Application des méthodes fiabilistes au tolérancement

Fiabilité des Matériaux et des Structures 2010
6èmes Journées Nationales de Fiabilité
24-25-26 Mars 2010 – Toulouse
Application des méthodes fiabilistes au tolérancement
statistique des systèmes mécaniques
Nicolas GAYTON
Maître de Conférences
[email protected]
P. Beaucaire - E. Duc – M. Lemaire
Nicolas GAYTON
Application des méthodes fiabilistes au tolérancement statistique des
systèmes mécaniques
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Introduction
Le taux de non-conformité : un intérêt industriel majeur
CLIENT
Exigences fonctionnelles du client
Exigences qualité du client
x ppm non conforme
FOURNISSEUR
Conception des sous-ensembles
Existence d’une probabilité appelée
Taux de non conformité
PD = Prob(Y ∉ [9.5 − 10.5])
Calcul de PD permet de :
→ valider les intervalles de tolérance de chaque pièce primaire en accord avec
l’exigence qualité du client sur le produit final
→ fabriquer le juste nécessaire en terme de qualité
→ maîtriser ces rebus de fabrication
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Introduction
Fiabilité des structures / Cotation fonctionnelle
Fiabilité des structures
Cotation fonctionnelle
Y
q
Part 1
E , b, h
l
Part 2
x1
Fonction de performance
G = f adm − f (q, E , b, h, l )
Probabilité de défaillance :
Pf = Prob( f max − f (q, E , b, h, l )) ≤ 0)
Fiabilité système
Optimisation mécano-fiabiliste
x2
Chaîne de cotes
Y ( x1 , x2 ) = x1 + x2
Taux de Non conformité
TNC=Prob(Y ∉ [Ymin ; Ymax ])
Taux de Non Conformité de la
fonction
Cotation fonctionnelle
Monte Carlo, FORM/SORM, RBDO …
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Introduction
Probabilité de défaillance / taux de non conformité
La probabilité de défaillance est le taux de non-conformité associé à
l’exigence fonctionnelle de tenue mécanique
Pf = Prob( f max − f (q, E , b, h, l )) ≤ 0)
- Petites séries voire fabrication
unitaire
- Variables aléatoires de distributions
connues
- Peu de données
TNC=Prob(Y ∉ [Ymin ; Ymax ])
- Très grandes séries, fabrication par
lots
- Variables aléatoires de caractéristiques
statistiques fluctuantes avec le temps
- Beaucoup de données
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Plan de la présentation
→
Introduction
→
Calcul du TNC avec prise en compte des variabilités des lots de
fabrication
→
Applications
Application académique
Applications à l’analyse du tolérancement de connections électriques pour
l’aéronautique (RADIALL SA)
Application à l’analyse du tolérancement d’un système avec jeux
→
Conclusions
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Calcul du TNC
Terminologie
Une dimension X i
Ti
USLi , LSLi
nominal
µi
Un lot de fabrication
moyenne
σi
Bornes
sup, inf
(r )
C pi( r ) , C pki
ti
Intervalle de
tolérance
δi
Ecart-type Décalage de
moyenne
C pi , C pki
Capabilités
C pi =
Un lot de fabrication est conforme si :
Exigence fonctionnelle :
C pi ≤ C pi
Deux exigences
de capabilité
ti
6σ i
C pki =
ti / 2 − δ i
3σ i
et C pki ≤ C pki
Y ∉ [Ymin − Ymax ]
Y = f ( X 1 ,..., X n )
Linéaire, non-linéaire, explicite avec jeu,
non-explicite CAO, non explicite MEF, …
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Calcul du TNC
TNC conditionnel / TNC
Taux de non-conformité conditionnel ou « ponctuel » :
Probabilité sachant les décalages de moyenne et écart-type de chaque dimension
PD|σ ,δ = Prob(Y ∉ [Ymin − Ymax ])
Monte Carlo, FORM/SORM, fiabilité système
Hypothèse gaussienne de chaque dimension, distribution statistique entièrement
définie par : (δ i , σ i )
Cas des méthodes de la littérature ne prenant pas en
compte les variabilités sur les lots de fabrication
Taux de non-conformité dynamique :
Prend en compte les variabilités sur (δ i , σ i )
PD = Ε(PD|δ ,σ (δ i , σ i ))
=
∫P
D|δ ,σ
Dc
n
(δ i , σ i )∏ fi (δ i , σ i )dσ i dδ i
i =1
Domaine de conformité
Taux de non-conformité au pire des cas
Densité conjointe de probabilité de
fonction du process de fabrication
(δ i , σ i )
PD ≤ max PD|δ ,σ (δ i , σ i )
δ ,σ ∈Dc
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Calcul du TNC
Densité de probabilité conjointe
Process avec écart-type constant
et décalage de moyenne aléatoire
Process
parfaitement stable
(uniforme)
(gaussien)
Process avec écart-type et
décalage de moyenne aléatoires
(uniforme)
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(gaussien)
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Applications
Application académique
X1
X2
Part 1
Part 2
Exigence fonctionnelle
T1 = 6, T2 = 4
Y
Y = X1 + X 2
Fonction f
Y ∈ [9,5 − 10,5]
t1 = t2 = 0,59
(valeurs arbitraires)
(r )
(r )
Exigences de capabilités C pi
= C pki
= 1 (i = 1, 2)
Résultat
de la littérature
Process
parfaitement
stable
521ppm
Process avec écart-type
constant et décalage de
moyenne aléatoire
(uniforme)
Borne supérieure
1551ppm
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Applications
Application académique
Process avec écart-type et décalage
de moyenne aléatoires (uniformes)
521ppm
1551ppm
Borne supérieure
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Applications
Application à une chaîne de cote linéaire
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Y = f ( X i ) = ∑ ki X i
i =1
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Exigence fonctionnelle :
Ti
ti
C (pir ) = C (pkir )
1
0.75
0.2
1.8
2.6
2
10.71
0.16
1.8
2.6
3
3.75
0.1
1.8
2.6
4
5.125
0.05
U dist.
5
3.125
0.05
U dist.
6
4.505
0.03
1.7
1.94
7
5.985
0.09
1.8
2.8
8
21.535
0.11
0.38
1.32
9
8.195
0.11
0.38
1.32
10
5.985
0.09
1.8
2.8
11
12.305
0.03
1.7
1.94
12
10.325
0.05
U dist.
13
5.125
0.05
U dist.
14
3.75
0.1
1.8
2.6
15
0.825
0.05
1.05
1.85
16
8.8
0.1
1.8
2.6
17
0.4
0.2
1.8
2.6
Dim.
Dimensions 1-3, 6-11,14-17 :
Décalages de moyenne et écarttype distribués uniformément
k i = ±1
Y ≥S
C pi(0)
Dimensions 4,5,12,13
tri à 100% des pièces, écarttype nul, décalage de
moyenne aléatoire uniforme
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Applications
Application à une chaîne de cote linéaire
PD
Calcul de PD|δ ,σ explicite
Calcul de PD par simulation
de Monte Carlo
S
→ Plus l’exigence de recouvrement S augmente, plus il y a d’assemblages non conformes
→ Méthode au pire des cas très pénalisante mais facile à calculer et nécessitant
moins d’investissement dans la connaissance du processus de fabrication
→ Méthode dynamique moins pénalisante et tenant compte de la connaissance du
process de fabrication
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Applications
Application à une chaîne de cote non linéaire
Exigence fonctionnelle :
Y ≤S
Fonction f non linéaire composée de 14 cotes
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ti
(r )
C pi( r ) = C pki
C pi(0)
Dim
Ti
1
10,53
0,2
1,1
1,6
2
0,1
0,2
1,1
1,6
3
0
0,06
1,1
1,6
4
0,643
0,015
1,1
1,6
5
0
0,2
1,1
1,6
6
0,72
0,04
1,1
1,6
7
1,325
0,05
1,1
1,6
8
0,75
0,04
1,1
1,6
9
0
0,04
1,1
1,6
10
3,02
0,06
0,86
1,36
11
0,72
0,04
0,86
1,36
12
0
0,04
0,86
1,36
13
0,97
0,04
0,86
1,36
14
0,4
0,06
0,86
1,36
Dimensions
Décalages de moyenne et
écart-type distribués
uniformément
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Applications
Application à une chaîne de cote non linéaire
PD
Calcul de PD|δ ,σ par méthode FORM
Calcul de PD par simulation
de Monte Carlo
S
→ Plus l’exigence de débattement admissible S augmente, plus il y a
d’assemblages conformes
→ Méthode au pire des cas très pénalisante mais facile à calculer
→ Méthode dynamique moins pénalisante et tenant compte de la
connaissance du process de fabrication
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Applications
Application à un système avec jeu fonctionnel
Serrage admissible :
PD|δ ,σ = Pr ob(∃d1 , d 2 / J1 (d1 , d 2 ) ≤ t ∩ J 2 (d1 , d 2 ) ≤ t )
t
Se reformule par l’intersection de trois
expressions linéaires avec test uniquement
des cas extrêmes.
Dimensions
Décalages de moyenne et
écart-type distribués
uniformément
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Applications
Application à un système avec jeu fonctionnel
PD
Calcul de PD|δ ,σ par méthode de Genz
Calcul de PD par simulation
de Monte Carlo
t
Aucun serrage toléré
→ Plus le serrage toléré est important moins il y a d’assemblage non conforme
→ Mêmes conclusions que sur les applications précédentes quand à l’intérêt
d’investir dans la connaissance du process de fabrication
Nicolas GAYTON
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Conclusions
→ La parallèle fiabilité des structures / cotation fonctionnelle (analyse
des tolérance) est clair ouvrant un nouveau champs d’application des méthodes
courantes.
→ Des spécificités à prendre en compte : très grande série
→ Des bases de données de mesures importantes à exploiter
→ Une méthode dynamique a été mise en place pour prédire le TNC dès la
phase de conception.
→ Intérêt considérable de connaissance du process de fabrication dans
l’évaluation du TNC.
→ Possibilité de prise en compte des outils multi-empreintes, des pièces
multi-fournisseurs
→ Perspectives : couplage avec un modeleur géométrique.
Chaîne de
cote linéaire
Nicolas GAYTON
Système de
transmission
de couple
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