + a ũm,0 , w = f,
∂t
alors
∂ (um,0 − ũm,0 )
, w + a (um − ũm , w) ≤ f − f˜, w
∂t
1
|w|2 + α
2
t
w(s)
0
2
ds ≤ 0
Donc
w=0
m
Théorème 8 Soit um
deux solutions de (1.30) pour le second membre f f˜ ,
f ũf
˜ alors
et soit f ≤ f,
m
um
f ≤ ũf˜ , ∀m ∈ {1, M } .
(1.54)
22
Preuve. On utilise la démonstration par recurrence sur la suite um,n
:
ε
+
On suppose que uεm,n−1 ≤ ũεm,n−1 , ∀m, ∀n, aussi w = (um,n
− ũm,n
ǫ
ǫ ) ,utilisons
(1.34) et la même preuve précédente, on trouve :
1∂
|w|2 + α w
2 ∂t
2
+S ≤0
avec :
S=
1
ε
um,n − k + um+1,n−1
+
− ũm,n − k + ũm+1,n−1
+
,w
On voit que :
S≥0
Ce qui nous donne :
w=0
Finalement, par passage à la limite sur n et ε,on obtient le résultat.
1.7.2
Propriété de lipchitzianité
m
Théorème 9 Soit um
deux solutions de (1.30) pour les seconds membres f f˜
f ũf
et les paramètres k k̃ , on suppose qu’il existe c ≥ 0 tel que :
ca m
0 ≥ 1
(1.55)
alors :
max
1≤m≤M
m
um
f − uf˜
∞
≤C
max
1≤m≤M
k − k̃ + f m − f˜m
Preuve. On pose :
Φ=C
k − k̃ + f m − f˜m
∞
∞
(1.56)
23
Si on prend f m ≤ f˜m , alors :
f m ≤ f˜m + k − k̃ + f m − f˜m
f m ≤ f˜m + cam
0
∞
k − k̃ + f m − f˜m
∞
f m ≤ f˜m + am
0 Φ
(*)
k ≤ k̃ + Φ
(**)
On a aussi :
De (*), (**) et d’après la monotonie de la solution :
um (f, k) ≤ um (f˜ + am
0 Φ, k̃ + Φ)
On a :
∂ (um + Φ)
, v − (um + Φ) + am (um + Φ, v − (um + Φ))
∂t
=
=
∂um
, v − (um + Φ) + am (um , v − (um + Φ)) + am (Φ, v − (um + Φ))
∂t
∂um
∂um
m
, v − um +am (um v − um )+
, −Φ +am (um , −Φ)+am
0 Φ [v − (u + Φ)]
∂t
∂t
m
≥ (f, v − um ) + (f, −Φ) + (am
0 Φ, v − (u + Φ))
m
≥ (f + am
0 Φ, v − (u + Φ)) .
Ce qui nous donne que :
m ˜
um (f˜ + am
0 Φ, k̃ + Φ) = u (f , k̃) + Φ
Alors
m
um
f − ũf ≤ Φ
,∀m
24
Finalement
max
1≤m≤M
1.7.3
m
um
f − uf˜
∞
≤C
max
1≤m≤M
k − k̃ + f m − f˜m
∞
Régularité de la solution
Théorème 10 sous les hypothèses du théorème (4), la solution um de (1.30) vérifie
Aum ∈ L2 0, T ; L2 (Ω)
(1.57)
Preuve. D’après (1.44), on a :
∂um
ε
+ Aum
ε
∂t
L2 (0,T ;L2 (Ω))
≤C
Ce qui nous donne :
∂um
+ Aum ∈ L2 0, T ; L2 (Ω)
∂t
et comme
∂um
∂t
∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) , on a directement (1.57).
Corollaire 11 Sous l’hypothèse (1.3) , on a :
um ∈ L2 0, T ; H02 (Ω)
(1.58)
Preuve. Comme um,0 ∈ L2 (0, T ; H02 (Ω)) (cf. [1]), l’utilisation de (1.57), nous
donne le résultat.
1.8
L’équation HJB
Soit l’équation de Hamilton Jacobi Bellman sous la forme suivante :
25



 max
1≤m≤M
∂um
∂t
+ Am u − f m = 0



dans Ω
(1.59)
u(x, 0) = 0
Théorème 12 La solution U = u1 , ..., um , ..., uM de (1.30) converge vers (u, ..., u, ..., u)
solution de (1.59) lorsque k −→ 0
Preuve. Dans (1.56), on prond f m = f˜m et k̃ = 0, on trouve que :
max
1≤m≤M
um − u
tel que u est la solution du problème (1.59).
L∞ (Ω)
≤ ck
(1.60)
26
Chapitre 2
Problème discret
2.1
Méthode des éléments finis :(semi discretisation de l’espace)
2.1.1
Introduction
Soit (ℑh )h>0 une suite de maillages triangulaire (Ki )1≤ i ≤nh de Ω qui vérifient :
h
Ki ⊂ Ω et Ω = ∪ni=1
Ki




φ
ou




Ki ∩ Kj =
un sommet commun
ou






 une arête commune entière
◮ Le paramètre h désigne le maximum des diamètre des ki .
27
(2.1)
(2.2)
28
h
Les {ϕi }ni=1
sont les fonctions de base définies par :
ϕi (ω j ) = δ i,j tel que δ i,j =



 1 si i = j


 0 si i = j
(2.3)
h
où {ω i }ni=1
sont les sommets des triangles et nh le nombre des noeuds de la trian-
gulation.
◮ Soit maintenant l’opérateur de restiction :
nh
rh v (x) =
v (ω i ) ϕj (x)
(2.4)
i=1
◮et finalement l’espace Vh des éléments finis :
Vh = v ∈ C (Ω) ∩ H01 (Ω) such that v /K ∈ P1 , ∀K ∈ ℑh
On considère le problème approché suivant :
m
Trouver une fonction um
h : t ∈ [0, T ] −→ uh (t) ∈ Vh solution du système suivant :































∂um
h
∂t
m
m
+ Am
h uh ≤ f
m+1
um
h ≤ k + uh
, ∀1 ≤ m ≤ M
uM+1
= u1h
h
∂um
h
∂t
m
m
+ Am
h uh − f
m+1
um
h − k + uh
(2.5)
=0
um
h (x, 0) = 0
m m
et tel que Am
h = A (uh , .)
Ci-dessous est la formulation variationnelle discrète associée au problème (2.5) :
29












∂um
h
, vh
∂t
m
m
m
m
− um
+ am
h
h (uh , vh − uh ) − (f , vh − uh ) ≥ 0, ∀vh ∈ Vh
m+1
um
h ≤ k + uh











2.1.2
vh ≤ k +
(2.6)
um+1
h
uM+1
= u1h
h
Existence de la solution discrète
On suppose que les matrices dont ses coéffecients sont am (ϕi , ϕj), sont des Mmatrices (Voir [25]), alors graçe au principe du maximum discret, on peut introduire
une étude similaire à celle du cas continu, et on pose le problème pénalisé comme
suit :
Trouver um
h,ε ∈ Vh tel qu’il vérifié :








∂um
h,ε
∂t
+ Am um
h,ε +
1
ε
m+1
um
h,ε − k + uh,ε
+
= fm
, ∀1 ≤ m ≤ M
um
h,ε (x, 0) = 0







(2.7)
= u1h,ε
uM+1
h,ε
Pour résoudre ce système en fait construire aussi une suite um,n
h,ε définit à partir de
um,n−1
:
h,ε















∂um,n
h,ε
∂t
+ Am um,n
h,ε +
1
ε
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
um,n
h,ε (x, 0) = 0
+
= fm
, ∀1 ≤ m ≤ M
uM+1,n
= u1,n
h,ε
h,ε
dont um,0
est la solution de l’équation parabolique discrète suivante :
ε
(2.8)
30







∂um,0
h
∂t
+ Am um,0
= fm
h
um,0
h
(x, 0) = 0
1≤m≤M
(2.9)
D’après [22] cette équation admet une solution unique.
On peut écrire le système (2.8) sous la forme suivante :
∂um,n
m,n
m,n
m
h
+ bm (um,n
, vh − um,n
h,ε
h , vh − uh ) = (gh , vh − uh ) , ∀vh ∈ Vh
∂t
bm (., .) = am (., .)+λ (., .) , λ = 1ε , ghm = k + uhm+1,n−1 + f m ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) ,d’après
[22], la solution existe, elle est unique et sous la forme :
nh
um,n
h
=
ξ i (t) ϕi (x)
i=1
Théorème 13 Sous les hypothèses (1.1) à(1.6), (2.1) à (2.4) ; la suite définie en
(2.8) décroit lorsque n croit et
m,n
uh,ε
−→ u m
h,ε dans
De plus on a



 L2 (0, T ; Vh ) f aible



(2.10)
∞
L (Vh ) f aible
m,0
0 ≤ um
h,ε ≤ uh , ∀ 1 ≤ m ≤ M
(2.11)
Preuve. 1) um,n
h,ε est décroissante :
Multipliant scalairement (2.9) par vh :
∂um,0
m
h
, vh + am um,0
h , vh = (f , vh )
∂t
(2.12)
et (2.8) par vh :
∂um,n
1
h,ε
, vh + am um,n
h,ε , vh +
∂t
ε
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
+
, vh = (f m , vh ) (2.13)
31
pour n=1, (2.13) devienne :
∂um,1
h,ε
, vh
∂t
+ am um,1
h,ε , vh +
1
ε
um,1
− k + um+1,0
h,ε
h, ε
+
, vh
dans (2.12) et (2.14), on remplace vh par whm,0 = um,1
− um,0
h
h
+
= (f m , vh ) (2.14)
,et après soustraction
on trouve que :
∂um,1
∂um,0
1
h,ε
m,0
m,0
− h , whm,0 +am um,1
+
h,ε − uh , wh
∂t
∂t
ε
m+1,0
um,1
h,ε − k + uh,ε
+
, whm,0 = 0
puisque le dernier membre est ≥ 0,on a :
∂whm,0 m,0
+ am whm,0 , whm,0 ≤ 0
, wh
∂t
1d
whm,0 (t) + α whm,0 (t)
2 dt
1 m,0
2
wh (t) + α
2
t
0
whm,0 (s)
2
2
≤0
ds ≤ 0
whm,0 ≡ 0
On supposons maintenant que la proposition de la décroissance est vraie pour (n-1),
et l’on démontre pour n .
m
Dans (2.8) remplaçons vh par wh,ε
une fois pour l’équation à la solution um,n+1
,et
h,ε
une autre pour l’équation qui à la solution um,n
h,ε , et après soustraction, on trouve :
∂
m
m
um,n+1
− um,n
um,n
h,ε
h,ε , wh,ε + a
h,ε , vh +
∂t
+
1
ε
um,n+1
− k + um+1,n
h,ε
h,ε
+
m,n−1
− um,n
h,ε − k + uh,ε
+
m
, wh,ε
=0
alors :
∂
1 m m
1 m+1,n
m+1,n−1
m
m
m
um,n+1
− um,n
um,n
wh,ε , wh,ε =
u
− uh,ε
, wh,ε
≤0
h,ε
h,ε , wh,ε +a
h,ε , vh +
∂t
ε
ε h,ε
32
ce qui nous donne :
m
∂wh,ε
m
m
m
+ am wh,ε
, wh,ε
, wh,ε
≤0
∂t
1d
m
wm (t) + α wh,ε
(t)
2 dt h,ε
2
≤0
Intégrant de 0 à t :
1 m
2
wh,ε (t) + α
2
t
m
wh,ε
(s)
0
2
ds ≤ 0
m
wh,ε
≡0
2) Convergence de um,n
h,ε :
On va montrer d’abord que um,n
h,ε est borné :
Multipliant scalairement (2.8) par vh − um,n
:
ε
∂um,n
1
h,ε
m,n
, vh − um,n
+am um,n
h,ε
h,ε , v − uh,ε +
∂t
ε
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
+
=
, vh − um,n
h,ε
= f m , vh − um,n
h,ε
alors :
∂um,n
1
h,ε
m,n
+am um,n
, um,n
h,ε
h,ε , uh,ε +
∂t
ε
∂um,n
1
h,ε
, vh + am um,n
h,ε , vh +
∂t
ε
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
+
+
m+1,n−1
, um,n
h,ε − k + uh,ε
m+1,n−1
, vh − k + uh,ε
−
− f m , vh − um,n
h,ε
utilisons le fait que vh ≤ k + uhm+1,n−1 ,ainsi que (1.5), on obtient :
1 d m,n 2
2 1
uh,ε +α um,n
+
h,ε
2 dt
ε
um,n
h,ε
− k+
m,n−1
uh,ε
− f, vh − um,n
h,ε
+ 2
≤
∂um,n
h
, vh +am (um,n
h , vh ) −
∂t
=
33
après intégration :
t
1 m,n
2
uh,ε (t) + α
2
t
≤
0
um,n
h,ε
0
∂um,n
h
{
, vh
∂t
(s)
2
1
ds +
ε
t
+ 2
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
0
≤
m,n
+ am (um,n
h , vh ) − f, vh − uh,ε }ds ≤ C
On déduit, alors que :
um,n
h,ε
um,n
h,ε
1
√
ε
L∞ (Ωh )
≤C
L2 (0,T ;Vh )
(2.15)
≤C
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
(2.16)
+
L2 (0,T ;Vh )
≤C
(2.17)
On peut alors extraire une sous suite notée encore um
h,ε tel que :
m
∞
um,n
h,ε −→ uh,ε dans L (Ωh ) f aiblement
(2.18)
m
2
um,n
h,ε −→ uh,ε dans L (0, T ; Vh ) f aiblement
(2.19)
3) Convergence de
D’après [22]
∂ m,0
u
∂t h
∂um,n
h,ε
∂t
:
est borné, alors on démontre par récurrence.
On dérive (2.2) par rapport à t ,on pose
∂um,n
h,ε
∂t
m,n
= wh,ε
et on obtient :
∂um,n
1∂
h,ε
m,n
m+1,n−1
+ Am wh,ε
um,n − k + uh,ε
+ Ȧm um,n
h,ε +
∂t
ε ∂t h,ε
+
=
∂f m
∂t
avec :
Ȧm uh , vh = am (um
h , vh ) =
Ω
m
m
am
am
am
i,j ∂u ∂vh
j ∂uh
+
vh + 0 um
h vh dx
∂t
∂x
∂t
∂x
∂t
i ∂xj
j
1≤ i,j ≤N
1≤ j ≤N
m,n
On multiplie scalairement par wh,ε
−
∂
∂t
m+1,n−1
k + uh,ε
m,n
∂wh,ε
1 ∂
m,n
m,n
m,n
, wh,ε
+ a wh,ε
, wh,ε
+
∂t
ε ∂t
:
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
+
2
=
34
m,n
∂wh,ε
∂
m+1,n−1
,
k + uh,ε
∂t ∂t
m,n
,
+a wh,ε
∂
k + um+1,n−1
h,ε
∂t
m,n
m+1,n−1
+ȧ um,n
h,ε , wh,ε − k + uh,ε
+
m,n
m+1,n−1
−ȧ um,n
h,ε , wh,ε − k + uh,ε
∂f m,n
m+1,n−1
, wh,ε − k + uh,ε
∂t
∂ m+1,n−1
u
∂t h,ε
Utilisons la continuité de a et ȧ, aussi le produit scalaire, et le fait que
est
borné ainsi que l’inégalité de Young, on trouve que :
1 d m,n 2
m,n
w
+ c wh,ε
2 dt h,ε
2
+
1 ∂
m+1,n−1
um,n − k + uh,ε
ε ∂t h,ε
+
2
≤C
Ce qui nous donne :
∂ m,n
≤C
u
∂t h,ε
∃ une sous suite notée encore
∂ m,n
u
∂t h,ε
(2.20)
tel que :
∂ m,n
∂ m
uh,ε f aiblement
u
∂t
−−−−−−−→ ∂t h,ε
m,n
4) um
h,ε = lim uh,ε vérifie (2.7) :Reprenons l’équation (2.14) suivaante :
n−→∞
∂um,n
1
h,ε
m,n
, vh − um,n
+
+ am um,n
h,ε
h,ε , vh − uh,ε
∂t
ε
=
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
+
, vh − um,n
h,ε
f m , vh − um,n
h,ε
Utilisons le fait que les formes bilinéaires am sont semi continues inférieurement pour
passer à la limite inf :
∂um
1
h,ε
m
m
, vh − um
um
h,ε +a
h,ε , vh − uh,ε +
∂t
ε
m+1
um
h,ε − k + uh,ε
+
, vh − um
h,ε ≤ (*)
≤ f m , vh − um
h,ε
Aussi de (2.14) :
∂um,n
1
h,ε
, vh − um,n
+ am um,n
h,ε
h,ε , vh +
∂t
ε
m+1,n−1
um,n
h,ε − k + uh,ε
+
, vh − um,n
−
h,ε
35
m,n
− f m , vh − um,n
= am um,n
h,ε
h,ε , uh,ε
Passons à la limite inf :
∂um
1
h,ε
m
, vh − um
um,n
h,ε + lim inf a
h,ε , vh +
∂t
ε
+
m+1
um
h,ε − k + uh,ε
, vh − um
h,ε −
m
m
− f m , vh − um
um
h,ε ≥ a
h,ε , uh,ε
On a aussi :
lim inf am um,n
h,ε , vh =
∂um,n
1
h,ε
m+1,n−1 +
= lim inf −
, vh + (f m , vh )
, vh −
um,n
h,ε − k + uh,ε
∂t
ε
∂um
1
h,ε
m+1 +
= −
, vh −
um
, vh + (f m , vh )
h,ε − k + uh,ε
∂t
ε
= am um
h,ε , vh
Alors :
∂um
h,ε
, vh − um
h,ε
∂t
m
+ am um
h,ε , vh − uh,ε +
1
ε
m+1
um
h,ε − k + uh,ε
+
, vh − um
h,ε ≥
(**)
≥ f m , vh − um
h,ε
De (*) et (**), on a le resultat.
m,0
5) 0 ≤ um
h,ε ≤ uh :
m,0
m
= um
Multipliant scalairement (2.7) et (2.9) par wh,ε
h,ε − uh
+
, après addition-
nement en trouve :
∂um
∂um,0 m
1
h,ε
m,0
m
m
− h , wh,
um
ε +a
h,ε − uh , wh,ε +
∂t
∂t
ε
m+1
um
h,ε − k + uh,ε
∂
m
m
m
um − um,0
, wh,ε
+ am wh,ε
, wh,ε
≤0
h
∂t h,ε
+
m
, wh,ε
=0
36
1d m
2
m
wh,ε (t) + α wh,ε
(t)
2 dt
1 m
2
wh,ε (t) + α
2
t
m
(s)
wh,ε
2
2
0
≤0
ds ≤ 0
m
wh,ε
≡0
m
Corollaire 14 um
h,ε est maximale, c’est à dire si on suppose que zh est une autre
solution de (2.7) avec 0 ≤ zhm ≤ um,0
h , nous arivons à :
m
um
h,ε ≥ zh
(2.21)
Preuve. Il est claire que la proposition est vraie pour n = 0, on suppose maintenant qu’elle est vraie pour (n − 1) et l’on démontre pour pour n :
m
On multiplit scalairement (2.7) qui a pour solution zhm par wε,h
= zhm − um,n
h,ε
∂zhm m
1
m
, wh,ε + am zhm , wh,ε
+
∂t
ε
m+1
um
h,ε − k + uh,ε
+
+
m
m
, wh,ε
= f m , wh,ε
la soustraction (2.8) de cette dernière, nous donne :
m,n
∂zhm ∂uh,ε
1
m
m
−
, wh,ε
+ am zhm − um,n
h,ε , wh,ε +
∂t
∂t
ε
zhm − k + zhm+1
∂ m
m
m
m
m
z − um,n
wh,ε
, wh,ε
≤0
h,ε , wh,ε + a
∂t h
1d m
2
m
w (t) + α wh,ε
(t)
2 dt h,ε
1 m
2
w (t) + α
2 h,ε
t
m
wh,ε
(s)
0
2
2
≤0
ds ≤ 0
m
wh,ε
≡0
Finalement passons à la limite de um,n
pour obtenir le résultat.
ε
+
m
, wh,ε
=0
:
37
Théorème 15 On suppose qu’on a les mêmes hypothèses du thèorème (13), alors
m
lorsque ε −→ 0, um
h,ε converge vers uh solution de (2.5).
Preuve. De (2.15) et (2.16) :
L∞ (Ωh )
≤ lim inf um,n
h,ε
L∞ (Ωh )
L2 (0,T ;Vh )
≤ lim inf um,n
h,ε
L2 (0,T ;Vh )
um
h,ε
um
h,ε
pour
∂ m
u ,on
∂t h,ε
≤C
≤C
(2.22)
(2.23)
utilise (2.19) :
∂ m
∂ m,n
uh,ε ≤ lim inf
u
≤C
∂t
∂t h,ε
(2.24)
m
m
On peut alors extraire une sous suite notée encore um
h,ε tel que uh,ε −→ uh , et une
autre
∂ m
u
∂t h,ε
tel que
∂ m
u
∂t h,ε
−→
∂ m
u .
∂t h
On démontre maintenant que cette limite vérifie (2.5) :
De (2.17), on passe directement à limite lorsque n −→ ∞, ε −→ 0,on obtient que :
m+1
um
h − k + uh
+
=0
Ce qui nous donne :
m+1
um
h ≤ k + uh
De (2.7) on a :
∂um
h,ε
m
+ Am um
h,ε ≤ f
∂t
Passons à la limite inf on obtient (2.5).
2.1.3
Unicité de la solution discrète
Dans (2.5), on prend vh = ũh , dans l’I.Q.V associée à ũ on prend v = u :
38







∂um
h
, ũm
h
∂t
m
m
m
m
m
− um
+ a (um
h
h , ũh − uh ) ≥ (fh , ũh − uh )
∂ ũm
h
, um
h
∂t
m
m
m
m
m
− ũm
+ a (ũm
h
h , uh − ũh ) ≥ (fh , uh − ũh )
Après addition :
m
∂ (um
h − ũh )
m
m
m
m
, um
+ a (um
h − ũh
h − ũh , uh − ũh ) ≤ 0
∂t
1
|uh − ũh |2 + α
2
t
0
uh − ũh
2
ds ≤ 0
uh ≡ ũh
2.1.4
Monotonie de la solution
Théorème 16
Soit f ≤ f˜, alors um,0
≤ ũm,0
h
h , ∀m ∈ {1, M }
Preuve. Soit wh = um,0
− ũm,0
h
h
+
. Dans (2.9), on prend vh = wh , on obtient
ces deux équations :
∂um,0
h
, wh + a um,0
h , wh = (f, wh )
∂t
∂ ũm,0
h
, wh
∂t
˜
+ a ũm,0
h , wh = f, wh
alors
∂ um,0
− ũm,0
h
h
, wh
∂t
(2.25)
m
˜
+ a (um
h − ũh , wh ) ≤ f − f , wh
39
1
|wh |2 + α
2
t
2
wh (s)
0
ds ≤ 0
wh = 0
Théorème 17
m
Soit f ≤ f˜, alors um
h ≤ ũh , ∀m ∈ {1, M } .
Preuve. On utilise la démonstration par recurrence sur la suite um,n
h,ε :
+
≤ ũm,n−1
, ∀m, ∀n, aussi wh = (um,n
− ũm,n
On suppose que um,n−1
h,ε
h,ε
h
h ) ,utilisons
(2.12) et la même preuve précédente, on trouve :
1∂
|wh |2 + α wh
2 ∂t
2
+ Sh ≤ 0
avec :
Sh =
1
ε
um,n
− k + uhm+1,n−1
h
+
− ũm,n
− k + ũhm+1,n−1
h
On voit que :
Sh ≥ 0
Ce qui nous donne :
wh = 0
Finalement par passage à la limite sur n et ε,on obtient le resultat.
+
, wh
40
2.1.5
Lipchitzianité de la solution
m
Théorème 18 Soit um
h,f ũh,f solution de (1.1) pour le second membre f
f˜ et le
paramètre k k̃ , on suppose qu’il existe c ≥ 0 tel que :
ca m
0 ≥ 1
(2.27)
alors :
max
1≤m≤M
m
um
h,f − uh,f˜
∞
≤C
max
1≤m≤M
k − k̃ + f m − f˜m
∞
(2.28)
Preuve. On pose :
Φ=C
k − k̃ + f m − f˜m
∞
Si on prend f m ≤ f˜m , alors :
f m ≤ f˜m + k − k̃ + f m − f˜m
f m ≤ f˜m + cam
0
∞
k − k̃ + f m − f˜m
∞
f m ≤ f˜m + am
0 Φ
(*)
k ≤ k̃ + Φ
(**)
On a aussi :
De (*), (**) et d’après la monotonie de la solution :
m ˜
m
um
h (f, k) ≤ uh (f + a0 Φ, k̃ + Φ)
On a :
∂ (um
h + Φ)
m
m
m
, vh − (um
h + Φ) +a (uh + Φ, vh − (uh + Φ)) =
∂t
∂um
h
, vh − (um
h + Φ) +
∂t
41
m
m
m
+am (um
h , vh − (uh + Φ)) + a (Φ, vh − (uh + Φ))
=
∂um
h
m
, vh − um
+ am (um
h
h , vh − uh ) +
∂t
∂um
h
, −Φ + am (um
h , −Φ) +
∂t
m
m
m
m
+am
0 Φ [vh − (uh + Φ)] ≥ (f, vh − uh ) + (f, −Φ) + (a0 Φ, vh − (uh + Φ))
m
≥ (f + am
0 Φ, vh − (uh + Φ)) .
Ce qui nous donne :
m
m ˜
˜
um
h (f + a0 Φ, k̃ + Φ) = uh (f , k̃) + Φ
Alors
m
um
h,f − ũh,f ≤ Φ
,∀m
Finalement
max
1≤m≤M
2.1.6
m
um
h,f − uh,f˜
∞
≤C
max
1≤m≤M
k − k̃ + f m − f˜m
∞
L’équation HJB discrète
M
Théorème 19 La solution Uh = u1h , ..., um
de (2.5) converge vers (uh , ..., uh , ..., uh )
h , ..., uh
lorsque k −→ 0, tel que uh est la solution de l’équation de Hamilton Jacobi Belman
discrète suivante :



 max
1≤m≤M
∂um
h
∂t
+ A m uh − f m = 0



dans Ω
uh (0, x) = 0
Preuve. Dans (2.28), on prond f m = f˜m et k̃ = 0, on trouve que :
max
1≤m≤M
Où uh est la solution de (2.29).
um
h − uh
∞
≤ ck
(2.29)
42
2.1.7
Etude de la stabilité
Lemme 20 Soit um
h la solution de (2.5), alors :
um
h
H01 (Ω)
1 m
f
α
≤
,
H −1 (Ω)
∀m
(2.30)
Preuve. Dans (2.6), on prend v = 0 :
∂um
h
m
m
m
m
, um
− am
h
h (uh , uh ) + (f , uh ) ≥ 0
∂t
−
On a :
m
(f m , um
h) ≤ f
um
h
H0−1 (Ω)
2
H01 (Ω)
m
m
m
am
h (uh , uh ) ≥ α uh
∂um
h
, um
+ α um
h
h
∂t
1d m2
|u | + α um
h
2 dt h
1 m
|u (t)|2 + α
2 h
2
H01 (Ω)
2
H01 (Ω)
≤ fm
H −1 (Ω)
H −1 (Ω)
um
h
um
h
H01 (Ω)
H01 (Ω)
t
um
h (s)
2
H01 (Ω)
0
t
ds ≤
f m (s)
H −1 (Ω)
um
h (s)
H01 (Ω)
ds
0
t
um
h
α
≤ fm
t
H01 (Ω)
(s)
2
H01 (Ω)
0
ds ≤
f m (s)
H −1 (Ω)
um
h (s)
H01 (Ω)
ds
0
Divisons cette dernière par (t − s)et faisons tendre s vers t, on déduire que :
α um
h
2
H01 (Ω)
≤ fm
H −1 (Ω)
um
h
alors, on a le resultat :
um
h
H01 (Ω)
≤
1 m
f
α
H −1 (Ω)
H01 (Ω)
43
2.1.8
Etude de la convergence
m
De (2.30), on peut extraire de um
h une sous suite, encore notée uh , telle que
m
1
um
h → u dans H0 (Ω) faible lorsque h → 0.
(2.31)
Il reste à voir que um est la solution de (1.31).
Soit l’hypothèse de la méthode de l’approximation variationnelle usuelle suivante
lim v − rh v
h−→0
H01 (Ω)
= 0,
∀v ∈ γ
(2.32)
telle que γ est un sous espace dense dans H01 (Ω) .(pour plus de détaille voir [22]).
Puisque les fonctions de base sont indépendantes de t, on a
∂um
h
= rh
∂t
∂um
∂t
(2.33)
Reprenant la formule (2.6), telle que vh → v, dans H01 (Ω) fort
∂um
h
m
m
m
m
, v h − um
+ am
h
h (uh , vh − uh ) − (f , vh − uh ) ≥ 0
∂t
Utilisons (2.33), (2.32), le fait que la forme bilinéaire a et semi continue inferieurement et passons à la limite inf dans (2.6) pour obtenir (1.31).
2.2
Méthode des différences finies : (discrétisation
totale)
On subdivise l’intervalle du temps [0, T ] en nt intervalles où ∆t =
le pas de discrétisation, on note um,n = um (tn ) ; tn = n ∆t, 0 ≤ n ≤ n0 .
T
nt
représente
44
Pour calculer numériquement des solutions approchées du problème (1.30), on
utilise le θ − schéma, le shéma le plus simple :


um,n+1
−um,n

h
h

+ am uhm,n+θ , vh − um,n+1
− f
, vh − um,,n+1

h
h
∆t







um,n+1
≤ k + um+1,n+1

h
h



vh ≤ k + um+1,n+1
h







um,0
= um

0,h = 0
h







um,n+θ
= um,n
+ θ um,n+1
− um,n
h
h
h
h
m,n+1
, vh
h
≥0
− um,n+1
h
(2.35)
θ = 0 : shéma explicite
θ = 1 : shéma implicite
θ=
1
2
: shéma de Grank-Nicholson.
sont immédiates du
Auparavant on notera que l’existence et l’unicité de um,n+1
h
fait que l’opérateur (I + θAh ) est corcif, ∀θ ∈ [0, 1] . (cf. [30 ]).
N.B : Pour l’instant on va abandonner le signe m et h.
2.2.1
Etude de la stabilité
un+1 − un
, vh − un+1 + a un+θ , vh − un+1 − f
∆t
n+1
, vh − un+1 ≥ 0
(2.36)
On prend v = 0 :
1
un+1 − un , un+1 + a un+θ , un+1 ≤ f
∆t
n+1
, un+1
Utilisons la relation classique :
(a − b, a) =
1 2 1 2 1
|a| − |b| + |a − b|2
2
2
2
(2.37)
45
La formule (2.36 ) devient :
1
2∆t
2
2
un+1 − |un |2 + un+1 − un
+ a un+θ , un+1 ≤ f
n+1
, un+1
Mais :
a un+θ , un+1
= θa un+1 , un+1 + (1 − θ) + a un , un+1
= θa un+1 , un+1 + (1 − θ) + a (un , un ) + (1 − θ) + a un , un+1 − un
et :
f
n+1
, un+1
=
f
n+1
, un+θ + f
= (1 − θ) f
n+1
n+1
, un+1 − un+θ
, un + θ f
n+1
, un+1 + (1 − θ) f
n+1
, un+1 − un
On pose a (u) = a (u, u) , alors :
2
2
un+1 − |un |2 + un+1 − un + 2∆t θa un+1 + (1 − θ) a (un) ≤
≤ 2∆t θ f
n+1
, un+1 + (1 − θ) f
n+1
, un + (1 − θ) f
n+1
, un+1 − un
− (2.38)
−2∆t (1 − θ) a un , un+1 − un
On a les majorations suivantes :
f n+1 , un+1
n+1
≤
f
≤
1
f
2
≤
∗
n+1 2
∗
1
f
2
f n+1 , un+1 − un
un+1
+
n+1 2
∗
1 n+1
u
2
+
f
≤
1
f
2
( inégalité de Young )
1
a un+1
2α
n+1
≤
2
∗
(2.39)
un+1 − un
n+1 2
∗
+
1 n+1
− un
u
2
2
46
D’après [30] on suppose que :
h−→0
u ≤ S (h) |u| , tel que S (h) −→ ∞
(2.40)
alors :
f n+1 , un+1 − un
≤
1
f
2
f n+1 , un
f n+1 , un
a un , un+1 − un
≤
≤ f
1
f
2
+
∗
n+1 2
∗
1 n
u
2
S 2 (h) n+1
− un
u
2
n+1
≤ M un
≤
≤
n+1 2
∗
+
2
(2.41)
un
1
a (un )
2α
(2.42)
un+1 − un
2
1
+ M 2 un+1 − un
2
1
M2 2
a (un ) +
S (h) un+1 − un
2α
2
2
2
(2.43)
Remplaçant (2.39), (2.43) dans (2.38), on obtient :
2
un+1 − |un |2 + 1 − (1 − θ) S 2 (h) ∆t 1 + 2M 2
+2∆t θ −
1
2α
2
un+1 − un + 2∆t (1 − θ) a (un ) +
a un+1 ≤ [(1 − θ) + θ∆t] f n+1
On introduit l’hypothèse de stabilité suivante :
2
∗
47
1 − (1 − θ) ∆t 1 + 2M 2 S 2 (h) ≥ β > 0 , ∀h, ∀∆t
(2.44)
(Cette hypothèse est évidement sans objet si θ = 1)
alors (2.38) donne de nouveau :
2
2
un+1 − |un |2 + β un+1 − un + 2∆tα (1 − θ) un
≤ [(1 − θ) + θ∆t] f
2
+ 2∆tα θ −
1
2α
un+1
n+1 2
∗
avec l’hypothèse :
fhm,n (t)
Vh
≤C
(2.45)
On somme de n = 0 à n0 ≤ nt − 1, on obtient :
n0 +1 2
u
n0
n+1
u
+β
n=0
−u
n 2
n0
+ 2α
n=0
∆t (1 − θ) un
2
+ θ−
1
2α
un+1
2
≤C
On déduit, alors que ∀h, ∀∆t vérifiant (2.44), on a :
um,n
h
Vh
≤C
um,n+1 − um,n ≤ C
2.2.2
(2.46)
(2.47)
Etude de la convergence
On veut montrer que :
∆t−→0
m,n
um
−→ 0
h − uh
Pour l’instant, on va abodonner le signe m.
On a :
α uh − unh
2
≤ (Ah uh − Ah unh , uh − unh )
(2.48)
2
≤
48
alors il suffit de prouver que la quantité :
T
(Ah uh − Ah unh , uh − unh ) dt −→ 0
X=
tn
T
T
(Ah uh , uh − unh ) dt −
X=
tn
T
(Ah unh , uh ) dt +
tn
(Ah unh, unh ) dt
(2.49)
tn
On peut aussi écrire un,θ
h comme suit :
n
n
n−1
un,θ
h = uh + (θ − 1) uh − uh
(2.50)
Ce qui nous donne :
T
T
n
Ah un,θ
h , uh dt − (θ − 1)
(Ah unh , unh ) dt ≤
tn
T
tn
n
Ah unh − Ah un−1
h , uh dt
(2.51)
tn
On a aussi de (2.6) où on remplaçons vh par uh et utilisons un,θ
h :
T
T
n
Ah un,θ
h , uh
dt ≤
tn
unh − un−1
h
, uh − unh dt+
∆t
tn
T
T
Ah un,θ
h , uh
tn
dt−
(f nh , uh − unh ) dt
tn
(2.52)
(2.51) et (2.52) dans (2.49) :
T
X≤
unh − un−1
h
, uh − unh dt +
∆t
tn
T
T
Ah un,θ
h , uh
tn
T
tn
T
Ah unh − Ah uhn−1 , unh dt −
− (θ − 1)
tn
Nous utilisons encore (2.50)
(f nh , uh − unh ) dt−
dt −
T
(Ah unh , uh ) dt +
tn
(Ah uh , uh − unh ) dt
tn
49
T
X≤
T
unh − un−1
h
+ Ah uh − f nh , uh − unh dt+(1 − θ)
∆t
tn
n
Ah unh − Ah un−1
h , uh − uh dt
tn
T
≤
unh − un−1
h
+ Ah uh − f nh , uh − unh dt+
∆t
tn
nt
+ (1 − θ)
T
≤
n=0
∆t Ah un+1
− unh , uh − un+1
h
h
unh − un−1
h
+ Ah uh − f nh , uh − unh dt+
∆t
tn
nt
+ (1 − θ)
T
≤
∆t M
n=0
un+1
− unh
h
uh − un+1
h
unh − un−1
h
+ Ah uh − f nh , uh − unh dt+
∆t
tn
nt
+ (1 − θ)
T
≤
n=0
∆tS (h) un+1
− unh
h
uh − un+1
h
unh − un−1
h
+ Ah uh − f nh , uh − unh dt+
∆t
tn
1
2
nt
+ (1 − θ) ∆t S (h)
n=0
un+1
− unh
h
1
2
nt
2
n=0
uh − un+1
h
2
On introduit l’hypothèse de convergence suivante :
∆t−→0
(1 − θ) ∆t S (h) −→ 0
(2.53)
50
avec cette hypothèse ainsi que (3.46), (3.47) et (2.2), on obtient que :
∆t−→0
X −→ 0.
2.3
(2.54)
Théorème de l’approximation
Finalement, on peut énoncer un résultat de convergence de ces deux méthodes de
semi-discrétisation et discretisation totale :
Théorème 21 Soit U = u1 , ..., um , ..., uM la solution du problème continu (1.30),
n,m
n,M
soit Uhn = un,1
la solution du problème totalement discrétisé (2.35)
h , ..., uh , ..., uh
et sous les conditions (2.44) et (2.53) , on a le résultat de l’approximation suivant :
lim
max
1≤m≤M
um − um,n
h
L2 (0,T ;H01 (Ω))
=0
(2.55)
h −→ 0
∆t −→ 0
Preuve. Combinant les deux résultats de convergences des éléments finis (2.31)
et des différences finis (2.48), on a directement le résultat final de l’approximation
(2.55).
Chapitre 3
Le comportement asymptotique de
la solution du système de l’I.Q.V
parabolique
3.1
Le problème continu
Comme déjà mentionné dans l’introduction, l’étude suivante se trouve dans [12],
tel que le comportement asymptotique en norme L∞ de l’inéquations variationnelles
et quasi-variationnelle d’évolution a été établit, (quasi-variationnelle au sens que l’obstacle est l’opérateur suivant M u = K + sup essu(x + ξ)).
ξ≥0, x+ξ∈Ω
On considère le problème continu (1.31) et nous lui assoçions le schéma semiimplicite suivant :
51
52








Ω
um,n −um,n−1
∆t
(v − um,n ) dx + am (um,n , v − um,n ) ≥ (f m , v − um,n )
um,n ≤ k + um+1,n−1







, ∀1 ≤ m ≤ M
um,0 = um (x, 0) = 0
(3.1)
Ce qui équivalent au système stationnaire suivant :




bm (um,n , v − um,n ) ≥ (f m + λum,n−1 , v − um,n )




, ∀1 ≤ m ≤ M
um,n ≤ k + um+1,n−1







um,0 = um (x, 0) = 0
tel que b (., .) = a (., .) + λ (., .), λ =
3.1.1
1
,
∆t
(3.2)
tn = n∆t.
L’application du point fixe associée au problème continu
Soit l’application suivante :
Π : IL∞ (Ω) −→ IL∞ (Ω)
(3.3)
W −→ ξ = Π (W )
Où :IL∞ (Ω) = (L∞ (Ω))M , W = w1 , ..., w m , ..., wM , ξ = ξ 1 , ..., ξ m , ..., ξ M
et ξ m est la solution du système de l’I.Q.V suivant :




bm (ξ m , v − ξ m ) ≥ (f m + λwm , v − ξ m )




, ∀1 ≤ m ≤ M
ξ m ≤ k + ξ m+1







ξ m (x, 0) = 0
(3.4)
53
Proposition 22 (cf. [12]) Sous les notations et hypothèses (1.1) à (1.6), l’application définie en (3.3) est contractante ; c’est à dire :
Π (W ) − Π W̃
IL∞ (Ω)
≤
λ
W − W̃
λ+β
IL∞ (Ω)
Preuve. Soit F et F̃ deux seconds membres associés respectivement au solutions
w et w̃, tel que :
F (wm ) = f m + λw m
F (w̃m ) = f m + λw̃ m
on pose :
α=
1
F (wm ) − F (w̃m )
β+λ
L∞ (Ω)
alors ξ m + α est la solution du système de l’I.Q.V suivant :




bm (ξ m + α, (v + α) − (ξ m + α)) ≥ (F (wm ) + a0 α, (v + α) − (ξ m + α))




ξ m + α ≤ k + α + ξ m+1







v + α ≤ k + α + ξ m+1
On a :
F (w̃m ) ≤ F (w m ) + F (w m ) − F (w̃ m )
≤ F (w m ) +
L∞ (Ω)
a0
F (w m ) − F (w̃ m )
α+β
≤ F (w m ) + a0 α
et d’après la monotonie de la solution de (3.4) , on arrive à :
m
ξ̃ ≤ ξ m + α
L∞ (Ω)
54
Changeant le rôle de w et w̃, on obtient que :
m
ξ m ≤ ξ̃ + α
alors :
ξ m − ξ̃
m
L∞ (Ω)
≤
=
≤
max
1≤m≤M
ξ m − ξ̃
Π (W ) − Π W̃
m
L∞ (Ω)
≤
IL∞ (Ω)
≤
1
F (wm ) − F (w̃m ) L∞ (Ω)
λ+β
1
f m + λwm − f m − λw̃m
λ+β
λ
wm − w̃ m L∞ (Ω)
λ+β
λ
max wm − w̃m L∞ (Ω)
λ + β 1≤m≤M
λ
W − W̃
λ+β
IL∞ (Ω)
L∞ (Ω)
Concluons qu’il existe un unique point fixe um,∞ pour l’application Π; c’est la solution
du système de l’I.Q.V continu suivant :



 bm (um,∞ , v − um,∞ ) ≥ (f m + λum,∞, v − um,∞ )




, ∀1 ≤ m ≤ M
um,∞ ≤ k + um+1,∞







um,∞ (x, 0) = 0
3.1.2
(3.5)
L’algorithme associé au problème continu
Partant de um,0 = 0, on définit l’algorithme suivant :
um,n = Π um,n−1 ,
Où um,n est la solution du problème (3.2).
n = 1, ..., N
(3.6)
55
Proposition 23 Nous avons l’estimation de la vitesse de convergence de l’algorithme
(3.6) :
um,n − um,∞
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
n
um,∞ − um,0
(3.7)
L∞ (Ω)
Preuve. D’après (3.6), on a :
um,∞ = Π (um,∞ )
aussi :
um,1 = Π um,0
alors :
um,1 − um,0
L∞ (Ω)
= Π um,0 − Π (um,∞ )
L∞ (Ω)
λ
λ+β
≤
um,0 − um,∞
L∞ (Ω)
à l’étape n :
um,n − um,∞
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
n
um,0 − um,∞
L∞ (Ω)
alors :
um,n+1 − um,∞
L∞ (Ω)
= Π (um,n ) − Π (um,∞)
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
um,n − um,∞
donc :
u
m,n+1
m,∞
−u
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
n+1
um,0 − um,∞
L∞ (Ω)
L∞ (Ω)
56
3.2
Le problème discret
Soit um,∞
∈ Vh la solution de l’I.V discète suivante :
h




bm (um,∞
, vh − um,∞
) ≥ (f + λum,∞
, vh − um,∞
)

h
h
h
h



, ∀vh ∈ Vh , ∀m = 1, ..., M
um,∞
≤ k + um+1,∞
h
h







vh ≤ k + um+1,∞
h
(3.8)
et le problème discret complet :


m,n
m,n−1


bm (um,n
, vh − um,n

h , vh − uh ) ≥ f + λuh
h



, ∀vh ∈ Vh , ∀m = 1, ..., M
um,n
≤ k + um+1,n−1
h
h







vh ≤ k + uhm+1,n−1
(3.9)
3.2.1
L’application du point fixe associé au problème discret
Soit :
Πh
:
IL∞ (Ω) −→ Vh
(3.10)
W −→ Πh (W ) = ξ h
(3.1)
Où ξ m
h est la solution du système de l’I.Q.V. discrèt suivant :



m
m
m
m
m
 bm
h (ξ h , vh − ξ h ) ≥ (f + λw , vh − ξ h )



ξm
h
≤k+
ξ m+1
h
Nous obtenons comme dans le cas continu les résultats suivants :
Proposition 24 L’application définie en (3.10) est contractante, c-à-d :
Πh (W ) − Πh W̃
Vh
≤
λ
W − W̃
λ+β
IL∞ (Ω)
(3.11)
57
Il existe donc un unique point fixe. c’est la solution du problème (3.8).
3.2.2
L’algorithme associé au problème discret
Partant de um,0
= 0, on définit l’algorithme suivant :
h
um,n
= Πh uhm,n−1 ,
h
n = 1, ..., N
(3.12)
est la solution du problème (3.9).
Où um,n
h
Proposition 25 Nous avons l’estimation de la vitesse de convergence de l’algorithme
(3.12) :
um,n
h
−
um,∞
h
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
n
um,∞
− um,0
h
h
L∞ (Ω)
(3.13)
Preuve. D’après (3.12), on a :
= Π (um,∞
)
um,∞
h
h
um,1
= Πh um,0
h
h
alors :
um,1
− um,0
h
h
L∞ (Ω)
= Πh um,0
− Πh (um,∞
)
h
h
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
um,0
− um,∞
h
h
L∞ (Ω)
à l’étape n :
um,n
h
−
um,∞
h
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
n
um,0
− um,∞
h
h
L∞ (Ω)
alors :
um,n+1
− um,∞
h
h
L∞ (Ω)
m,∞
= Πh (um,n
)
h ) − Πh (uh
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
um,n
− um,∞
h
h
L∞ (Ω)
58
3.3
Comportement asymptotique
On évalue l’écart en norme L∞ entre um
h (T, x) la solution discrète calculée à
l’instant T et la solution um,∞ du problème continu (3.5).
Théorème 26 Sous les hypothèses précédentes, nous avons :
m,∞
um
(x)
h (T, x) − u
L∞ (Ω)
≤ C h2 |log h|2 +
1
1 + ∆t.β
N
(3.14)
Où C est une constante indépendante de h, ∆t.
Preuve. On a :
um,N
(x) = um
h (T, x)
h
alors :
m,∞
(x)
um
h (T, x) − u
L∞ (Ω)
= um,N
(x) − um,∞
h
+ um,∞
− um,∞
h
L∞ (Ω)
≤ um,N
− um,∞
h
h
L∞ (Ω)
L∞ (Ω)
D’après [19], on a :
− um,∞
um,∞
h
L∞ (Ω)
≤ Ch2 |log h|2
et d’après (3.13), on a :
um,N
− um,∞
h
h
Comme λ =
1
,
∆t
L∞ (Ω)
≤ um,n
− um,∞
h
h
L∞ (Ω)
≤
λ
λ+β
N
um,∞ − um,0
nous obtenons :
m,∞
um
(x)
h (T, x) − u
L∞ (Ω)
≤C
h2 |log h|2 +
1
1 + ∆t.β
N
.
+
Chapitre 4
Localisation de la frontière libre
4.1
le cas stationnaire
4.1.1
Le problème continu
1,α
m
0,α
Soit les fonctions am
Ω̄ , am
Ω̄ tel que :
ij (x) dans C
i (x) , a0 (x) dans C
i,j
2
N
am
ij (x) ξ i ξ j ≥ γ |ξ| ; x ∈ Ω̄, ξ ∈ R , γ > 0
am
0 (x) ≥ β > 0
(4.1)
(4.2)
Nous définissons les formes bilinéaires pour tout u, v ∈ H 1 (Ω) .
am (u, v) =
am
ij (x)
Ω
j,k
∂u ∂v
+
∂xi ∂xj
am
i (x)
j
∂u
v + am
0 (x) uv dx
∂xi
Donnons aussi les seconds membres f m (.) tel que :
59
(4.3)
60
f m ∈ C 2 Ω̄ et f m ≥ 0; ∀m = 1, ..., M
Posons l’espace (L∞ (Ω))M = W = w 1 , ..., wm , ..., w M
(4.4)
tel que wm ∈ L∞ (Ω) ,
menu de la norme suivante :
W
∞
= max
1≤m≤M
wm
(4.5)
L∞ (Ω)
Reprenons le problème stationnaire (0.2), associé au système parabolique (1.30)
M
Trouver U = u1 , ..., um , ..., uM ∈ (H01 (Ω)) , tel que :




am (um , v − um ) − (f m , v − um ) ≥ 0, ∀v ∈ H01 (Ω)








um ≤ k + um+1











v ≤ k + um+1
, ∀1 ≤ m ≤ M
(4.6)
uM+1 = u1
Théorème 27 (cf. [13,14]) : Sous les hypoyhèses (4.1) à (4.5) la solution um du
problème (4.6) existe, elle est unique et appartienne à C Ω̄ ∩W 2,p (Ω) ; ∀2 ≤ p < ∞.
4.1.2
Le problème discret
Sous les notations (2.1) à (2.4) et sous le principe de maximum discret ([25]),
le problème discret analogue au selui continu se pose comme suit : Trouver Uh =
M
u1h , ..., um
∈ (Vh )M Sachant que :
h , ..., uh
61



m
m
m
m

am

h (uh , vh − uh ) − (f , vh − uh ) ≥ 0, ∀vh ∈ Vh






m+1

um
h ≤ k + uh











vh ≤ k +
(4.7)
um+1
h
uM+1
= u1h
h
Théorème 28 (cf. [13,14]) : Le système (4.7), admet une seule solution.
Dans [13] une évaluation de l’erreur optimale est établie de la combinaison de
la convergence géométrique des deux schemas iteratives continu et discret de type
Benssousan-Lions, avec l’erreur connue des inéquations variationnelles elliptiques.
Théorème 29 (cf. [19]) : Soit U la solution du problème continu (4.6), et soit Uh
la solution du problème discret (4.7), alors on a l’estimation de l’erreur suivante :
U − Uh
4.1.3
∞
≤ Ch2 |log h|2
(4.8)
Approximation de la zone de contacte
Dans l’application c’est important de localiser la partie où les contraintes sont
saturées et la partie où le système est vérifié, alors suivant [31], nous définissons la
frontière libre continue comme suit :
S m = ∂ x ∈ Ω, such that um (x) < k + um+1 (x) ∩ Ω
(4.9)
et l’autre l’approximative comme suit :
m+1
Shm = ∂ x ∈ Ω, such that um
(x) + Ch2 |log h|2 ∩ Ω
h (x) < rh k + u
(4.10)
62
Pour reprendre la démonstration de [31], il suffit de considérer la fonction w m =
(k + um+1 ) − um , et le problème translaté correspondant avec terme non-homogène
f˜m = (k + Am um+1 ) − f m est le suivant :



 Am wm ≥ f˜m



(4.11)
m
w ≥0
L’hypothèse (4.4) entraîne, que la fonction um solution de (4.6) à toutes les dérivées
secondes bornées dans Ω, c’est-à-dire :
wm ∈ C 1,1 (Ω)
(4.12)
Soit K un compact de Ω, nous assumons la propriété de non-dégénérescence de la
solution continue um ([31]) :
({0 < wm < εα } ∩ K) ⊂ Lε (S m ∩ K)
(4.13)
Lε (S m ∩ K) = {x ∈ Ω0 : d (x, S m ∩ K) < CK ε}
(4.14)
où
d (x, S m ∩ K) est la distance entre x et S m , et CK une constante dépendante de
K.
Corollaire 30 Sous l’hypothèse (4.13), Shm ∩ K satisfaire :
Shm ∩ K ⊆ L
1
(3Ch2 |log h|3 ) α
(S m ∩ K)
63
Preuve. Selon le théorème (4.3), nous reprenons la démonstration de [31] :
Soit x ∈ Shm ∩ k, alors
m+1
um
(x, t) + Ch2 |log h|3
h (x, t) = rh k + u
utilisant l’éstimation (4.8), nous obtenons :
−um (x) < Ch2 |log h|3 − um
h
−um (x) + k + um+1 (x) ≤ k + um+1 (x) − rh k + um+1 (x)
0 < wm < Ch2 |log h|3
1
ce qui prouve le théorème si on prend ε = (Ch2 |log h|3 ) α .
Shm ∩ K ⊆ L
4.2
1
(Ch2 |log h|2 ) α
(S m ∩ K)
Comportement asymptotique de la frontière
libre (Extension)
Considérons maintenant le cas particulier que les Am sont seulement le Laplacien.
Compte tenu de l’estimation (3.14), on peut dire que la solution um (x, t) du système
de l’I.Q.V parabolique (1.30) converge, lorsque t → ∞, vers um,∞ ≡ um ; la solution
du problème stationnaire (4.6).
En effet, il suffit comme le cas stastionnaire de considérer les fonctions :
wm,∞ = (k + um+1,∞ ) − um,∞
64
w̃m (x, t) = (k + um+1 (x, t)) − um (x, t)
et le problème translaté correspondant :







∂ w̃m
∂t
+ Am w̃m ≥ fˆm
wm ≥ 0
avec le terme totalement homogène :
fˆm = f m+1 − f m
Supposons aussi que :
f m (t) → f m,∞ , ftm (t) → 0 dans L∞ (Ω0 ) , ∀1 ≤ m ≤ M
(4.15)
f m,∞ (x) ∈ C 1,µ Ω̄ , 0 < µ ≤ 1, ∀1 ≤ m ≤ M
(4.16)
f m,∞ ≤ −ν < 0
(4.17)
E (t) = x ∈ Ω̄ : um (x, t) = k + um+1 (x, t)
(4.18)
E∞ = x ∈ Ω̄ : um,∞ (x) = k + um+1,∞ (x)
(4.19)
et
Posons
et considérons les respectives frontières libres :
L (t) = ∂E (t) ∩ Ω ; L∞ = ∂E∞ ∩ Ω
(4.20)
65
Pour exclure le cas trivial on suppose qu’il existe t1 tel que L (t) = ∅ pour t ≥ t1 .
Théorème 31 Sous les hypothèses précédentes en particulier (4.16), on a :
E (t) → E∞ , L (t) → L∞
au sens de Hausdorff, lorsque t → ∞.
(4.23)
66
Chapitre 5
Expérimentation numérique
Exemple 32 (L’équation de transport)
Considérer l’équation HJB correspondente aux équations du transport




∂u
∂t
+ max (f− (x) ux , f+ (x) ux ) = 0



t ≥ 0, x ∈ (x min, x max)
u (x, 0) = u0 (x)
Quand la fonction croit, c’est le transport avec la vitesse maximale f+ (x), et dans
les zones où la fonction décroit, c’est le transport avec la vitesse minimale f− (x)(voir
[21]), après le système à résoudre est le suivant :
















∂u1
∂t
∂u2
∂t
+ f− (x) u1x ≤ 0
+ f + (x) u2x ≤ 0
u1 ≤ k + u2







u2 ≤ k + u1







 u1 (x, 0) = u2 (x, 0) = u0 (x) ∀x ∈ (x min, x max)
On prend f− = f+ = −1, (x min, x max) = (−2, +2) , k = 0.1 avec la condition initiale
67
68
u0 (x) définit comme suit
u0 (x) =



 0.64


 max (1 − x2 , 0)
si x ∈ [0.2, 0.6]
otherwise
La solution est périodique avec la période égale à 4 et elle coinside avec la condition
initiale quand t = 12 (3 periodes).
Dans la figure (5.1), nous proposons une comparaison entre la solution exacte u,
et la solution approximative uh où t = 12, h = 1/5, θ = 1,et ∆t = 1/100. La figure
(5.2) montre la convergence des trois types de θ−schéma.
69
REFERENCES
[1] A Bensoussan et J. L. Lions, Application des inéquations variationnelles
en controle stochastique, DUNOD , Paris, (1978).
[2] A Bensoussan et J. L. Lions, Controle impulsionnel et inéquations quasivariationnelles d’évolution, .C. R. Acad. Sc. Paris, t. 276 , Série A- 1333.(14 mai
1973)
[3] B. Désprès and F. Lagoutière, Contact discontinuity capturing schemes for
linear advection and compressible gas dynamics. J.Sci. Comput., 16 :479-524, 2001.
[4] C. W. Shu and S. Osher, Ecient implementation of essentially non oscillatory shock capturing schemes. Journal of computational physics, 77 :439-471, (1988).
[5] C. W. Shu and S. Osher, Ecient implementation of essentially non oscillatory shock capturing schemes, ii. Journal of computational physics, 83 :32-78, (1989).
[6] F. Lagoutière, Modélisation mathématique et résolution numérique de problèmes fluides compressibles a plusieurs constituants. Thèse de doctorat, Université
Paris 6. (2000).
[7] F. Mignot et J. P. Puel, Solution maximum de certaines inéquations d’évolution paraboliques, et inéquations quasi variationnelles parabolique.C. R. Acad. Sc.
Paris, t. 280 , Série A- 259, (3 février 1975).
[8] G. Chen and Z. Dai, Modified domain decomposition method for HamiltonJacobi-Bellman equations. Appl. Math. Mech. -Engl. Ed. 31(12), 1585—1592 DOI
10.1007/s10483-010-1386-8, (2010).
70
[9] H. PHAM, Equation d’Hamilton-Jacobi-Bellman, Laboratoire de Probabilités
et Modèle Aléatoires, CNRS, UMR 7599, Université Paris 7, 2007.
[10] J. A. Sethian, Level Set Methods and Fast Marching Methods. Evolving
interfaces in computational geometry , fluid mechanics, computer vision and materials
science. Cambridge university press, (1999).
[11] L. C. Evans and A. Friedman, Optimal stochastic switching and the dirichlet problem for the bellman equation, American Mathematical society, Volume 253,
September (1979).
[12] M. Boulbrachene, Sur Questions d’Approximations de Problèmes a Frontière Libre de Sous-Domaines et d’Erreurs d’Arrondi, Thèse de Doctora, université
de Franche-comté, (1987).
[13] M. Boulbrachene and M. Haiour, The finite element approximation of
Hamilton Jacobi Bellman equations. Computers and Mathematics with application
41, 993-1007, (2001)
[14] M. Boulbrachene, M. Haiour and B. Chentouf, On a noncoercive system
of quasi-variational inequalities related to sthochastic control problem. JIPAM, vol 3,
Issue 2, Article 30, (2002).
[15] M. Falcone, A numerical approach to the infnite horizon problem of deterministic control theory. Applied Mathematics and Optimization, 15 :1-13, (1987).
[16] M. Falcone and R. Ferretti, Semi-Lagrangian schemes for Hamilton-Jacobi
equations, discrete representation formulae and Godunov methods. Journal of Computational Physics, 175 :559-575, (2002).
[17] M. Falcone and T. Giorgi, An approximation scheme for evolutive Ha-
71
milton Jacobi equations. Stochastic analysis, Control, Optimization and applications,
pages 289-303, (1999).
[18] N. Megdich, Méthodes Anti-dissipatives pour les Equations Hamilton Jacobi
Bellman, Thèse de doctorat, Université Paris VI, (2008).
[19] N. Yahia-Boughiout, Approximation par éléments finis d’un système d’inéquationsquasi- variationnelles elliptique, Thèse de Mgister Annaba (2006).
[20] O. Bokanowski and H. Zidani, Anti-dissipative schemes for advection and
application to Hamilton Jacobi Bellman equations. J. Sci. Comp., 30(1) :1-33, (2007).
[21] O. Bokanowski, N. Forcadel et H. Zidani, L1-error estimates for numerical approximations of Hamilton-Jacobi-Bellman equations in dimension 1, inria00267644, version 1 - 28 Mar (2008).
[22] P.A.Raviat et J.M.Thomas, Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles, DUNOD (1993).
[23] P. C. Dumont, Sur les inéquations variationnelles a opérateur non coercif,
M2 AN. vol. 19, n◦ 2,p. 195 à 212, (1985)
[24] P. C. Dumont, Sur l’analyse numérique des équations de Hamilton-JacobiBellman, Math. Meth. in Appl. Sci., (1987).
[25] P. G. Ciarlet and P. A. Raviat, Maximum principle and uniform convergence for the finite element method, Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 2, 1-20,
(1973).
[26] P. L. Lions, Résolution des problèmes généraux de Bellman-Dirichlet. C. R.
Acad. Sc., Paris, t. 287, série A, p. 747-750 ; (1978)
[27] P. L. Lions et B. Mercier, Approximation numérique des équations de
72
Hmilton-Jacobi-Bellman, R.A.I.R.O. Analyse nmérique, vol. 14, n◦ 4, p. 369-393, (1980).
[28] P. Oliver, Numerical Simulation of American Options, Diplomarbeit in Wirtschaftsmathematik, Universität Ulm, Sciendo. Docendo. Curando. (2004).
[29] P. K. Sweby, High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic
conservation laws. SIAM Journal of Numerical Analysis, 21(5) :995-1011, (1984).
[30] R. Glowinski et J-L-Lions et R-Trémolières, Analyse numérique des inéquations variationnelles, DUNOD , Paris.
[31] R. H. Nochetto, A note on the approximation of free boundaries by finite
element methods, RAIRA - Modélissation mathématique et analyse numérique, tome
20, n◦ 25, p. 355-368, (1986).
[32] S. A. Belbas and I. D. Mayergoz, Application des méthodes du point
fixe aux équation de Hamilton Jacobi Bellman discrète et des inéquations quasivariationnelles discrète, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie 17, (1984).