TD sur la corde vibrante : ondes progressives et stationnaires

TD Séismes, ondes et images
Lapo Boschi ([email protected])
October 21, 2015
L’objectif de ce TD est de préciser l’influence des “conditions aux limites”
sur les vibration d’un milieu continu (par exemple, une corde), c’est à dire
le fait que le milieu ne s’étend pas à l’infini.
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Réflexion à une extrémite fixe
On a vu que le déplacement transversal des points d’une corde lors du passage d’une onde progressive est de la forme u1 (x, t) = f (x + ct), u2 (x, t) =
g(x − ct), ou toute combination de u1 et u2 .
1. Vérifier que u(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t) est solution de l’équation des
ondes.
2. On suppose maintenant que la corde occupe les x < 0 et que son
extrémité en x=0 est fixement attachée, par exemple à un mur. On
notera u(x, t) le déplacement transversal en un point de la corde.
Écrire formellement la condition aux limites en x=0.
3. Quelle condition sur f et g implique-t-il ?
4. Une déformation triangulaire se déplace vers les x positifs. Tracer la
déformation au cours du temps après que l’onde a atteint le point x=0.
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Ondes stationnaires
1. En considérant la condition d’attachement fixe en x=0 vue à l’exercice
précédent, écrire la forme gńérale des solutions.
2. Pour des ondes sinusoı̈dales, montrer que cette équation s’écrit comme
le produit d’une fonction de x par une fonction de t.
3. On cherche maintenant des solutions sinusoı̈dales à l’équation d’onde
pour une corde de longueur L dont les deux extrémités en x=0 et
x=L sont fixées rigidement. Écrire, à partir de la forme de la solution
trouvée ci-déssus, l’équation qui traduit la condition d’attachement
fixe en x=L.
4. Calculer les valeurs ωn de la fréquence compatibles avec les conditions
aux limites.
5. Tracer le déplacement de la corde (forme des modes de vibration) pour
les quatre plus petites valeurs de ωn .
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Dernières remarques
Apparemment, on vient de trouver que les déscriptions des oscillations d’une
corde fondées sur une combinaison d’ondes progressives qui se propagent
dans les deux sens (D’Alembert), ou d’ondes stationnaires sinusoı̈dales (Daniel
Bernoulli) sont équivalentes. Mais est-ce que, à votre avis, les passages cidéssus sont suffisants ? est-ce qu’il y a un point faible dans le raisonnement ?
Où ?
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