RAYONNEMENT THERMIQUE DU CORPS NOIR

RAYONNEMENT THERMIQUE DU CORPS NOIR
PARTIE THEORIQUE
1 - Définitions
Considérons un corps porté à une température T. Ce corps émet de l'énergie par sa surface sous
forme de rayonnement thermique, c’est-à-dire sous forme d'ondes électromagnétiques ; cette
énergie est émise suivant toutes les longueurs d'onde et toutes les directions. Si ce corps n'est pas
seul dans l'espace, il reçoit également de l'énergie sous forme de rayonnement de la part des autres
corps.
Pour l’étude du rayonnement, on est amené à définir plusieurs grandeurs photométriques
énergétiques fondamentales. Ces grandeurs peuvent être:
• monochromatique ( pour les longueurs d'onde comprises entre λ et λ+dλ) ou totale ( par
intégration sur toutes les longueurs d'onde). Notation par un indice λ.
• directionnelle ( dépendant de la direction d'émission) ou hémisphérique (par intégration sur
le 1/2 espace supérieur). Notation par un indice θ.
• Dans le cas d'une source étendue, la luminance L est le flux émis par unité de surface
apparente, par unité d'angle solide et par unité de longueur d'onde. C'est une grandeur
directionnelle. Elle peut être monochromatique ou totale.
θ’
dS’
r
θ
A
dS
Si l'on considère un élément de surface dS émettant vers un élément de surface dS', on aura :
dΦ
- luminance monochromatique
L λ ,θ =
unité W m-2 Sr-1 m-1
dΩ dS cos θ dλ
dΦ
- luminance totale
Lθ =
unité W m-2 Sr-1
dΩ dS cos θ
'
'
dS cos θ
dΩ =
est l'angle solide sous lequel on voit, de A, la surface dS' et θ l'angle entre la
r2
normale à dS et la droite joignant les deux surfaces.
• Toujours dans le cas d'une source étendue, l'émittance M est le flux émis par unité de surface
dans tout le demi-espace supérieur. C'est une grandeur hémisphérique.
dΦ
- émittance monochromatique
Mλ =
unité W m-2 m-1
dS dλ
dΦ
- émittance totale
M=
unité W m-2
dS
• Le flux arrivant sur un corps peut être réfléchi, absorbé ou transmis par celui-ci, définissant les
trois coefficients suivants :
- coefficient de réflexion ρ
ρ = flux réfléchi / flux incident
- coefficient d'absorption α
α = flux absorbé / flux incident
- coefficient de transmission τ
τ = flux transmis / flux incident
La conservation de l'énergie se traduit par ρ + α + τ = 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Corps noir - 1
Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble
Ces coefficients peuvent dépendre de la longueur d'onde λ et de la direction du rayonnement
incident.
2 - Loi de Lambert
On dit qu'une source vérifie la loi de Lambert (ou qu'elle est à émission diffuse) si sa luminance
ne dépend pas de la direction d'émission. La plupart des corps émissifs vérifient cette propriété. Ce
sera le cas considéré en T.P. On peut ainsi s'affranchir de l'utilisation de coefficients directionnels.
On obtient alors une relation simple entre la luminance et l'émittance (par intégration sur la
direction)
Mλ = π Lλ
ou
M=π L
3 - Le corps noir
Le corps noir est un corps émissif idéal pour lequel α λ = 1 quelque soit λ.
C'est donc l'absorbeur parfait. Si le corps noir est à une température d'équilibre T, la puissance
qu'il absorbe est égale à la puissance qu'il émet. Le corps noir est donc également un émetteur
parfait, c’est-à-dire qu’il réémet toute la puissance qu’il reçoit. Attention : les longueurs d’onde du
rayonnement reçu et du rayonnement émis ne sont pas forcément les mêmes ; un corps éclairé par le
soleil (donc dans le visible) réémet à température ambiante (donc dans l’infrarouge).
Il s'agit d'un corps purement fictif permettant d'obtenir les lois de base du rayonnement
thermique. En thermodynamique classique, l'équivalent est le gaz parfait que l'on étudie en premier
lieu avant d'étudier les gaz réels.
a - Loi de Planck - Luminance spectrale du corps noir
Soit un corps noir à la température T. On peut calculer la densité d'énergie du rayonnement (dit
rayonnement noir) de ce corps. Le calcul fait appel à la mécanique quantique, le champ
électromagnétique dans la cavité limitée du corps noir étant équivalent à un ensemble d'oscillateurs
harmoniques indépendants en équilibre thermodynamique à la température T et obéissant à la
statistique de Boltzmann.
On montre que la luminance L0λ ( T ) du corps noir est égale à la densité d'énergie du
4π
rayonnement multipliée par
. (L’exposant 0 de L signifie corps noir).
c
On en déduit la luminance spectrale du corps noir
C
1
L0λ ( T ) = 51
C2
λ
e λT − 1
C1 et C 2 sont des constantes qui valent respectivement C1 = 2 h c2 = 1,191 10-16 W m 2 et
C2 = h c / k = 1,4388 10-2 m K
La figure suivante montre le tracé de L0λ ( T ) pour différentes valeurs de T.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Corps noir - 2
Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble
3,5 10
13
(1)
13
2,5 10
(1) 6000 K
(2) 5000 K
(3) 4000 K
(4) 3000 K
13
-2
-1
Luminance (Wm m )
3 10
13
2 10
1,5 10
13
(2)
13
1 10
(3)
12
5 10
(4)
0
0
0,5
1
1,5
2
longueur d'onde λ (µm)
Un corps noir vérifiant par définition la loi de Lambert, son émittance monochromatique (ou
spectrale) vaut M 0λ ( T ) = π L 0λ ( T ) .
b - Loi de Stefan - Emittance totale du corps noir
Le calcul donne, après intégration sur λ, l'émittance totale, c'est-à-dire la puissance totale
rayonnée dans le demi espace supérieur par unité de surface du corps noir
2 π5 k 4
M0 = σ T 4
avec σ =
15c 2-8h 3
C'est la loi de Stefan où σ est la constante de Stefan : σ =5,67 10 W m-2 K-4.
Par exemple, le soleil peut être assimilé à un corps noir de température 5800K et d'émittance
6 107 W m-2.
• Si l’on désire connaître le flux rayonné entre 2 longueurs d’onde ( dans le visible par exemple),
λ2
on doit calculer la quantité
∫ M 0λ ( T ) dλ .
Afin d’avoir une fonction utilisable quelque soit la
λ1
température T, on calcule plutôt la fonction f(λT) définie par
λ
f ( λT ) =
∫ M 0λ ( T ) dλ
0
∞
∫
M 0λ ( T ) dλ
λ
=
∫ M 0λ ( T ) dλ
0
σ T4
0
Cette fonction est normalisée (elle varie de 0 à 1) et la valeur de f(λT) représente donc le
porcentage de puissance émise dans le demi-espace supérieur entre 0 et λ. Cette fonction est tabulée
(voir plus loin).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Corps noir - 3
Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble
c - Formule de Wien
L'émittance spectrale présente un maximum pour une valeur λ m qui obéit simplement à la loi de
Wien
λ m T= constante = 2898 µm K
Cette loi est fondamentale pour comprendre un certain nombre de phénomènes faisant appel au
rayonnement comme, par exemple, l'effet de serre.
4 -Corps réels
On étudie les corps réels en les comparant au corps noir de même température.
• On définit l’émissivité spectrale ελ comme le rapport de la luminance du corps considéré à la
luminance du corps noir ayant la même température
L λ (T)
ελ = 0
L λ (T)
L'émissivité est toujours inférieure à 1.
L'émissivité totale est définie de même par ε =
∞
∫ ε λ dλ
0
• L’approximation la plus simple (mais aussi la plus grossière) est de considérer que l’émissivité
est indépendante de la longueur d'onde et de la direction d’émission. On dit alors que le corps
considéré est un corps gris à émission diffuse.
Les propriétés énergétiques (luminance, émittance) d'un corps réel se déduiront simplement de
celles du corps noir ayant la même température par simple multiplication par l'émissivité.
• Pour ce qui est du rayonnement, on doit toujours considérer un corps comme étant à la fois
émetteur ( du fait qu'il est à une température T différente de 0 ) et récepteur ( vis-à-vis du
rayonnement émis par les autres corps ). La loi de Kirchhoff montre que
α λ ,θ , T = ε λ ,θ ,T
Cette relation se simplifie dans le cas de corps gris à émission diffuse pour lesquels on a α = ε
quelque soit la longueur d’onde.
• Les propriétés d'un corps réel, assimilé à un corps gris à émission diffuse, seront donc définies
par son émissivité ε et son coefficient de réflexion ρ s'il s'agit d'un corps opaque avec
α = ε et α + ρ = 1
PARTIE EXPERIMENTALE
Dans ce TP, on se propose de vérifier la loi de Stefan, c’est-à-dire de vérifier que la puissance
rayonnée par un corps varie bien comme la puissance quatrième de la température de ce corps. Le
corps émissif est constitué par le filament de tungstène d'une ampoule électrique (lampe à
incandescence).
On considérera que le filament de l’ampoule est un corps gris à émission diffuse. On n’aura donc
besoin que de connaître son émissivité ε et ses propriétés énergétiques (luminance et émittance)
seront simplement celles d’un corps noir multipliées par ε.
Il faudra mesurer la puissance consommée par la lampe ainsi que la résistance du filament. En
fonction du matériel disponible, indiquer le montage expérimental utilisé ainsi que les grandeurs
mesurées.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Corps noir - 4
Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble
1 - Bilan thermique de l’ampoule
Avant de commencer les mesures, il faut établir le bilan thermique de l'ampoule et réfléchir à la
façon de déterminer les différents coefficients. Ceci conditionne le bon déroulement du TP.
• On admet que, à l'équilibre thermique, le filament reçoit en plus de la puissance électrique P e ,
une puissance εSσTa 4 rayonnée par le milieu extérieur de température Ta . Le filament perd de la
puissance d’une part par rayonnement, d’autre part par convection avec l’extérieur via le gaz
contenu dans l’ampoule et le verre de l’ampoule. On suppose que la puissance perdue par
convection Pconv peut se mettre sous la forme Pconv = K (T - Ta ), K étant une constante ne dépendant
que des caractéristiques de la lampe.
Etablir la formule donnant le bilan thermique de l'ampoule.
• Lorsque T est peu différente de Ta , comment peut-on simplifier l’équation ? Comment
déterminer le coefficient K de convection?
• Lorsque T est très grande devant Ta , comment peut-on simplifier l’équation ? Quel type de
courbe devrez-vous tracer pour vérifier la loi de Stefan ? Et sur quel type de papier ?
2 -Mesure de la température du filament
On peut mesurer la température T du filament à l'aide de 2 techniques
2-a) En mesurant la résistance du filament
Soit R(T) la résistance électrique du filament pour la température T. On peut déterminer la
température T du filament en utilisant la variation du rapport R(T) / R(T0) avec la température T.
Voir le tableau des propriétés du tungstène. On notera TR la température déduite de ce type de
mesure.
2-b) En utilisant un pyromètre optique à disparition de filament
2-b-l) Principe du pyromètre optique
Le pyromètre optique à disparition de filament est un appareil portatif permettant la mesure de la
température d'un corps par l'intermédiaire du rayonnement qu'il émet et dont on observe, au travers
d'un filtre, une longueur d'onde dans le visible (ici λ = 0,65 µm donc dans le rouge). On compare ce
rayonnement à celui émis par un filament interne calibré dont on ajuste la luminance jusqu'à obtenir
son égalité avec celle du rayonnement extérieur. Le pyromètre a été étalonné pour donner la
température d'un corps noir de luminance identique à celle du filament de référence interne. Pour
plus de détails sur son fonctionnement et sa manipulation, on consultera la notice du matériel
disponible dans le cahier (Meci, PM-120 (deux échelles), PM-130 (trois échelles) ).
2-b-2) Relation entre la température Tlue affichée par le pyromètre et la température vraie Tvraie
Si le corps dont on veut mesurer la température Tvraie n'est pas un corps noir, sa luminance
Lλ ( Tvraie ) = ε λ L0λ ( Tvraie ) est inférieure à celle du corps noir pour cette température. Ainsi,
quand on vise un corps d'émissivité ε < l, lorsque l'égalité des luminances est obtenue, la
température vraie Tvraie du corps non noir est supérieure à la température Tlue lue sur le pyromètre
optique puisque celui-ci est calibré pour un corps noir et que son filament à une luminance
L0λ ( Tlue ) .
Montrer que l'on a la relation suivante entre Tlue, Tvraie et ελ, émissivité à la longueur d'onde λ
λk
1
1
=
+
ln ( ε λ )
T vraie
Tlue
hc
1
1
Le pyromètre utilisé travaille à λ = 0,65 µm. On a donc
=
+ 4 ,52 10 −5 ln ( ε λ ) .
Tvraie
Tlue
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Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble
On utilisera cette expression par la suite pour obtenir la température vraie du filament.
A titre d'exemple, l'écart entre Tlue et Tvraie est d’environ 100 K à 1500 K et atteint environ 400 K
à 3000 K.
3 - Mesures
• Mesurer à l'ohmmètre la résistance R(T0) du filament à température ambiante avant toute
mesure de puissance. On prendra T0 = 300 K par la suite.
• Pour différentes valeurs de la tension d’alimentation ( de 0 à Vmax ), mesurer la puissance
consommée par l’ampoule et la température TR du filament déduite de la valeur de sa résistance.
Dès que la température est assez élevée, mesurer également la température Tpyr du filament à l’aide
du pyromètre.
• Regrouper l’ensemble des mesures dans un tableau en n’oubliant pas d’effectuer la correction
nécessaire sur Tpyr.
• Pour la suite, on choisit T R comme étant la bonne valeur de la température du filament..
Tracer la courbe voulue et en déduire la valeur du coefficient K.
Quelle valeur obtient-on pour l’exposant de la loi de Stefan ? Conclusions.
• Estimez les rapports Pconv /Pe et Pray/Pe à puissance nominale.
• De même, estimer le pourcentage de puissance émise dans le visible ( 0,4 µm < λ < 0,8 µm ) en
utilisant le tableau 2. Conclusions.
• Tracer la courbe donnant la température du filament déduite de Tpyr après correction en
fonction de TR déduite de la mesure de la résistance du filament. Conclusions.
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Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble
Propriétés du tungstène
T(K)
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3655
ρ(T) / ρ(300)
1,0000
1,4265
1,8690
2,3416
2,8478
3,3628
3,8832
4,4124
4,9451
5,4832
6,0319
6,5823
7,1434
7,7106
8,2796
8,8584
9,4425
10,030
10,630
11,235
11,842
12,458
13,081
13,715
14,343
14,991
15,634
16,290
16,949
17,618
18,283
18,973
19,664
20,354
20,726
ε à λ = 0,65 µm
0,458
0,456
0,454
0,452
0,450
0,448
0,446
0,444
0,442
0,440
0,438
0,436
0,434
0,432
0,430
0,428
0,426
0,424
0,422
0,420
0,418
0,416
0,414
0,412
0,410
0,408
0,406
ε totale
0,032
0,042
0,053
0,064
0,076
0,088
0,101
0,114
0,128
0,143
0,158
0,175
0,192
0,207
0,222
0,236
0,249
0,260
0,270
0,279
0,288
0,296
0,303
0,311
0,318
0,323
0,329
0,334
0,337
0,341
0,344
0,348
0,351
0,354
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Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble
f ( λT ) =
∫ 0λ M λ0 dλ
∫ 0λ M λ0 dλ
=
∫ 0∞M λ0 dλ
σT 4
( λT en µm K )
λT
0
20
40
60
80
λT
0
20
40
60
80
500
600
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
4700
4800
0,5937
0,6075
0,5965
0,6102
0,599,
0,6129
0,6020
0,6156
0,6048
0,6182
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
4600
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0009
0,0021
0,0043
0,0078
0,0128
0,0197
0,0285
0,0393
0,0521
0,0667
0,0830
0,1009
0,1200
0,1402
0,1613
0,1831
0,2053
0,2279
0,2506
0,2732
0,2958
0,3181
0,3401
0,3617
0,3829
0,4036
0,4238
0,4434
0,4624
0,4809
0,4987
0,5160
0,5327
0,5488
0,5643
0,5793
0,0000
0,0000
0,0001
0,0004
0,0010
0,0024
0,0049
0,0086
0,0140
0,0213
0,0305
0,0471
0,0549
0,0698
0,0865
0,1045
0,1240
,01444
0,1656
0,1875
0,2098
0,2324
0,2551
0,2778
0,3003
0,3225
0,3445
0,3660
0,3871
0,4077
0,4277
0,4472
0,4661
0,4845
0,5022
0,5194
0,5359
0,5519
0,5673
0,5822
0,0000
0,0000
0,0001
0,0004
0,0013
0,0028
0,0055
0,0096
0,0153
0,0230
0,0326
0,0442
0,0577
0,0730
0,0900
0,1084
0,1280
0,1486
0,1700
0,1920
0,2143
0,2369
0,2596
0,2823
0,3047
0,3269
0,3488
0,3703
0,3912
0,4117
0,4317
0,4511
0,4699
0,4881
0,5057
0,5227
0,5392
0,5551
0,5703
0,5851
0,0000
0,0000
0,0001
0,0005
0,0015
0,0033
0,0062
0,0106
0,0167
0,0247
0,0347
0,0467
0,0606
0,0763
0,0936
0,1122
0,1320
0,1528
0,1743
0,1964
0,2188
0,2415
0,2642
0,2868
0,3092
0,3313
0,3531
0,3745
0,3954
0,4153
0,4356
0,4549
0,4736
0,4917
0,5092
0,5261
0,5424
0,5582
0,5733
0,5880
0,0000
0,0000
0,0002
0,0007
0,0018
0,0037
0,0069
0,0117
0,0182
0,0266
0,0370
0,0494
0,0636
0,0796
0,0972
0,1191
0,1361
0,1571
0,1787
0,2009
0,2234
0,2460
0,2687
0,2913
0,3137
0,3357
0,3574
0,3787
0,3995
0,4198
0,4395
0,4585
0,4772
0,4952
0,5126
0,5294
0,5456
0,5612
0,5763
0,5908
4900
5000
5100
5200
5300
5400
5500
5600
5700
5800
5900
6000
6100
6200
6300
6400
6500
6600
6700
6800
6900
7000
7100
7200
7300
7400
7500
7600
7700
7800
7900
8000
8100
8200
8300
8400
8500
8600
8700
8800
0,6209
0,6337
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0,8865
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Corps noir - 8
Plate-forme TTE – C.E.S.I.R.E. – Université Joseph Fourier - Grenoble