Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d`une

Partie 2 - Séquence 1
Développement en série de Fourier
d’une fonction périodique
Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
I. Coefficients de Fourier d’une fonction
2π-périodique
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
I. Coefficients de Fourier d’une fonction
2π-périodique
1. Coefficients réels
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
I. Coefficients de Fourier d’une fonction
2π-périodique
1. Coefficients réels
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux. On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
I. Coefficients de Fourier d’une fonction
2π-périodique
1. Coefficients réels
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux. On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
1
a0 =
2π
Zπ
f(x)dx
−π
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
I. Coefficients de Fourier d’une fonction
2π-périodique
1. Coefficients réels
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux. On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
1
a0 =
2π
Zπ
f(x)dx
−π
et pour n ∈ N∗ :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
I. Coefficients de Fourier d’une fonction
2π-périodique
1. Coefficients réels
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux. On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
1
a0 =
2π
Zπ
f(x)dx
−π
et pour n ∈ N∗ :
an =
1
π
Zπ
f(x) cos(nx)dx
−π
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
I. Coefficients de Fourier d’une fonction
2π-périodique
1. Coefficients réels
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux. On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
1
a0 =
2π
Zπ
f(x)dx
et
bn =
−π
et pour n ∈ N∗ :
an =
1
π
Zπ
−π
f(x) cos(nx)dx
1
π
Zπ
f(x) sin(nx)dx
−π
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Remarque
a0 est la valeur moyenne de f sur l’intervalle ] − π; π], soit sur
une période.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Remarque
a0 est la valeur moyenne de f sur l’intervalle ] − π; π], soit sur
une période.
Au lieu d’intégrer sur l’intervalle ] − π; π], on peut intégrer sur
n’importe quel intervalle de longueur 2π, sur [0; 2π[ par
exemple.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Remarque
a0 est la valeur moyenne de f sur l’intervalle ] − π; π], soit sur
une période.
Au lieu d’intégrer sur l’intervalle ] − π; π], on peut intégrer sur
n’importe quel intervalle de longueur 2π, sur [0; 2π[ par
exemple.
Propriété
Si f est paire, alors bn = 0 pour tout n ∈ N∗ .
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Remarque
a0 est la valeur moyenne de f sur l’intervalle ] − π; π], soit sur
une période.
Au lieu d’intégrer sur l’intervalle ] − π; π], on peut intégrer sur
n’importe quel intervalle de longueur 2π, sur [0; 2π[ par
exemple.
Propriété
Si f est paire, alors bn = 0 pour tout n ∈ N∗ .
Si f est impaire, alors an = 0 pour tout n ∈ N.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
Voici la courbe représentative de f :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
Voici la courbe représentative de f :
y
2
1 •
−3
−2
−1
•
1
−1
2
3
4
5
6
7
x
•
−2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
f est impaire donc pour tout n ∈ N, an = 0.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
f est impaire donc pour tout n ∈ N, an = 0.
Soit n ∈ N∗ , calculons bn :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
f est impaire donc pour tout n ∈ N, an = 0.
Soit n ∈ N∗ , calculons bn :
#
"Z
Z 2π
1 π
bn =
− sin(nx)dx
sin(nx)dx +
π 0
π
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
f est impaire donc pour tout n ∈ N, an = 0.
Soit n ∈ N∗ , calculons bn :
#
"Z
Z 2π
1 π
bn =
− sin(nx)dx
sin(nx)dx +
π 0
π
iπ h 1
i2π 1 h 1
=
− cos(nx) +
cos(nx)
0
π
π
n
n
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
f est impaire donc pour tout n ∈ N, an = 0.
Soit n ∈ N∗ , calculons bn :
#
"Z
Z 2π
1 π
bn =
− sin(nx)dx
sin(nx)dx +
π 0
π
iπ h 1
i2π 1 h 1
=
− cos(nx) +
cos(nx)
0
π
π
n
n
1
1
1
1
1
− cos(nπ) + + cos(2nπ) − cos(nπ)
=
π
n
n n
n
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
f est impaire donc pour tout n ∈ N, an = 0.
Soit n ∈ N∗ , calculons bn :
#
"Z
Z 2π
1 π
bn =
− sin(nx)dx
sin(nx)dx +
π 0
π
iπ h 1
i2π 1 h 1
=
− cos(nx) +
cos(nx)
0
π
π
n
n
1
1
1
1
1
− cos(nπ) + + cos(2nπ) − cos(nπ)
=
π
n
n n
n
2
1 2
− cos(nπ)
=
π n n
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
f est impaire donc pour tout n ∈ N, an = 0.
Soit n ∈ N∗ , calculons bn :
#
"Z
Z 2π
1 π
bn =
− sin(nx)dx
sin(nx)dx +
π 0
π
iπ h 1
i2π 1 h 1
=
− cos(nx) +
cos(nx)
0
π
π
n
n
1
1
1
1
1
− cos(nπ) + + cos(2nπ) − cos(nπ)
=
π
n
n n
n
2
1 2
− cos(nπ)
=
π n n
2
(1 − cos(nπ))
=
nπ
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple (suite)
Calculons les coefficients de Fourier de f :
f est impaire donc pour tout n ∈ N, an = 0.
Soit n ∈ N∗ , calculons bn :
#
"Z
Z 2π
1 π
bn =
− sin(nx)dx
sin(nx)dx +
π 0
π
iπ h 1
i2π 1 h 1
=
− cos(nx) +
cos(nx)
0
π
π
n
n
1
1
1
1
1
− cos(nπ) + + cos(2nπ) − cos(nπ)
=
π
n
n n
n
2
1 2
− cos(nπ)
=
π n n
2
(1 − cos(nπ))
=
nπ
Et donc bn = 0 si n est pair et bn =
4
si n est impair.
nπ
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Coefficients complexes
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Coefficients complexes
Définition
Pour n ∈ Z, on appelle coefficients de Fourier complexes les
nombres :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Coefficients complexes
Définition
Pour n ∈ Z, on appelle coefficients de Fourier complexes les
nombres :
Z
1 2π
f(t)e−int dt
cn =
2π 0
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Coefficients complexes
Définition
Pour n ∈ Z, on appelle coefficients de Fourier complexes les
nombres :
Z
1 2π
f(t)e−int dt
cn =
2π 0
Propriété
On a alors les relations suivantes entre les coefficients cn , an et
bn :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Coefficients complexes
Définition
Pour n ∈ Z, on appelle coefficients de Fourier complexes les
nombres :
Z
1 2π
f(t)e−int dt
cn =
2π 0
Propriété
On a alors les relations suivantes entre les coefficients cn , an et
bn :
an − ibn
c0 = a0 et cn =
pour n ∈ N
2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
1 sur [0; π[
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =
−1 sur [π; 2π[
.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
1 sur [0; π[
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a alors :
.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
1 sur [0; π[
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a alors :
Z
1 2π
cn =
f(t)e−int dt
2π 0
.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
1 sur [0; π[
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a alors :
Z
1 2π
cn =
f(t)e−int dt
2π 0
Z π
Z 2π
1
−e−int dt
e−int dt +
=
2π 0
π
.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
1 sur [0; π[
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a alors :
Z
1 2π
cn =
f(t)e−int dt
2π 0
Z π
Z 2π
1
−e−int dt
e−int dt +
=
2π 0
π
1 −int iπ h 1 −int i2π
1 h
− e
=
e
+
0
π
2π
in
in
.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
1 sur [0; π[
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a alors :
Z
1 2π
cn =
f(t)e−int dt
2π 0
Z π
Z 2π
1
−e−int dt
e−int dt +
=
2π 0
π
1 −int iπ h 1 −int i2π
1 h
− e
=
e
+
0
π
2π
in
in
1
1
1
1
1
=
− e−inπ +
+ e−2inπ − e−inπ
2π
in
in in
in
.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
1 sur [0; π[
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a alors :
Z
1 2π
cn =
f(t)e−int dt
2π 0
Z π
Z 2π
1
−e−int dt
e−int dt +
=
2π 0
π
1 −int iπ h 1 −int i2π
1 h
− e
=
e
+
0
π
2π
in
in
1
1
1
1
1
=
− e−inπ +
+ e−2inπ − e−inπ
2π
in
in in
in
n
(−1)
1 1
−
=
π in
in
.
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
1 sur [0; π[
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a alors :
Z
1 2π
cn =
f(t)e−int dt
2π 0
Z π
Z 2π
1
−e−int dt
e−int dt +
=
2π 0
π
1 −int iπ h 1 −int i2π
1 h
− e
=
e
+
0
π
2π
in
in
1
1
1
1
1
=
− e−inπ +
+ e−2inπ − e−inπ
2π
in
in in
in
n
(−1)
1 1
−
=
π in
in
Donc cn = 0 pour n pair et cn =
.
2
pour n impair.
inπ
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
II. Développement en série de Fourier d’une
fonction 2π-périodique
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
II. Développement en série de Fourier d’une
fonction 2π-périodique
1. Avec les coefficients réels
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
II. Développement en série de Fourier d’une
fonction 2π-périodique
1. Avec les coefficients réels
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux, on appelle développement en série de Fourier de f la
série :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
II. Développement en série de Fourier d’une
fonction 2π-périodique
1. Avec les coefficients réels
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux, on appelle développement en série de Fourier de f la
série :
+∞
X
a0 +
(an cos(nx) + bn sin(nx))
n=1
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
II. Développement en série de Fourier d’une
fonction 2π-périodique
1. Avec les coefficients réels
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux, on appelle développement en série de Fourier de f la
série :
+∞
X
a0 +
(an cos(nx) + bn sin(nx))
n=1
Exercice
Donner le développement en série de Fourier de la fonction f
définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Solution
La série de Fourier de f est
S(x) =
4
4
4
sin(x) +
sin(3x) +
sin(5x) + . . .
π
3π
5π
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Solution
La série de Fourier de f est
S(x) =
4
4
4
sin(x) +
sin(3x) +
sin(5x) + . . .
π
3π
5π
Représentons graphiquement les premiers termes de la série de Fourier :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Solution
La série de Fourier de f est
S(x) =
4
4
4
sin(x) +
sin(3x) +
sin(5x) + . . .
π
3π
5π
Représentons graphiquement les premiers termes de la série de Fourier :
y
2
1
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7 x
−2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Solution
La série de Fourier de f est
S(x) =
4
4
4
sin(x) +
sin(3x) +
sin(5x) + . . .
π
3π
5π
Représentons graphiquement les premiers termes de la série de Fourier :
y
2
1
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7 x
1
2
3
4
5
6
7 x
−2
y
2
1
−1
−1
−2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Solution
La série de Fourier de f est
S(x) =
4
4
4
sin(x) +
sin(3x) +
sin(5x) + . . .
π
3π
5π
Représentons graphiquement les premiers termes de la série de Fourier :
y
2
y
2
1
1
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7 x
−2
y
2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7 x
−2
1
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7 x
−2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Solution
La série de Fourier de f est
S(x) =
4
4
4
sin(x) +
sin(3x) +
sin(5x) + . . .
π
3π
5π
Représentons graphiquement les premiers termes de la série de Fourier :
y
2
y
2
1
1
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7 x
−1
−1
−2
y
2
−2
y
2
1
1
−1
−1
−2
1
2
3
4
5
6
7 x
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7 x
1
2
3
4
5
6
7 x
−2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Solution (suite)
En allant jusqu’à b25 on obtient la représentation graphique
suivante :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Solution (suite)
En allant jusqu’à b25 on obtient la représentation graphique
suivante :
y
2
1
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
−1
−2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Avec les coefficients complexes
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Avec les coefficients complexes
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux, le développement en série de Fourier de f avec les
coefficients complexes s’écrit :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Avec les coefficients complexes
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux, le développement en série de Fourier de f avec les
coefficients complexes s’écrit :
+∞
X
cn eint
n=−∞
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
2. Avec les coefficients complexes
Définition
Soit f une fonction définie sur R, 2π-périodique et continue par
morceaux, le développement en série de Fourier de f avec les
coefficients complexes s’écrit :
+∞
X
cn eint
n=−∞
Exemple
Le développement en série de Fourier complexe de la fonction f
1 sur [0; π[
définie par f(x) =
est :
−1 sur [π; 2π[
+∞
X
2
ei(2p+1)t
i(2p
+
1)π
p=−∞
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
III. Cas des fonctions T -périodiques
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
III. Cas des fonctions T -périodiques
Définition
Soit f une fonction définie sur R, T -périodique et continue par morceaux.
On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
III. Cas des fonctions T -périodiques
Définition
Soit f une fonction définie sur R, T -périodique et continue par morceaux.
On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
a0 =
1
T
ZT
2
f(x)dx
− T2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
III. Cas des fonctions T -périodiques
Définition
Soit f une fonction définie sur R, T -périodique et continue par morceaux.
On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
a0 =
1
T
ZT
2
f(x)dx
− T2
et pour n ∈ N∗ :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
III. Cas des fonctions T -périodiques
Définition
Soit f une fonction définie sur R, T -périodique et continue par morceaux.
On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
a0 =
1
T
ZT
2
f(x)dx
− T2
et pour n ∈ N∗ :
2
an =
T
ZT
2
− T2
f(x) cos
2πnx
T
dx
2
bn =
T
ZT
2
− T2
f(x) sin
2πnx
T
dx
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
III. Cas des fonctions T -périodiques
Définition
Soit f une fonction définie sur R, T -périodique et continue par morceaux.
On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
a0 =
1
T
ZT
2
f(x)dx
− T2
et pour n ∈ N∗ :
2
an =
T
ZT
2
− T2
f(x) cos
2πnx
T
dx
2
bn =
T
ZT
2
− T2
f(x) sin
2πnx
T
dx
Et on appelle développement en série de Fourier de f la série :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
III. Cas des fonctions T -périodiques
Définition
Soit f une fonction définie sur R, T -périodique et continue par morceaux.
On appelle coefficients de Fourier de f les nombres :
a0 =
1
T
ZT
2
f(x)dx
− T2
et pour n ∈ N∗ :
2
an =
T
ZT
2
f(x) cos
− T2
2πnx
T
dx
2
bn =
T
ZT
2
f(x) sin
− T2
2πnx
T
dx
Et on appelle développement en série de Fourier de f la série :
a0 +
+∞
X
n=1
(an cos(
2πnx
2πnx
) + bn sin(
))
T
T
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
Soit f la fonction 2-périodique définie par
x si x ∈ [0; 1[
f(x) =
1 si x ∈ [1; 2[
Voici la représentation graphique de f :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Exemple
Soit f la fonction 2-périodique définie par
x si x ∈ [0; 1[
f(x) =
1 si x ∈ [1; 2[
Voici la représentation graphique de f :
y
2
1
−2
−1
1
2
3
4
x
−1
−2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de a0
a0 =
1
2
Z2
f(x)dx
0
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de a0
a0 =
=
Z
1 2
f(x)dx
2 0
Z 1
Z2
1
xdx + 1dx
2 0
1
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de a0
a0 =
=
=
Z
1 2
f(x)dx
2 0
Z 1
Z2
1
xdx + 1dx
2 0
1
1 1
+1
2 2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de a0
a0 =
=
=
=
Z
1 2
f(x)dx
2 0
Z 1
Z2
1
xdx + 1dx
2 0
1
1 1
+1
2 2
3
4
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de an pour n ∈ N∗
an
=
2
2
Z2
0
f(x) cos(
2πnx
)dx
2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de an pour n ∈ N∗
an
=
=
Z
2πnx
2 2
)dx
f(x) cos(
2 0
2
Z2
f(x) cos(πnx)dx
0
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de an pour n ∈ N∗
an
=
=
=
Z
2πnx
2 2
)dx
f(x) cos(
2 0
2
Z2
f(x) cos(πnx)dx
0
Z2
Z1
x cos(πnx)dx + cos(πnx)dx
0
1
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de an pour n ∈ N∗
an
=
=
=
Z
2πnx
2 2
)dx
f(x) cos(
2 0
2
Z2
f(x) cos(πnx)dx
0
Z2
Z1
x cos(πnx)dx + cos(πnx)dx
1
0
=
"
1
x sin(πnx)
nπ
#1
0
−
Z1
0
"
#2
1
1
sin(πnx)dx +
sin(πnx)
nπ
nπ
1
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de an pour n ∈ N∗
an
=
=
=
Z
2πnx
2 2
)dx
f(x) cos(
2 0
2
Z2
f(x) cos(πnx)dx
0
Z2
Z1
x cos(πnx)dx + cos(πnx)dx
1
0
=
=
"
"
1
x sin(πnx)
nπ
#1
−
0
0
1
cos(πnx)
(nπ)2
Z1
"
#2
1
1
sin(πnx)dx +
sin(πnx)
nπ
nπ
1
#1
0
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de an pour n ∈ N∗
an
=
=
=
Z
2πnx
2 2
)dx
f(x) cos(
2 0
2
Z2
f(x) cos(πnx)dx
0
Z2
Z1
x cos(πnx)dx + cos(πnx)dx
1
0
=
"
1
x sin(πnx)
nπ
#1
−
0
0
"
#2
1
1
sin(πnx)dx +
sin(πnx)
nπ
nπ
1
#1
=
"
=
1
(cos(nπ) − 1)
(nπ)2
1
cos(πnx)
(nπ)2
Z1
0
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de an pour n ∈ N∗
an
=
=
=
Z
2πnx
2 2
)dx
f(x) cos(
2 0
2
Z2
f(x) cos(πnx)dx
0
Z2
Z1
x cos(πnx)dx + cos(πnx)dx
1
0
=
=
=
=
"
"
1
x sin(πnx)
nπ
#1
−
0
0
1
cos(πnx)
(nπ)2
Z1
"
#2
1
1
sin(πnx)dx +
sin(πnx)
nπ
nπ
1
#1
0
1
(cos(nπ) − 1)
(nπ)2
0 si n pair
2
− (πn)
si n impair
2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de bn pour n ∈ N∗
bn
=
2
2
Z2
0
f(x) sin(
2πnx
)dx
2
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de bn pour n ∈ N∗
bn
=
=
2
2
Z2
Z2
0
f(x) sin(
2πnx
)dx
2
f(x) sin(πnx)dx
0
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de bn pour n ∈ N∗
bn
=
=
2
2
Z2
Z2
0
f(x) sin(
2πnx
)dx
2
f(x) sin(πnx)dx
0
=
Z1
0
x sin(πnx)dx +
Z2
sin(πnx)dx
1
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de bn pour n ∈ N∗
bn
=
=
2
2
Z2
Z2
0
f(x) sin(
2πnx
)dx
2
f(x) sin(πnx)dx
0
=
Z1
0
=
"
x sin(πnx)dx +
Z2
1
x cos(πnx)
−
nπ
1
#1
0
sin(πnx)dx
+
Z1
0
1
cos(πnx)dx +
nπ
"
1
−
cos(πnx)
nπ
#2
1
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de bn pour n ∈ N∗
bn
=
=
2
2
Z2
Z2
0
f(x) sin(
2πnx
)dx
2
f(x) sin(πnx)dx
0
=
Z1
0
=
=
"
x sin(πnx)dx +
Z2
1
x cos(πnx)
−
nπ
1
#1
0
sin(πnx)dx
+
Z1
0
1
cos(πnx)dx +
nπ
"
1
−
cos(πnx)
nπ
#2
1
1
1
1
cos(nπ) −
cos(2nπ) +
cos(nπ)
−
nπ
nπ
nπ
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Calcul de bn pour n ∈ N∗
bn
=
=
2
2
Z2
Z2
0
f(x) sin(
2πnx
)dx
2
f(x) sin(πnx)dx
0
=
Z1
0
=
=
=
"
x sin(πnx)dx +
Z2
1
x cos(πnx)
−
nπ
1
#1
0
sin(πnx)dx
+
Z1
0
1
cos(πnx)dx +
nπ
"
1
−
cos(πnx)
nπ
#2
1
1
1
1
cos(nπ) −
cos(2nπ) +
cos(nπ)
−
nπ
nπ
nπ
1
−
nπ
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Développement en série de Fourier
Le développement en série de Fourier de f est donc :
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d
Développement en série de Fourier
Le développement en série de Fourier de f est donc :
S(x) =
3
2
1
1
− 2 cos(πx) − sin(πx) −
sin(2πx)
4 π
π
2π
1
1
2
sin(3πx) −
sin(4πx) − . . .
− 2 cos(3πx) −
9π
3π
4π
Partie 2 - Séquence 1 Développement en série de Fourier d