STT-2920 : Probabilités pour ingénieurs Solutions des exercices du

STT-2920 : Probabilités pour ingénieurs
Solutions des exercices du chapitre 2
Automne 2015
ATTENTION ! Les solutions présentées ici utilisent seulement les techniques présentées dans les
deux premiers chapitres des notes de cours. Certains problèmes peuvent être résolus plus facilement
avec les techniques présentées au chapitre 3.
Numéro 1. Trois filles et trois garçons font la file devant un comptoir de crème glacée.
(a) Il y a combien d’arrangements possibles ?
(b) Il y a combien d’arrangements possibles si les 3 filles doivent être ensemble et les 3 garçons
doivent être ensemble ?
(c) Il y a combien d’arrangements possibles si on exige que les trois filles soient ensemble et que
les garçons ne soient pas tous ensemble ?
(d) Il y a combien d’arrangements possibles si on exige seulement que les 3 filles soient ensemble ?
(e) Il y a combien d’arrangements possibles s’il n’est pas permis d’avoir 2 enfants de même sexe
un derrière l’autre ?
Solution.
(a) 6! = 720.
(b) Il faut GGGFFF ou FFFGGG. Il y a 3! façons de permuter les 3 filles et 3! façons de permuter
les 3 gars. La réponse est donc 2 × 3! × 3! = 72.
(c) Il faut GFFFGG ou GGFFFG. Il y a 3! façons de permuter les 3 filles et 3! façons de permuter
les 3 gars. La réponse est donc 2 × 3! × 3! = 72.
(d) If faut FFFGGG ou GFFFGG ou GGFFFG ou GGGFFF. Il y a 3! façons de permuter les 3
filles et 3! façons de permuter les 3 gars. La réponse est donc 4 × 3! × 3! = 144.
(e) Il faut FGFGFG ou GFGFGF. Il y a 3! façons de permuter les 3 filles et 3! façons de permuter
les 3 gars. La réponse est donc 2 × 3! × 3! = 72.
Numéro 2. Combien de permutations différentes peut-on former avec les lettres des mots suivant ?
(a) P R O B A B I L I T É.
(b) S T A T I S T I Q U E.
Solution.
(a) On a 11 lettres. Les seules répétitions sont la lettre B, qui apparaı̂t 2 fois, et la lettre I, qui
apparaı̂t 2 fois. La réponse est donc
11!
= 9 979 200.
2! 2!
(b) On a 11 lettres. Les seules répétitions sont la lettre S, qui apparaı̂t 2 fois, la lettre T, qui
apparaı̂t 3 fois, et la lettre I, qui apparaı̂t 2 fois. La réponse est donc
11!
= 1 663 200.
2! 3! 2!
1
Numéro 3. Vous achetez un billet de la 6/49. Pour chaque k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, calculez la probabilité que la combinaison gagnante aura exactement k nombres en commun avec votre combinaison.
Solution. Pour tout k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, la probabilité d’avoir exactement k bons numéros est
donnée par
(6)( 43 )
k
(496−k
) .
6
Si on calcule ces probabilités, on obtient le tableau suivant.
Nombre de bons numéros
Probabilité
0
6 096 454
13 983 816
≈ 0.4359649755
1
5 775 588
13 983 816
≈ 0.4130194505
2
1 851 150
13 983 816
≈ 0.13237802900
3
246 820
13 983 816
≈ 0.01765040387
4
13 545
13 983 816
≈ 0.00096861972
5
258
13 983 816
≈ 0.00001844989
6
1
13 983 816
≈ 0.00000007151
Numéro 4. À l’aide du théorème du binôme de Newton, simplifiez les expressions suivantes :
(a)
n
∑
k=0
( )
n
2
.
k
k
(b)
n
∑
k=1
( )
n
x
.
k
k
(c)
n
∑
k=0
( )
n
(−1)
.
k
k
Solution.
( ) ∑
n ( )
n
∑
n
n k n−k
2k
=
2 1
= (2 + 1)n = 3n .
(a)
k
k
k=0
k=0
( ) ∑
n
n ( )
∑
n k n−k
k n
x
=
x 1
− 1 = (x + 1)n − 1.
(b)
k
k
k=1
k=0
(
)
n
n ( )
∑
∑
n
k n
(c)
(−1)
=
(−1)k 1n−k = (−1 + 1)n = 0n = 0.
k
k
k=0
k=0
Numéro 5. L’équation suivante s’appelle l’identité combinatoire de Fermat :
( ) ∑
)
n (
n
i−1
=
.
k
k−1
i=k
Justifiez cette identité. Suggestion : Il y a combien de façons de choisir k nombres parmi les entiers
1 à n ? Il y a combien de façons de choisir k nombres parmi les entiers 1 à n de façon à ce que le
plus grand de ces k nombres soit l’entier i ?
2
( )
Solution. On suppose que k ≤ n. On sait nk représente le nombre de façons de choisir k nombres
parmi les nombres 1 à n. Lorsqu’on choisit k nombres parmi les nombres 1 à n, le plus grand des
k nombres choisis est nécessairement un des nombres suivant : k, k + 1, k + 2,..., n. On peut donc
écrire
( )
n
= An,k (k) + An,k (k + 1) + An,k (k + 2) + · · · + An,k (n)
k
où An,k (i) dénote le nombre de façons de choisir k nombres parmi les nombres 1 à n de manière à
ce que le plus grand des k nombres choisis soit le nombre i. Il est facile de voir que
(
)
i−1
An,k (i) =
.
k−1
On obtient donc
( ) (
) (
) (
)
(
) ∑
)
n (
n
k−1
k
k+1
n−1
i−1
=
+
+
+ ··· +
=
.
k
k−1
k−1
k−1
k−1
k−1
i=k
Numéro 6. Un jeu de cartes ordinaire comprend 52 cartes. Chacune de ces 52 cartes appartient à
une couleur et possède une valeur. Les couleurs sont le carreau, le coeur, le trèfle et le pique. Les
valeurs sont les 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valet), Q (dame), K (roi) et A (as). Pour les questions qui
suivent, on considère une main de poker, c’est-à-dire une combinaison de 5 cartes tirées au hasard
à partir d’un jeu de 52 cartes.
(a) Calculez la probabilité d’obtenir une paire, c’est-à-dire une main de poker contenant en tout 4
valeurs différentes. (Il faut une paire, c’est-à-dire 2 cartes de même valeur, et les 3 autres cartes
doivent être de valeurs différentes entre elles et différentes de la valeur des cartes formant la
paire). Exemple d’une paire : 10 de coeur, 10 de trèfle, J de pique, 6 de carreau et 7 de coeur.
(b) Calculez la probabilité d’obtenir deux paires. (Les deux paires ne peuvent pas avoir la même
valeur et la valeur de la cinquième cartes doit être différente des valeurs des deux paires).
Exemple de deux paires : 5 de coeur, 5 de trèfle, J de pique, J de carreau et 7 de coeur.
(c) Calculez la probabilité d’obtenir un brelan, c’est-à-dire une main de poker contenant trois
cartes de la même valeur. (Les deux autres cartes doivent être de valeurs différentes entre
elles et différentes de la valeur commune aux trois premières cartes). Exemple d’un brelan :
5 de coeur, 5 de trèfle, 5 de pique, 3 de carreau et K de coeur.
(d) Calculez la probabilité d’obtenir une main pleine, c’est-à-dire une main de poker contenant
trois cartes d’une valeur et deux cartes d’une autre valeur. Exemple d’une main pleine : 5 de
coeur, 5 de trèfle, 5 de pique, 9 de coeur et 9 de pique.
(e) Calculez la probabilité d’obtenir un carré, c’est-à-dire une main de poker contenant quatre
cartes de la même valeur (et une cinquième carte quelconque). Exemple d’un carré : 5 de
coeur, 5 de trèfle, 5 de pique, 5 de carreau et 9 de pique.
(f) Calculez la probabilité d’obtenir une flush, c’est-à-dire une main de poker contenant 5 cartes
de la même couleur, mais pas de valeurs consécutives. Exemple d’une flush : 3 de pique, 4 de
pique, 8 de pique, 10 de pique et K de pique. La main suivante n’est pas une flush car les
valeurs sont consécutives : 3 de pique, 4 de pique, 5 de pique, 6 de pique et 7 de pique. Note
importante : un as peut être compté comme la plus petite valeur ou comme la plus grande
valeur, au choix du joueur.
3
(g) Calculez la probabilité d’obtenir une quinte, c’est-à-dire une main de poker contenant 5 cartes
de valeurs consécutives, mais pas de la même couleur. Exemple d’une quinte : 3 de pique, 4
de coeur, 5 de pique, 6 de pique et 7 de trèfle. La main suivante n’est pas une quinte car les
couleurs sont les même : 3 de pique, 4 de pique, 5 de pique, 6 de pique et 7 de pique. Note
importante : encore une fois, un as peut être compté comme la plus petite valeur ou comme
la plus grande valeur, au choix du joueur.
(h) Calculez la probabilité d’obtenir une quinte flush, c’est-à-dire une main de poker contenant
5 cartes de la même couleur et de valeurs consécutives. Exemple d’une quinte flush : 3 de
pique, 4 de pique, 5 de pique, 6 de pique et 7 de pique. Note importante : encore une fois, un
as peut être compté comme la plus petite valeur ou comme la plus grande valeur, au choix
du joueur.
(i) Une quinte flush dont la plus forte carte est un as s’appelle une quinte flush royale. Calculez
la probabilité d’obtenir une quinte flush royale.
Solution.
(a) Une paire :
(13)(4)(12)(4)(4)(4)
1
(352)1
2
1
1
=
5
(b) Deux paires :
(13)(4)(4)(11)(4)
2
2
2
(52
)
1
1
=
123 552
= 0.04754.
2 598 960
=
54 912
= 0.02113.
2 598 960
5
(c) Un brelan :
(13)(4)(12)(4)(4)
1
3
(522)
1
1
5
(d) Une main pleine :
(13)(4)(12)(4)
(52)1
1
3
2
=
5
(e) Un carré :
(13)(48)
(52)1
1
=
5
(f) Une flush :
(4) [(13)
1
(g) Une quinte :
−
(552)
5
(10) [(4)5
1
1
(52)
]
10
]
−4
(10)(4)
(1 52)1 =
5
3 744
= 0.001441.
2 598 960
624
= 0.0002401.
2 598 960
=
5 108
= 0.001965.
2 598 960
=
10 200
= 0.003925.
2 598 960
5
(h) Une quinte flush :
1 098 240
= 0.4226.
2 598 960
40
= 0.00001539.
2 598 960
4
(i) Une quinte flush royale :
(4 )
1
(52
)=
5
4
= 0.000001539.
2 598 960
Numéro 7. Aux États-Unis, le Sénat comprends deux sénateurs par état. On choisit 10 sénateurs
au hasard pour former un comité.
(a) Quelle est la probabilité que ce comité comprendra au moins un sénateur provenant de la
Floride ?
(b) Quelle est la probabilité que les 10 membres du comité proviendront de 10 états différents ?
Solution.
(98)
10
) =1−
(a) 1 − (100
(50)
(b)
10
10
10 2
(100)
10
89
21
=
≈ 0.1909.
110
110
≈ 0.6077.
Numéro 8. Quatre joueurs se partagent un jeu de cartes : chaque joueur reçoit 13 cartes.
(a) Quelle est la probabilité que les quatre rois soient reçu par le même joueur ?
(b) Quelle est la probabilité que les quatre joueurs reçoivent chacun un roi ?
Solution.
(4) (
(a)
48
9,13,13,13
( 52 )
13,13,13,13
)
1
4!
(b) (
(
48
12,12,12,12
)
52
13,13,13,13
(4 )
=
)
=
48!
1 9! 13! 13! 13!
52!
13! 13! 13! 13!
4! 12! 12!48!12! 12!
52!
13! 13! 13! 13!
≈ 0.01056.
≈ 0.1055.
Numéro 9. Deux femmes et 14 hommes sont assis au hasard sur 16 chaises formant une ligne.
(a) Quelle est la probabilité que les deux femmes soient assises une à côté de l’autre ?
(b) Quelle est la probabilité que les deux femmes occupent les deux extrémités de la ligne ?
Solution.
( )
(a) 15/ 16
2 = 15/120 = 1/8.
(16)
(b) 1/ 2 = 1/120.
Numéro 10. Deux femmes et 14 hommes sont assis au hasard sur 16 chaises formant un cercle.
(a) Quelle est la probabilité que les deux femmes soient assises une à côté de l’autre ?
(b) Quelle est la probabilité que les deux femmes occupent deux chaises diamétralement opposées ?
5
Solution.
( )
(a) 16/ 16
2 = 16/120 = 2/15.
(16)
(b) 8/ 2 = 8/120 = 1/15.
Numéro 11. Supposons que k femmes et n − k hommes soient assis au hasard sur n chaises
formant une ligne. Quelle est la probabilité que les k femmes se retrouvent sur k chaises une à côté
de l’autre ?
Solution.
n−k+1
(n) .
k
Numéro 12. Supposons que k femmes et n − k hommes soient assis au hasard sur n chaises
formant un cercle. Quelle est la probabilité que les k femmes se retrouvent sur k chaises une à côté
de l’autre ?
Solution.
n
(n) .
k
Numéro 13. Un panier contient 20 piles électriques dont deux sont défectueuses. Si on prend 8
piles au hasard, quelle est la probabilité d’obtenir au moins une pile défectueuse ?
Solution.
(18)
8
) =1−
1 − (20
8
33
62
43 758
=1−
=
≈ 0.6526.
125 970
95
95
Numéro 14. Un nombre est choisi au hasard parmi les nombres suivants :
0000, 0001, 0002, 0003,
9998, 9999.
(a) Quelle est la probabilité que la somme des deux premiers chiffres soit égale à la somme des
deux derniers chiffres ?
(b) Quelle est la probabilité que le nombre choisi contienne au moins un 0, au moins un 1 et au
moins un 2 ?
Solution.
(a) Posons
X =
≪
la somme des deux premiers chiffres ≫.
Y
≪
la somme des deux derniers chiffres ≫.
=
A =
Bj
=
l’événement
≪
X=Y
l’événement
≪
X = Y = j ≫.
6
.
≫
∑
Alors on obtient P[A] = 18
j=0 P[Bj ]. Les P[Bj ] sont faciles à calculer. Considérons par exemple
P[B3 ]. Parmi les 10 000 nombres à quatre chiffres, combien y en a-t-il pour lesquels la somme des
deux premiers chiffres et la somme des deux derniers chiffres sont toutes les deux égales à 3 ? La
réponse est 16 puisqu’il y a quatre façons d’écrire les deux premiers chiffres (en l’occurence 0-3,
1-2, 2-1 et 3-0) et quatre façons d’écrire les deux derniers chiffres (les même quatre façons : 0-3,
1-2, 2-1 et 3-0). On obtient donc P[B3 ] = 16/10 000. On a donc
P[A]
=
18
∑
P[Bj ]
j=0
=
1
4
9
16
16
9
4
1
+
+
+
+ ··· +
+
+
+
10 000 10 000 10 000 10 000
10 000 10 000 10 000 10 000
=
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 92 + 82 + 72 + 62 + 52 + 42 + 32 + 22 + 12
10 000
=
670
67
=
.
10 000
1 000
(b) Posons
A =
l’événement
≪
le nombre contient au moins un 0 ≫.
B =
l’événement
≪
le nombre contient au moins un 1 ≫.
C =
l’événement
≪
le nombre contient au moins un 2 ≫.
On veut P[A ∩ B ∩ C]. On obtient
P[A ∩ B ∩ C]
= 1 − P[(A ∩ B ∩ C)c ]
= 1 − P[Ac ∪ B c ∪ C c ]
= 1 − {P[Ac ] + P[B c ] + P[C c ] − P[Ac ∩ B c ] − P[Ac ∩ C c ] − P[B c ∩ C c ] + P[Ac ∩ B c ∩ C c ]}
{ 4
}
9
94
94
84
84
84
74
= 1−
+
+
−
−
−
+
104 104 104 104 104 104 104
9 796
204
51
= 1−
=
=
= 0.0204.
10 000
10 000
2500
Numéro 15. Simplifiez l’expression suivante :
n
∑
k=0
( )
1
n
.
k+1 k
7
Solution.
n
∑
k=0
( )
1
n
=
k+1 k
=
=
=
=
=
( )
n
1 ∑n+1 n
n+1
k+1 k
k=0
1
n+1
1
n+1
n
∑
n+1
k=0
n!
k + 1 k!(n − k)!
n
∑
(n + 1)!
(k + 1)!((n + 1) − (k + 1))!
k=0
(
)
n
1 ∑ n+1
n+1
k+1
k=0
)
n+1 (
1 ∑ n+1
n+1
j
j=1


)
n+1 (

1 ∑ n + 1
−1

n+1
j
j=0
=
}
1 { n+1
2
−1 .
n+1
Numéro 16. On lance cinq dés simultanément.
(a) Calculez la probabilité d’obtenir cinq résultats identiques.
(b) Calculez la probabilité d’obtenir trois 5 et deux 6.
(c) Calculez la probabilité d’obtenir un triple et une paire.
(d) Calculez la probabilité d’obtenir deux 4, deux 5 et un 6.
(e) Calculez la probabilité d’obtenir deux paires.
Solution détaillée. Imaginez que les dés sont identifiés par les lettres A, B, C, D et E. Lancer les
cinq dés correspond à remplir les cinq cases suivantes avec les chiffres 1 à 6 :
A
B
C
D
E
Puisque les cinq lancers sont indépendants les uns des autres, il y a 65 = 7 776 façons différentes de
remplir ces cinq cases et ces 7 776 façons différentes ont toutes la même probabilité. Autrement dit,
nous sommes dans le cas équiprobable. Chacune des probabilités demandée se calcule donc avec la
formule
Nombre de cas favorables
Nombre de cas favorables
=
.
Nombre total de cas possibles
7 776
8
(a) Cinq résultats identiques :
(6)
6
≈ 0.000772.
7 776
Explication : Il y a 6 cas favorables : obtenir cinq fois la valeur 1, obtenir cinq fois la valeur
2,..., obtenir cinq fois la valeur 6.
1
65
(b) Trois 5 et deux 6 :
=
(5)
10
≈ 0.001286.
7 776
Explication : Le nombre de façons différentes de remplir les cinq cases avec trois fois la valeur
5 et deux fois la valeur 6 est égal au nombre de façons différentes de choisir,
parmi nos 5
()
cases, les trois cases dans lesquelles on va mettre nos trois 5, c’est-à-dire 53 .
3
65
(c) Un triple et une paire :
(6 )
×
(5)
=
×
(5)
300
≈ 0.038580.
7 776
()
Explication : Il y a 61 = 6 façons de choisir la valeur qu’on va utiliser pour notre triple. Une
()
fois cette valeur choisie, il y a 51 = 5 façons de choisir la valeur qu’on va utiliser pour notre
paire. Une fois qu’on a choisi ces deux valeurs, il ne reste plus qu’à faire comme à la partie
(b), c’est-à-dire choisir, parmi nos 5 cases, les trois cases qu’on va utiliser pour notre triple.
1
(d) Deux 4, deux 5 et un 6 :
(5)
2
×
(3)
2
65
1
65
×
=
(
(1 )
1
3
=
)
5
2,2,1
65
=
30
≈ 0.003858.
7 776
Explication
: D’abord on choisit les deux cases dans lesquelles on va mettre nos deux 4. Il y a
(5 )
façons
de
faire cela. Ensuite, on choisit, parmi les trois cases pas encore utilisées, les deux
2
()
cases dans lesquelles on va mettre nos deux 5. Il y a 32 façons de faire cela. Finalement, on
()
met notre 6 dans la case qui n’a pas encore été utilisée. Il y a 11 = 1 façon de fare cela.
(e) Deux paires :
(6 )
2
×
(4 )
1
×
(5)
2
65
×
(3)
2
×
(1 )
(6)
1
2
=
×
(4 )
1
×
65
(
5
2,2,1
)
=
1 800
≈ 0.231481.
7 776
Explication
( ) : D’abord on choisit les deux valeurs qu’on va utiliser pour former nos deux paires.
Il y a 62 = 15 façons de faire cela. Voici ces 15 choix possibles :
1 et 2
2 et 3
3 et 5
1 et 3
2 et 4
3 et 6
1 et 4
2 et 5
4 et 5
1 et 5
2 et 6
4 et 6
1 et 6
3 et 4
5 et 6
Appelons u la plus petite de ces deux valeurs et v la plus grande. Ensuite, on choisit la valeur
qu’on va utiliser pour notre cinquième(dé.
) Cette valeur doit être différente des deux valeurs
utilisées pour nos paires. On a donc 41 = 4 choix possibles. Appelons w cette valeur. Il
ne reste plus qu’à mettre nos cinq valeurs (u, u, v, v et w) dans nos cinq cases. On procède
comme
( )à la( partie
) ( )(d), (avec
)les valeurs 4, 5 et 6 remplacées par les valeurs u, v et w. Il y a
5
donc 52 × 32 × 11 = 2,2,1
= 30 façons de faire cela.
Claude Bélisle
14 septembre 2015
9