La parabole

Mathématiques appliquées à la construction - Cours 8
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LA PARABOLE - FONCTION QUADRATIQUE
La parabole écrite sous deux formes
Forme générale : f (x) = ax2 + bx + c
Forme canonique : f (x) = a(x − h)2 + k
Les paramètres de la forme canonique
a:
h:
k:
Passage de la forme canonique à la forme générale
Stratégie : Développer le polynôme.
Exemple 1 : Écrire la fonction f (x) = 2(x − 2)2 + 5 sous la forme f (x) = ax2 + bx + c.
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Passage de la forme générale à la forme canonique
Stratégie : Utiliser la méthode de complétion du carré.
Étape 1 : Mise en évidence du a (coefficient du x2 ) : a(x2 + px + q);
p 2
Étape 2 : Ajouter et soustraire la constante
pour obtenir un trinôme carré parfait;
2
Étape 3 : Réorganiser les termes pour obtenir une forme canonique.
Exemple 2 : Écrire la fonction f (x) = 2x2 + 4x − 1 sous la forme canonique.
Caractéristiques de la parabole
• Domaine :
• Orientation : (a)
(a)
(b)
(b)
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• Sommet :
Forme Canonique :
Forme générale :
• Ordonnée à l’origine :
• Abscisse à l’origine (zéro, racine) :
Formule quadratique :
• b2 − 4ac > 0 :
• b2 − 4ac = 0 :
• b2 − 4ac < 0 :
Exemple 3 : Résoudre l’équation 2x2 − 2x − 4 = 0 par factorisation
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Exemple 4 : Résoudre l’équation 4x2 + 4x − 3 = 0 avec la formule quadratique
Exemple 5 : Résoudre l’équation 4x2 − 4x + 1 = 0 avec la formule quadratique
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Exemple 6 : Résoudre l’équation −2x2 − x − 2 = 0 avec la formule quadratique
• Axe de symétrie :
• Sommet minimum :
• Sommet maximum :
• Image a > 0 :
Forme Canonique :
Forme générale :
• Image a < 0 :
Forme Canonique :
Forme générale :
• Croissance et décroissance :
a>0:
a<0:
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EXERCICES
Question 1 : Trouver les zéros de chacune des fonctions ci-dessous avec la
factorisation.
a) f (x) = x2 + 7x + 12
c) f (x) = 3x2 + 5x
b) f (x) = 9 − 4x2
d) f (x) = −x2 − 100
Question 2 : Trouver les zéros de chacune des fonctions ci-dessous avec la formule
quadratique.
a) f (x) = −3x2 + 2x − 6
c) f (x) = x2 + 11
b) f (x) = 6x2 − 17x + 12
d) f (x) = 9x2 − 6x + 1
Question 3 : Trouver l’équation de l’axe de symétrie de la parabole représentant
chacune des fonctions suivantes.
a) f (x) = 2x2 + 5x − 3
c) f (x) = 5x2 + 8
b) f (x) = −x2 − 2x
d) f (x) = 4(x − 1)2
Question 4 : Trouver les coordonnées du sommet de la parabole représentant les
fonctions ci-dessous et déterminer l’image de la fonction.
a) f (x) = 2x2 − x + 3
c) f (x) = −5x2 − 2x
b) f (x) = 4x2
d) f (x) = −x2 + x + 1
Question 5 : Trouver les intervalles de croissance et de décroissance de chacune des
fonctions suivantes.
a) f (x) = x2 + 3x − 10
c) f (x) = 6(x − 2)2
b) f (x) = −2x2 − x + 7
d) f (x) = 3x2 − 5
Question 6 : Exprimer chacune des fonctions ci-dessous sous la forme générale.
a) f (x) = (x + 4)2
c) f (x) = (x − 2)2 − 3
b) f (x) = (x − 1)2 − 5
d) f (x) = 2(x + 1)2 + 4
Question 7 : Exprimer chacune des fonctions ci-dessous sous la forme canonique et
donner les coordonnées du sommet de la parabole.
a) f (x) = x2 + 4x − 1
c) f (x) = −5x2 + 10x − 7
b) f (x) = 3x2 + 15x + 6
d) f (x) = 2x2 + 7x
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Question 8 : Trouver la règle de correspondance des fonctions quadratiques qui
possèdent les caractéristiques suivantes.
a) a = −2 et le seul zéro est −5;
b) Les zéros sont 2 et −3 et la parabole passe par le point (1, −8);
c) Un des zéros est −1 et le sommet de la parabole est le point (2, −27);
d) Les points d’intersection avec les axes sont (0, 42), (2, 0) et (7, 0);
e) Le sommet de la parabole est situé au point (4, 7) et f (−5) = 0.
Question 9 : Un ouvrier travaillant sur le toit d’un édifice fait malencontreusement
glisser son marteau qu’il avait déposé à ses côtés. La distance verticale (en mètres)
parcourue par le marteau est donnée, t secondes après le début de la chute, par la
fonction d(t) = 5t2 + 3t.
a) Si le marteau touche le sol après 2 secondes, quelle est la hauteur de l’édifice?
b) Combien de temps le marteau mettra-t-il pour parcourir 2, 75m?
Question 10 : Un congélateur défectueux n’arrive pas à maintenir la température
constante. On y place un pot d’eau dont on mesure la température à intervalles
réguliers. On constate que la température de l’eau ou de la glace (en degrés Celsius)
est donnée, t heures après que le récipient ait été déposé au congélateur, par la
fonction f (t) = 2t2 − 14t + 20, où t ∈ [0, 6].
a) Quelle est la température de l’eau au moment où on place le récipient au
congélateur?
b) Combien de temps l’eau met-elle à se transformer en glace?
c) Après combien de temps la glace commence-t-elle à fondre?
d) Quelle est la température minimale atteinte par la glace? Combien de temps
après que le pot d’eau ait été placé au congélateur la glace atteint-elle cette
température minimale?
Question 11 : Le propriétaire de la boutique Les 100 culottes estime que son profit
mensuel P sur la vente d’une certaine marque de jeans varie en fonction du prix de
vente x (en dollars), selon la fonction P (x) = −x2 + 65x − 1000.
a) Quel doit être le prix minimum s’il ne veut pas subir de pertes?
b) Quel prix maximum peut-il demander sans que ses profits soient nuls?
c) Quel est le prix de vente le plus favorable au marchand? Quel sera alors son
profit mensuel?
d) Quelle serait la perte mensuelle du marchand s’il décidait, dans un moment de
folie, de donner ses jeans?
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Question 12 : Le musée Bozart exposait du 1er janvier au 1er mai les oeuvres du
célèbre peintre Adé Syné. Pendant toute la durée de l’exposition, on a constaté
qu’une fonction quadratique N(m) = am2 + bm + c, où m représente le nombre de
mois écoulés depuis l’ouverture, pouvait décrire le nombre N de visiteurs.
a) Trouver la règle de correspondance de cette fonction, sachant que le jour de
l’ouverture, 750 invités spéciaux ont pu admirer les oeuvres de Syné. De plus,
c’est le 1er février qu’on a enregistré le plus grand nombre de visiteurs, soit 800.
b) Calculer le nombre de visiteurs le dernier jour de l’exposition.
Question 13 : Le profit mensuel p(n) réalisé par un fabriquant de jouets sur la vente
de n poupées Poil de carotte est donné (en dollars) par une fonction quadratique. Il
doit vendre au moins 200 poupées par mois pour que son entreprise réalise un profit.
Le profit maximal atteint 2400$ lorsqu’il vend 300 poupées. Au-delà de ce nombre,
son profit diminue, car il engage des dépenses supplémentaires (heures
supplémentaires à salaire majoré pour les employés, chauffage et électricité sur une
plus longue période, etc.).
a) Utiliser la symétrie de la parabole pour trouver le nombre maximal de poupées
qu’il peut vendre avant que ses profits tombent à zéro.
b) Trouver la règle de correspondance de la fonction.
Question 14 : Une nouvelle compagnie de téléphone a recruté des clients après une
campagne publicitaire. À partir de ce moment, on a calculé que le nombre de clients
variait selon une fonction quadratique, en fonction du nombre de mois écoulés depuis
la campagne publicitaire. Le nombre de clients a atteint un maximum de 735 après
trois mois. Toutefois, déçus par les services reçus, les clients retournent
progressivement à leur ancienne compagnie. On prévoit que, si la tendance se
maintient, il ne restera plus aucun abonné dix mois après l’ouverture.
a) Trouver la règle de correspondance de la fonction.
b) Dans cette situation, quel est le domaine de la fonction?
c) Quel était le nombre d’abonnés quatre mois après l’ouverture?
d) Combien de mois se sont-ils écoulés depuis l’ouverture s’il ne reste que 360
clients?
e) Combien y avait-il de clients à l’ouverture de la compagnie?
Question 15 : Un marchand peut augmenter ses profits en haussant ses prix, mais il
court le risque de faire fuir les clients si les prix sont trop élevés. Le propriétaire d’une
boutique de chaussures a constaté que son profit mensuel sur la vente d’une certaine
marque d’espadrilles varie selon une fonction quadratique, en fonction du prix de vente
d’une paire d’espadrilles. Chaque paire lui coûte 30$ et ses clients ne les achètent pas
si le prix atteint 60$. Il a calculé que son profit maximal possible est de 450$ par mois.
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a) Dans cette situation, quel est le domaine de la fonction?
b) Trouver la règle de correspondance de la fonction qui décrit cette situation.
c) Quel est le profit mensuel du marchand s’il vend les espadrilles 55$ la paire?
d) Au mois de juillet, son profit a été de 400$. Quel était le prix de vente des
espadrilles?
e) Quel est le prix de vente le plus avantageux pour le marchand?
Question 16 : Dans un mur de 2,5m de hauteur sur 4m de largeur, on pratique deux
ouvertures carrées de x mètres de côté afin d’y poser des fenêtres.
a) Donner la règle de correspondance de la fonction qui exprime l’aire de la partie
pleine du mur en fonction du côté d’un carré.
b) Si chaque ouverture mesure 1,5m de côté, quelle est l’aire de la partie pleine du
mur?
c) Quelle devrait être la mesure du côté de chaque carré pour que l’aire de la partie
pleine du mur soit égale à l’aire totale des deux ouvertures?
SOLUTIONS
1a) x1 = −3 et x2 = −4
1b) x1 = −
3
3
et x2 =
2
2
1c) x1 = −
5
et x2 = 0
3
1d) La fonction n’a pas de zéro
2a) La fonction n’a pas de zéro
2b) x1 =
3
4
et x2 =
3
2
2c) La fonction n’a pas de zéro
2d) x1 = x2 =
3a) x = −
5
4
3b) x = −1
3c) x = 0
3d) x = 1
1
3
1 23
;
4a) S =
4 8
23
Ima(f ) =
; +∞
8
4b) S = (0; 0)
Ima(f ) = [0; +∞[
1 1
4c) S = − ;
5 5
1
Ima(f ) = −∞;
5
1 5
;
4d) S =
2 4
5
Ima(f ) = −∞;
4
3
5a) ց : −∞; −
2
3
ր : − , +∞
2
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1
5b) ր : −∞; −
4
1
ց : − , +∞
4
5c) ց : ]−∞; 2]
ր : [2, +∞[
5d) ց : ]−∞; 0]
ր : [0, +∞[
9b) 0,5 secondes
10a) 20◦ C
10b) 2 heures
10c) 5 heures
10d) −4, 5◦ C après 3,5 heures
11a) 25$
11b) 39, 99$
2
6a) f (x) = x + 8x + 16
6b) f (x) = x2 − 2x − 4
6c) f (x) = x2 − 4x + 1
2
6d) f (x) = 2x + 4x + 6
7a) f (x) = (x + 2)2 − 5
S = (−2; −5)
2
51
5
−
7b) f (x) = 3 x +
2
4
5 51
S = − ;−
2
4
11c) 32, 50$; 56, 25$
11d) 1000$
12a) f (m) = −50m2 + 100m + 750
12b) 350 visiteurs
13a) 399 poupées
13b) p(n) = −
14a) f (x) = −15x2 + 90x + 600
14b) [0, 10]
7c) f (x) = −5(x − 1)2 − 2
14c) 720
S = (1; −2)
2
7
49
7d) f (x) = 2 x +
−
4
8
7 49
S = − ;−
4
8
14d) 8
8a) f (x) = −2x2 − 20x − 50
8b) f (x) = 2x2 + 2x + 12
2
8c) f (x) = 3x − 12x − 15
2
8d) f (x) = 3x − 27x + 42
8e) f (x) = −
9a) 26 m
455
7 2 56
x + x+
81
81
81
6
(n − 300)2 + 2400
25
14e) 600 clients
15a) [30, 60]
15b) f (x) = −2x2 + 180x − 3600
15c) 250$
15d) 40$ ou 50$
15e) 250$
16a) A(x) = 10 − 2x2
16b) 5, 5 m2
16c) environ
√
5m