Cours

- 21 «
Chapitre
GENERALITES
VI». U
VI
SUR
LES
P 0 U ÏR E S
DEFINITiaKS (MÏEglAIiES »
.
'
'
On nomme p o u t r e un corps dont le volume est engendré de la manière suivante par une surface plane s
' variable*
'
1) Cette surface est définie dans le plan mobile qui
la renferme de roanière que son centre de gravité décrive
une ligne donnée G G plane ou gauche appelée liffîg,
gjjcgj^Bime de ' la poutre ou ..âge ^iQ^itudiiml»
2) Le plan mobile contenant S est constamment normal
à la ligne moyenne parcourue par G et en outre à la ligne
décrite par chacun de ses autres points*
On suppose que :
1) la surface S est invariable ou du
moins qu^elle varie peut par rapport à
des axes de son plan»
2) La. ligne moyenne lorsqufelle est
courbe a en chaque point G un rayon
de courbure très grand par rapport aux
dimensions de la section*
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71. 2 ~ COMPOSANTES DU TOHSEOR DES FORCES DE GAUCHE DAHS IMB SECTION DROITE DE
LA. POUTRE / *
Considérons la partie de poutre
limitée aux deux sections droites
G et G *
o
On appelle torseurs des forces de
gauche lfensemble des forces y
compris les réactions situé à
gauche de la section droite G»
Le torseur est caractérisé par son
effet au point G * soit ;
f
le
*"*l>
\ Résultante g
R
?
_^
! Moment résultant
G
Si G xyz sont définis de la façon
suivante :
- axe z ; tangent à la fibre moyenne
~ axe x et y dans le plan de sec-
^>
~~>
R et C se décomposent '^uJbmirt ces a^es «
tion droite *
^
* T i effort tranchant (dans G xy)
\ H j effort longitudinal ^( sur Gz)
__
( M : moment de flexion ou fléchissant (dans Gxy)
C>
\
IM
x
: moment de torsion /(sur Gz)
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-23 ~
R e n a r q.u e. —
forces de gauche
en G
forces de droite
en G
Balation entre les forces de gauche et les forces de droite.»
( Tf* /
)
f
~-r «*-:#
) —>
ï
R 4* E* « 0
1°
)
_> _
* poutre en équilibre r> Q^' c^-0
1
f E
/ _v
j Cïx
*
v
VI*. 3 -« Contraint-es • en/tm^ point ^d^uiie poutre ..*•>..;j
Considérons une section droite Gf et
une facette P, h dans cette section
droite*
On«—>a î
é
.A2 f^>
vC2 ^
c, c
^3^^
Ce sont pratiquement les trois seules
C3iitrcinto3 qui sont calculées *. Par
hypothèse on pose que toutes les autres
contraintes sont nulles»
On a alors le tableau des contraintes
s
**
0
0
^2
0
0
^
£2 ^1 cj
^
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- 24 ~
VI , 4 «* mSCTPS_ME_SATOTj;mAHT
* CONDITIONS• L D * EQUILIBRE STATIQUE»
On admet le principe suivant i
Les^jconti'ai.n.tesv dans uns sestinn drol'^e G xie dépendent que de .lar résul-,
tante générale P _et du noneat rosultant G du torseur de ^ucheg
La paxtie A est en équilibre sous l'action du torseur de
>
gauche et des forces élastiques qui apparaissent sur la section droite G
—.>
—>
X
dP = Y . d S
E
Ces forces élastiques représentant l'action de B sur la
section droite»
ïïous écrivons
—^
—^
R -f E d F - 0
C + C. G P A
(l)
dlp = 0
De (l)
,
EK •«• £ 32 • d 's
+
£ c., . £ s = o
ïï +
£^5 . d s = o
*y
De
(2)
*» °
.
-.
\
+
~=—
7
3d S = °
M
y
-<
(T'dS=6
<- 2: M 3
Mt
+ & ( x ^ - y ^2) d S = 0
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;
- 25 -
'
tU 5 ^fRIHCIPE DE MJIER |^5HOUILLI v DEFORHM!IOM DyTM PRISEE SLEMESJ^^
pEFORlAglOM DfEHSMBLE DIIMB POO^E^
VI^ 5* "t--**. Principe de Havier «» Bernoiii.l3j. Au cours de la iéfonaation, les sections droites restent JBâgSSâ.»
Ce principe nfest pas tou/ours vérifié en résistance des matériaux»
—v * " * ' ' •
• VI* 5« 2 ** I3^formatioi? dfun prisme éléi^rrtaire»
:,
On appelle prisme élémentaire une partie le poutre comprise entre 2
sections droites très voisines*
Cqasidérons 2 sections droites G et G. telles que G G & ds »
o
o
At cours de la déformation» les sectioha £*
et G subissent
o
tn déplacement ; nous nous intéressons qu'au déplacement de G par
rapport à G f Eamenons la section G
sur elleHaêcie , la
section G vient en G1
« La déformation est alors mise en évidence*
îrenons une fibre M M f M ( x, y) après déformation est en M1 *
Le vecteur déformation est M M*• 0 • -.
.—*»»* «•H'.ilta..^
.'•••it. j^.-'V
fiâiSii^ââJOi1
"^ ^ adraet que pour passer de G en G1
:'' H
•"""**">*
on combine :
3} irne rotation de vecteitr 0 « d S autour de G dont les composantes
*ont s
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'
•-,
f 0 , • dS
l ft
2
e
V
- 26 -
rotation autour de l'axe des oc
. dS
"
«
»
y'
. ds
«
«
H
?
3
11 &st pratique d'introduire la rotation autour d'un axa (a) dans
le plan x 0 y » Si Û
est posté par ( <& ) de cosinus directeurs
(o( A)
il viont j
(
^ -^
f
i
dS ~ Ô
. a2 d s
. Ô
. oC , d S
.y^- k d s
« e
d S
\
2) ime translation d f ensemble de ireoteur G &!
-^>
G G»
_»>
f A1 d0
I
ds
« A 4 S < A2
|x3 ls
Par suite :
.M M«' » A d S + ô d S /\
Soit
Gi
f ( A1 . yÔ ) d S
-^>
/
MM*
\
( A .. + z ft.) d S
^
G^Z n( ^3+ô^
^
(o<y
- ^*M
\ i
v
ds
J
, _ .• ,m,-^, x
ies coîïiposantes du Tecteur déplacement H M1 dans le système dfaxea (Gt z,y? îs)
permettent de-passer ewx déformations unitaires ou voisxnage du point K (zf y)*
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- 27 Pour une facette autour du point M et orientée par l'axe des y , nous avons ;
a) un glissement dans la direction perpendiculaire à l'axe des y de valeur
2 g, « ( A 1 - y a ) ^ji
*
^
d1
t>) un glissement dans la direction perpendiculaire de l'axe des x de valeur
2
&, « ( A 2 + * ©3) d a
d 1
o) un allongement dans la direction de l'ase des z de valeur
6
=
3
f ^3 * Y
(C
L
<y~/>
x)
]
J
âjB,
di
Dans le cas particulier où la poutre est droite, nous avons d 1 = d s .
11 vient s
J 2g2 . A 1 -y &3
i 2*1 -' À 2 > x %
. >^+ o ô (o<y -/ix)
|e5
En appliquant la loi de H o o k
<T3 «
•?t
E
e
3
--
E
il vient ;
[ A 3 + OA
(C^y^x)]
= G. 2 gl « G ( A 2 + x 0 3 )
^2 = G, 2 g 2 = G ( A t . y Ô3)
i,,,,.., x.rjf-r,x. . .. .. ..^ 1U..;
....... 1;:-u]LitrTmi ..r;,,rf-,..n.. '.. . ._.,.., ..,.. .1...tl_r..1.-1..,l,-,-.- -,-,.„. ••.-.-jj^tt.-.-t .T.-.! ...t.: -...IMH.--. - •.--.- .-..-t.... ..-.-.r-.-r.Tj.tu- •.-.!„..— .rr --n--,—,---.-.--^i- --:.n, T.-- »
"VI* 5* 3 — Mfo^ation d^onsemblg do JjL_'POutrgi> ~
Soit une poutre définie par sa ligne moyenne G, Gr .* Cherchons le
déplacement de GS sous Veffet .simoltané d'un déplacement de G. et-des forces
appliquées entre G et GQ ^
Décomposons le nouvement de Gp en deux mouvements , l'un résultat
du roulement de la poutre supposée indéformable, l1autre provenant de sa défoiv
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- 29 Considérons deux sections droites G et G infiniment voisines*
o
A cet élément infiniment petit de poutre nous pouvons appliquer les résultats
du paragraphe précédent*
Le point G ira venir occiipor une position G »
En supposant le reste de la poutre indéformable, le point G0 va venir occuper
une position g~3 *
Déplacement total de G~ t
—> *
G
2
! \ —>
ê
2
/^ d S
*
étendue à toute la poutre*
Deformatxon totale de rotatxonpour G, $
G2 g24 =
/ Q" d s A
G G2
étendue à toute la poutre
• C; 5.éfcmç4^BJ^
Û Og «
/iG^ H- oj A 01 G2 + /
( /\ 4- © d s A G G2) d s
/étendue à toute la facette»
' -•
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... .--
. ~*,^::^?
+
/ ©
ds
/ étendue à toute la poutre»
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