4.4 Les bidonvilles en Afrique

4.4 Les bidonvilles en Afrique
Lors de Show Math, il a été question d’exposants, notamment dans
la partie sur les événements très improbables. Les exposants et plus
spécialement les fonctions exponentielles servent à autre chose
qu’à représenter des nombres de grandeur exceptionnelle ou inimaginable. L’activité présentée ici est un bon exemple d’utilisation
simple des fonctions exponentielles.
Le contexte se prête plus à la séquence CST puisqu’il traite d’un
grave problème social. Mais c’est aussi une application bien concrète
des fonctions exponentielles vues en TS. Comme les élèves de CST
ne voient pas les logarithmes, ils pourront utiliser une table de valeurs pour résoudre le problème. Pour des élèves de ce niveau, c’est
un bon problème à résoudre et ils auront sans doute besoin d’aide.
Intentions de l’activité
• Faire explorer ou renforcer des thèmes au programme de mathématiques
• Éveiller les jeunes à un grand problème international
• Montrer que les mathématiques peuvent aider à résoudre des problèmes de nature sociale
Forme de la production attendue
• Un tableau de valeurs, un graphique et une solution algébrique
complète pour TS
Concepts utilisés pour la réalisation de l’activité
• Fonctions exponentielles
• Propriétés des exposants
• Proportions
• Logarithmes (en TS)
Ressources matérielles
• Calculatrice au minimum
Présentation | 4.4 Les bidonvilles en Afrique
Déroulement
Préparation
De préférence, cette activité devrait se faire après avoir vu et travaillé les propriétés des exposants et avoir commencé l’étude des
fonctions exponentielles. On peut prendre les devants et dire aux
élèves que, même si le problème paraît très difficile au premier
abord, ils ont vu ce qui est nécessaire pour le résoudre. Dès que les
élèves auront pris connaissance du problème, on pourrait prendre
quelques minutes pour s’assurer qu’ils ont bien compris le sens des
mots et qu’ils savent ce qu’ils ont à chercher. On pourrait évidemment en profiter pour parler du problème social que constitue la
présence des bidonvilles.
Réalisation
• On devrait laisser les élèves commencer par eux-mêmes sans
donner trop d’informations. Par la suite, certains risquent d’être
bloqués. On suggère de leur poser des questions intermédiaires
plutôt que de donner des indices. Par exemple :
• As-tu calculé la population urbaine de l’Afrique en 2001 ?
• As-tu fait un tableau de la population des bidonvilles année après année ?
• Peux-tu trouver une fonction qui permettrait de calculer la population des bidonvilles selon le nombre d’années depuis 2001 ?
• Pourrais-tu faire la même chose pour l’ensemble de la population urbaine ?
• À partir de ces équations, pourrais-tu écrire une fonction représentant la proportion de la population des bidonvilles par rapport à l’ensemble de la population ?
• Pour simplifier, pourrais-tu utiliser certaines propriétés des exposants ? Comment pourrais-tu déterminer l’exposant dans une équation lorsque toutes les
autres quantités sont connues ?
Intégration
• On pourrait simplement noter que lorsqu’on cherche la valeur de
l’exposant alors que l’on connaît les autres valeurs, cela se nomme
chercher le logarithme. L’important est que l’élève comprenne que
l’on a affaire à une fonction exponentielle et que l’on cherche des
valeurs de sa réciproque.
• On peut aussi parler du phénomène social après avoir réalisé
l’activité.
Présentation | 4.4 Les bidonvilles en Afrique
Piste de différenciation
• Si les élèves ne sont pas très
habitués à ce genre de problème, on peut, dès le départ,
leur indiquer certaines étapes
à suivre et poser des questions
intermédiaires directement sur
le document remis aux élèves.
Nom : _________________________________________________________
4.4 Les bidonvilles en Afrique
Les bidonvilles constituent un problème important en Afrique et en
Amérique du Sud. Selon certaines statistiques publiées par l’ONU,
166 millions de personnes habitaient dans des bidonvilles en Afrique
en 2001. Ce nombre représente 72 % de la population urbaine de
ce continent.
As-tu déjà pensé au sort des jeunes
Africains de ton âge et à leur mode de
vie comparé au tien ? D’après toi, la
situation va-t-elle s’améliorer ou se
détériorer ? Quand ? Examine un peu
ce qui suit.
On constate que la population dans les bidonvilles augmente de
4,5 % par année alors que l’ensemble de la population urbaine africaine l’augmente seulement de 2,5 %.
On prévoit que, si rien n’est fait, plus de 90 % de la population
urbaine habitera dans des bidonvilles dans quelques années. Quand
on songe à toutes les difficultés comme la misère, la maladie, la
criminalité et autres problèmes que cette situation entraîne, on
court à la catastrophe.
La situation est-elle vraiment si urgente ?
Déterminez en quelle année cette éventualité pourrait se réaliser si nous
n’agissons pas. La présentation d’un tableau et d’un graphique qui illustrent la situation est aussi souhaitée.
1.
Cahier de l’élève | 4.4 Les bidonvilles en Afrique | 1
Suite de votre démarche.
1.
2 | Cahier de l’élève | 4.4 Les bidonvilles en Afrique
4.4 Les bidonvilles en Afrique
Corrigé
La situation est-elle vraiment si urgente ?
Déterminez en quelle année cette éventualité pourrait se réaliser si nous
n’agissons pas. La présentation d’un tableau et d’un graphique qui illustrent la situation est aussi souhaitée.
1.
(Page 2)
Population urbaine du continent africain :
72
100
x=
=
166 000 000
x
100 • 166 000 000
72
x ≈ 230 555 556
Il n’est pas nécessaire que l’élève indique toutes les équations, les tableaux
et les graphiques présentés ici.
Équation décrivant la population des bidonvilles, en millions d’habitants,
en fonction du temps en années.
B(x) = 166 (1 + 0,045)x
Graphique décrivant la population des bidonvilles, en millions d’habitants, en
fonction du temps en années.
B (x) M hab
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x ans
Équation décrivant la population urbaine d’Afrique, en millions d’habitants,
en fonction du temps en années.
P(x) = 231 (1 + 0,025)x
Corrigé | 4.4 Les bidonvilles en Afrique | 1
Graphique décrivant la population urbaine d’Afrique, en millions d’habitants, en fonction du temps en années.
P (x) M hab
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x ans
Équation représentant la proportion de la population des bidonvilles par
rapport à la population urbaine d’Afrique en fonction du temps en années.
166 (1 + 0,045)x
f(x) =
231 (1 + 0,025)x
≈ 0,72 (1,0195)x
Graphique représentant la proportion de la population des bidonvilles par
rapport à la population urbaine d’Afrique en fonction du temps en années.
f(x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x ans
Tableau résumant la situation complète jusqu’à 2014
Année
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
Population urbaine
(millions d’habitants)
230,5
236,3
242,2
248,3
254,5
260,9
267,4
274,1
281
288
295,2
302,6
310,2
318
Population des bidonvilles
(millions d’habitants)
166
173,5
181,3
189,5
198
206,9
216,2
225,9
236,1
246,7
257,8
269,4
281,5
294,2
Pourcentage de la population urbaine
0,72
0,73
0,75
0,76
0,78
0,79
0,81
0,82
0,84
0,86
0,87
0,89
0,91
0,93
2 | Corrigé | 4.4 Les bidonvilles en Afrique
Autre graphique pouvant être présenté :
Pour TS, on peut s’attendre à une démarche plus algébrique.
ƒ(x) =
ƒ(x) =
population bidonville
population urbaine
166 000 000 • 1,045x
(230 555 556) • (1,025)x
ƒ(x) = 0,72
1,045
1,025
x
= 0,72 (1,02)x
Il faut ensuite déterminer pour quelle valeur de x la fonction prend la
valeur 0,90.
0,90 = 0,72 (1,02)x
0,90
0,72
= (1,02)x
1,25 = 1,02x
⇒ x = log1,02 1,25
x=
log1,25
log1,02
x = 11,3
Donc, la situation est urgente car au cours de la 11e année, plus de 90 % de
la population urbaine habitera dans les bidonvilles, soit en 2013 (2001+12).
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