Rapport de TP Lit fluidisé

Rapport de TP
Lit uidisé
Clément Chatelain
2 mars 2007
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VARIATION DE ∆P ET H
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Lorsqu'un lit de particules solides est immergé dans un uide de densité moins importante, les
particules tombent sous l'eet de leur poids apparent et forment un empilement compact. Lorsque
ce lit est soumis à un courant ascendant, il existe une vitesse critique à partir de laquelle, les
particules sont soulevées et le lit est uidisé. Nous avons étudié les caractéristiques d'un tel lit
de particules en fonction de la vitesse du courant de liquide.
Nous disposons d'une colonne de 20mm de diamètre contenant 4,8cm (en l'abscence de courant) de sphères de verre de diamètre dp = 350µm, de masse volumique 2500kg.m−3 . Le débit est
controlé par deux débitmètres muni de vannes pointeau permettant de mesurer le débit. L'écoulement est alimenté par un réservoir muni d'un deversoir pour fournir une pression constante.
Une courbe d'étalonnage donne la valeur du débit en fontion de la hauteur des billes dans les
débitmètres. La diérence de pression entre les extrémités de la colonne est mesurée par un
manomètre diérentiel contenant de l'eau et de l'air.
1 Variation de ∆P et h
En faisant varier la vitesse moyenne U du liquide, on observe une variation de la diérence
de pression ∆P entre les deux extrémités de la colonne et de la hauteur h du lit de particules.
Cette variation s'eectue en deux phases (gure 1) :
Un première phase où le lit de particule reste immobile (pour des vitesses U < Umf ≈
1mm.s−1 ). La hauteur du lit reste alors constante et ∆P augmente linéairement et rapidement avec U .
Une deuxième phase où le lit est uidisé (pour des vitesses U > Umf ≈ 1mm.s−1 ). La
hauteur du lit augmente alors linéairement avec U , ∆P augmente encore linéairement avec
U mais beaucoup moins rapidement.
Fig.
1 variation de ∆p et h avec U
2
PERMÉABILITÉ K
2
2 Perméabilité k
Ud
Lorsque la vitesse est susament faible (U < Umf ) le nombre de Reynolds Re = ν p est
également faible (Re < Remf = 0, 37 < 1), la vitesse du uide est alors donnée par la loi de
Darcy :
k ∆P
U =−
η L
Où k est la perméabilité du milieux poreux, η la viscosité dynamique du uide, L la longueur du
milieu poreux (ici on a h = L) et ∆P la diérence de pression. A partir de la pente de la droite
∆P = f (U ) = aU dans le domaine U < Umf (h est constant sur ce domaine), on détermine donc
la valeur de k (gure 2) :
k=−
ηhrepos
10−3 .4, 8.10−2
= 133, 3darcy(±29, 6darcy)
=
a
36.104
Où on a pris soin d'exprimer la pression en Pascal (d'où le facteur 104 = ρg au dénominateur).
Un darcy vaut 10−12 m2 , c'est une unité courament utilisée par les hydrogéologues et par les
pétroliers pour exprimer la perméabilité.
Fig.
2 Approximation de k
On remarque que la détermination de la perméabilité est peu précise par cette méthode. Ceci
à cause de 2 choses :
La faible précision des débimètres utilisés qui ne permettent pas de multiplier les mesures
précises pour de faibles débits (donc dans le domaine étudié).
La courbe d'étalonnage des débimètres elle-même donne des veleurs abérantes pour de
faibles débits (on trouve des débits négatifs). On est donc obligé de ne pas considérer les
très faibles débit, ce qui réduit le domaine étudié.
k correspond à l'ordre de grandeur des sections des pores dans le milieu poreux. Il va donc
être proportionnel à d2p dans un milieu dense. En eet, dans le cas d'un empilement de grains
3
VITESSE MINIMALE DE FLUIDISATION
3
sphérique, la perméabilité est donnée par la relation d'Ergun (voir [E.G01] chapitre 8.6.4) :
k=
φ3 d2p
180(1 − φ)2
Où φ est la porosité de l'empilement de grains. En faisant l'application au lit de particules
compact, on trouve :
(0, 36)3 (350.10−6 )2
= 77, 5darcy
k=
180(1 − 0, 36)2
On retrouve l'ordre de grandeur de la perméabilité mesurée (avec une erreur relative de 72%).
3 Vitesse minimale de uidisation
Lorsque le lit est uidisé, la vitesse du uide est constante dans le tube. On note Ftot la
force exercée par le liquide sur les particules, ∆Pstat la diérence de pression hydrostatique entre
les deux extrémités du tube, (p1 − p2 ) la diérence de pression entre les deux extrémités lors
de l'écoulement. La pression mesurée ∆P est l'écart à la pression hydrostatique : (p1 − p2 ) =
∆Pstat + ∆P . La conservation de la vitesse du uide contenu dans le tube s'écrit (équilibre des
forces appliquées au uide) :
Z
Z
0 = −Ftot + (p1 − p2 )S +
ρgdτ = −Ftot + ∆P S + ∆Pstat S +
ρgdτ
V
V
{z
}
|
=0
par dénition de ∆Pstat
⇒ Ftot = ∆P S
L'équilibre de l'ensemble des particules uidisées s'écrit :
Z
0 = Ftot + (ρp − ρf )gdτ = Ftot + (ρp − ρf )gφSL
⇒ ∆P = (ρp − ρf )gφL
où ρp et ρf sont respectivement la masse volumique des particules et du uide, φ la fraction
volumique de particules et L La hauteur du lit uidisé. De plus, pour le lit de particules compact,
la relation entre la vitesse d'écoulement et la diérence de pression est donnée par la loi de Darcy.
A la limite de uidisation, ces deux relation doivent donc être vériées. On a donc l'expression
de la vitesse minimale de uidisation :
Umf = −
k(ρp − ρf )gφ
≈ 0, 718mm.s−1
η
On retrouve donc l'ordre de grandeur de la vitesse minimale déterminée expérimentalement (avec
tout de même une erreur relative de 39%).
4 Rapport entre Umf et Used
On a Remf = 0, 37 < 1 à la limite de uidisation. L'expression de la force de trainée d'une
d
particule est alors donnée par FT = 6πη 2p Used lors de la sédimentation. Le poid apparent qui
d
p 3
s'exerce sur cette particule vaut 4π
3 ( 2 ) (ρp − ρf )g . On en déduit donc l'expression de Used :
Used =
2 dp 2 (ρp − ρf )g
( )
9 2
η
5
EVOLUTION DE φ
et à la limite de uidisation :
4
Umf
18k
= 2 ≈ 0, 019
Used
dp
5 Evolution de φ
Pour des vitesses supérieures à la limite de uidisation, on a vu que la hauteur du lit augmentait avec la vitesse moyenne du uide. La fraction volumique φ occupée par les particules
varie donc :
Voccupé par les particules
hcompact
φ=
= φcompact
Vtotal
h
Cette variation est décrite par la loi de Richardson-Zaki :
U = Used (1 − φ)4
La gure 3 rapporte les résultats expérimentaux de la variation de φ avec U . La loi de RichardsonZaki est un bonne approximation de cette variation, même si une loi de la forme U = Used (1−φ)2
semble plus proche des résultats obtenus ici.
Fig.
3 Variation de φ
6 Vitesse de sédimentation et de montée du front
Lorsque le lit est uidisé sur une hauteur importante, si on coupe brusquement la vanne
d'arrivée, on observe la descente du front supérieur par sédimentation et la montée d'un front
inférieur. Cette sédimentation a été lmée grace à une caméra et le lm obtenu utilisé pour
tracer un diagramme spatio-temporel de la sédimentation qui permet de mesurer les vitesses des
deux fronts. On peut visualiser ces deux fronts sur la gure 5. En pratique, l'échelle temps est
6
VITESSE DE SÉDIMENTATION ET DE MONTÉE DU FRONT
5
déterminée par la vitesse de la caméra (25images.s−1 soit 25px.s−1 sur le diagramme spatiotemporel) et l'échelle de distance en connaissant le diamètre réel et en pixels d'une règle placée
à coté du tube (284 pixels pour 10cm soit 28, 4px.cm−1 ). On a alors directement la vitesse en
cm.s−1 avec la formule :
25
∆y px
v[cm.s−1 ] =
∗
∆y px 28, 4
Numériquement on trouve une vitesse de 1, 21cm.s−1 pour le front descendant et de 0, 36cm.s−1
pour le front montant (gure 4). Avec la formule utilisée au 4 on trouve une vitesse de sédimentation pour une particule de :
Used =
2 dp 2 (ρp − ρf )g
( )
= 8, 34cm.s−1
9 2
η
On a donc Used > Vf ront , ce qui peut se comprendre aisement car la formule précédente est
valable pour une particule seule or les particules dans le lit ne sont pas isolée et subissent des
chocs entre elles.
Fig.
4 Etalon de longueur
On remarque que la conservation du nombre de bille dans le lit (gure 6) impose dn1 +dn2 = 0
ce qui revient à la conservation du volume occupé par l'ensemble des particules.
Soit si on considère que la fraction volumique de particules dans la partie uidisée est
constante sur toute la hauteur de la partie uidisée :
vfront descendant dtφuidisé S = vfront montant dt(φcompact − φuidisé )S
⇒ vfront descendant φuidisé = vfront montant (φcompact − φuidisé )
vfront descendant
(φcompact − φuidisé )
⇒
=
vfront montant
φuidisé
Pour une hauteur de uidisation de 18 cm on a :
vfront descendant
≈ 3, 36
vfront montant
(φcompact − φuidisé )
≈ 1, 12
φuidisé
Ce qui tendrait à dire que la fraction volumique n'est pas constante sur la hauteur de la partie
uidisée.
On peut vérier de plus que la vitesse du front descendant décroit lorsque h décroit (donc
lorsque φ augmente). Pour cela on a eectué l'expérience précédante avec diérentes hauteurs h
(gure 7 de gauche à droite 8,5cm-11,5cm-13,2cm-15,7cm-17,9cm). Lorsque φ augmente la vitesse
réelle de sédimentation diminue, car les chocs sont entre particules sont plus importants. On voit
sur la gure 8 que la variation de cette vitesse avec la hauteur initiale du lit uidisé est à peu
près linéaire. On remarque également que le temps de sédimentation semble presque constant
pour toutes les hauteurs testées (≈ 14, 5s)
6
VITESSE DE SÉDIMENTATION ET DE MONTÉE DU FRONT
Fig.
5 Diagramme spatio-temporel de la sédimentation pour h=18cm
Fig.
6 conservation du nombre de particules
6
6
VITESSE DE SÉDIMENTATION ET DE MONTÉE DU FRONT
Fig.
Fig.
7 variation de la hauteur de sédimentation
8 variation de la vitesse réelle de sédimentation avec la hauteur
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RÉFÉRENCES
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Références
[E.G01] L.Petit E.Guyon, J.P.Hulin.
2001.
Hydrodynamique physique.
EDP Sciences/CNRS Edition,