TD1

Université de Paris X
Licence MMIA
Feuille 1
Année Universitaire 2008/2009
Statistiques
Exercice 1
Lors des inscriptions universitaires, chaque étudiant remplit un dossier d’inscription. Tous
les contrôles effectués indiquent que la probabilité pour qu’un dossier quelconque soit bien
rempli vaut p = 0.94.
1) Construire une variable aléatoire Y à partir des deux états possibles pour chaque dossier.
2) Donner sa loi de probabilité.
3) Calculer son espérance mathématique et sa variance.
On considère maintenant un lot de n dossiers et on s’intéresse au nombre de dossiers bien
remplis parmi les n.
4) Construire une variable aléatoire X qui représente le nombre de dossiers bien remplis.
5) Quelle est sa loi de probabilité ? Donner son espérance mathématique et sa variance.
6) Si n = 5, calculer la probabilité des événements suivants: ”aucun dossier n’est bien
rempli”, ”tous les dossiers sont bien remplis”, ”X > 3”, ”2 < X < 4”.
7) Si n = 100, par quelle loi peut-on approximer celle de X ?
Calculer la probabilité des événements suivants: ”X < 95”, ”X > 90”, ”90 < X < 95”,
”85 < X < 90”.
Exercice 2
On soumet la main-d’oeuvre d’une entreprise à un test d’aptitude pour exécuter une certaine tâche. D’après les standarts établis, les résultats au test sont distribués suivant une
loi normale d’espérance 150 et d’écart-type 10.
1) Définir la population et la variable étudiées.
2) On fait passer un test à 25 individus de l’entreprise choisis au hasard: le résultat moyen
est de 154, 7 pour un écart-type de 12, 3.
a) Compléter le tableau suivant en précisant les paramètres de la population et de l’échantillon
prélevé:
population échantillon
taille
moyenne
écart-type
1
b) Caractériser la distribution de la moyenne empirique.
c) Calculer la probabilité, en tirant au hasard un échantillon de taille 25, d’observer une
moyenne d’échantillon supérieure à 154, 7.
3) On décide de prélever un échantillon de taille 36 dans la population. Quelle est la probabilité d’observer une moyenne d’échantillon supérieure à 154, 7?
Exercice 3
La variable ”résultat à un test portant sur la richesse et la précision du vocabulaire chez
les enfants de 12 ans ” obéit à une loi de moyenne 60 et d’écart-type 10. On s’intéresse à
la moyenne empirique X̄n .
1) Indiquer l’effet de la taille de l’échantillon sur les caractéristiques de la distribution de X̄n :
taille de l’échantillon
loi
moyenne empirique
moyenne écart-type
n=4
n=8
n = 32
n = 100
2) Calculer la probabilité, en tirant au hasard un échantillon de taille 100, d’observer un
résultat moyen inférieure à 56.
Exercice 4
A- Soit (X1 , ..., Xn ) un n-échantillon d’une loi sur R, d’espérance m et de variance σ 2 finies.
n
n
1X
1X
Soit X̄n =
Xi la moyenne empirique et Sn2 =
(Xi − X̄n )2 la variance empirique
n i=1
n i=1
de l’échantillon.
1) Déterminer l’espérance et la variance de X̄n .
2) Déterminer l’espérance de
Sn2 .
En déduire l’espérance de
Ŝn2
n
1 X
=
(Xi − X̄n )2 .
n − 1 i=1
B- Soit (X1 , ..., Xn ) un n-échantillon de loi gaussienne N (m, σ 2 ), m ∈ R, σ > 0.
1) Ecrire la densité du n-échantillon.
2) Déterminer la loi de X̄n .
3) Supposons que l’on a démontré que X̄n et Ŝn2 sont indépendantes.
n
n
√ X̄n − m
1 X
1 X
Quelles sont les lois de 2
?
(Xi − m)2 , de 2
(Xi − X̄n )2 et de n
σ i=1
σ i=1
Ŝn
2
Exercice 5
Une usine vend sa fabrication de détergent en bidons dont la contenance (en grammes) est
une variable aléatoire X supposée suivre une loi normale de paramètres m = 500 et σ = 6.
A la suite de réclamations de clients, le chef de fabrication prélève un échantillon de taille
n = 25 bidons pour en vérifier la contenance.
A- Le chef de fabrication ne remet pas en cause la valeur de l’écart-type.
1) Quelle est la loi de probabilité de X̄n =
n
X
Xi
?
n
2) Combien valent P (498 < X̄n < 502) et P (495 < X̄n < 505) ?
3) Déterminer les bornes a et b d’un intervalle symétrique tel que P (a < X̄n < b) = 0.95.
4) Supposons que l’on dérègle volontairement le processus de remplissage de bidons de telle
sorte que m vaut m0 = 497g. Soit un échantillon aléatoire de taille n = 25 issu de cette
nouvelle fabrication . Quelle est la probabilité que sa moyenne X̄n soit toujours comprise
dans l’intervalle calculé précédemment ?
i=1
5) Quelle conclusion peut-on tirer d’un échantillon qui donne
25
X
xi = 12400 ?
i=1
Peut-on dire:” il y a 95% de chance que les bidons contiennent en moyenne 500g de produit”?
B- Il se propose maintenant d’étudier la valeur de σ. Soit Z =
n
X
(Xi − X̄n )2
σ2
i=1
1) Déterminer k1 et k2 tels que P (k1 < Z < k2 ) = 0.95.
2) En déduire l’intervalle [k10 , k20 ] dans lequel la variance
aléatoire se trouvera avec une probabilité de 0.95.
n
X
(Xi − X̄n )2
n
i=1
3) Quelle conclusion peut-on tirer d’un échantillon qui donne
25
X
Exercice 6
On considère un échantillon i.i.d. de loi gamma γ(p, θ), de densité
θp −θx p−1
e
x 1R+ (x).
Γ(p)
On rappelle que φX (t) = E(eitX ) = (1 − itθ )−p .
1) On note Tn =
n
X
Xi et X̄n =
Tn
n .
i=1
Quelle est la loi de Tn ? Donner la densité exacte de X̄n .
3
de l’échantillon
(xi − xn )2 = 600 ?
i=1
f (x) =
.
2) Quelle est la loi asymptotique de X̄n ?
n
1X
3) On note Yn =
X 2.
n i=1 i
a) Vers quoi Yn converge en probabilité?
b) Etablir la convergence en loi de Yn .
Exercice 7
Pour contrôler le degré de radioactivité λ d’une substance, on observe la substance jusqu’à
ce qu’on ait détecté n particules émises, n étant fixé à l’avance. Pour 1 ≤ i ≤ n, on note
Ti le temps écoulé entre la (i − 1)-ième et la i-ième émission. On suppose que les variables
T1 , ..., Tn sont des v.a. indépendantes et de même loi exponentielle E(λ).
1) Ecrire la densité du vecteur (T1 , ..., Tn ).
2) Soit Un =
n
X
Ti . Déterminer la loi de Un puis de Vn = 2λUn .
i=1
3) On fixe un niveau de confiance 1 − α où α ∈]0, 1[. On note χα le quantile d’ordre 1 − α
de la loi du khi-deux à 2n degrés de liberté. Déterminer la borne aléatoire Cn,α , fonction
de T1 , ..., Tn et de χα telle que P (λ ≤ Cn,α ) = 1 − α.
Exercice 8
Soit X une variable aléatoire positive de densité e−x . Soit Y une variable aléatoire positive
de densité xe−x . Les varaibles X et Y sont supposées indépendantes entre elles. Calculer
X
.
la loi de Z =
X +Y
Exercice 9
Soit λ > 0 et D = ((x, y), 0 < x < y). Soit fX,Y (x, y) = λ3 x e−λy 1D (x, y) la densité du
couple (X, Y ).
1) Calculer la loi de X et la loi de Y .
2) Calculer la loi de (X, Y − X) et la loi de (Y − X).
X
X
3) Calculer la loi de ( , Y ) et la loi de ( ).
Y
Y
4