1 L`espace de Schwartz - Université Pierre et Marie CURIE
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Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques, M1 Analyse réelle, MM003 Année universitaire 2014-2015 Ayman Moussa [email protected] Rappels de Cours – Distributions tempérées. αd 1 Pour α “ pα1 , . . . , αd q PP Nd , on note |α| “ α1 `¨ ¨ ¨ αd , et pour x “ px1 , . . . , xd q P Rd , xα :“ xα 1 ¨ ¨ ¨ xd . 1 d ˆ Pour f P L pR q on note f ou bien F pf q sa transformée de Fourier. 1 L’espace de Schwartz Définition : Une fonction f : Rd Ñ R est dite à décroissance rapide si elle est indéfiniment différentiable et si pour tout α, β P Nd , pα,β pf q :“ sup |xα B β f pxq| ă 8. L’ensemble des fonctions à décroissance xPRd rapide est l’espace de Schwartz, noté SpRd q. Remarque : Il est facile de voir qu’une fontion est à décroissance rapide si et seulement si le produit de toutes ses dérivées par n’importe quel polynôme tend vers 0 en l’infini. Définition : Une fonction f : Rd Ñ R est dite à croissance lente si elle est indéfiniment différentiable et si pour tout α P Nd , il existe Cα P R et qα P N tels que |B α f pxq| ď Cα p1 ` }x}qqα . Cet espace est noté OM pRd q. Remarque : Les fonctions à croissance à lente sont donc, elles et leurs dérivées, à croissance au plus polynômiale à l’infini. Proposition : SpRd q muni de la famille dénombrable de semi-normes ppα,β qpα,βqPNd ˆNd est un espace de Fréchet qui s’injecte continûment dans C0 pRd q et Lp pRd q, pour tout p P r1, 8s. Remarque : Il est parfois plus commode de remplacer les semi-normes pα,β pf q “ sup |xα B β f pxq| par la xPRd 2 m β d famille qm,β pf q :“ sup p1 ` }x} q |B f pxq| avec pm, βq P N ˆ N , on obtient bien sûr la même topologie. xPRd Les fonctions tests sont un cas particulier de fonctions à décroissance rapide : Proposition : DpRd q ãÑ SpRd q avec injection continue et image dense. SpRd q est un espace de Montel : Proposition : Les compacts de SpRd q sont les fermés bornés. Théorème : Tous les opérateurs suivants sont des applications linéaires continues de SpRd q dans lui-même : (i) les translations τa pour a P Rd : τa f pxq :“ f px ´ aq, (ii) les dilatations dλ pour λ P R˚ : dλ f pxq :“ f px{λq, (iii) les dérivations B α pour α P Nd , B α f :“ Bxα11 ¨ ¨ ¨ Bxαdd f , d (iv) la convolution par un élément g P SpR q : g ‹ f pxq :“ ż gpx ´ yqf pyqdy, Rd (v) la multiplication par un élément g P OM pRd q : pgf qpxq “ gpxqf pxq, ż (vi) la transformation de Fourier : F pϕq “ fˆpξq :“ f pxqe´ix¨ξ dx. Cette dernière est même un Rd ˇ isomorphisme d’algèbre de pSpRd q, ‹q sur pSpRd q, ˆq dont l’inverse est F ´1 : ϕ ÞÑ p2πq´d ϕ̂. 1 Remarque 1 : Le point pivq peut-être précisé légèrement : en réalité si g est une fonction dont le produit avec tout polynôme est intégrable ( i.e. g P L1S pRd q - voir le cours), alors la convolution par g définit également un opérateur linéaire continu de SpRd q dans lui-même (sans aucune hypothèse de régularité sur g). Remarque 2 : Les deux derniers points sont les principales différences avec DpRd q. La stabilité par transformée de Fourier va nous permettre d’étendre celle-ci à une classe particulière de distributions. 2 2.1 Distributions tempérées Définition et premières propriétés Définition : Le dual topologique de SpRd q est noté S 1 pRd q, c’est l’espace des distributions tempérées. On le munit dans toute la suite de la topologie faible-‹. L’injection à image dense DpRd q ãÑ SpRd q se renverse quand on passe au dual : Proposition : Si S P S 1 pRd q, la restriction T de S à DpRd q est une distribution sur Rd vérifiant pour une certaine constante C, un certain entier q P N et toute fonction test ϕ : |xT, ϕy| ď C p1 ` }x}q q|B α ϕpxq|. sup xPRd ,|α|ďq Inversement, une distribution T vérifiant une une inégalité de la forme précédente se prolonge de façon unique en une distribution tempérée. Proposition : Une distribution à support compact est tempérée. Une distribution tempérée est nécessairement d’ordre fini. On sait que tout élément de L1loc pRd q définit une distribution. Ce résultat tombe en défaut dans le cas des distributions tempérées : il faut imposer une condition de comportement à l’infini aux fonctions pour s’assurer que celles-ci définissent bel et bien une distribution tempérée : Proposition : Il existe des fonctions f P L1loc pRd q telles que Tf ne se prolonge pas en une distribution tempérée. Une condition suffisante pour assurer que Tf se prolonge en une distribution tempérée est l’existence de m P N et de p P r1, 8s tels que la fonction x ÞÑ p1 ` }x}2 q´m f pxq appartiennent Lp pRd q. 2.2 Opérations sur les distributions tempérées Proposition : Soit T une distribution tempérée et α P Nd . La distribution B α T est une distribution tempérée. L’opérateur T ÞÑ B α T est continu de S 1 pRd q dans lui-même. Proposition-Définition : Soit T une distribution tempérée et g une fonction à croissance lente. L’application définie sur SpRd q par ϕ ÞÑ xT, gϕy est une distribution tempérée appelée produit de T par g et notée g.T . L’opérateur T ÞÑ g.T est continu de S 1 pRd q dans lui-même. Comme SpRd q est stable par convolution, on peut définir gratuitement le produit de convolution d’une distribution tempérée et d’une fonction à décroissance rapide : Proposition-Définition : Soit T P S 1 pRd q et ψ P SpRd q. L’application définie sur SpRd q par ϕ ÞÑ xT, ψ̌ ‹ ϕy est une distribution tempérée appelée produit de convolution de T par ψ et notée ψ ‹ T . L’opérateur T ÞÑ ψ ‹ T est continu de S 1 pRd q dans lui-même. Remarque 1 : Dans le même esprit qu’une remarque effectuée précédemment, cette définition peut-être considérablement généralisée : la convolution peut-être définie exactement de la même manière avec un élément de L1S pRd q. 2 2.3 Transformée de Fourier des distributions tempérées Théorème-Définition : Soit T P S 1 pRd q. L’application définie sur SpRd q par ϕ ÞÑ xT, ϕ̂y est une distribution tempérée appelée transformée de Fourier de T et notée T̂ ou F pT q. Théorème : Soit T P S 1 pRd q. L’application définie sur SpRd q par ϕ ÞÑ xT, F ´1 pϕqy est une distribution tempérée appelée transformée de Fourier inverse de T et notée F ´1 pT q. Les applications linéaires F et F ´1 sont continues de S 1 pRd q dans lui-même et inverses l’une de l’autre. Comme d’habitude toutes ces définitions prolongent le cadre fonctionnel déjà vu. Les formules connues se généralisent : Proposition : Soit T une distribution tempérée. Pour tout k P J1, dK on a By k T “ iξk .T̂ et Bk T̂ “ { ´ix .T . k Remarque : Les produits sont biens définis car les distributions sont tempérées et les fonctions polynômiales ! Proposition : Soient T P S 1 pRd q et ϕ P SpRd q, alors ϕz ‹ T “ ϕ̂.T̂ . Théorème : Si T est une distribution à support compact, sa transformée de Fourier est une fonction à croissance lente, i.e. T̂ P OM pRd q et une expression de celle-ci est donnée par T̂ pξq :“ xT, eξ y où eξ : x ÞÑ e´ix¨ξ . Remarque : On sait que l’ensemble des distributions à supports compacts coïncide avec le dual de C 8 pRd q : le crochet a bien un sens. Proposition : Soit T une distribution à support compact. La convolution par T est un opérateur linéaire continu de SpRd q dans lui-même et de S 1 pRd q dans lui-même. 3