Action du groupe de Mathieu M11 sur la courbe modulaire X(11) en

Transcription

ENS Cachan-Paris VI
année 1997-1998
Action du groupe de Mathieu M11
sur la courbe modulaire X (11) en
caractéristique 3
Par
Christophe RITZENTHALER
Sous la direction de
Jean-François MESTRE
TABLE DES MATIÈRES
1
Table des matières
Introduction
1 Courbes modulaires
1.1 Quelques rappels et dénitions . . . .
1.2 Constructions explicites . . . . . . . .
1.2.1 Le schéma A . . . . . . . . . .
1.2.2 Action de Sl2(Z=nZ) sur Pn 1
1.2.3 Les pointes de A . . . . . . . .
1.2.4 Le schéma V . . . . . . . . . .
1.2.5 Le groupe Vn . . . . . . . . . .
1.2.6 Action de Sl2(Z=nZ) sur V . .
1.2.7 Quotient de W par n . . . . .
1.3 Cas particulier de X (11) . . . . . . . .
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2.1 Preuve élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Une représentation de M11 . . . . . . .
2.1.2 Invariance de X (11) en caractéristique 3
2.2 Une preuve plus conceptuelle . . . . . . . . . .
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2 Action de M sur X (11) en caractéristique 3
11
2
3
3
5
5
6
6
7
8
8
9
10
12
12
12
15
16
3 Analyse de l'action de M
18
3.1 Action de PSl (Z=nZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.1 Action sur V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11
2
3.1.2 Action sur X1 (11) . . . . . . . . . . .
3.2 Action de M11 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Des points sur X (11) . . . . . . . . . .
3.2.2 Action sur V . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Quelques conjectures et extrapolations
Conclusion
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19
21
21
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26
28
INTRODUCTION
2
Introduction
En 1978, Allan Adler publiait le résultat suivant dans [1]:
Soit p > 11 un nombre premier congru à 3 modulo 4 et une représentation irréductible de = PSl2 (Fp) de degré m = (p 1)=2 sur C. Soit f
une forme irréductible invariante par ( ) et soit X l'hypersurface f = 0.
Alors le groupe des automorphismes de X en tant que variété abstraite est
isomorphe à .
En particulier pour p = 11, la cubique de Klein v 2 w + w2x + x2y + y 2 z + z 2 v est invariante
pour ( ) ; donc sur C on connaît son groupe d'automorphismes.
Une question naturelle est alors la suivante : qu'en est-il si le corps n'est plus C et que
la caractéristique n'est plus nulle? Adler a montré en 1997 dans [2] qu'en caractéristique
3 la cubique précédente était invariante par un groupe plus important : le groupe de
Mathieu M11 .
Ces armations jettent des ponts entre deux théories importantes : d'une part la théorie
des représentations modulaires et d'autre part la théorie des courbes modulaires. En eet
la courbe modulaire X (11) n'est autre que le lieu des points singuliers de la hessienne de
la cubique de Klein et on montrera au théorème 2.3 que X (11) est également invariante
par l'action de M11 en caractéristique 3. On pourra donc aborder l'action de M11 en
termes d'opérations sur les points de courbes elliptiques.
C'est cette approche qui sera privilégiée. Après avoir rappelé dans le premier chapitre
des éléments du travail de Vélu dans [11] pour la compréhension de X (n) en toute caractéristique, le chapitre 2 se consacrera à l'étude de deux preuves de l'action de M11 . Enn
le troisième chapitre, plus personnel, développera une étude de l'action de PSl2 (Z=11Z)
et de M11 : nous chercherons à en expliciter certains points relatifs à X (11) mais aussi à
X1(11).
Je tiens à remercier Jean-François Mestre pour les nombreuses heures qu'il m'a accordées et pour toutes les pistes qu'il m'a suggérées. Je remercie également Mme Bertin
et Mme Lecacheux pour leur cours sur les courbes elliptiques qui m'ont fait découvrir et
aimer cette discipline.
CHAPITRE 1. COURBES MODULAIRES
3
Chapitre 1
Courbes modulaires
1.1 Quelques rappels et dénitions
Nous rappelons ici sans démonstration quelques éléments de la théorie des courbes
modulaires. Cela nous servira également à xer les notations. Historiquement, nous commençons par illustrer le cas sur C et Q.
Dénition 1.1 Soit Sl2(Z) le sous-groupe de Gl2(Z) des matrices de déterminant 1. On
dénit 8N > 1 les sous-groupes suivants appelés sous-groupes de congruences de Sl2(Z).
0
1
(N ) =
2 Sl (Z)j ' 0 modN 2
(N ) = 2 Sl2(Z)j '
1 modN
,
0 modN 1 modN
1 modN
,
(N ) = 2 Sl2(Z)j ' 0 modN 01 modN
modN .
En particulier 0 (1) = 1 (1) = (1) = Sl2(Z).
Si H désigne le demi-plan de Poincaré, H son complété et un sous-groupe de congruence,
on peut former le quotient \H . On montre que celui-ci est muni d'une structure canonique de surface de Riemann [10, 1.3-1.5]. L'action de sur P1 (Q) induit un nombre
ni d'orbites dont les images dans \H sont appelées pointes de .
Les espaces \H interviennent dans l'étude des courbes elliptiques de manière natu-
relle. On sait par exemple que toute surface de Riemann compacte a une unique structure de courbe algébrique non singulière et que (1)\H classie les courbes elliptiques
sur C à isomorphisme près. Plus généralement ces courbes sont solutions de problèmes
modulaires précisés dans le théorème suivant :
Théorème 1.1 Soit N > 1 un entier.
Il existe une courbe lisse projective X0(N )=Q et un isomorphisme analytique
jN;0 : 0 (N )\H ! X0(N )(C)
4
tels qu'on ait la condition suivante :
il y a une relation bijective entre les points de 0 (N )\H et les classes d'isomorphisme des paires (E; C ) où E est une courbe elliptique et C un sous-groupe cyclique
de E d'ordre N .
Il existe une courbe lisse projective X1(N )=Q et un isomorphisme analytique
jN;1 : 1 (N )\H ! X1(N )(C)
tels qu'on ait la condition suivante :
il y a une relation bijective entre les points de 1 (N )\H et les classes d'isomorphisme des paires (E; P ) où E est une courbe elliptique et P un point de E d'ordre
N.
Soit 2 C une racine primitive N ième de l'unité. Il existe une courbe lisse
projective X (N )=Q( ) et un isomorphisme analytique
jN : (N )\H ! X (N )(C)
tels qu'on ait la condition suivante : il y a une relation bijective entre les points de
(N )\H et les classes d'isomorphismes des triplets (E; P1; P2) où E est une courbe
elliptique et fP1; P2 g des générateurs de E [N ] tels que eN (P1; P2 ) = . (eN est
l'appairement de Weil)
Démonstration : Voir [10, 6.7].
Exemple : Si N = 11 on trouve pour X (11) l'équation d'une courbe elliptique : v + v =
u u et à un point (u; v ) 2 X (11) on associe la courbe elliptique y + (1 c)xy by =
3
2
1
1
2
2
x3 bx2 et le point d'ordre 11 de coordonnées [0 : 0 : 1] où b et c sont dénis par
b=c = v + 1 et c = (v (v=u + 1)). (cf [9])
Oublions maintenant la structure complexe pour dénir la notion de problème modulaire
sur un corps algébriquement clos k quelconque.
Dénition 1.2 Un problème modulaire sur k est un foncteur contravariant F de la
catégorie des variétés algébriques sur k dans la catégorie des ensembles.
Une paire (V; ) formée d'une variété V sur k et d'une bijection : F (k) ! V (k) est
appelée solution du problème modulaire F si elle satisfait aux conditions suivantes :
soit T une variété sur k et f 2 F (T ) ; un point t 2 F (k) peut être considéré comme
une application de Specm(k) ! V et ainsi f dénit un élément ft de T (k) ; On a
ainsi une application t 7! (ft ) : T (k) ! V (k) et on demande que cette application
soit régulière.
(Universalité) soit Z une variété dénie sur k et : F (k) ! Z (k) une application
telle que pour toute paire (T; f ) comme ci-dessus, l'application t 7! (ft) : T (k) !
Z (k) soit régulière; alors l'application 1 : V (k) ! Z (k) est régulière.
5
Une variété V solution d'un problème modulaire est appelée une variété modulaire.
Le théorème ci-dessous montre que cette dénition permet d'élargir le cadre précédent :
Théorème 1.2 Soit N un entier positif et 2 k une racine primitive N ième de
l'unité. Pour toute variété V sur k, on dénit EN (V ) comme l'ensemble des classes
d'isomorphismes des paires (E; t) où E est une courbe elliptique sur V et t = (t1 ; t2) une
structure de niveau N sur E (i.e (m1; m2) 7! (m1 t1 ; m2t2 ) : Z=N Z Z=N Z ! E (k) est
injective) tel que eN (t1 ; t2) = . EN est un problème modulaire.
Ce problème modulaire a une solution (M; ) sur k. Quand k = C, M est canoniquement
isomorphe à 1 (N )\H.
Remarque : En fait on peut encore étendre le problème au cas d'un corps parfait k
qui contient Q( ) ou Fp ( ) où est alors une racine N ième de l'unité dans k. Un des
intérêts principaux du travail de Vélu que nous allons exposer maintenant et d'obtenir
des équations pour X (N ) sur tout corps dont la caractéristique ne divise pas N .
1.2 Constructions explicites
Soit k un corps quelconque. On désigne par n un nombre premier strictement supérieur à 3 et par un générateur de n (k). Tous les schémas considérés sont au-dessus
de Z[1=n]. Les résultats rappelés ici le sont juste par commodité pour la compréhension
des deux chapitres suivants et la présentation ne diére pas pour l'essentiel de celle de
Vélu. Pour les démonstrations on se reportera à [11].
1.2.1 Le schéma A
Vélu dénit ici un schéma dont le lieu des points en dehors des pointes est la solution
au problème modulaire du théorème 1.2. Puisqu'il eectue ce travail au-dessus de Z[1=n],
ses équations sont valables pour tout corps dont la caractéristique ne divise pas n.
Dénition 1.3 Considérons les polynômes suivants
8
R0 = A
><
0
Ri = Ai + A i (i 2 Z=nZ)
RI = Ai i Aj i Ai Aj
>:
+Ai i Aj i Ai Aj + Ai i Aj i Ai Aj
0
0
3
1
3
1
3
2
2
2
3
2
2
1
1
(1.1)
1
2
1
3
3
où I = (i1; i2; i3; j1; j2; j3) est un sextuplet d'éléments de Z=nZ tels que
i1 + j1 = i2 + j2 = i3 + j3:
On note A le sous-Z[1=n]-schéma de Pn
1.1.
1
déni par l'idéal engendré par les polynômes
6
Exemple : Dans le cas où n = 7, les équations se simplient en
a(0) = 0
a(1) + a( 1) = 0
a(2) + a( 2) = 0
:
a(3) + a( 3) = 0
a(1)3a(2) + a(2)3a( 3) + a( 3)3a(1) = 0
On reconnaît dans cette dernière équation la célèbre quartique de Klein dont l'ensemble
des points sur C est bien X (7).
1.2.2 Action de Sl (Z=nZ) sur Pn
Choisissons
a b dans An un système de coordonnées anes indexées par Z=nZ. Soit
1
2
=
avec
n
c d 2 Sl2(Z=nZ). Pour tout A = (A(0); A(1); : : : ) 2 A posons
m A = A0 = (A0 (0); A0(1); : : : )
A0 (r) =
X
t2Z=nZ
b(ar +2rtc)+t dc A(ar + tc):
2
2
Lemme 1.1 On a les propriétés suivantes :
L'application 7! m est dénie sur Z[1=n].
Si et 0 sont dans Sl (Z=nZ), il existe une matrice scalaire d(; 0) telle que
2
m m0 = d(; 0)m0 :
Pour tout , la matrice m est dans Gl(n; Z[1=n][n]).
Corollaire 1.1 Si on note mf l'image de m dans PGl(n), l'application 7! mf est
un monomorphisme de Sl2(Z=nZ) dans PGl(n).
A partir de maintenant, on notera a le transformé du point a 2 Pn 1 par mf .
Proposition 1.1 Soit a un point de A et 2 Sl2(Z=nZ). Alors a est un point de A.
1.2.3 Les pointes de A
1
Dénition 1.4 On note
0
a(i) =
le point de A de coordonnées
0 si i 6= 1=2 2 Z=nZ
a(1=2) = a( 1=2) = 1
On appelle schéma des pointes de A
Sl2(Z=nZ).
l'orbite dans Pn
1
de
1
0
sous l'action de
7
a b0 1
a b
0
Lemme 1.2 Si = c d et = c d0 sont dans Sl (Z=nZ) alors 0 =
1
2
0 0 .
a
a b
Dénition 1.5 Soit = c d 2 Sl (Z=nZ). On note c le point de A déni
a 1
2
par
c
=
0 .
a
Théorème 1.3 Le schéma P est un Z[1=n]-schéma de degré (n 1)=2. Si c est
une pointe de A, nous pouvons choisir ses coordonnées projectives ((0) : : : : : (n 1))
2
de la manière suivante :
si c = 0
(r) =
0 si r 6= 1=2a
(1=2a) = ( 1=2a) = 1
si c 6= 0 il existe un unique 2 n tel que = c et
1
(r) = ar
2
r
ar +r :
2
1.2.4 Le schéma V
On désigne par (A(0) : A(1) : : : : : A(n 1); X (0) : : : : : X (n 1)) les coordonnées
projectives d'un point de Pn 1 Pn 1 .
A tout sextuplet I = (i1; i2; i3; j1; j2; j3) d'éléments de Z=nZ tels que
i1 + j1 = i2 + j2 = i3 + j3
nous associons le polynôme de Z[1=n][A(i); X (j )]
SI = A(i
3
i2)A(j3 i2 )X (i1)X (j1) + A(i1 i3)A(j1 j3 )X (i2)X (j2)
+A(i2 i1)A(j2 i1)X (i3)X (j3):
(1.2)
Dénition 1.6 On note V le sous-schéma de Pn Pn des zéros communs aux
1
1
polynômes 1.1 et 1.2. La première projection induit un morphisme que nous noterons p
de V dans A. On note Va = p 1 (a) la bre au point a.
Théorème 1.4 Le schéma V est une courbe elliptique généralisée au-dessus de A. Les
bres géométriques de V sont
des courbes lisses de genre 1 au-dessus des points de A qui ne sont pas des pointes.
des n-gones au-dessus des pointes de A.
8
1.2.5 Le groupe Vn
Lemme 1.3 Soit r 2 Z=nZ et 2 n(k). Pour tout point a de A le point (a; ((0) :
: : : : (n 1))) de A Pn 1 avec
(i) = i a(i r)
est dans Va .
Dénition 1.7 On note s le A morphisme de schéma de A Z=nZ n dans V déni
par
s
(a; r; ) 7!
(a; ((0) : : : : : (n 1)))
avec (i) = i a(i r).
On note Vn le sous-schéma de V image de l'immersion s. On le munit d'une structure
de A schéma en groupe avec la loi de composition
s(a; r; ) + s(a; r1; 1) = s(a; r + r1; 1):
On notera également
s(a; r; ) = (r; )a:
Enn, on munit le A schéma Vn d'une forme en , bilinéaire, alternée, non dégénérée telle
que
en(s(a; r; ); s(a; r1; 1)) = (a; 1r
r1 ):
1.2.6 Action de Sl (Z=nZ) sur V
2
On fait agir Sl2(Z=nZ) sur Pn 1 Pn 1 en opérant sur chaque facteur de la manière
décrite en 1.2.2.
Proposition 1.2 Soit a 2 A, 2 Sl2(Z=nZ) et P 2 Va. Alors le point P appartient
à Va .
Nous en déduisons que Sl2(Z=nZ)opère sur les sections de V !p A. En particulier,
faisons agir la matrice = ac db de Sl2(Z=nZ) sur Z=nZ n par
(r; ) 7! (r; )
2
0
0 1
1=2
0
0
1
= (ar +
ct ; td+2rb)
2
où t 2 Z=nZ est tel que t = .
Proposition 1.3 Cette opération donne un isomorphisme entre Sl2(Z=nZ) et le sousgroupe des automorphismes de Z=nZ n qui respectent la forme bilinéaire, alternée,
non dégénérée n dénie par
n ((r; ); (r1; 1)) = 1r r :
1
9
De plus tout ceci est cohérent
Proposition 1.4 L'immersion s est compatible avec l'action de Sl2(Z=nZ) sur Z=nZ,A
et V . Plus précisément, on a
ct
dt
+2rb
:
(r; )a = ar + 2 ; 1
a
Enn, l'action de Sl2(Z=nZ) respecte la forme en .
Remarque : On a la formulation réciproque
(r; )a = dr ct2 ; at
rb
2
a
:
1.2.7 Quotient de W par n
On peut dénir une action de Vn sur V : si a 2 A(k) et P = (a; ((0) : : : : : (n 1))) 2
Va(k) on note (r; )a + P le point de Va déni par
(r; )a + P = (a; (0(0) : : : : : 0 (n 1)))
avec
0(i) = i (i r):
Théorème 1.5 Cette action induit l'action par translation sur Vn V . De plus les
actions de Vn et Sl (Z=nZ) sont liées par
2
(P + u) = (P ) + (u)
pour tous P 2 V (k); u 2 (Vn )(P ) et 2 Sl2(Z=nZ).
On note B le sous-schéma ane de A déni par a(i) inversible 8i 6= 0, W = p 1 (B) et
X = X (0)X ( 1)X (1); Y = X ( 1)2X (2); Z = X (0)3:
(1.3)
Lemme 1.4 X; Y et Z sont liées par la relation
5
+ a(4)a(1)4
a(2)2 Y Z 2 = a(2)2 X 3 + a(3) X 2Z:
Y 2Z a(2)
XY
Z
+
(1.4)
a(1)3a(2)a(3)
a(1)2
a(1)2
a(1)
On note F la courbe dénie au-dessus de B par 1.4 et O et P les sections de F dont les
coordonnées projectives (X : Y : Z ) sont données par O = (0 : 1 : 0) et P = (0 : 0 : 1).
O est l'élément neutre de la loi de groupe sur la courbe elliptique F .
Théorème 1.6 W est le revêtement principal de groupe n de F . Si on note le morphisme de W dans F déni par les relations 1.3, on a ((r; )a) = rP .
10
1.3 Cas particulier de X (11)
Dans cette dernière partie, nous adaptons les résultats de Vélu au cas particulier
qu'Adler considère.
Rappelons tout d'abord les équations de Vélu pour X (11) :
8
R0 = A = 0
><
R0i = Ai + A i = 0(i 2 Z=11Z)
RI = Ai i Aj i Ai Aj
>:
+Ai i Aj i Ai Aj + Ai i Aj i Ai Aj
0
0
3
1
3
1
3
2
2
2
3
2
2
1
1
2
(1.5)
1
1
3
3
=0
où I = (i1; i2; i3; j1; j2; j3) est un sextuplet d'éléments de Z=11Z tels que
i 1 + j1 = i 2 + j2 = i 3 + j3 :
(1.6)
Il nous faut avant tout éliminer les équations redondantes. Pour cela, on eectue le
changement de variables i1 = c + d; i2 = b + d; i3 = c + b; j1 = a + b; j2 = a + c; j3 = a + d
avec a; b; c; d dans Z=11Z. Ceci est toujours possible lorsque le sextuplet vérie la relation
1.6. Notons a;b;c;d = Ri ;i ;i ;j ;j ;j dénie par le changement de variables. Un rapide
calcul montre qu'alors
1
et
2
3
1
2
3
a;b;c;d = b;a;c;d = b;c;d;a
a;b;c;d = a;b;c;d :
De plus si deux éléments parmi a; b; c; d sont égaux alors a;b;c;d = 0. De tout cela, on
déduit qu'on peut choisir a; b; c; d tels que
06a<b<c<d6
n 1:
2
Ce qui dans le cas de X (11) réduit le problème à 15 quartiques. On en arrive alors au
théorème suivant :
Théorème 1.7 Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique diérente de 11.
Alors la courbe modulaire X (11) est isomorphe sur k au lieu des points [v; w; x; y; z ] dans
P4(k) tels que la matrice
0w v 0 0 z1
BB v x w 0 0 C
C
BB 0 w y x 0 C
A
@0 0 x z yC
z 0 0 y v
a un rang égal à 3.
(1.7)
11
Démonstration : Grâce à Vélu, on sait que les équations 1.5 sont valables pour n'im-
porte quel corps dont la caractéristique n'est pas 11.
Eectuons alors le changement de variables déni par
A1 7! v
A3 7! w
A2 = A9 7! x
A5 = A6 7! y
A4 = A15 7! z
On voit facilement que le lieu des points de rang 3 de 1.7 est invariant par la permutation
cyclique (vwxyz ). X (11) est elle invariante par l'application qui à Ai 7! A3i . Donc est
équivariante par rapport à ces automorphismes. On peut donc parler sans ambiguité de
la permutation cyclique (vwxyz ) dans les deux cas.
On peut extraire 15 mineurs de taille 4 4 de la matrice 1.7. Ils sont obtenus à partir
des trois suivants par applications répétées de la permutation cyclique (vwxyz )
vw2 z vx3 + vxyz + w2 y2 xy 3 ;
(1.8)
v 2 x2 v 2yz + vy 3 + wxyz;
(1.9)
v 2wz vwy2 x2 yz:
(1.10)
Si on applique la permutation cyclique à 1.8 et qu'on soustrait le résultat à 1.9 on
obtient
vy3 + w3z + wx3:
(1.11)
On vérie alors aisément, en exhibant les 15 polynômes de 1.5, que X(11) est engendré
par les images de 1.10 et 1.11 et de leurs permutations cycliques.
Réciproquement, remarquons que
vw2 z vx3 + vxyz + w2y 2 xy 3
2
2
2
2
2
2
= y(v wz vwy x yz)+wx(y xz v xw w yz)
(1.12)
Le numérateur est y fois 1.10 plus x fois 1.10 permuté 3 fois. Dans le cas où vwxyz 6= 0,
si [v; w; x; y; z ] 2 X (11) alors 1.10 et 1.11 sont nuls donc 1.8 aussi et donc le point
[v; w; x; y; z ] est dans le lieu de rang 3 de 1.7. Si vwxyz = 0, on montre facilement que
les équations 1.5 impliquent que le point est de la forme [1; 0; 0; 0; 0] où une permutation
cyclique de ce point. On voit facilement que de tels points sont également dans le lieu
de rang 3 de 1.7. Les deux lieux ont donc le même ensemble sous-jacent et coincident
donc en tant que variétés. (en fait on peut même montrer qu'ils coincident en tant que
schémas sur Spec(Z[1=11]).
CHAPITRE 2. ACTION DE M11 SUR X (11) EN CARACTÉRISTIQUE 3
12
Chapitre 2
Action de M11 sur X (11) en
caractéristique 3
2.1 Preuve élémentaire
2.1.1 Une représentation de M
11
Dans cette partie, nous admettrons les lemmes suivants relatifs aux présentations et
représentations de M11 et de certains de ses sous-groupes.
Lemme 2.1 Le groupe M11 possède deux représentations 3-modulaires irréductibles de
degré 5 non équivalentes. Ces deux représentations sont en outre duales. Pour chacune
d'entre elles, le caractère d'un élément d'ordre 4 est -1.
Pour la démonstration de ce résultat, on renvoie le lecteur à [6].
Lemme 2.2 On a la présentation suivante de M11 :
M11 (a; b; cja11 = b5 = c4 = (ac)3 = 1; ab = a4; bc = b2):
Avec la notation suivante : si g et h sont deux éléments, g h vaut h 1 gh.
Remarque : En fait, on utilise b que par commodité puisque celui-ci peut-être obtenu
à partir de a et c2 par b = c2a5 c2a4 c2a5 .
Cette présentation peut être trouvée dans l'ATLAS. On peut également y trouver les
résultats suivants : [4]
Lemme 2.3 Le sous-groupe < a; b; c2 > est isomorphe à PSL2(F11). De plus son
sous-groupe B formé des matrices triangulaires supérieures admet pour présentation
(u; v ju11 = v 5 = 1; uv = u4 ).
On peut donner explicitement les images de a; b et c2 (qu'on note respectivement A; B; C 2) :
A=
1
1
0 1
B=
5
0
0 9
C =
2
0
1
1
0
:
13
Grâce à ces préliminaires on peut démontrer les armations suivantes :
Théorème 2.1 Le sous-groupe H engendré par a et b est isomorphe à B.
Démonstration : D'après la présentation de B, il est clair qu'on a un morphisme
surjectif de B vers H tel que (u; v ) 7! (a; b). Comme l'ordre de B n'est pas divisible
par 3 (jB j = 55), B a les mêmes représentations en caractéristique 0 et en caractéristique
3. On montre en particulier le lemme suivant :
Lemme 2.4 Une représentation de B est soit triviale sur < u >, soit dèle.
Démonstration : Notons la représentation et supposons qu'elle n'est pas triviale sur
< u >. Alors bien évidemment (u) 6= 1. Supposons que (v ) = 1. Alors (uv ) = (u4)
implique (u) = (u)4 d'où (u)3 = 1 : exclu car (u)11 = 1 également. De plus la
relation (uv ) = (u4) permet d'écrire tout élément de B sous la forme v i uj . Supposons que (v iuj ) = 1 pour (i; j ) xé, j non congru à 0 modulo 11 . Alors en écrivant
v iuj = v i v (v 1uv)(v 1uv) (v 1 uv )v 1 = v i+1 u4j v 1 on obtient (viu4j ) = 1 d'où
en combinant les deux avec (u)11 = 1, (u) = 1 : exclu. On a donc démontré que la
représentation était dèle.
On a admis l'existence d'une représentation 3-modulaire irréductible de degré 5 de
M11 (non triviale). Or M11 est simple, une telle représentation est donc dèle. En particulier sa restriction à H est dèle donc non triviale sur < a > et donc sa composée
avec est dèle. On en déduit que est injective (car et le sont). Donc est un
isomorphisme. Cherchons maintenant à expliciter une représentation de H .
Lemme 2.5 Soit une racine primitive 11ème de l'unité dans F243 et l'automorphisme de Frobenius de F243 sur F3. Notons l'application de F243 donnée par la multiplication par . Alors et sont des opérateurs linéaires sur le F3-espace vectoriel de
dimension 5 F243 et on a les relations 11 = 5 = 1; 1 = 4 . En particulier les
applications a 7! et b 7! dénissent une représentation irréductible et dèle de H de
degré 5 sur F3 .
Démonstration : On constate grâce aux arguments de la démonstration précédente
qu'il nous reste à voir qu'elle est irréductible. Sinon préserverait un espace vectoriel de
dimension strictement inférieure à 5. Soit v un élément non nul de cet espace. Considérons
alors les vecteurs v; v; 2v; 3v; 4v . S'ils étaient linéairement dépendants sur F3 , annulerait un polynôme de degré strictement inférieur à 5. Or puisque vérie 11 = 1 sur
F3 on a en décomposant X 11 1 = (X +1)(X 5+ X 4 X 2 + X 2 1)(X 5 + X 3 + X 2 X 1)
en polynômes irréductibles que est racine d'un polynôme de degré 5. D'où la contradiction.
La représentation dénie ci-dessus ne dépend que du choix d'une racine primitive
11-ième de l'unité et à isomorphisme près, elle ne dépend que de l'orbite de sur F3 sous
l'action du groupe de Galois, engendré par . De ce fait, ; 3; 9; 5 ; 4 induit une classe
d'isomorphisme et 2 ; 6; 7; 8 une autre. On choisit l'orbite pour laquelle la trace vaut
-1. En particulier, est zéro du polynome irréductible suivant sur F3 :
t5 + t4 t3 + t2 1:
(2.1)
14
On peut alors expliciter les matrices de et de par rapport à la base 1; ; 2; 3; 4
(notée respectivement A et B) :
00
BB 1
A=B
B@ 00
0
0
1
0
0 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
2
1
2
1 01
C
B
0
C
B
C
B
B= 0
C
A B
@0
0
0
0
1
0 0
2
1
1
1
2
1
2
1
1
0
0
1
0
0
0
1
C
C
C
:
C
A
En conséquence, on a en particulier le corollaire :
Corollaire 2.1 L'application a 7! A et b 7! B s'étend en une représentation dèle et
irréductible de H de degré 5 sur F3 .
Il s'agit maintenant d'étendre cette représentation à M11 tout entier.
Théorème 2.2 La représentation ci-dessus s'étend de manière unique en une représentation de M11 notée 1 qui est irréductible et dèle. On a en particulier
02
B
0
B
B
(c) = B 0
@0
2
0
1
2
0 1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
0
1
C
C
C
:
C
A
Démonstration : En utilisant les représentations données dans [5], on constate que
H a exactement deux représentations 3-modulaires irréductibles et dèles de degré 5
qui sont duales. D'après le premier lemme, on sait également que M11 a deux telles
représentations. En restreignant ces représentations à H , on dénit deux représentations
duales, de degré 5, dèles. Toujours d'après [5] on sait qu'une représentation de degré 5
non triviale sur < a > est irréductible car il n'en existe pas de plus bas degré non triviale.
(en particulier, on retrouve le cas démontré en 1.5). Ces hypothèses imposent donc que
les restrictions des représentations de M11 sus-citées sont irréductibles et correspondent
donc exactement aux représentations de H . On a ainsi la première partie de l'énoncé. La
seconde résulte uniquement d'une rapide vérication des relations.
Cherchons maintenant à diagonaliser A. On sait qu'une telle opération est faisable sur
F243 car le polynôme caractéristique de A est justement 2.1. Par le calcul, on montre
que
Lemme 2.6 Notons L la matrice de Vandermonde
01
BB 1
BB 1
@1
9
4
3
1 5
2
7
8
6
10
3
5
9
4
4
3
5
9
1
C
C
C
:
C
A
Alors
0 0 0 0
BB 0 0 0
P = LAL = B
B@ 0 0 0
0 0 0 9
1
4
3
0 0
0
0
0
0
0
0 5
1
C
C
C
; R = LBL
C
A
0a
B
B aa
Q = L (c)L = B
B
@a
1
00
B
B 01
=B
B
@0
0
0
0
1
0 0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
15
0
1
0
0
0
1
C
C
C
C
A
a1 a2 a3 a4 1
a4 a0 a1 a2 C
3
C
1
a2 a3 a4 a0 C
1
1
C
a0 a1 a2 a3 A
4
a2 a3 a4 a0 a1
avec a1 = ( 2 + 1)2, a3 = a31 ; a0 = a33; a2 = a30 et a4 = a32 .
En particulier l'application a 7! P , b 7! R et c 7! Q s'étend en une représentation dèle
et irréductible de M11 de degré 5 sur F243 notée 2.
et
0
2.1.2 Invariance de X (11) en caractéristique 3
Soit f3 la forme cubique
v2 w + w2x + x2 y + y 2 z + z2 v
et K le lieu des points de P4 (C) tels que f3 = 0. Cette forme cubique a été découverte par
Klein qui a armé son invariance son invariance par un groupe isomorphe à PSl2(F11).
Dans [1], Adler montre que K n'admet pas d'autre automorphisme en tant que variété
abstraite que ces 660 collinéations. Cette forme est reliée à l'étude de X (11) puisque le
lieu des points singuliers de la hessienne de f3 est justement X (11).
On considère toujours un corps k de caractéristique 3 contenant une racine primitive
11-ième de l'unité.
Lemme 2.7 La forme cubique f3 est préservée par 2(a) et 2(b). elle n'est pas préservée
par 2(c). Plus précisement, f3 est transformée par 2(c) en la forme cubique
f3 + (v + w + x + y + z)3:
En particulier, f3 est invariante par l'action de 2(M11) modulo des cubes de formes
linéaires.
Démonstration : Ce lemme a été vérié par calcul sous MAPLE 5.3.
Lemme 2.8 Soit un élément de (M ). Alors on a
0 w0 v 0 0 0 z 0 1 0 w v 0 0 z 1
B
BB v0 x0 w0 0 0 C
v x w 0 0C
C
B
t B 0 w 0 y 0 x0 0 C
C;
C
B
=
0
w
y
x
0
B@ 0 0 x0 z0 y0 C
A
A B
@0 0 x z yC
0
0 0
2
z
0
0 y v
11
z 0 0 y v
(2.2)
16
où (v 0; w0; x0; y 0; z 0) = (v; w; x; y; z )t . En particulier le lieu des points de rang 3 de la
matrice est invariant sous l'action de 2 (M11).
Démonstration : La quadrique polaire d'un point [v; w; x; y; z] par rapport à la cubique
K est la forme quadratique dénie par la matrice 1.7. Comme la quadrique polaire de
K par rapport à un point est covariante par rapport à ce point et par rapport à la
forme f3 modulo des cubes de formes linéaires, le résultat est démontré d'après le lemme
précédent.
On en arrive au théorème souhaité en regroupant les diérents résultats.
Théorème 2.3 Soit k un corps de caractéristique 3 contenant le corps F243. Alors la
courbe modulaire X (11) sur k admet le groupe M11 comme un groupe d'automorphismes.
Démonstration : On sait d'après Vélu que les équations de X (11) sont valables sur
n'importe quel corps dont la caractéristique n'est pas 11. Par le théorème 1.3, cette
courbe modulaire est aussi le lieu des points de rang 3 de la matrice. Par le lemme
précédent, ce lieu est invariant sous l'action de 2 (M11). D'où le résultat.
Corollaire 2.2 La forme trilinéaire dénie par
0 w v 0 0 z 1 0 v00 1
00 v 1 0 v0 1 0 v00 11
B
B
BBBB w CC BB w0 CC BB w00 CCCC
w00 C
v x w 0 0C
C(2.3)
C
B
B
0
0
0
0
0
B
BBBB x CC ; BB x0 CC ; BB x00 CCCC 7! (v ; w ; x ; y ; z ) B
x00 C
0 w y x 0C
C
B
B
A
@ 0 0 x z y A @ y00 C
@@ y A @ y0 A @ y00 AA
00
00
z
z0
z
z 0 0 y v
z
est invariante sous l'action du groupe 2(M11).
Démonstration : Ceci provient du lemme en multipliant 2.2 par (v0; w0; x0; y0; z0) à
gauche et par t (v 00 ; w00 ; x00; y 00 ; z 00) à droite.
2.2 Une preuve plus conceptuelle
Nous allons pour cela utiliser des résultats dùs à Ward ([12]).
Soit V un espace vectoriel de dimension 5 sur F3 . Ward a montré qu'à équivalence près,
il n'y a qu'une seule forme trilinéaire symétrique sur V telle que
le groupe des automorphismes de f (i.e l'ensemble des g 2 Gl5(V ) tels que f (gx; gy; gz ) =
f (x; y; z)) agit de manière irréductible sur V .
pour tout v 2 V il existe un z 6= 0 tel que f (z; z; v ) = 0.
Il a de plus prouvé que le groupe des automorphismes de V était isomorphe au groupe
M11. Une telle forme est évidemment invariante par le sous-groupe H . Si on applique le
17
changement de base L, on obtient une forme trilinéaire sur F243 V invariante par la
représentation 2 de H .
Lemme 2.9 Il existe à multiplication par un scalaire près une unique forme trilinéaire
symétrique sur le F243 -espace vectoriel F243 V qui est invariante par la représentation
2 de H . Cette forme est donnée par
((x); (y ); (z )) =
X
(x9iyi zi + xi y9i zi + xi yi z9i );
i
où (x) = (x1; x9; x4; x3; x5), (y ) = (y1; y9; y4 ; y3; y5) et (z ) = (z1; z9; z4 ; z3; z5) et i parcourt les résidus quadratiques 1,9,4,3,5 modulo 11.
Démonstration : On peut écrire n'importe quelle forme trilinéaire sur F V sous
la forme
X
i;j;k
243
cijk xiyj zk
où i; j; k parcourent les résidus quadratiques modulo 11 et où les coecients cijk appartiennent à F243. La forme trilinéaire est symétrique si et seulement si cijk est invariant
par toutes les permutations de i; j; k. Pour que la forme soit invariante par 2(a) = P
il faut et il sut que cijk soit non nul quand i + j + k est congru à 0 modulo 11. On
trouve facilement tous ces triplets ; ils sont de la forme (9i; i; i); (i; 9i; i) ou (i; i; 9i) où i
parcourt les résidus quadratiques modulo 11. L'invariance par 2(b) = R implique que
c9i;9j;9k = ci;j:k . Le lemme s'en suit.
Corollaire 2.3 La forme trilinéaire coincide avec celle de 2.3 et est invariante sous
l'action de M11 .
Démonstration : La forme découverte par Ward donne lieu à une forme trilinéaire
invariante pour H sur F243 et doit d'après le lemme précédent coïncider avec à une
constante multiplicative près après le changement de base L. Comme la forme de Ward
est invariante sous l'action de M11 , il en est de même pour . Le fait que coïncide avec
2.3 peut être facilement vérié.
Remarque : Si on considère f sur le F -espace vectoriel F , on a
3
243
f (x; y; z) = Tr(xyz9 + xy 9 z + x9 yz):
CHAPITRE 3. ANALYSE DE L'ACTION DE M11
18
Chapitre 3
Analyse de l'action de M11
Dans ce chapitre, nous nous proposons de décrire plus en détail l'action de M11 sur les
diérents objets cités : X (11) bien entendu mais aussi la courbe universelle V et X1(11).
3.1 Action de P Sl2 (Z=nZ)
Commençons par le sous-groupe maximal de M11, PSl2(Z=11Z), qui, comme on l'a
vu s'inscrit naturellement dans notre étude. Si on comprend en détail son action, il ne
restera plus qu'à étudier l'action des 7920=660 = 12 classes de PSl2 (Z=11Z)\M11.
Cette partie nous permettra également de rendre plus visuelle la description des différents objets. Les résultats de Vélu étant valables sur tout corps dont la caractéristique
ne divise pas n, on se place sur C. On passera au cas n = 11 pour expliciter plus en
détail les actions.
3.1.1 Action sur V
On considère le dessin ci-dessous :
Va
Va
v
A
a
v
a
19
où a est un point de A qui n'est pas une pointe.
On sait que Va est une courbe elliptique munie d'une structure de niveau n grâce aux
points Pa = (1; 1)a et Qa = (0; )a ; le neutre sur la courbe est le point a lui-même
puisque a = (0; 1)a.
Tout 2 Sl2(Z=nZ) induit une isogénie de Va dans Va . En fait cette isogénie est un
isomorphisme puisque est d'ordre ni et admet donc un inverse.
Lemme 3.1 Pour tout 2 Sl2(Z=nZ) et tout a 2 B, les courbes elliptiques Va et Va
sont isomorphes.
D'autre part on peut interpréter A = (n)\H . Sl2(Z=nZ) a bien une action sur (n)\H
puisque (n) est un sous-groupe distingué de (1) dans la suite
0 ! (n) ! (1) ! Sl2(Z=nZ) ! 0:
L'action de Sl2(Z=nZ) sur (n) est donnée par ( (n)z ) = (n)(z ) où l'action de sur H est déduite de l'action classique de Gl2(Z). On a alors facilement que a = a
si et seulement si = Id. Or A classie les courbes elliptiques avec une structure de
niveau n à isomorphisme près, donc si a 6= a et que Va ' Va , ne peut envoyer Pa et
Qa respectivement sur Pa et Qa . En eet dans le cas n = 11 pour les générateurs de
Sl2(Z=11Z)
A=
1
1
0 1
B=
9
0
0 5
C =
2
0
1
1
0
donnés au chapitre 2 on trouve les transformés
Théorème 3.1 Pa !A Pa 2Qa et Qa !A Qa .
B 9P et Q !
B
Pa !
a
a 5Qa .
Pa C! 2Qa et Qa C! 6Pa .
Démonstration : Ceci résulte des formules données au chapitre 1 proposition 1.4.
Remarque : En fait ces actions correspondent à l'action canonique des matrices A; B; C
2
2
2
sur la base Pa ; Qa normalisée selon 1.2.6. On se servira également par la suite de cette
interprétation.
3.1.2 Action sur X (11)
1
On sait que X (11) est un revêtement de X1(11) dont la bre en chaque point est
donnée par le quotient (11)\ 1 (11) '< A > : On a donc le dessin :
20
X (11)
An 1 z
z
11 feuillets
Ai z
(en fait connexe)
Aj z
Ak z
z
p
p
?
p(z)
p(Aj z)
X1 (11)
p(Akz)
p(z)
A priori l'action de Sl2(Z=11Z) n'induit pas d'action sur X1 (11) puisque l'action
dépend du relèvement ( 1 (11) n'est pas un sous-groupe distingué de (1)). Pourtant
X1(11) est de genre 1, on a donc une loi de groupe sur la courbe et on peut dénir la
correspondance :
fAip (z)g X (11)
1
P p
p
z
X (11)
X (11)
1
1
Remarque : On peut également remonter au niveau de H`et écrire
1
(11)z 7!
1
(11) 1(11)z .
Or étant à coecients entiers, on a 1 (11) 1(11) = fini 1 (11)i et on a donc l'association 1 (11)z 7! f 1 (11)iz g. Puis grâce à la loi de groupe, on peut encore sommer.
Les deux actions ainsi décrite coïncident sur C.
D'un point de vue plus pratique, on peut déterminer la projection de X (11) sur X1(11).
En eet, on a vu -1.2.7- que pour tout point a 2 B on pouvait dénir une courbe elliptique F , dont le point P était un point d'ordre n. Nous allons mettre F sous une forme
plus naturelle et exploiter des résultats dùs à M.A Reichert [9].
Lemme 3.2 La courbe F est isomorphe au-dessus de k( ) à la courbe elliptique d'équation
a(1) )XY Z + a(3) a(1) Y Z 2 = X 3 + a(3) a(1) X 2Z
Y 2 Z + (1 + a(4)
a(2)5
a(2)8
a(2)8
4
où le point (0 : 0 : 1) est un point d'ordre n.
3
5
3
5
21
Démonstration : Cela résulte des changements de variables successifs :
Y
a(2)
a(1) Y
Y
u3Y et X
et Z
Z,
(2)
u2X avec u = aa(1)
.
3
2
a(3) a(1)
a(1)
Posons alors 1 c = 1 + a(4)
a(2) et b = a(2) . Reichert montre que la courbe
3
4
5
5
8
E (b; c) : Y 2 + (1 c)XY by = X 3 bX 2
avec (0 : 0 : 1) comme point d'ordre n est en fait la courbe universelle relative à X1(n).
Dans le cas où n = 11, on a le résultat suivant
Théorème 3.2 La courbe F est la courbe universelle au-dessus du point de X1(11) :
a(5)a(3)
a(1) a(5)
V 2 + V = U 3 U 2 déni par U = a(1)
a(4)a(2) et V = a(4)a(2) .
3
2
3
Démonstration : Tous les coecients et équations étant homogènes, on travaillera avec
a(2) = 1 quitte à réhomogénéiser à la n.
Posons comme dans [9], r = b=c et s = c=(r 1). On obtient alors
3
3
a(4) :
r = a(3)a(4)a(1) ; V = r 1 = a(3) aa(1)
(4)
Or 0;1;3;4 = a(1)a(3)3 a(1)3a(5) + a(2)3a(4), donc V = a(1)a(4)a(5) .
a(5) . Or 2
2
De même s = a(4)a(5)a(1) et s 1 = a(4) aa(1)
2;3;4;5 = a(1)a(4) a(3) a(3)a(5)a(2)
(5)
(5)a(3)
a(2)a(1)2a(5) donc s 1 = aa(1)
. Enn U = V=(s 1) = a(1)aa(4)
.
(3)
Le résultat s'en suit par homogénéisation.
3
2
2
2
Pour l'heure nous n'avons obtenu que des résultats partiels pour l'action de PSl2(Z=11Z).
Nous renvoyons le lecteur à la n de ce chapitre pour quelques conjectures relatives à ce
travail.
3.2 Action de M11
On se place maintenant dans les hypothèses nécessaires à l'action de M11 (corps de
caractéristique 3 contenant une racine primitive 11-ième de l'unité).
3.2.1 Des points sur X (11)
Un des premiers intérêts de l'action de M11 sur X (11), c'est de nous donner facilement
des points sur la courbe qui ne sont pas des pointes et de nous permettre ainsi de tester
un certain nombre de conjectures.
1
En eet considérons le point 0 qui est une pointe de X (11). Puisque pour tout
22
a 2 A on a a(r) = a( r), a est caractérisé par a(1) : : :a(5) et donc on peut facilement
transposer l'action d'un élément quelconque de 2(M11) sur A que l'on notera également
2(M11
reviendra sur la question au paragraphe suivant). Calculons alors P =
)1(on
2(c) 0 ; on trouve
P = (0 : a4 : a2 : a0 : a3 : a1 : a1 : a3 : a0 : a2 : a4 )
où les coecients ai sont dénis au lemme 2.2. Or on a la propriété suivante pour les
pointes :
Lemme 3.3 Soit P = (a(0) : : : : : a(10)) un point de A tel que 8n 6= 0 a(r) 6= 0. Si P
est une pointe alors il existe 2 11 tel que
a(1)4 = 3 3 :
a(2) 1 + Démonstration : Il sut d'utiliser 1.3 et de simplier en caractéristique 3.
On vérie facilement par énumération quand décrit 11 que ce n'est pas le cas. Le
point P n'est donc pas une pointe de A.
En choisissant d'autres pointes et d'autres applications, on peut obtenir ainsi d'autres
points.
3.2.2 Action sur V
Nous allons dans un premier temps faire le lien entre les matrices de Vélu et celles
d'Adler. Dans le cas de Vélu, on ne peut parler véritablement d'une représentation de
Sl2(Z=11Z) d'où l'introduction de la dénition suivante :
Dénition 3.1 Soit G un groupe ni. On appellera représentation projective de G de
degré n sur le corps k un morphisme : G ! PGln (k).
Remarque : Un représentation projective dénie une action sur les espaces projectifs.
C'est en particulier le cas pour les matrices de Vélu comme l'indique le corollaire 1.1.
Résumons la situation et introduisons certaines notations :
Soit Av ; Bv et Q2v les matrices
correspondant
5 0 respectivement
0 aux
éléments suivants
1
1
1
chez Vélu A = 0 1 ; B = 0 9 et Q = B 2
.
1 0
Les éléments A; B; Q engendrent Sl2(Z=11Z) ; ils dénissent donc entièrement la
représentation projective.
Rappelons les notations suivantes chez Adler P = 2(A), R = 2(B ) et Q = 2(C ).
Ils dénissent également la représention 2(M11). En particulier P; R; Q2 dénissent
la représentaion 2 (Sl2(Z=11Z)).
Introduisons alors les notations suivantes :
00
BB 0
g=B
B@ 00
1
0
0
0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
BB
BB
1
BB
0
C
BB
0 C
C
0 C, d = B
BB
0 A
BB
0
BB
B@
01
B
B 00
s=B
B
@0
23
0
0
1
0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
C
C
C
:
C
A
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
CC
CC
CC
CC
CC,
CC
CC
CC
A
Soit p : M11 ! M5 l'application dénie par M 7! gMd:
Théorème 3.3 On a les propriétés suivantes :
1. p(Av ) = sPs 1 ,
2. p(Bv ) = sRs 1 ,
3. p(Q2v ) = sQ2 s 1 ,
4. 8m ; m0 chez Vélu, on a p(m m0 ) = p(m )p(m0 ).
En particulier p transforme la représentation projective de Vélu en la représentation
projective associée à la représentation équivalente par s de 2 .
Démonstration : Seul le quatrième point demande une justication.
Lemme 3.4 Soit 2 Sl (Z=nZ) alors m est de la forme
0 a
BB C
BB
BB
BB
@ NC
2
L
A1
B1 N
LN
B1
A1 N
1
00
C
C
C
B
0
C
B
C
B
; où N = B 0
C
C
@0
C
A
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
C
C
C
:
C
A
(3.1)
24
Démonstration : Ceci résulte d'une simple identication dans les coecients de 1.2.2.
Reprenons donc la démonstration de la proposition. Considérons donc deux matrices M1
et M2 de la forme précédente et évaluons par blocs les produits p(M1)p(M2) et p(M1M2 ) :
p(M1M2) =
0
BB
BB
B@
0
Id
0
0 a1
BB
1 BBBB C1
CC BBB
CC BB
CA BB
BB
BB NC1
B@
L1
L1 N
A1
B1
B1 N
A1 N
1 0 a2
CC BB
CC BB
CC BB C2
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB NC2
A@
Soit
0
BB
p(M1 M2 ) = B
BB C1
@
A1
L2
L2 N
A2
B2
B2 N
A2 N
0
0
BB
1 BBBB A2 B2 N
CC BBB
CC BB
CA BB
BB
BB NB2 N NA2 N
B@
B1
0
BB
BB C1
B@
A1
B1
0
0
0
0
Id
0
0
N
0
Soit encore
0
BB
p(M1 )p(M2 ) = B
BB
@
0
A1 B1 N
0
0
Id
N
1
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
A
1
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
A
On a donc p(M1M2 ) = (A1 A2 A1 B2 N + B1 NB2 N B1 NA2 ):
D'autre part p(M1)p(M2) = (gM1)(dg )(M2d) =
0
BB
1 BBBB
CCC BBBB
CC BB
A BB
BB
BB
@
10
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
A@
10
0
CC BB
CCC BBB
CC BB A2 B2 N
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB
CC BB NB2 N NA2
CA B@
0
0
BB
1 BBBB A2 B2 N
CC BBB
CC BB
CA BB
BB
BB NB2 N NA2
B@
1
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
A
1
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
A
On trouve donc p(M1)p(M2) = (A1A2 + B1 NB2N A1 B2 N B1 NA2 ). D'où le résultat.
Toutes ces considérations nous amène naturellement à la recherche d'une matrice Qv telle
que Qv soit de la forme 3.1 et que p(Qv ) = sQs 1 (condition de réduction). Pour se faire
nous allons être amenés à poser certaines conditions sur Qv :
(cond1) Bv Qv = Qv Bv2 (loi de groupe dans M11)
25
(cond2) Comme le fait remarquer Adler, les matrices de 2(M11) commutent avec
R 1 où est l'automorphisme qui cube toutes les entrées. On peut vérier
qu'il en est de même pour Bv et Av relativement à Bv 1 . On impose donc cette
condition à Qv .
(cond3) Q2v = Q2v .
Considérons donc une matrice Qv = [[yi;j ; i 2 f0; : : : ; 10g; j 2 f0; : : : ; 10g]]. La condition
(cond1) permet de se ramener à 25 inconnues :
0
BB yy ;;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
B@ y ;
0 0
1 0
2 0
1 0
1 0
1 0
2 0
2 0
2 0
1 0
y2; 0
y0; 1
y1; 1
y2; 1
y1; 5
y1; 9
y1; 4
y2; 5
y2; 3
y2; 9
y1; 3
y2; 4
y0; 2
y1; 2
y2; 2
y1; 10
y1; 7
y1; 8
y2; 10
y2; 6
y2; 7
y1; 6
y2; 8
y0; 1
y1; 3
y2; 3
y1; 4
y1; 5
y1; 1
y2; 4
y2; 9
y2; 5
y1; 9
y2; 1
y0; 1
y1; 4
y2; 4
y1; 9
y1; 3
y1; 5
y2; 9
y2; 1
y2; 3
y1; 1
y2; 5
y0; 1
y1; 5
y2; 5
y1; 3
y1; 1
y1; 9
y2; 3
y2; 4
y2; 1
y1; 4
y2; 9
y0; 2
y1; 6
y2; 6
y1; 8
y1; 10
y1; 2
y2; 8
y2; 7
y2; 10
y1; 7
y2; 2
y0; 2
y1; 7
y2; 7
y1; 2
y1; 8
y1; 6
y2; 2
y2; 10
y2; 8
y1; 10
y2; 6
y0; 2
y1; 8
y2; 8
y1; 7
y1; 6
y1; 10
y2; 7
y2; 2
y2; 6
y1; 2
y2; 10
y0; 1
y1; 9
y2; 9
y1; 1
y1; 4
y1; 3
y2; 1
y2; 5
y2; 4
y1; 5
y2; 3
y0; 2
y1; 10
y2; 10
y1; 6
y1; 2
y1; 7
y2; 6
y2; 8
y2; 2
y1; 8
y2; 7
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
:
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Puit la condition (cond2) permet d'obtenir 9 inconnues :
0
BB yy ;;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
BB y ;
B@ y ;
0 0
1 0
2 0
1 0
1 0
1 0
2 0
2 0
2 0
1 0
y2; 0
y0; 1
y1; 981
y2; 981
y1; 927
y1; 9
y1; 9 3
y2; 927
y2; 9 9
y2; 9
y1; 9 9
y2; 9 3
y0; 2
y1; 7 81
y2; 7 81
y1; 7 27
y1; 7
y1; 7 3
y2; 7 27
y2; 7 9
y2; 7
y1; 7 9
y2; 7 3
y0; 1
y1; 9 9
y2; 9 9
y1; 9 3
y1; 927
y1; 981
y2; 9 3
y2; 9
y2; 927
y1; 9
y2; 981
y0; 1
y1; 9 3
y2; 9 3
y1; 9
y1; 9 9
y1; 9 27
y2; 9
y2; 9 81
y2; 9 9
y1; 9 81
y2; 9 27
y0; 1
y1; 9 27
y2; 9 27
y1; 9 9
y1; 9 81
y1; 9
y2; 9 9
y2; 9 3
y2; 9 81
y1; 9 3
y2; 9
y0; 2
y1; 79
y2; 79
y1; 73
y1; 727
y1; 781
y2; 73
y2; 7
y2; 727
y1; 7
y2; 781
y0; 2
y1; 7
y2; 7
y1; 7 81
y1; 7 3
y1; 7 9
y2; 7 81
y2; 7 27
y2; 7 3
y1; 7 27
y2; 7 9
y0; 2
y1; 7 3
y2; 7 3
y1; 7
y1; 7 9
y1; 7 27
y2; 7
y2; 7 81
y2; 7 9
y1; 7 81
y2; 7 27
y0; 1
y1; 9
y2; 9
y1; 981
y1; 93
y1; 99
y2; 981
y2; 927
y2; 93
y1; 927
y2; 99
y0; 2
y1; 7 27
y2; 727
y1; 7 9
y1; 781
y1; 7
y2; 7 9
y2; 7 3
y2; 781
y1; 7 3
y2; 7
De plus cette condition permet de vérier que tous les coecients sont bien dans F243 et
que les coecients de bord y0;1 ; y0;2; y1;0; y2;0; y0;0 sont dans F3 . Ensuite la condition
de forme 3.1 permet d'obtenir 5 inconnues puisque y0;2 = y0;1; y2;0 = y1;0; y1;9 = y23;7
et y2;9 = y19;7 . La condition de réduction p(Qv ) = sQs 1 permet encore d'éliminer une
variable puisque y1;7 = y29;7 + 4 2 + . Enn la condition (cond3) permet de montrer
que y0;0 = 0 et que y0;1 = y1;0 = 1 (en regardant les coecients de bord du carré de
la matrice et en remarquant que les termes forment une suite géométrique). Enn en
explicitant un terme quelconque à l'intérieur de la matrice, on trouve comme solutions
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
:
C
C
C
C
C
C
C
C
A
26
pour la dernière inconnue (par énumération sur F243) :
8
>
>
>
>
>
<
y ; =>
>
>
>
>
:
27
1 4
3 + 4
1 4
2
2 3
+ 4
1 + 4
1 2 3 + 4
1 2 3
On vérie que ces solutions conviennent. En particulier pour y2;7 = 4 1 on trouve :
0
BB 01
BB 1
BB 1
BB 1
Qv = B
BB 1
BB 1
BB 1
BB 1
@1
1
u4
v3
u3
u0
u1
v4
v2
v0
u2
1 v1
1
v2
u3
v3
v4
v3
u2
u1
u4
v0
u0
1
u2
v9
u1
u3
u4
v1
v0
v4
u0
v3
1
u1
v3
u0
u2
u3
v0
v3
v2
u4
v4
1
u3
v4
u2
u4
u0
v2
v1
v3
u1
v0
1
v0
u1
v3
v1
v2
u0
u4
u2
v4
u3
1
v4
u4
v2
v3
v0
u3
u2
u0
v1
u1
1
v3
u0
v4
v0
v1
u4
u3
u1
v2
u2
1
u0
v0
u4
u1
u2
v3
v4
v1
u3
v2
1
v1
u2
v0
v2
v4
u1
u0
u3
v3
u4
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
3
81
); v1 = v03; v2 =
où u0 = 1 ; u1 = u30 ; u2 = u90; u3 = u27
0 ; u4 = u0 et v0 = (1
v09; v3 = v027; v4 = v081.
Remarque : Tout d'abord cette construction demeure problématique car elle impose
des hypothèses extérieures à l'énoncé proprement dit. Il serait peut-être possible de les
déduire uniquement de l'hypothèse de réduction.
La matrice Qv ainsi construite ne satisfait pas à la condition (Av Qv )3 = 1 analogue de
la condition (PQ)3 = 1. On n'a donc pas obtenu une représentation de M11 de degré 11.
Il se peut tout de même que la matrice Qv ait une action sur V ; c'est dumoins se que
laisse penser les quelques calculs réalisés sur des points arbitraires de V .
3.2.3 Quelques conjectures et extrapolations
Relativement à ce qui précède, on est dans une situation gênante : en eet puisque Q
transforme une pointe en un point qui n'en est pas une, l'action ne peut être modulaire ;
en eet au niveau de V , on ne peut espérer que Qv préserve les bres. (Qv établirait sinon
un isomorphisme entre un n-gone et une courbe elliptique, ce qui est impossible). On
pourra consulter à ce sujet [7]. On peut tout de même espérer des résultats pour d'autres
points qui ne seraient pas dans l'orbite d'une pointe sous l'action de M11. Peut-être une
27
action non linéaire à rapprocher de ce théorème :
Théorème 3.4 M12 peut être considérer comme l'extension de PSl2(Z=11Z) par la
transformation polynômiale de P (11) : f : x0 = 4x2 3x7. (consulter Gorenstein: Finite
simple groups).
De manière très informelle, on peut donner les indices suivants pour l'action de PSl2(Z=11Z)
sur X1 (11) :
Il est facile de voir que l'action de A dans la correspondance permute les points de
la bre. Au point z 2 X1(11) est donc associé le point 11z .
De même pour l'action de B : B vérie A3 B = BA ; il semblerait que le point z est
pour image le point 11z + (0; 0) par B 3 . (le point (0; 0) est un point d'ordre 5)
1
Pour le point P = Qv 0 , on a l'invariant j associé à la courbe elliptique qui
vaut -1. De même pour l'invariant de BP . Aurait-on une action modulaire? Plus
étrange l'invariant associé à 11P vaut l'inni. (se souvient-il qu'il est l'image d'une
pointe?)
Enn, on pourrait également explorer la piste de la jacobienne de X (11), pour laquelle
Ligozat a obtenu dans [8] des résultats intéressants.
CONCLUSION
28
Conclusion
La première question qui vient à l'esprit est bien sûr de se demander si le résultat d'Adler s'inscrit dans une théorie beaucoup plus vaste ; y'a-t-il par exemple un lien
entre les groupes sporadiques et le groupe des automorphismes des courbes modulaires
X (n) ? Ces questions intéressent déjà les mathématiciens depuis un certain temps :Mc
Kay s'interrogeait par exemple sur les coïncidences numériques entre les coecients
d'une certaine fonction modulaire et les combinaisons linéaires des degrés des premiers
caractères irréductibles du monstre de Fischer, le 26ième groupe sporadique. Ogg offrait même une bouteille de Jack Daniels a qui trouverait la relation profonde entre la
décomposition en facteurs premiers de l'ordre du monstre et certaines transformations
rationnelles. (on pourra consulter à ce propos [3]) Des données peuvent nous aider dans
la recherche d'une théorie globale. Ainsi dans une lettre de Bott à Flatto on trouve grâce
à l'analyse le théorème suivant qui donne une idée de l'ordre du groupe des collinéations :
Soit f un polynôme homogène de degré q + 1 en r + 1 variables tel que
l'hypersurface f (x0 ; : : : ; xr ) = 0 soit non singulière dans Pr (C). Soit
m(q; r) le P.P.C.M des nombres q n (1 ( q )m); 0 6 n < m 6 r + 1:
Si T 2 Gl(r + 1; C) laisse f invariante et si q > 1 alors l'ordre de T divise
m(q; r).
Or si on calcule m(q; r) dans le cas d'une cubique de Klein , on trouve 7920 qui est
justement l'ordre de M11 .(Pour une démonstration, on se reportera à [2] où Adler propose
une généralisation en caractéristique quelconque).
Ces questions sont éminement passionnantes : aux croisements de nombreuses disciplines,
utilisant des techniques variées, elles mettent à jour les liens étroits et mystérieux entre
des domaines qui semblaient très éloignés.
BIBLIOGRAPHIE
29
Bibliographie
[1] A. Adler, On the automorphism group of a certain cubic threefold, Amer. J.Math.
100 (1978),1278-1280
[2] A. Adler, The Mathieu group M11 and the modular curve X (11), Proc. London
Math. Soc. (3) 74 (1997), 1-28
[3] J.H Conway, Bull. of London Math.Soc. 11, 33, (1979)
[4] J.H Conway, R.T Curtis, S.P Norton, R.A Parker, Atlas of nite groups, Clarenson
Press, Oxford, 1985
[5] W. Fulton, J. Harris, Representation theory : a rst course, Springer-Verlag
[6] G.D James, The modular characters of the Mathieu group,J.Algebra 27 57-111,1973
[7] N. Katz, P-adic properties of modular schemes and modular forms, Porceedings
of the 1972 Antwerp International Summer School on Modular Functions, Lecture
Notes in Mathematics 350 (Springer, Berlin 1973), 70-89
[8] G. Ligozat, Courbes modulaires de niveau 11 modular functions of one variable V,
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[9] A.R Reichert, Elliptic curves over quadratic number elds, Math comp 46 (1986),
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[10] G. Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton Univ. Press, 1971
[11] J. Vélu, Courbes elliptiques munies d'un sous-groupe Z=nZ n , bull. sociéte math.
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[12] H.N. Ward, A form for M11, J.Algebra 37 (1975), 340-361

Action du groupe de Mathieu M11 sur la courbe modulaire X(11) en

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Lycée Agora - Puteaux

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