Energie spcifique (E) - Site de Daniel Huilier

Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
Compléments sur les écoulements à surface libre (en canaux) et les ressauts
hydrauliques.
Ecoulement permanent uniforme
Ecoulement permanent/stationnaire : en un point de l’écoulement les caractéristiques ne
dépendent pas du temps, soit : ∂V / ∂t = 0, ∂y / ∂t = 0,....
Ecoulement uniforme : la profondeur y, la pente S, la vitesse V, la section A restent constant
le long d’une longueur donnée de canal L, soit ∂V / ∂L = 0, ∂y / ∂L = 0,....
Dans le cas spécial des écoulements uniformes stationnaires, la ligne d’énergie et de charge
sont parallèles au fond du canal (leurs pentes sont identiques)
Ecoulement laminaire
Comme pour les écoulements en conduites, l’écoulement est laminaire pour des nombres de
Reynolds de moins de 2000, mais peut le rester jusqu’à des nombres de Reynolds de 10000.
Pour un canal ouvert, on définira le nombre de Reynolds par :
4RV
où R est le rayon hydraulique (Surface A divisée par le périmètre mouillé P), V la
ν
vitesse de l’écoulement et ν la viscosité cinématique.
Re =
Formule de Chezy pour les écoulements permanents uniformes
La vitesse d’écoulement V en canal est donnée par la loi de Chezy :
V=C
où
-
RS
V = vitesse moyenne
C = Coefficient à préciser (en us et en SI en m1 / 2 / s )
R = rayon hydraulique
S = pente de la ligne d’énergie
Lois traditionnelles (en unités anglo-saxonnes , foot et en SI) :
8g
(valable en SI, f est sans dimension)
f
1.486 1 / 6
1.0 1 / 6
C=
R (en us), C =
R (en SI)
(Manning)
n
n
(n est considéré sans dimension, bien que non vrai, en principe ( s / m1 / 3 ) et les valeurs
données dans les tables SI ou anglo-saxonnes sont les mêmes)
C=
C=
157.6
1+ m / R
(en us), C =
86.956
1+ m / R
(en SI)
(Bazin)
0.00281 1.811
0.00155 1
23 +
+
+
S
n (en us), C =
S
n
C=
(en SI) (Kutter)
n ⎛
0.00281 ⎞
n ⎛
0.00155 ⎞
1+
1+
⎜ 41.65 +
⎟
⎜ 23 +
⎟
S ⎠
S
R⎝
R⎝
⎠
41.65 +
1
Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
⎛ 1.811 x C ε ⎞
⎛ C ε⎞
C = −42. log⎜
+ ⎟ (en us), C = −23.20. log10 ⎜
+ ⎟
Re
R⎠
⎝ Re R ⎠
⎝
où n et m sont des facteurs de rugosité du canal.
(Powell)
Débit volumique
Pour un écoulement permanent uniforme, en termes de formule de Manning et en système
international :
⎛ 1.0 ⎞ 2 / 3 1 / 2
Q = AV = A⎜
⎟R S
⎝ n ⎠
Perte de charge (pente S) avec la formule de Manning
2
h
⎡ V.n ⎤
, la perte de charge en hauteur étant hL
S= L =⎢
L ⎣1.0R 2 / 3 ⎥⎦
Distribution verticale de vitesse
La distribution verticale de vitesse v(y) peut être supposée parabolique pour des écoulements
laminaires et logarithmique pour des écoulements turbulents.
Pour un écoulement laminaire dans des canaux ouverts larges de profondeur moyenne y m ,
la distribution de vitesse est donnée par :
ρgS ⎛
gS ⎛
1 2⎞
1 2⎞
⎜ yy m − y ⎟ , soit encore v( y) =
⎜ yy m − y ⎟
ν ⎝
μ ⎝
2 ⎠
2 ⎠
La vitesse moyenne V est donnée par :
ρgSy 2m
gSy 2m
, V=
V=
3μ
3ν
Démonstration :
v ( y) =
Q
V= =
A
∫∫ dQ = ∫∫ v( y)da = (ρg / μ)∫∫ ( yy − y
∫∫ dydz (= ∫ y
∫∫ dA ∫∫ dA
2
m
/ 2)dydz
m
dz )
ρgSy 2m
ρgSdz y m
2
V=
yy m − y / 2 dy =
μy m dz ∫0
3μ
(
)
Pour un écoulement turbulent dans des canaux ouverts larges de profondeur moyenne y m , la
distribution de vitesse est donnée par :
v( y) = 2.5 τ 0 / ρ . ln( y / y 0 ) , soit encore v( y) = 5.75 τ 0 / ρ . log( y / y 0 )
où τ 0 est la contrainte pariétale s’exerçant essentiellement au fond du canal et y 0 est la
référence locale du fond suivant la verticale (donc fonction de x) (ceci se démontre dans un
cours de turbulence et est associé à la couche limite, théorie de von Karman…)
2
Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
Energie spécifique (E)
On définit l’énergie spécifique E par l’énergie par unité de poids relativement au fond du
canal ouvert :
E = profondeur + energie cinétique équivalente
E = y + V 2 / 2g
Une expression plus exacte serait de corriger l’énergie cinétique d’un facteur de correction α.
En termes de débit volumique q par unité de largeur de canal, la largeur du canal étant b (q =
Q/b), il vient que :
E = y+
1
(q / y ) 2
2g
q = 2g ( y 2 E − y 3 )
Pour un écoulement uniforme, l’énergie spécifique est conservée d’une section à l’autre. Dans
le cas d’un écoulement non-uniforme, l’énergie spécifique peut croître ou décroître le long du
canal.
Profondeur critique
La profondeur critique yc d’un écoulement à flux constant q dans un canal rectangulaire est
donnée pour une énergie spécifique minimale.
Dans ce cas :
V2
2
yc = 3 q2 / g = Ec = c
3
g
Démonstration
2
2
1 ⎛Q/b⎞
1 ⎛q⎞
⎜⎜
⎟⎟ = y +
⎜ ⎟
E = y + V / 2g = y +
2g ⎝ y ⎠
2g ⎜⎝ y ⎟⎠
2
dE
d ⎡
1 ⎛q⎞ ⎤
q2
⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = 1 − 3 = 0 implique que : q 2 = gy 3c , soit y c = 3 q 2 / g
=
⎢y +
dy dy ⎢
2g ⎝ y ⎠ ⎥
gy
⎦
⎣
Par élimination de q, il vient que :
2
2
E c = y c + Vc / 2g = y c +
gy 3c
1 q2
3
=
y
+
= yc
c
2
2
2g y c
2gy c 2
De même en supposant que b = 1, q = yV = yc.Vc et :
Vc2 y c
q 2 y c2 Vc2
=
=
y =
, soit Vc = gy c et
g
g
2g
2
En d’autres termes, le régime critique (de profondeur critique) correspond à un nombre de
Froude égal à l’unité :
Vc
FrC =
=1
gy c
3
c
3
Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
Cas des canaux libres non rectangulaires :
Q 2 A 3c
=
Dans ce cas,
g
b'
où b’ est la largeur de la surface libre et Ac la surface critique. On peut réarranger la formule
précédente en divisant par A c2 , ce qui donne (en se rappelant que Q = Vc .A c ) :
Vc2 A c
=
, soit encore Vc = gA c / b' = gy m
g
b'
Où le rapport Ac/b’ représente une hauteur/profondeur moyenne ym.
Démonstration :
1 ⎛Q⎞
E = y + V / 2g = y +
⎜ ⎟
2g ⎝ A ⎠
2
2
Pour un débit constant et comme l’aire A est une fonction de la hauteur y ( A = A(y)),
dE
Q 2 ⎛ 2 dA ⎞
Q 2 dA
⎜⎜ − 3 .
⎟⎟ = 1 −
= 1+
.
=0
dy
2g ⎝ A dy ⎠
gA 3 dy
La variation élémentaire dA = b’.dy. Par substitution dans l’équation précédente, il vient que :
Q 2 b'
Q 2 A 3c
= 1 , soit encore
=
.
g
b'
gA 3c
C’est cette équation qui doit être satisfaite dans le cas des écoulements critiques dans les
A 3c
est une fonction
canaux libres. Le problème qui se pose est que le dernier terme de droite
b'
de la hauteur y et seule une méthode d’essai (dite trial & error) permet de déterminer yc.
En divisant Q2 par A c2 , en terme de vitesse moyenne V = Vc = Q / A = Q / A c , on obtient :
Vc2 A c
=
, soit encore Vc = gA c / b'
g
b'
Si l’on suppose que le rapport Ac/b’ représente une hauteur/profondeur moyenne ym , alors :
Q = A gA / b' = A gy m
Vc2
=1
et le cas critique donne : Vc = gA c / b' = gy m , soit encore
gy m
L’énergie spécifique minimale devient alors :
4
Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
1
ym
2
Pour un canal rectangulaire on a évidemment A c = b' y c et l’on retrouve (avec y c = y m ) le
résultat plus classique
Vc2 y c
3
=
E c = y c , Vc = gy c et
2
2g
2
En général pour un écoulement proche du régime critique, une instabilité de surface
ondulatoire (rippling) indésirable apparaît, et le design des canaux libres doit éviter ce régime,
mais comment le débit n’est pas toujours stable, il constitue un paramètre qui peut contrôler
ou influencer le régime.
E min = y c + Vc2 / 2g = y c +
Diagrammes d’écoulement à débit Q ou à énergie spécifique E constante
Expression du débit unitaire (b = 1) pour un canal rectangulaire d’énergie spécifique E
imposée, application au régime critique :
1
On part des expressions E = y +
( q / y ) 2 , q = 2g ( y 2 E − y 3 ) = y 2g ( E − y ) 1 / 2
2g
On dérive la dernière équation par rapport à y et on en détermine le zéro (maximalisation) ; on
obtient alors :
3
2
⎛2 ⎞
y c = E , soit encore : q 2max = g⎜ E c ⎟ = gy 3c , soit q max = gy 3c
3
⎝3 ⎠
Récapitulation des caractéristiques de l’écoulement critique dans les canaux
rectangulaires
3
(a) énergie spécifique minimale E min = 3 q 2 / g
2
(b) débit maximal q max
⎛2 ⎞
= gy = g⎜ E c ⎟
⎝3 ⎠
3
c
5
3
Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
2
E c = Vc2 / g = 3 q 2 / g
3
(d) nombre de Froude Frc = Vc / gy c = 1
(c) hauteur critique y c =
(e) écoulement torrentiel – supercritique dans le cas où Fr > 1 et y / y c < 1
(f) écoulement fluvial – sous-critique dans le cas où Fr < 1 et y / y c > 1
Démonstration de la formule de Chezy
On considère le volume de contrôle de liquide ABCD et l’on fait un bilan de quantité de
mouvement (équations de la dynamique) en écoulement uniforme permanent.
Si on fait le bilan dans la direction X+, inclinée d’un angle θ par rapport à l’horizontale :
Force sur la surface AD – force sur la surface BC + W.sinθ – forces visqueuses = 0
ρgAh − ρgAh + ρgAL. sin θ − τ 0 Lp = 0
où p est le périmètre mouillée, la contrainte visqueuse de paroi τ0 s’appliquant sur la surface
mouillée Lp. Par suite :
ρgA sin θ
= ρgR sin θ = ρgRS
p
sachant qu’on assimile S = tg(θ) à sin(θ) pour de faibles angles, que le périmètre hydraulique
R = A/p. Par ailleurs, on définit pour un écoulement en conduite le coefficient de frottement f
par le biais de :
ρgAL. sin θ = τ 0 Lp , τ 0 =
τ 0 = fρV 2 / 8 , il vient que : V = (8g / f )RS = C RS
Si l’écoulement est laminaire, f est de l’ordre de 64/Re et on aura : C =
6
(8g / 64) Re
Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
Ecoulement à surface libre dans les conduites circulaires
Sections droites les plus efficaces
La section droite la plus efficace d’un canal ouvert est celle qui a la plus grande capacité, pour
une pente, une aire et un coefficient de rugosité donnés. Si ces paramètres demeurent
constants, la vitesse (et donc le débit) sera maximale quand le périmètre mouillé sera minimal.
En se basant sur ces principes, la section droite la plus efficace peut être déterminée pour
quelques formes courantes.
7
Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
La plus efficace de toutes les sections est le demi-cercle (a) qui a le plus faible périmètre
mouillé pour une aire donnée. Pour une section rectangulaire (b), la plus efficace a une
profondeur égale à la moitié de la largeur. Pour une section trapézoïdale, la plus efficace est
celle du demi-hexagone régulier (côtés égaux et angles intérieurs de 120°). Pour une section
triangulaire (c), la plus efficace a une pente égale à 1 (angle des côtés = 90°). Toutes ces
sections sont rassemblées dans la figure ci-dessus.
Exercice d’application : Canal trapézoïdal
L’examen de la formule de Chezy V = C RS indique que pour une surface de la section
transverse et une pente donnée S, le débit d’un canal de rugosité donnée sera maximal quand
le rayon hydraulique est maximal. Il s’ensuit que le rayon hydraulique va être maximum
quand le périmètre mouillé est minimum.
On a :
⎛1 ⎞
b = A / y − y.tgθ
A = by + 2⎜ y ⎟(y.tgθ)
où
⎝2 ⎠
p = b + 2 y / cos θ ,
soit encore p = A / y − y.tgθ + 2 y / cos θ
En déterminant le zéro (maximum) de p par rapport à y, on obtient :
dp
A
2
= − 2 − tgθ +
= 0 , soit
dy
cos θ
y
D’où : R MAXIMAL
⎛ 2
⎞
A=⎜
− tgθ ⎟ y 2
⎝ cos θ
⎠
⎛ 2
⎞
− tgθ ⎟ y 2
⎜
y
A
⎝ cos θ
⎠
= =
=
2y
2
p ⎛ 2
⎞
− tgθ ⎟ y 2 / y − y.tgθ +
⎜
cos θ
⎝ cos θ
⎠
(1) pour un canal rectangulaire (θ=0°), A = 2y2 et aussi A = by, ceci donne y = b/2 ; en
plus R = y/2. Ainsi la meilleure profondeur est égale à la moitié de la largeur, avec le
rayon hydraulique égal à la moitié de la profondeur.
(2) Pour tous les canaux en forme de trapèze, on obtient une meilleure section hydraulique
pour R = y/2. La section symétrique est un demi-hexagone.
(3) Le cercle a le plus petit périmètre pour une surface donnée. Un canal ouvert en demicercle aura un débit d’eau supérieur à n’importe quel autre (pour la même surface,
même pente et même facteur n).
8
Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2009-2010
Exercice d’application
Déterminez (a) quelle doit être la section optimale d’un canal en forme de trapèze, n = 0.025,
devant transporter 12.7 m3/s. Pour éviter l’érosion, la vitesse ne doit pas dépasser 0.91 m/s et
les côtés doivent avoir une pente de ½ ( cos θ = 1 / 5 ) . (b) Quelle doit être la pente S du
canal ?
Solution
⎛ y⎞
by + 2⎜ ⎟(2 y)
y A
⎝2⎠
R= = =
, ou b = 2 y 5 − 4 y
2 ρ
b + 2y 5
A = Q / V = 12.7 / 0.91 = by + 2 y 2 ou b = (13.85 − 2 y 2 ) / y
(1)
(2)
En égalant (1) et (2), nous obtenons y = 2.37 m. Reportant dans (2), on obtient b = 1.1 m,
pour ce trapèze, y = 2.37 m et b = 1.1 m
Avec la loi de Manning :
V = (1 / n )R 2 / 3S1 / 2 , 0.91 = (1 / 0.025)(2.37 / 2) 2 / 3 S1 / 2 , soit S = 0.00042
9