TRIANGLES SEMBLABLES I) Triangles isométriques

TRIANGLES SEMBLABLES
I) Triangles isométriques
1) Définitions et propriétés
Définition : Deux triangles sont isométriques s’ils ont leurs côtés respectifs de même longueur.
A
C'
B'
Exemple : les triangles ABC et A’B’C’ sont
isométriques car AB = A’B’, AC = A’C’ et BC = B’C’.
B
C
A'
Propriétés :
• Deux triangles isométriques ont la même aire.
• Si deux triangles sont isométriques, leurs angles homologues sont égaux.
Remarques : • Deux triangles qui ont des angles égaux ne sont pas obligatoirement isométriques (voir plus loin).
‚ Deux triangles isométriques sont superposables (papier calque).
2) Triangles et isométries
Théorème : Si un triangle T a pour image un triangle T’ par une translation, une symétrie axiale ou une rotation, alors les
deux triangles T et T’ sont isométriques.
Démonstration : Les translations, les symétries axiales (appelées aussi réflexions) et les rotations (comprenant les
symétries centrales qui sont des rotations de 180°) sont les transformations géométriques étudiées au collège. Elles ont
en commun une propriété importante : elles conservent les longueurs, c’est pour cela qu’on les appelle des isométries
(iso : même et métrie : distance). Alors elles transforment un triangle en un triangle de mêmes dimensions.
Les triangles T, T1, T2, T3 et T4 sont
isométriques.
r
• Translation de vecteur u :
A4
T4
T1 est l’image de T par tur ;
O
A 1 est l’image de A par tur signifie :
uuuur r
AA1 = u .
• Symétrie d’axe d :
T2 est l’image de T par Sd ;
A 2 est l’image de A par Sd signifie : d est la
médiatrice du segment [AA2].
d
A
A1
I
T3
T
• Symétrie centrale de centre I :
T3 est l’image de T par SI ;
A 3 est l’image de A par SI signifie : I est le
milieu du segment [AA3].
• Rotation :
T4 est l’image de T par la rotation de centre
O et d’angle −60° ;
A3
T1
A2
T2
· = −60° .
A 4 est l’image de A par rO, −60° signifie : OA = OA 4 et AOA
4
Triangles semblables 1/2
3) Caractérisation des triangles isométriques
A
Théorème (admis) : Si deux triangles ont un côté égal compris
entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont
isométriques.
B
3.0
C
A
Théorème (admis) : Si deux triangles ont un angle égal entre
deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
2.0
B
3.0
C
II) Triangles semblables ou triangles de même forme
1) Définitions et propriétés
Définition : Deux triangles sont semblables si les angles de l’un sont égaux à
l’autre.
Conséquences :
• Deux triangles isométriques sont semblables (ou de même forme).
‚ Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables :
quand on connaît deux angles d’un triangle, on connaît le troisième, puisque la somme des trois angles d’un triangle est
égale à 180°.
Théorème : Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés sont proportionnels.
G
Idée de la démonstration : Les triangles ABC et EFG sont semblables.
Les angles correspondants et une longueur permettent de construire le
triangle A 1BC1 : les triangles EFG et A 1BC1 sont isométriques. Les angles
correspondants assure que les droites (A 1C1) et (AC) sont parallèles,
BA1 BC1 A1C1
alors le théorème de Thalès intervient pour donner :
=
=
.
BA BC
AC
EF FG EG
On en déduit
=
=
, c’est-à-dire que les côtés des triangles
BA BC AC
ABC et EFG sont proportionnels.
E
A
A1
F
B
C1
C
Remarques :
• le coefficient de proportionnalité k ainsi obtenu est appelé rapport de similitude.
‚ le rapport de similitude de deux triangles isométriques est égal à 1.
A
Propriété : Si les longueurs des côtés du triangle T’ sont
égales à k fois celles des côtés de T, alors l’aire de T’ est
égale à k2 fois l’aire de T.
E
2) Caractérisation des triangles semblables
4.0
4.4
2.2
Théorème (admis) : Si deux triangles ont leurs côtés
proportionnels, alors ils sont semblables.
Exemple : On a :
4,4 4 4,6
= =
= 2 , donc
2,2 2 2,3
2.0
B
4.6
C
F
2.3
G
Triangles semblables 2/2
BA BC AC
=
=
, alors les triangles ABC et EFG sont semblables.
EF GF EG
Triangles semblables 3/2