Contrôle n°1 sur repère du plan

Contrôle n°1 sur repère du plan
Exercice 1 : questions de cours
1. Écrire la formule donnant les coordonnées du milieu d’un segment [AB] où A(xA ,y A ) ; B(xB ,y B ) .
2. Écrire la formule permettant de calculer la distance AB. Dans quel type de repère peut on utiliser cette
formule ?
3. Application directe : Soit A(2 ;!3) et B(!1; 2) . Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB] ainsi que la
distance AB.
Exercice 2
(O ; I ; J) est un repère orthonormal.
On donne les points A, B et C tels que : A(− 3 ; 1) ; B 1,5; − 2,5 ; C(0 ; 3).
1. Placer les points dans un repère (unité 1 cm).
2. Calculer les coordonnées du milieu K de [AC]. Placer K dans le repère.
3. Le point D est tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. Placer D sur la figure.
4. Déterminer les coordonnées de D par le calcul (On pourra poser D(x ; y) )
5. Calculer AB et BC puis montrer que ABCD un losange.
Exercice 3
(O ; I ; J) est un repère orthonormal du plan. On donne les points A(1;4) et B(3 ;1) .
On souhaite déterminer un point C de l’axe des ordonnées de façon à ce que le triangle ABC soit isocèle en C.
Un élève a résolu ce problème mais n’a pas justifié son raisonnement.
Recopier et compléter son travail en ajoutant à chaque étape la justification absente.
Le point C a pour coordonnées C(0 ; y) car
CA2 = CB 2 car
3 2 + (1! y)2 = 12 + (4 ! y)2 car
3 2 + (1! y)2 = 10 ! 2y + y 2 car
12 + (4 ! y)2 = 17 ! 8y + y 2 car
Finir la résolution et vérifier sur une figure que la solution trouvée convient. Expliquer la construction du point C.
Exercice 4
Que fait l’algorithme suivant si l’utilisateur saisit le nombre 3 ?
Saisir N
Affecter à A la valeur N 2
Affecter à N la valeur N + 1
Afficher A
Afficher N
Correction du contrôle n°1
Exercice 1
! x + xB y A + y B $
;
Les coordonnées du milieu du segment [AB] avec A(xA ; y A ) et B(xB ;y B ) sont # A
.
2 &%
" 2
AB = (x B ! x A )2 + (y B ! y A )2
Dans un repère orthonormal, la distance AB se calcule avec la formule :
.
Application avec A(2 ; -3) et B(-1 ; 2)
2!1 1
!3 + 2
1
1 1
=
=!
( ;! )
Le milieu I a pour abscisse : 2
2 et l’ordonnée :
2
2 . Les coordonnées du milieu sont donc 2 2 .
Le repère étant orthonormal, la distance AB est égale à :
xB ! xA = !1! 2 = !3
$"
# AB = 9 + 25 = 34 .
y B ! y A = 2 ! (!3) = 2 + 3 = 5 $%
Exercice 2
2. K est le milieu de A(!3 ;1) ;C(0;3) ; il a donc pour abscisse :
!3 + 0
3
= ! = !1,5 et
2
2
1+ 3 4
= = 2 . K(!1,5 ;2)
2
2
4. Posons D(x ;y) . Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales
[AC] et [BD] ont le même milieu : le point K. On obtient alors les équations suivantes en
écrivant les coordonnées du milieu de [BD]
" x + 1,5
3
$$ 2 = ! 2
" x + 1,5 = !3
" x = !3 ! 1,5 = !4,5
&#
&#
.
#
% y ! 2,5 = 4
% y = 4 + 2,5 = 6,5
$ y ! 2,5 = 4
$% 2
2
pour ordonnée :
Le point D a pour coordonnées D(!4,5 ;6,5) .
5. Calcul de AB :
Calcul de BC :
xB ! xA = 1,5 ! (!3) = 1,5 + 3 = 4,5 "$
2
2
# AB = 4,5 + (!3,5) = 32,5 .
y B ! y A = !2,5 ! 1= !3,5
%$
"$
2
2
# BC = (!1,5) + 5,5 = 32,5
y C ! y B = 3 ! (!2,5) = 3 + 2,5 = 5,5 %$
xC ! xB = 0 ! 1,5 = !1,5
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, et il a deux côtés consécutifs de même longueur : c’est un
losange.
Exercice 3
Le point C a pour coordonnées (0 ;y) car c’est un point de l’axe des ordonnées.
CA2 = CB 2 car le triangle ABC est isocèle en C et donc on a CA = CB .
CA2 = (xA ! xC )2 + (y A ! y C )2 = (1! 0)2 + (4 ! y)2 = 1+ (4 ! y)2
CB 2 = (xB ! xC )2 + (y B ! y C )2 = (3 ! 0)2 + (1! y)2 = 9 + (1! y)2
2
2
On obtient bien, comme CA =CB l’égalité demandée.
1+ (4 ! y)2 = 1+ 16 ! 8y + y 2 = 17 ! 8y + y 2
9 + (1! y)2 = 9 + 1! 2y + y 2 = 10 ! 2y + y 2
En égalant les deux expressions, on obtient :
17 ! 8y + y 2 = 10 ! 2y + y 2 ! "8y + y 2 + 2y ! y 2 = 10 ! 17 " !6y = !7 " 6y = 7 ! y =
7
6
7
Le point C a pour coordonnées C(0; ) Pour obtenir C sur la figure, il faut tracer la médiatrice du segment [AB] ; C est
6
le point d’intersection de cette médiatrice avec l’axe des ordonnées. On observe que l’ordonnée « vaut » un peu plus
de 1 ce qui est cohérent.
Exercice 4
Cet algorithme affiche 2 nombres : le premier 9 (carré de N) et le second 4 (valeur de N+1)