Cours Transferts thermiques (notes)
Transcription
Cours Transferts thermiques (notes)
Cours Transferts thermiques (notes) October 9, 2014 Convection Déroulement de l'UE: con=avec , vect*=portage > via dé- placement de matière ∃ gaz), ds lesquel - 6h de Cours/TD (répartis sur 4 séances d'1h30) - 3 x 8h de TP (répartis sur 3 jeudis ou 3 vendredis ~ Rayonnement consécutifs) ⇒ concerne les uides (liquides, écoulement. = propagation d'ondes EM dans le vide. Enseignants: Benjamin Cross (TP), Catherine Quilliet (CTD+TP) 1 Expériences: Transmission de la chaleur par conduction et stockage Pompe à chaleur / réfrigérateur > L2 TP1 : variations spatiales de température (gradient !) Mesure d'une chaleur spécique (échanges de >déplacement de chaleur (On appelle chaleur par rayonnement, analogie RC pour les échanges sité de ux de chaleur) thermiques/stockage de chaleur) Grandeurs locales : TP2 : Etude de la diusion de la chaleur sur une barre + champ vectoriel Déperditions thermiques (échanges de chaleur par rayonnement, analogie RC pour les échanges thermiques/stockage de chaleur, convection) : Thermoélément (Peltier) (eets une puissance/u. de surface = → − j (M, t). − → Soit une section orientée dS située en un point M . Flux → − → → − − de chaleur dΦ = j .dS passant à travers dS : quantité de RC pour les échanges thermiques/stockage de chaleur) TP4 → − j est ux surfacique caloduc (échanges de chaleur par rayonnement, analogie TP3 : → − j le vecteur den- chaleur par unité de temps = puissance thermoélec- triques) 1.1 La loi de Fourier TP5 : Four + bolomètre (convection, échanges de chaleur par rayonnement) La loi de Fourier, phénoménologique, relie linéairement → − j Ce cours ne vise pas à l'exhaustivité, seulement à pré- aux variations de température: parer au mieux pour les TP: découverte de notions ET → − → − j = −λ × ∇T manipulation.. (1er ordre signicatif, cf Introduction Le coecient λ U = RI ) est appelé conductance thermique. Comparer à la loi d'Ohm locale, et à la loi de Fick. 3 sortes de transferts thermiques: Loi de Fourier: premier ordre d'un phénomène lié à des Conduction variations de température. Via matière: solides>liquides>gaz. Sans Ex: 6= (diusion d'un contact verre / contact bois qui donne sensation (le corps humain n'a pas de capteur de → − → − − → jel = −σ × ∇U = σ E → − → − soluté): j = −D × ∇conc Loi d'Ohm locale: déplacement de matière. T, peu juste ; loi de Fick Ox, s et de longueur L, dont une extrémité (x = 0) Soit un corps cylindrique (pas de révolution) d'axe de section évaluer conductivité). 1 1.3 Capacité calorique est en contact avec un réservoir de température à la température T2 . ture T1 , et l'autre extrémité (x = L) à la tempéra- 1.3.1 Aspect microscopique Quel est le régime permanent de cette situation ? On admettra que pour des raisons de symétrie, j (x, y, z) − u→ x. → − j = Soit un corps de capacité calorique Soit un petit élément de volume l'aide d'un ux de chaleur entrant dx dy dz : le ux total j(x, y, z)×dydz − entrant dans cet élément de volume est j(x + dx, y, z) × dydz . ⇒ le ux total entrant doit être nul ⇒ j(x, y, z) = j(x + dx, y, z) ⇒ dj/dx = 0 ⇒ → − j = j (y, z) − u→ x Dans un cylindre inniment n de direction dydz T1 − : j j(y,z) λ x. La CL (i) (y, z) = −λ × ∂T ∂x s'intègre en T2 impose: j(y,z) λ T (L) = j (y, z) = constante, dont T (t) − T0 = λ L × (T1 − T2 ) cst =⇒ j soit : Il faut un ux local → − j uniforme Φ (t) dt t = 0, T0 à T (t), à Φ (t) dt 0 T + dT entre t et t + dt Q fournie pour Q= s'intègre en Rt 0 Φ (t) dt = > Autre analogie formelle avec des équations électrocimétiques que vous connaissez bien ? CIRCUIT ! constant pour qu'il n'y ait pas d'accumulation de chaleur Tension aux bornes d'un condensateur en charge: en régime permanent. Le ux global sur la section est: − → → − RR 2 j . section dS = λ T1 −T ×S L Φ= 1 C → → − − j .dS = section Rt 0 I (t) dt Q=CU <> <> T (t) − T0 = 1 C Rt 0 U = Φ (t) dt Q = C × ∆T charge électrique q aux bornes d'un condensateur <> 1.2 Résistance thermique On appelle résistance thermique : et la température elle-même ? La relation Flux nécessairement RR à qui s'intègre en CQFD. δQ = Φ (t) dt C × (T (t) − T0 ) x, pour entretenir cette diérence de température (ou l'inverse ...). à t Z Quelle relation a-t-on entre la chaleur passer de T −T1 (ii) T (x, y, z) = T1 + 2 x=⇒ T ne dépend que de L et varie linéairement entre T1 et T2 . et 1 C 1 C T δQ = Φ (t) dt. Pour un corps passant de x et de secδQ = C dT T (x, y, z) = D'où dT = × L = T1 − T2 , T0 Φ (t). Alors : En régime permanent cet élément de volume ne s'échaue pas tion C, on fait varier la température, initialement Q Rth = ∆T Φ du corps dans capacité C <> capacité calorique C cette géométrie. Circuit électrocinétique correspondant: condensateur Analogie formelle entre ces grandeurs thermiques (dont avec une armature à la tension on pérature initiale avant chaue (dans le cas de fuites ther- précisera dimension et unités S.I.) et certaines grandeurs électrocinétiques : U = RI I avec Rth = Rel = ρL s : être Text , celle du réservoir de chaleur. Φ ux total (=débit) de chaleur (unités SI: J/s) → − j Diérences notables, au point de vue thermodynamique, entre ce corps solide et un gaz vecteur densité de courant (local ; faire chercher sa dimension) <> densité de ux de chaleur (local) → − j (unités: J/m²/s) Rel <> Rth (unités: et l'autre à la tem- miques, cette température de référence peut également L λs à comparer avec débit d'électrons <> T (t), Rq: Q est lié de manière univoque à la température ici, K/W) via son unique capacité calorique C. C'est dû au fait ρel <> ρth = λ1 résistivité thermique d'un corps −1 (unités SI: K.m.W ) que le corps étant solide, on le considère comme incom- 1 ρel <> λ conductivité thermique d'un corps −1 (unités SI: W.K .m−1 ) ments de volume, ou de pression. U <> ∆T → − → − E <> − ∇T moyens d'échanger de l'énergie avec l'extérieur (exemple: pressible > pas d'échanges d'énergie liés à des change- λel = Rq: en électrocinétique, Ceci reste valable tant qu'on ne se donne pas d'autres champ magnétique), ou d'en stocker dans le corps sous une forme autre qu'un changement de température (ex: U≡ changement de phase) = sources de chaleur internes. densité d'électrons 2 1.3.2 Aspect local 1D 2 bilan thermique d'une tranche comprise entre rayonnement x et x+dx: dΦentrant = S j (x) − S j (x + dx) sert à échauer la dt: δ 2 Q = dΦentrant × dt = (c × Sdx) dT Diculté: longueurs d'ondes ; orientation. ; vocabulaire tranche; chaleur reçue pdt où c Rappel: tique est la chaleur spécique volumique (i.e capacité c mais cm = c/ρ ; cm propagation le vide est la chaleur dT x − dj dx = c dt , d'une liée à onde un électromagné- terme du type la fréquence, 2.1 Interaction rayonnement-matière 1.3.3 Aspect local 3D Soit un corps soumis à un ux incident monochromatique (i.e. entre → − ∇ j = −c ∂T ∂t . ϕλ dλ: -> La version locale et tridimensionnelle de la relation Φ (t) = C dT dt , est → − −−−−−→ ω cos ωt − k .position , où ν = 2π = T1 est − → et λ = 2π/ k est la longueur d'onde. spécique (massqiue) d'où la dans calorique par unité de volume) En pratique: pas Transmission de la chaleur par λ et λ + dλ) ϕλ dλ ux = puissance / u. de surface ; également ap- pelé ux surfacique, ou densité de ux de ... (ici: de dans un corps soumis à des variations de rayonnement électromagnétique) température locale, est: ϕλ : ∂T → − → − ∇. j = −c ∂t densité de ux radiatif (terme densité renvoie à λ) ; c'est une puissance / u. de surface / u. longueur d'onde En tenant compte de la résistivité thermique qui intervient lorsque la température n'est pas uniforme (cf loi de Fourier, exercuce 1), on retrouve: ∂T = a ∇2 T ∂t (notation ∇2 mieux que ∆ pour pas confondre avec T2 − T1 ) En introduisant → − → − ∇. −λ × ∇T d'où λ ρcm . ∂T ∂t = λ c la loi → − → − j Fourier: ∇. de = = −λ∇2 T , ∇2 T , i.e. la forme demandée avec a= λ c = Densité de ux radiatif émis: et exprimer la diusion thermique déduire le temps typique τ a du matériau. L. Emission et direction. Que se passe-t- Attention ! Quantité facile à dénir à la surface du corps il lorsqu'on sollicite l'objet à des fréquences caractéris- 1/τ émissif, mais dès qu'on s'en éloigne, la notion de ux ? lumineux est compliqué par celle de direction. λ 2 c est en m /s, comme tout coecient de diusion qui se respecte. Dimensionnellement: temps 2 caractéristique τ = L /a pour la diusion de la chaleur Dimensions: a= sur une longueur L. Rq: si λ → ∞ → − → − ∇T = 0 : radiatif multidirectionnels. Grands ux (échelle du bâtiment !): peut être modélisé (conducteur de par distribution continue selon orientation et longueur d'onde. température uniforme dans tout le con- Très petits ux: aspect discret de la lumière peut inter- ducteur, idem conducteur pft en EC (ii) τ → 0. venir. Alors, si on intègre sur toutes les directions: den- En termes physiques et non mathématiques: sité de ux en un point est la résistance thermique de l'échantillon est négligeable lorsqu'on travaille à des temps caractéristiques >> En un point donné de l'espace, superposition de densités de ux chaleur parfait) alors : (i) émittance spectrale d'onde. En d'équilibre thermique pour un objet de longueur caractéristique tiques Mλ , ; c'est aussi une puissance / u. de surface / u. longueur Problèmes solvables: τ. 3 dϕ = P i photons de dS hνi /dS - objet émetteur ≈ isotrope et ponctuel à l'échelle d'intérêt (rayonnement sphérique). intervenir l'angle solide élémentaire R On a : dΩ = 4π Nécessaire de faire dΩ = dS/r2 (dessin). ϕλ = quand on intègre sur l'ensemble des 2πhc2 λ5 ehc/(λkT ) − 1 directions possibles ; ex sphère) - surface plane parfaitement diusante (chaque élément A l'équilibre thermique, la cavité réémet ce qu'elle reçoit, de surface rayonne de manière isotrope dans tout le demi- d'où l'expression du rayonnement du corps noir : espace) Intensité lumineuse: 2πhc2 Mλ° = L'oeil est sensible à la puissance reçue (notion grand pub- λ5 ehc/(λkT ) − 1 lic d'intensité lumineuse): c'est Z Z Z Mλ dλ dS Φ= surf recepteur λ visible Conservation de l'énergie: aλ + rλ + tλ = 1 aλ rλ tλ corps opaque - - 0 transparent 0 0 1 brillant (type métal) 0 1 0 1 0 0 corps noir corps gris a 2.2.2 Loi de Wien ∀λ 2.2 Objet modèle: le corps noir Dénition: λmax = aλ = 1 (modèle pas trivial: implique distribution continue des 2.2.3 Loi de Stefan niveaux d'énergie !!!) 2.2.1 Distribution de Planck: Quand on intègre sur toutes les longueurs d'onde, on obtient la puissance surfacique rayonnée par un corps (radiance, ou émittance): Cavité dans un matériau quelconque à l'équilibre thermique (pas trivial non plus, expérimentalement !!!) recouverte d'un revêtement noir: 2.898 10−3 (en SI) T et ° Z M = rayonnement qui se Mλ° dλ = σT 4 rééchi sur les parois nira par être absorbé: c'est une bonne approximation de corps noir. A T non nulle: =⇒gaz ∃ Avec excitation désexcitation vers l'intérieur σ = 5.675 10−8 W.m−2 .K −4 de photons. Statistique de d'absorption et Bose-Einstein d'émission + des probabilités distribution de 2.3 Objet réel Boltz- mann du nombre de photons en fonction de leur énergie, 2.3.1 Emittance liée aux modes de la cavité > distribution de Planck de l'énergie volumique: dE dλ = 8πhc λ5 ( ) ehc/(λkT ) −1 (démo détaillée sur gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr) Flux surfacique reçu par la cavité : c 4 × Mλ = λ Mλ° dE dλ , d'où : 4 2.3.2 Loi de Kirschhof plus grandes que pour la conduction. Le traitement de ce problème est complexe car les ux dépendent de la Une cavité absorbe Mλ °) aλ Mλ ° (gaz de photons : reçoit ϕλ = géométrie, des propriétés du uide, et des gradients de température. et réémet la même densité de ux radiatif, sinon la distribution d'énergie dans la cavité serait modiée, Mλ = aλ Mλ °. donc: Par dénition de l'émissivité spectrale: aλ Mλ ° Mλ ° Mλ Mλ ° eλ = 3.1 Modèle: Bénard = = aλ . convection de Rayleigh- Si on s'intéresse à l'intégrale de ces grandeurs sur tout le Couche horiz d'air d'épaisseur spectre (plus pratique) : (i.e. surface horiz - émittance M= R D2 L D ∆T = << taille latérale ), chauée par en-dessous ( Tbas − Thaut imposée). Mλ dλ = M/M ° (tabulé) R R - absorbance a = aλ ϕλ dλ/ ϕλ dλ ; pour une enceinte à l'équilibre thermique, on a bien a = . Résultat général- émissivité isé en pratique. 2.3.3 Loi de Stefan pour un objet réel E = σT 4 2.4 Puissance échangée par rayonnement entre deux corps: Quand la couche limite est laminaire : mouvement horizontal du uide ⇒ transferts de chaleur verticaux se font uniquement par conduction (+ rayonnement, non négSoient deux corps noirs 1 (température T2 , aire S2 ) S1 × σT14 − S2 × σT24 (température T1 , aire en inuence totale : S1 ) et 2 Φ1→2 = ligeable si gradients de température susamment importants). Si la couche est turbulente : transferts de chaleur par convection en plus. Si corps gris, ou l'un n'entoure pas l'autre: tout ce qui est émis par l'un n'arrive pas à l'autre + tout ce qui arrive n'est pas absorbé Φ1→2 =⇒ 1 RCL = hS est la résistance thermique en K/W . On appelle h le coecient d'échange de surface, en W/K/m2 . Important ! Unités: F1,2 = S1 × F1,2 × σ T14 − T24 facteur de forme Flux : Exemple: S2 * si S1 et S2 sont deux −1 = 11 + 12 − 1 F1,2 Φconv = ∆T 2RCL (rappel : unité SI est le Watt) Couche limite laminaire + échanges par rayonnement * si entoure A droite : modèle électrociné- tique. S1 : F1,2 = 1 1 + S1 S2 1 2 −1 −1 négligeables : surfaces innies en parallèle: L'expression du ux est plus facile à manipuler en linéarisant (erreur à estimer après ...): (T1 − T2 ) T13 + T12 T2 + T1 T22 + T23 3 T14 − T24 = Transmission de la chaleur par convection et couches limites Des ux entre régions de diérentes températures perme- RCL ≈ ttent des échanges de chaleur à des échelles généralement 5 eCL λair S , d'où h ≈ λair /eCL Problème : eCL déterminer dans une situation donnée. ou, plus généralement, Compliqué =⇒ h ν = η/ρ où étude (exp est la viscosité cinématique (= coecient de diusion de la vitesse, en m²/s), et a = λ/ρc la diu- ou num) de situations types pour obtenir des relations sivité thermique, qui est aussi un coecient de diusion empiriques entre grandeurs adimensionnées. (parfois appelé α ou D , attention: toujours vérier la dimension des grandeurs qu'on vous donne. Leur seul nom ne sut pas toujours à savoir ce qu'on manipule !). 3.2 Utilisation des grandeurs adimensionnées Si cellule: g, L ∆T , Si typiques (pour situations moins modèles: déterminer la longueur L P r 1: prol de T faiblement inuencé par le pro- l des vitesses (ex: métaux liquide, où conduction ther- typique du problème mique t. bonne ; en général la plus petite). • T fortement inuencé par le prol T propriété advectée : un élément de T au cours du mouvement) prol de volume garde sa Liste des paramètres imposés par l'expérimentateur : • P r 1: des vitesses (i.e. Air: uide: ⇒ T ≈uniforme −5 P r = 1, 7 10 ) × 1000/0.026 = 0.67 ν = 1, 7 10−5 /1 = 1, 7 10−5 m2 /s 0, 026/1000 = 2 10−5 m2 /s) (détail: - masse volumique - β= 1 ρ (∂ρ/∂T )P ρ coecient de dilatation thermique iso- des deux prols, avec simplications envisageables au cas - η viscosité dynamique en Pa.s - λ conductivité thermique en - c chaleur massique en par cas. (W/K)/m Troisième nombre : J/K/kg tre On a 8 paramètres, mais on remarquera que β et se regroupent en un seul paramètre Ra et Pr pour décrire la situation. Le nombre de Grashof, vu en TD, ne forme pas avec Pr Gr = Ra × P r. Nombre de Nusselt : nombres adimensionnés indépendants, qu'on choisit pour leur signication physique. et Ra et un trio de grandeurs adimensionnées indépendantes puisque kg, s, m, K) > d'après le théorème de Vashy-Buckingham, problème descriptible 7−4 = 3 On peut imaginer le rapport en- et l'échauement lié à l'énergie dissipée par vis- n'utilisera que Soit 7 paramètres en tout, exprimés à l'aide de 4 dimen- avec ∆T cosité (cf TD). L'eet est négligeable. En pratique, on ∆T interviennent tjs ensemble (ds la poussée d'Archimède) sions fondamentales (ex: a = on est entre les deux régimes : a priori il faut tenir compte bare (ρ: masse volumique) =⇒ ; P r, La situation, décrite par Ra permet de déterminer l'eet de la couche limite. Le nombre adimensionné correspondant est le nombre de Premier nombre : Nusselt: nombre de Rayleigh, qui décrit la vigueur de la convection. N u = hL/λ Cf TD : c'est le rapport N u ≈ L/eair . entre l'eet moteur et les eets dissipatifs qui contrent le Pour une couche laminaire, mouvement (viscosité + diusion de la chaleur) cas, il est d'autant plus grand que les échanges convectifs Dans tous les (ceux qui permettent de modéliser l'atmosphère hors CL βgL3 ∆T Ra = νa comme un conducteur parfait à température uniforme) sont importants. En général : couche limite est laminaire tant que 10 Pour Ra < traiter un phénoménologiques 9 problème: établies par utiliser type de les lois géométrie entre grandeurs adimensionnées, ou utiliser des valeurs Exemple d'une pièce: (air: avec approx GP : tabulées adéquates. dV nM , d'où dρ ρ = − V et 3 10−3 K −1 ) Ex 1: pour la convection en-dessous d'une plaque froide, On aura donc: β = − V1 : = ρV = cst ∂V 1 = − ∂T P T ≈ N u = 0, 15 × Ra1/3 (Ra 10 Ra = 1, 9 10 1 !!! (avec est calculé avec pour longueur caractéristique la racine carrée de l'aire de la plaque) ∆T = 10K ) Ex 2: La couche limite le long d'un mur chaué verti- Deuxième nombre : cal évolue avec la hauteur nombre de Prandtl (propre au uide) Pr = chaque z z à partir du pied du mur. A (longueur caractéristique du problème), le coef- cient d'échange correspondant se calcul à partir du ηc = ν/a λ Pour 6 Rax > 109 , N uz . la relation phénoménologique adéquate 2/5 2/5 N ux = 0, 0248 Rax P r1/5 / 1 + 0, 494P r2/3 . 9 Tant que la couche limite est laminaire (= Ra (z) < 10 ), 1/4 N u (z) = 0.4 × Ra (z) . ρV L = VνL . De la même η façon que pour la convection libre, on va chercher dans la le nombre de Reynolds est : Ex 3: Pour L = 30cm (boîte): Ra = 2 107 documentation comment et > pour TP, ρ adimensionnés et N u. Ceci explique, a 104 turelle sans le troisième nombre évoqué plus haut. h, Nu permet de remonter au coe- ce qui permet de réduire le problème à des circuits de résistances ou résistances + capacités (en régime transitoire). 3.3 Récapitulatif : modélisation d'une cloison • Si la couche limite est laminaire : il n'y a pas de ux lié à la convection ⇒ Rconv = ∞. Dans certains cas, la conductance thermique liée au rayonnement devenir aussi importante que 1 Rray peut 1 Rcond (voir TP). • Si la couche limite est turbulente : 1 1 1 Rconv Rray , Rcond . on peut avoir 3.4 Convection forcée Lorsqu'une vitesse V est imposée au uide, l'eet de la convection ainsi induite devient prépondérant sur la convection libre. On caractérise alors la situation par Pr Re = (debit/section)×diametre viscosite cinematique . Si Re est 12.104 , alors N u = 0.023 × Re0,8 × P r0,4 . on calcule posteriori, qu'on puisse décrire toute la convection na- cient d'échange Re. Ex : Pour un tuyau long dans lequel un débit est imposé, En eet, il intervient pro- portionnellement dans tous les eets. La détermination de N u s'exprime en fonction de Re pour la géométrie considérée. Ici aussi la longueur en compte pour le calcul de n'intervient dans aucun des 3 nombres Ra, P r Pr caractéristique la plus petite est généralement à prendre modèle laminaire susant Remarque : Re = + 7 et entre