Développement d`une technique de tomographie par découpage

Transcription

THÈSE
Pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS
UFR des sciences fondamentales et appliquées
Pôle poitevin de recherche pour l'ingénieur en mécanique, matériaux et énergétique - PPRIMME
(Poitiers)
(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)
École doctorale : Sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique SIMMEA (Poitiers)
Secteur de recherche : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des
surfaces
Présentée par :
Pierre Morandi
Développement d'une technique de tomographie par découpage
optique rotatif pour la mesure résolue en temps de champs
cinématiques 3D par corrélation d'images volumiques
Directeur(s) de Thèse :
Fabrice Brémand, Pascal Doumalin, Jean-Christophe Dupré, Arnaud Germaneau
Soutenue le 12 décembre 2014 devant le jury
Jury :
Président
Michel Grédiac
Professeur des Universités, Université Clermont-Ferrand 2
Rapporteur
Pierre Vacher
Professeur des Universités, Université de Savoie
Rapporteur
Christophe Poilâne
Maître de conférences, Université de Caen
Membre
Fabrice Brémand
Professeur des Universités, Université de Poitiers
Membre
Jean-Christophe Dupré
Chargé de recherche CNRS, Université de Poitiers
Membre
Jean Benoït Le Cam
Professeur des Universités, Université de Rennes 1
Pour citer cette thèse :
Pierre Morandi. Développement d'une technique de tomographie par découpage optique rotatif pour la mesure
résolue en temps de champs cinématiques 3D par corrélation d'images volumiques [En ligne]. Thèse Mécanique des
solides, des matériaux, des structures et des surfaces. Poitiers : Université de Poitiers, 2014. Disponible sur
Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>
THÈSE
Pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Université de Poitiers
Faculté des sciences Fondamentales et Appliquées
(Diplôme national - Arrêté du 7 août 2006)
École Doctorale : Science et Ingénierie en Matériaux, Mécanique, Énergétique et Aéronautique
Secteur de recherche : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces
Présentée par :
Pierre MORANDI
Développement d’une technique de tomographie par découpage
optique rotatif pour la mesure résolue en temps de champs
cinématiques 3D par corrélation d’images volumiques
Directeurs de thèse :
Fabrice Brémand
Pascal Doumalin
Arnaud Germaneau
Jean-Christophe Dupré
Date de soutenance : 12 décembre 2014
Devant la commission d’examen
JURY
M.
M.
M.
M.
M.
M.
M. GREDIAC
P. VACHER
C. POILANE
J.B. LE CAM
F. BREMAND
J.C. DUPRÉ
Professeur, Université de Clermont-Ferrand
Professeur, Université de Savoie
Maître de Conférences HDR, Université de Caen
Professeur, Université de Rennes 1
Professeur, Université de Poitiers
Chargé de Recherche CNRS, Institut Pprime de Poitiers
Président
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
L’imagination est plus importante que le savoir.
Albert Einstein
Remerciements
Mes travaux de thèse ont été réalisés au sein de l’axe PEM (Photomécanique &
Experimental Mechanics). Je remercie Messieurs les Professeurs Jean-Paul Bonnet et
Said Zeghloul, respectivement directeurs de l’Institut Pprime et du département GMSC
(Génie Mécanique et Systèmes Complexes) qui abrite l’axe PEM, pour leur accueil au
sein de ce laboratoire.
Je remercie très chaleureusement Monsieur le Professeur Fabrice Brémand, mon
directeur de thèse. Je tiens à lui exprimer ma profonde reconnaissance pour m’avoir
permis de réaliser ce travail. Sa disponibilité, son sens du partage du savoir et sa
gentillesse ont rendu mes recherches agréables et passionnantes. Pour les mêmes raisons,
je voudrais aussi exprimer toute ma gratitude à Messieurs Jean-Christophe Dupré, Pascal
Doumalin et Arnaud Germaneau, pour avoir co-dirigé ma thèse. Ils m’ont accordé toute
leur confiance et ont su m’accompagner sans relâche pendant trois ans, et ce avec un
excellent esprit d’équipe.
Fabrice, Jean-Christophe, Pascal, et Arnaud, merci beaucoup pour tout ce que vous
m’avez apporté.
Je voudrais remercier Monsieur le Professeur Pierre Vacher ainsi que Monsieur
Christophe Poilâne pour avoir accepté d’être rapporteurs de mes travaux de thèse. J’ai
particulièrement apprécié leur relecture, minutieuse et précise, ainsi que leurs remarques
et conseils qui m’ont permis de prendre encore plus de recul sur mon travail.
Je remercie Messieurs les Professeurs Michel Grédiac et Jean-Benoît Le Cam qui
m’ont fait l’honneur d’examiner mon travail. J’ai été sensible à l’intérêt qu’ils on eu à
l’égard de mon travail, notamment au travers de la discussion que nous avons eue lors de
ma soutenance.
Je tiens à remercier tous les membres de l’équipe PEM, avec qui j’ai partagé beaucoup
de bons moments depuis 2010. Je remercie tout particulièrement Monsieur le Professeur
Valery Valle, responsable de l’axe, pour les longues discussions qu’il m’a accordées, les
conseils qu’il m’a donnés, toujours très pertinents et utiles. J’adresse également tous
mes remerciements à Monsieur Franck Hesser, Ingénieur au sein de l’axe PEM. Pendant
toute ma période au sein de l’équipe, il m’a fait partager beaucoup de son savoir, que
je qualifierais de particulièrement pluridisciplinaire. Il est intervenu sur de nombreux
aspects dans mes travaux de recherche (optique, électronique, informatique, conception
mécanique etc.). Je remercie mes collègues doctorants de l’axe PEM, Fabien et Mohand,
pour leur sympathie et leur soutien, et leur adresse tous mes vœux de réussite dans leur
travaux de recherche.
4
Je remercie également tous les membres du département GMSC pour leur sympathie
tout au long de ces années. J’adresse notamment mes remerciements à Djamila Lagache,
Estelle Ferdinand, Catherine de Saint Martin, Mathieu Maillet, Michael Beau, Christian
Normand ainsi que Sébastien Sabourin pour leur support administratif, informatique,
mécanique, et électronique. Je salue mes collègues et amis doctorants avec qui j’ai partagé
plein de bons moments au laboratoire. Merci notamment à mes deux collègues de bureau,
Adji et Lila, pour leur sympathie et leur calme, deux éléments essentiels dans les derniers
moments de ma thèse. Je leur adresse tous mes voeux de réussite dans la suite de leur thèse.
Je remercie vivement mes amis du Théâtre du Clain qui ont donné un parfait équilibre
à ma vie ces deux dernières années. Estelle, Jérôme dit « Pado », Gaëlle, Michel, Sandra
dite « Sa sœur », Marylise, Alex dit « Doudou », Steph, Flo, Laetitia ainsi que tous
les autres membres de l’association. Je vous remercie beaucoup pour tous ces moments
inoubliables. Ils m’ont permis, lorsque j’en avais le plus besoin, de plonger mon esprit
dans un autre univers, loin du travail, celui du théâtre. Vous avez tous été des Bobyjhones
d’exception, merci pour tout.
Merci également à mes amis qui ont été présent dans les moments les plus difficiles
notamment Jean, Louise, Faisal, Thomas, Ameur, Mathieu, Tony, Mélie, Elodie. Merci
beaucoup à tous.
Enfin, je remercie ma famille, à commencer par mes parents José et Pascale. Ils
m’ont toujours poussé à persévérer, à aller plus loin lorsque j’entreprends quelque chose.
Ce parcours, que j’ai pu réaliser dans les meilleures conditions grâce à eux, et qui
s’achève finalement par un Doctorat, c’est à eux que je le dois. Merci également à mes
frères et sœurs, Emmanuelle, Elise et Paul, ainsi qu’à mes grands-parents Remy, Edith,
Jean-Pierre et Rolande, pour leur présence et leur grande générosité pendant toutes ces
années.
Je tiens à également à remercier chaleureusement ma belle-famille, Gilles, Nadine,
François, Véronique, Cécile et Fred, pour leur sympathie, leur générosité et leur compréhension particulièrement appréciable sur la fin de ma thèse.
Et puis, il y a toi Florie. Tu m’accompagnes en toutes circonstances, des plus merveilleuses aux plus pénibles, je voudrais te dire tellement de choses. . . Je t’aime.
Table des matières
Introduction
9
État de l’art
15
1 Analyse mécanique dans le volume d’une structure
1.1 Techniques d’observation volumique destructives . . .
1.1.1 Origine de l’observation dans le volume . . . .
1.1.2 Serial sectionning . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Techniques d’observation non-destructives . . . . . .
1.2.1 Tomographie par rayons X . . . . . . . . . . .
1.2.2 Échographie ultrasonore . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Imagerie par résonance magnétique . . . . . .
1.2.4 Tomographie optique . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mesure de grandeurs mécaniques au sein d’un volume
1.3.1 Photoélasticimétrie 3D . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Suivi de marqueurs volumiques . . . . . . . .
1.3.3 Corrélation volumique . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15
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Développements de la tomographie optique rapide pour l’analyse de structures solides
45
2 Tomographie par découpage optique translatif rapide
2.1 Banc de tomographie par découpage optique translatif rapide . . . . . . .
2.1.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Développement d’un nouveau montage optique produisant un
feuillet laser en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Pilotage du scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Contrôle de la position du feuillet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Calcul des tensions de consignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Détection des positions angulaires et synchronisation avec la caméra
rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Évaluation de la précision de positionnement du feuillet . . . . . .
2.3 Caractérisation du procédé d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Paramètres de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Reconstruction des volumes et analyse qualitative . . . . . . . . .
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Table des matières
2.3.3
2.4
Analyse des erreurs systématiques et aléatoires par correlation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Tomographie par découpage optique rotatif rapide (ORST)
3.1 Motivations initiales du découpage optique rotatif . . . . . . . . . . . . .
3.2 Description théorique de l’ORST par une approche géométrique . . . . .
3.2.1 Formulation du principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Calibration théorique du procédé . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Reconstruction d’un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Mise en œuvre expérimentale de l’ORST . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Mise en forme du feuillet laser rotatif . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Mise en place du système d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Évaluation de la précision de positionnement angulaire du feuillet
pour la mise en œuvre lente de l’ORST . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Calibration du système expérimental . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Acquisition d’un volume et analyse visuelle de la reconstruction .
3.3.6 Évaluation de l’erreur de mesure par Corrélation Volumique . . .
3.4 Adaptation du système pour l’acquisition volumique rapide . . . . . . . .
3.4.1 Conception d’un dispositif adapté . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Synchronisation des incréments de rotation du feuillet avec une caméra rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Analyse de la précision de synchronisation par suivi de marqueurs
3.4.4 Acquisition d’un solide rigide en translation continue et mesure du
déplacement par corrélation volumique . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Formulation de l’ORST par une approche globale . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Formulation du principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Calibration théorique du système . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Reconstruction d’un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Confrontation avec l’approche géométrique à travers l’analyse du
déplacement continu d’un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Caractérisation des paramètres de l’ORST en fonction des paramètres d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Évaluation de l’erreur de mesure par Corrélation Volumique . . .
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 116
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. 127
. 133
Applications
137
4 Traction continue sur une éprouvette
4.1 Dispositif de chargement de traction continue . . . . . . . . .
4.2 Protocole expérimental de l’essai de traction continue . . . . .
4.3 Analyse des déformations par corrélation d’images volumiques
4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 137
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Table des matières
5 Étude expérimentale d’un galet roulant sur un bloc
5.1 Présentation de l’essai et de la cinématique . . . . . . . . . . .
5.2 Simulation numérique de l’enfoncement d’un galet sur un bloc
5.3 Protocole expérimental et mise en place de l’essai . . . . . . .
5.4 Acquisition des volumes et analyse par corrélation volumique .
5.5 Analyse des résultats des déformations volumiques . . . . . . .
5.6 Confrontation entre les résultats expérimentaux et simulés . .
5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 175
Conclusion et perspectives
177
Annexes
183
A Mesure de l’épaisseur d’une nappe laser
183
B Calibration du miroir oscillant
185
C Tensions de retour de positionnement du miroir
189
D Plans des pièces du dispositif ORST rapide
193
E Schémas de la carte de synchronisation
201
Références bibliographiques
209
Liste des publications
217
Introduction
Depuis le début des années 1980, avec l’arrivée de l’informatique et du traitement
numérique de l’information, les techniques d’observation et de mesure appliquées à
l’ingénierie, la recherche, ou la médecine se sont beaucoup développées et sont de plus
en plus utilisées pour l’analyse mécanique des structures en surface. Parmi celles-ci, les
méthodes optiques tiennent aujourd’hui une place très importante dans le domaine de
la mesure expérimentale grâce à leur accessibilité, leur adaptabilité ou encore leur fonctionnement non-intrusif. Elles permettent d’analyser le comportement d’une structure en
utilisant un marquage à sa surface, qui peut être physique (peinture, gravure), projeté
(projection de lignes lumineuses) ou encore lié à un phénomène d’interférences. Différents
motifs physiques sont souvent utilisés : points réguliers, lignes, grilles, mouchetis. Le
marquage est ensuite capturé grâce à un système d’acquisition d’images. En utilisant un
seul point d’observation, l’analyse est réalisée dans un plan et est de type bidirectionnel
(2D). En ajoutant un second point d’observation, il est possible d’analyser des surfaces
courbes, on parle alors d’une analyse 2D et demi ou encore 2D3C (deux dimensions et
trois composantes). Le post-traitement des données enregistrées peut se faire grâce à
différentes techniques. Les plus courantes sont le suivi de marqueurs, l’analyse de franges
ou encore la corrélation, et permettent de réaliser des mesures de reliefs, de déplacements,
de vitesses, de déformations.
En revanche l’analyse d’une structure à cœur est plus complexe à réaliser car elle
requiert un procédé capable à la fois de pénétrer la matière et d’observer un contraste
caractéristique. Historiquement, les premières observations de l’intérieur d’une structure
étaient réalisées grâce à une découpe mécanique, ce qui limitait l’étendue des possibilités
en terme d’analyse mécanique. Grâce à la découverte de différents phénomènes physiques
capables de traverser la matière sans sa destruction, il fut par la suite possible d’extraire et
d’enregistrer des informations caractéristiques de l’intérieur d’une structure. A l’origine,
les techniques d’analyse volumique furent développées pour des applications médicales,
mais très vite elles ont été utilisées pour des analyses mécaniques notamment sur des
écoulements fluides ou encore des structures solides. À ce jour, différentes méthodes
permettent de réaliser une imagerie dans le volume notamment la tomographie rayons
X pour les matériaux opaques ou encore la tomographie optique pour les matériaux
transparents, solides ou fluides. Les techniques de mesures ont dû s’adapter à l’analyse
des données volumiques. On rencontre le suivi de marqueurs volumiques et la corrélation
volumique qui sont les extensions dans le cas d’un volume des techniques initialement
utilisées en deux dimensions. L’analyse expérimentale volumique (dite 3D3C ou full 3D)
permet l’acquisition et l’analyse mécanique de diverses structures. On peut rencontrer
des études sur des os, des roches, des matériaux composites, des mousses, des métaux,
des fluides etc. Par ailleurs les problèmes mécaniques tridimensionnels peuvent aussi être
abordés par la modélisation. La technique des éléments finis permet de modéliser le comportement d’une structure solide de manière à connaître l’amplitude des déplacements,
des contraintes ou des déformations à cœur. Cette approche permet d’optimiser la phase
10
Introduction
de conception pour prévenir les endommagements, améliorer la résistance ou encore
réduire le poids d’une structure en travaillant sur la géométrie de ses pièces. Pourtant, les
résultats obtenus par le biais de ce type d’analyse sont conditionnés par les hypothèses
utilisées, et ne sont pas toujours représentatifs du phénomène réel. Les modèles éléments
finis doivent être confrontés à des résultats expérimentaux afin de valider les conditions
aux limites, le maillage... Actuellement, cette démarche s’effectue expérimentalement à
l’aide de techniques 2D la plupart du temps. Dans ce cas, les champs mécaniques numériques et expérimentaux sont comparés en surface, ce qui permet d’ajuster les paramètres
du modèle numérique, et l’on considère que le comportement à cœur est celui donné
par le résultat de la simulation. Or cette approche surfacique n’est pas suffisante pour
valider les résultats de la simulation. Effectivement, un seul résultat obtenu à la surface
de la structure par simulation peut être engendré par différentes configurations internes
et différentes hypothèses. Par conséquent une analyse expérimentale volumique est indispensable dans le cas d’un problème 3D (Géométrie complexe, chargement complexe...).
La réponse mécanique d’une structure peut avoir une dépendance temporelle en
fonction du chargement. Effectivement, lors d’une analyse expérimentale, on peut se
demander si le phénomène observé est statique. Si c’est le cas, l’acquisition peut être
réalisée lentement. Dans le cas contraire, cela pose la question de savoir si la vitesse
d’acquisition de la technique est suffisante pour analyser le phénomène. Aussi, pour
appréhender le comportement mécanique d’une structure, il est nécessaire de mettre en
relation l’échelle de temps liée au phénomène étudié avec celle du système d’acquisition
des données. Pour l’analyse mécanique d’un phénomène rapide à la surface d’une
structure par méthode optique, une ou deux caméras rapides peuvent être utilisées, ce
qui constitue une mise en œuvre relativement accessible. En revanche dans le cas d’une
analyse volumique résolue en temps, il est beaucoup plus complexe d’obtenir une vitesse
d’acquisition élevée car cela suppose de pouvoir obtenir les données du cœur de la matière
de manière rapide, mais également de capturer une grande quantité d’informations dans
un temps très court. A l’origine, les systèmes d’acquisition volumique étaient très lents
et ne pouvaient être utilisés que pour analyser un milieu dans un état stationnaire. Des
techniques se sont développées pour capturer rapidement une section localisée de matière,
c’est le cas de l’échographie ultra-sonore, très utilisée en médecine. Cette technique,
plus rapide que les méthodes par rayons X, ne fournit qu’une section du volume. Le
système doit alors être déplacé pour observer un volume entier. Les techniques capables
d’enregistrer rapidement les données (de manière régulière) en tous points d’un volume
sont peu nombreuses. Elles concernent principalement la mécanique des fluides (domaine
pour lequel il est indispensable d’avoir des vitesses d’acquisition élevées). Néanmoins,
pour ce type d’application, une faible quantité de données est enregistrée, ce qui limite
la qualité des volumes et les possibilités d’application pour une analyse locale sur une
structure solide. Pour certaines applications en mécanique des solides, il existe aujourd’hui un réel besoin concernant les techniques d’analyse d’une structure à cœur pour
laquelle les déformations internes varient au cours du temps. La difficulté est directement
liée à deux paramètres : une grande quantité de données et une courte durée d’acquisition.
11
La problématique des travaux présentés dans ce mémoire consiste à étudier les possibilités d’amélioration des techniques d’acquisition volumique, dans les structures solides,
en terme de vitesse d’acquisition. La technique étudiée doit en plus être compatible
avec les techniques classiques de mesure de champs mécaniques notamment le suivi de
marqueurs volumique ou encore la corrélation volumique. Le but est de pouvoir effectuer
des mesures résolues en temps, de champs cinématiques 3D, pour des problèmes de
structures solides.
L’axe PEM (Photomécanics & Experimental Mechanics) de l’Institut Pprime possède
une grande culture sur les techniques d’acquisition par méthodes optiques, les méthodes
de mesure de champs mécaniques ainsi que l’analyse mécanique d’une structure. Cela
nous conduira à étudier les possibilités d’amélioration des techniques d’acquisition
volumique existantes au sein de notre laboratoire, notamment la tomographie optique par
balayage (OST). Cette technique développée il y a quelques années possède la capacité
d’acquérir le volume d’une pièce transparente avec une résolution spatiale élevée. Par
ailleurs, elle est compatible avec la technique de corrélation volumique développée au
sein de notre laboratoire et implémentée à travers le logiciel CORRELVOL. Elle a déjà
démontré tout son potentiel dans l’analyse des champs de déformations volumiques au
sein d’une structure pour des applications académiques et industrielles. La démarche
consiste à étudier le problème mécanique en passant par une pièce modèle dans un
matériau transparent, ce que l’on appellera dans la suite des travaux une "étude de
structure".
Les travaux présentés dans ce mémoire vont s’articuler en trois parties.
Dans un premier temps nous réaliserons un état de l’art concernant les techniques
d’analyse volumique expérimentale pour des applications mécaniques. Nous analyserons
les différents procédés d’acquisition à cœur, ainsi que les techniques de mesure de champs
mécaniques existantes. Nous pourrons alors identifier les techniques adaptées à l’analyse
d’un problème mécanique ce qui nous permettra de mieux comprendre les difficultés
liées l’acquisition volumique rapide d’une structure et au couplage avec la mesure de
grandeurs mécaniques. À l’issue de cet état de l’art nous dresserons un bilan sur les
performances notamment en terme de vitesse d’acquisition, et les mettrons en relation
avec les capacités d’investigation de notre laboratoire.
Dans un second temps, nous présenterons à travers le chapitre 2 le premier développement que nous avons mené consistant à reprendre l’OST en améliorant sa vitesse
de balayage tout en gardant un mouvement translatif du feuillet. Cela a nécessité la
mise en œuvre d’un système capable de produire et de translater une nappe laser de
manière rapide et synchronisée avec une caméra rapide. Les résultats de ce premier
développement nous ont amené à envisager un nouveau procédé de découpage optique
basé sur un balayage rotatif de la nappe laser. Celui-ci, baptisé ORST et présenté au
cours du chapitre 3, fut motivé par l’ambition d’aller plus loin en termes de qualité de
scan, de profondeur d’investigation dans la matière et de vitesse d’acquisition. Nous
12
Introduction
verrons que cette technique a nécessité le développement d’une première description
mathématique du problème, suivie d’une seconde, permettant d’optimiser la prise en
compte des paramètres optiques du système d’acquisition. Par ailleurs, nous verrons
qu’une attention particulière a été portée sur la synchronisation entre la position du
feuillet laser et les acquisitions de la caméra rapide, dans le but de réaliser des acquisitions
rapides de haute qualité compatibles avec une analyse par corrélation volumique.
La dernière partie de ce mémoire sera consacrée aux applications. La première, présentée dans le chapitre 4 propose d’analyser les capacités de l’ORST sur un problème
académique : l’essai de traction. Contrairement à ce qui est habituellement réalisé en tomographie volumique, le chargement sera appliqué, à notre éprouvette à vitesse constante
de manière à produire une évolution temporelle continue des champs de déformations à
cœur. Enfin, dans une seconde application présentée dans le chapitre 5, nous envisageons
d’aller plus loin à travers l’analyse d’un problème de structure plus complexe dans lequel
plusieurs éléments interagissent entre eux et produisent des champs de déformations à caractère tridimensionnel et variable dans le temps. Ce problème est celui d’un galet roulant
sur un bloc.
État de l’art
Chapitre 1
Analyse mécanique dans le volume
d’une structure
1.1
1.1.1
Techniques d’observation volumique destructives
Origine de l’observation dans le volume
L’observation au cœur de la matière d’une structure ne peut se faire de manière
"directe", c’est-à-dire par l’œil humain, si cette dernière est opaque au spectre des ondes
visibles. Pourtant, l’analyse d’une structure à cœur est devenue au fil de notre évolution
une étape incontournable dans de nombreux domaines. On peut notamment citer la
médecine où la compréhension du fonctionnement du corps humain requiert une analyse
dans le volume. C’est probablement un des premiers domaines à avoir fait l’objet de
telles analyses.
• Les premières observations volumiques en médecine
Les premières observations significatives « archivées » remontent au moyen âge et
concernent principalement l’anatomie du corps humain. Les corps ou organes étaient
ouverts au scalpel à main levée et l’observation se faisait à l’œil nu. Des croquis manuscrits
constituaient l’enregistrement des informations et leur qualité était alors très dépendante
de l’appréciation et des compétences artistiques du scientifique, une des raisons pour
laquelle il y eut à cette époque de nombreuses collaborations entre scientifiques et artistes.
Les représentations anatomiques les plus célèbres sont certainement celles réalisées par
Léonard de Vinci ou encore André Vésale au cours du XVIème siècle. Cependant, en
l’absence de technique de durcissement de la matière, seules quelques observations
pouvaient être réalisées avant que l’organe ne devienne inexploitable.
Au XVIIIème siècle, le microscope fut inventé et offrit la possibilité d’analyser la
matière avec un fort grossissement repoussant largement les limites de notre œil. La
matière observée était préalablement découpée en tranches très minces pour permettre
à la lumière de passer au travers et de révéler la micro-structure interne. La découpe
se faisait d’abord à main levée au scalpel, ce qui permettait d’atteindre au mieux
une épaisseur irrégulière d’un dixième de millimètre jusqu’à ce qu’en 1770, George
Adams mette au point un appareil permettant une découpe mécanique précise appelé
«Microtome». Ce dispositif pouvait alors produire des tranches dont l’épaisseur était très
inférieure à celle obtenue manuellement.
16
Chapitre 1. Analyse mécanique dans le volume d’une structure
Néanmoins les matériaux mous tels que les tissus biologiques supportaient difficilement une découpe de faible épaisseur. Pour cela différentes techniques de durcissement
furent développées notamment par ajout de paraffine, par figeage dans une enveloppe
de résine rigide [Boy60] ou encore par congélation, cette dernière étant plus délicate à
pratiquer à cette époque. L’association de la congélation d’une structure avec sa découpe
en tranches minces est une technique nommée cryosectioning [KV72]. Elle est aujourd’hui
plus utilisée qu’à l’époque grâce aux moyens technologiques de congélation à très basse
température sur une grande variété de matériaux ainsi qu’aux dispositifs de découpe
modernes. En effet, les microtomes actuels associés à la technique de durcissement par
congélation peuvent produire des tranches dont l’épaisseur peut atteindre 50 nm grâce à
l’utilisation de lames en acier, en verre ou encore en diamant [ZWP14].
Finalement, l’invention de la microtomie a ouvert la voie à l’observation volumique
organisée de la matière, basée sur un découpage en sections planes successives. Cette
technique appelée Serial Sectioning fut peu à peu employée dans des domaines autres
que la médecine, notamment en sciences fondamentales et en ingénierie [ZWP14].
1.1.2
Serial sectionning
Le découpage mécanique permet d’isoler une coupe de matière qui peut ensuite
être observée au microscope pour récupérer des informations bidimensionnelles. On
peut ensuite représenter le volume global en l’assimilant à une succession de coupes
assemblées les unes à la suite des autres. Cela constitue un moyen simple pour effectuer
une observation (destructive) organisée d’une structure. Une alternative au découpage
mécanique consiste à polir le matériau étudié.
• Résolution spatiale et précision d’observation
La résolution spatiale d’observation – c’est-à-dire la taille du plus petit élément
observable – dans le plan de coupe est liée à la résolution du dispositif de capture
2D, notamment la taille du grain de la pellicule photo ou encore la taille du pixel
photosensible d’un capteur digital, couplé au grandissement du système (système
optique, objectif, lentille etc..). En revanche la résolution axiale, le long de la normale
au plan de coupe, est donnée par l’épaisseur de la section ou la profondeur du polissage.
Cela signifie qu’une information locale identifiée sur une section est considérée comme
identique dans toute l’épaisseur. En général, on ajuste la résolution de capture dans
le champ avec l’épaisseur de section de manière à obtenir une résolution identique
dans les trois directions. La résolution volumique d’observation est donc fonction de la
qualité du dispositif de coupe et de celle de capture. Néanmoins, des artefacts liés à la
découpe peuvent apparaitre ce qui dégrade la qualité finale du volume observé. Cette
technique a été très utilisée au cours du XXème siècle, notamment en science des matériaux.
1.1. Techniques d’observation volumique destructives
17
• Utilisation du serial sectionning au XXème siècle
En 1918, Forsman [For18] utilisa la technique de découpage mécanique pour observer
la formation de la perlite, un agrégat présent dans l’acier et la fonte qui se forme à haute
température (plus de 700˚C). Il eut l’idée de projeter l’image de chaque tranche découpée
sur une feuille cartonnée dont l’épaisseur correspondait à l’épaisseur de coupe mécanique
(corrigée d’un facteur de grandissement). Les feuilles étaient ensuite découpées en suivant
le contour d’un grain de perlite, puis empilées les unes sur les autres pour reproduire
le modèle 3D solide d’un grain de perlite. Cette technique permettait d’observer la
structure tridimensionnelle du grain après l’avoir agrandi, et cela avec un excellent
confort visuel et ergonomique (manipulation à la main). En effet, il faut noter que
l’observation volumique de la matière pose le problème du dispositif de visualisation,
notamment à cette époque où les systèmes de visualisation 3D informatique n’existaient
pas. Cette technique étant très coûteuse en temps, elle fut assez peu employée. En 1962,
Hillert [HIl62] observa la répartition interne d’un champ de perlite par serial sectioning
en utilisant la technique du film pour ses visualisations. Les photographies des sections
étaient assemblées les unes après les autres formant une courte animation qui offrait la
possibilité de se déplacer au cœur du volume dans la direction normale au plan de coupe
tout en observant la distribution des grains de perlite. Cela dit, ce type de visualisation
perdait le caractère tridimensionnel offert par celle de Forsman. En 1991, Hull et al.
étudièrent la microstructure du titane [HCHH91] par serial sectioning et fut un des
premiers à observer l’organisation granulaire en trois dimensions grâce au logiciel de
dessin assisté par ordinateur CATIA.
Aujourd’hui, malgré le développement de nouvelles techniques d’observation volumique plus rapides et non destructives, le serial sectioning est encore utilisé dans
certains domaines tels que l’imagerie des tissus biologiques [SKG+ 11] [ZLY+ 11] ou
encore l’imagerie de la micro-structure des matériaux [FYY12] [ZWP14] qui nécessite
une très haute résolution de visualisation de quelques dizaines de nanomètres. De plus,
les microtomes de dernière génération permettent aujourd’hui d’atteindre une épaisseur
de coupe de quelques dizaines de nanomètres, ce qui offre la possibilité de produire des
observations hautement résolues dans les trois directions.
• Les avantages et inconvénients du Serial Sectioning
Le principal atout du découpage mécanique repose sur une observation directe de la
matière. Les clichés obtenus sont très détaillés et peuvent être couplés aux techniques
actuelles de visualisation et de post-traitements pour analyser les structures internes de
manière très précise. Néanmoins, certains éléments internes peuvent être « invisibles » ou
indissociables lorsque ces derniers ont la même couleur ou encore la même composition.
D’autre part, l’utilisation d’un microtome génère des artefacts lors de la découpe en fonction des caractéristiques de l’appareil (type de lame, angle de coupe, vitesse de coupe).
Plusieurs études ont montré que l’épaisseur des tranches n’était pas constante notamment
dans le cas de matériaux fibreux car ceux-ci se prêtent mal à une découpe en tranches
18
fines, et que la surface des sections présentait souvent des marques liées au mouvement
de la lame au cours de la découpe [GG86] [LSS+ 94]. De plus, après solidification du
matériau (paraffine, résine, cryogénie), la découpe en sections limite l’observation à un
unique état de l’objet, ce qui réduit le champ d’applications sur des structures mécaniques.
• Acquisition globale d’un corps humain par serial sectioning
En 1989, un projet de visualisation globale du corps humain porté par la National
Science Foundation et dirigé par Michael Ackerman a été mis en place. Baptisé Visible
Human Project [Van00][Row99], il visait à imager le volume entier de deux corps humains
(un homme et une femme) par différentes méthodes non-destructives et destructives dont
le serial sectioning. L’objectif était de recueillir pour la première fois une base de données
3D volumiques complète d’un corps humain et de comparer les différents résultats d’acquisition en fonction de la technique employée. Pour réaliser la capture des données par
serial sectioning, les corps furent immergés dans un mélange de gélatine et d’eau avant
d’être congelés à une température de -70˚C. Un microtome cryogénique réalisa des sections
dont l’épaisseur allait jusqu’à 0.33 mm et celles-ci furent photographiées sur pellicules argentiques 70 mm, puis digitalisées dans une définition de 4096 × 2700 pixels permettant
d’obtenir une très haute densité d’informations spatiales (Figure 1.1). La récolte des 72
Go de données demanda plus de cinq années et fut achevée en 1995 ce qui déjà à l’époque
posait le problème de la grande quantité de données à stocker et à analyser.
Figure 1.1 – Section d’un corps humain pour le Visible Human Project : coupe axiale
du thorax [Fou89]
Les deux corps humains furent également imagés grâce à deux techniques d’imagerie
non destructives développées dans la deuxième moitié du XXème siècle : la Tomographie
rayons X et l’Imagerie par Résonance Magnétique (IRM). Ces deux techniques, très utilisées dans le domaine médical font partie des techniques non destructives développées au
XXème siècle pour observer l’intérieur de la matière.
1.2. Techniques d’observation non-destructives
1.1.3
19
Bilan
L’observation de la matière grâce à une découpe physique a permis de réaliser les
premières observations dans le volume. En associant le découpage en sections minces et
l’observation par microscope, le serial sectionning permet d’observer la matière dans son
volume à des échelles de quelques dizaines de nanomètres mais se limite à l’observation
d’un unique état d’une structure. L’analyse au cours du temps d’une structure dans son
volume est donc impossible.
1.2
Techniques d’observation non-destructives
L’observation interne d’une structure, sans avoir recourt à sa destruction, repose sur
l’observation d’un champ de contraste lié à une ou plusieurs caractéristiques internes de la
matière. Ce champ peut être provoqué par la propagation d’une onde ou d’un champ magnétique qui interagit avec la matière. Différents phénomènes physiques peuvent conduire
à obtenir ce champ de contraste. Nous présentons ci-après les principales techniques existantes qui utilisent ces phénomènes.
1.2.1
Tomographie par rayons X
En 1895, Wilhelm Röntgen [R9̈6] fit la découverte des rayons X, ce qui lui valu le
prix Nobel de physique en 1901. A cette époque, il suivait de près les études menées
par Crookes et Lenard à propos des rayons cathodiques découverts en 1869 par Hittorf.
En reprenant et adaptant le principe du tube de Crookes, Röntgen réussit à produire
un rayonnement particulier provoquant une intense fluorescence sur une plaque de platinocyanure de baryum. Il comprit alors que ce phénomène devait être produit par un
rayonnement invisible qu’il nomma « Rayonnement X ». Rapidement, Röntgen constata
que ces rayons avaient la capacité de traverser un matériau en ligne droite, et cela d’autant
plus facilement que sa densité était faible. En réalisant de multiples essais à travers du
bois, du papier, ou encore du plomb, il finit par en déduire quelques propriétés notables
de ces rayons, notamment leur faible sensibilité à la réfraction, au magnétisme et à la
réflexion sur la plupart des matériaux. Il postula que les rayons qui traversent un objet
sont en partie absorbés par la matière et ce de manière d’autant plus importante que
la densité du matériau est élevée. Il en déduisit que le contraste est directement lié à la
composition interne de l’objet. Fort de ces expériences, il eut l’idée d’utiliser ce rayonnement sur le corps humain dont la densité interne est justement très variable (os, chair,
muscle). Il choisit pour cette expérience la main de sa femme (Figure 1.2) et réalisa la
toute première radiographie du corps humain. Néanmoins, il ignorait les dangers liés aux
rayons X et ceux-ci ne furent évalués que plusieurs années plus tard après avoir provoqué
de graves lésions chez de nombreux patients et médecins.
20
Figure 1.2 – Radiographie de la main de Bertha Ludwig Röntgen en 1895 [R9̈6]
En utilisant les rayons X, la caractéristique observée à l’intérieur d’un matériau
est sa densité au travers du phénomène d’absorption des rayons. Par conséquent, le
niveau d’absorption obtenu en sortie résulte de la somme de l’ensemble des absorptions
rencontrées le long de la traversée des rayons dans le matériau. On parle alors d’une
intégration dans le volume. L’image des contrastes d’absorption obtenue dépend donc
de l’orientation du matériau par rapport à la direction d’émission des rayons X, comme
l’avait observé Röntgen en analysant un barreau de bois à section carré, dont une des
faces était recouverte d’une couche de plomb [R9̈6]. En utilisant cette propriété et en
adaptant la technique de radiographie rayons X, une technique d’acquisition volumique
en trois dimensions par Tomographie fut développée dans la seconde moitié du XXème
siècle.
• Développement de la tomographie par rayons X
Comme nous venons de le voir, l’utilisation d’une source de rayons X pour traverser
une structure opaque permet d’obtenir un champ de contraste bidimensionnel (une
image) représentant la densité intégrée du matériau le long de la direction d’émission des
rayons. En changeant la position relative de la source par rapport à l’objet, un champ
de contraste différent est obtenu. Par conséquent, en réalisant des radiographies d’un
objet sous différentes orientations, nous obtenons plusieurs champs de densité intégrée
correspondant tous à la même structure. Grâce à une transformation mathématique
adaptée, il est possible de reconstruire un volume en trois dimensions à partir d’une série
de radiographies 2D prises suivant différentes orientations. Cette technique porte le nom
de « Tomographie par rayons X » pour désigner le fait qu’il est possible après reconstruction de représenter des coupes (en grec Tomé signifie « coupe » et Graph signifie «
écrire ») du volume tridimensionnel obtenu. On parle également de « Tomodensitométrie
X » car il s’agit d’une mesure de densité au sein d’un volume.
Pour reconstruire le volume, des calculs de reconstruction basés sur l’utilisation de
la transformée de Radon sont mis en œuvre [Gra02]. Cet outil mathématique développé
par le mathématicien autrichien Johan Radon en 1917 permet de décrire une image bidimensionnelle à partir de la totalité de ses projections unidirectionnelles par des droites
21
concourantes et de construire un algorithme de rétroprojections filtrées. Par analogie,
l’émission de rayons X dans le plan d’une section bidirectionnelle permet de récupérer
différentes projections unidirectionnelles pour différentes positions de la source rayons
X(Figure 1.3).
Figure 1.3 – Projections unidirectionnelles à partir d’une même section
En adaptant l’utilisation de cette transformation mathématique aux projections
bidimensionnelles d’un objet tridimensionnel, il est possible de reconstruire un volume
complet, à condition toutefois que le nombre de projections soit suffisant. En effet,
plus le nombre de projections est élevé et plus la quantité d’informations capturées est
importante, ce qui permet d’obtenir un résultat d’autant plus détaillé de l’intérieur
du volume. Les différentes projections pourront être obtenues à partir d’une mise en
rotation de la source rayons X ou bien à partir d’une mise en rotation de l’objet. Comme
cette démarche requiert de nombreux calculs, l’utilisation d’un ordinateur est nécessaire.
C’est pour cela que les premières images tomographiques volumiques n’ont pu être
obtenues qu’en 1956 grâce aux travaux de Bracewell. Cette technique est donc liée à une
phase de calculs de reconstruction d’où le nom souvent employé de X-Ray Computed
Tomography ou encore « XµCT ». Le premier appareil, appelé scanner, basé sur une
position fixe de la source de rayons X et une mise en rotation de l’objet, fut réalisé par
Hounsfiled en 1972, il reçut pour cela le prix Nobel de physiologie et médecine en 1979.
C’est aujourd’hui ce type de système que l’on rencontre majoritairement pour l’étude
de structures mécaniques, à noter que pour les applications médicales c’est l’ensemble
émission/réception des rayons X qui tourne autour du patient immobile.
22
• Performances d’acquisition de la Tomographie rayons X
Pour réaliser l’acquisition volumique d’une structure mécanique par tomographie
rayons X, celle-ci est en général placée sur un support rotatif permettant de lui imposer de très faibles incréments de rotation. Pour chaque incrément, souvent inférieur à 1˚,
une radiographie 2D de l’objet est acquise ce qui, en considérant que l’objet effectue un
tour entier sur lui-même, nécessite plusieurs centaines de radiographies pour une analyse
3D. Grâce à ce niveau de discrétisation, ainsi qu’à la résolution de la capture (capteur
digital sensible aux rayons X), il est possible d’atteindre une résolution spatiale proche
du micromètre. La durée d’acquisition d’une seule radiographie 2D est proportionnelle au
rapport entre l’énergie délivrée par la source rayons X et la densité du matériau utilisé.
En pratique on rencontre principalement deux types de système, le micro-tomographe
de laboratoire et le synchrotron. Le premier système constitue un équipement qui peut
être implémenté dans une salle en laboratoire. En utilisant ce dispositif, la durée d’intégration d’une seule radiographie est souvent égale à plusieurs secondes, d’où une durée
totale d’acquisition du volume souvent supérieure à 10 minutes voire plusieurs dizaines
de minutes. Par conséquent les structures analysées à l’aide d’un micro-tomographe de
laboratoire sont considérées dans un état statique et ne doivent pas subir de perturbations
durant l’acquisition. Par ailleurs la source produit en général un faisceau de type conique
dont la géométrie doit être prise en compte lors de la reconstruction des volumes. Il est
possible de réduire la durée des acquisitions en utilisant une source de type synchrotron.
Basé sur une accélération des particules, ce système n’est disponible qu’au sein d’un environnement entièrement dédié de plusieurs hectares, on peut citer notamment l’ESRF
(European Synchrotron Radiation Facility) près de Grenoble en France. Ce système fournit une source de rayonnement à haute énergie qui permet de réduire le temps d’acquisition
à quelques minutes. De plus ce type de source a l’avantage de produire un rayonnement
parallèle qui permet d’employer plus aisément les techniques de reconstruction que celles
des micro-tomographes de laboratoire.
Figure 1.4 – Reconstitution virtuelle de l’intérieur d’un os capturé par tomographie
rayons X en laboratoire [Ger07]
23
Il est possible de réaliser une analyse des défauts internes par rayons X à condition
qu’ils soient caractérisés par une variation de densité, par exemple une fissure contenant
de l’air, par rapport au matériau. En revanche, pour réaliser des mesures de grandeurs
mécaniques au sein d’un volume capturé par tomographie rayons X, celui-ci doit présenter
une variation spatiale de densité afin de pouvoir suivre la transformation matérielle de la
structure, c’est le cas notamment de l’os (Figure 1.4) qui renferme de nombreuses petites
cavités. En revanche, l’analyse d’un matériau homogène nécessite l’ajout de marqueurs,
en général des particules de densité différente de celle du matériau, permettant de
produire un contraste local.
La tomographie rayons X est donc une technique d’analyse volumique performante
en termes de résolution spatiale et de procédé non destructif, mais elle est limitée par sa
vitesse d’acquisition et l’utilisation d’un appareillage complexe. De plus, pour étudier une
structure sous chargement, c’est l’ensemble du système qui doit être mis en rotation, ce
qui complique la mise en œuvre pour des vitesses d’acquisition élevées.
1.2.2
Échographie ultrasonore
Historiquement, c’est en 1794 que l’existence des ultrasons fut soupçonnée par Lazzaro
Spallanzani en observant le vol des chauves-souris, mais ce n’est qu’une centaine d’années
plus tard, en 1883 que Francis Galton parvint à produire un ultrason à l’aide d’un
sifflet sans qu’aucune application scientifique ne soit trouvée. En 1917, Paul Langevin
eut l’idée d’utiliser les ultrasons pour la détection des sous-marins durant la première
guerre mondiale. Il mit au point un appareil utilisant un cristal de quartz (matériau
piézoélectrique) associé à une tension électrique haute fréquence pour générer une onde
acoustique à haute fréquence. Ce dispositif pouvait à la fois émettre un ultrason et
recevoir son écho en cas de réflexion sur un objet. En mesurant le délai temporel entre
l’émission et la réception d’un train d’ondes, et connaissant la vitesse du son dans l’eau,
il pouvait déterminer la distance à laquelle se trouvait le sous-marin ou tout autre
objet situé sur le trajet des ultrasons. Cet appareil, baptisé SONAR (Sound Navigation
and Ranging) fut longtemps utilisé pour la détection en mer, avant que les premières
applications en médecine puis en ingénierie ne soient réalisées. L’idée d’utiliser la réflexion
des ondes sonores fut employée dans les années 1950 pour mettre en œuvre une nouvelle
technique d’imagerie reposant sur l’émission et la réception d’ultra-sons.
• Développement de l’échographie ultrasonore
En reprenant le phénomène d’écho caractérisé par la réflexion d’une onde sonore
au contact d’une interface matérielle, Wild et Neal [WN51] développèrent dans les
années 1950 le premier échographe capable de détecter différentes couches successives
d’un tissu biologique, dans la profondeur, le long du trajet des ultrasons. En effet, ils
avaient considéré qu’en plus d’être réfléchie, l’onde ultrason est en partie transmise ce qui
permettait de récupérer plusieurs échos décalés dans le temps, représentant différentes
couches de matière dans la profondeur. Forts de cette capacité à caractériser la matière
dans la profondeur, Wild et Neal réalisèrent leur première expérience sur un morceau
24
de tissu cérébral. La caractéristique physique observée par ultrasons est donc l’interface
entre deux couches de matière de densité sensiblement différente. Les échographes évoluèrent peu à peu vers des systèmes utilisant plusieurs dispositifs d’émission/réception,
permettant d’obtenir différentes directions d’émission et de réception dans le but de
caractériser un volume de matière en trois dimensions. Comme les rayons X, l’échographie
connut un véritable essor dans la deuxième moitié du XXème siècle et fut d’abord utilisée
dans le domaine médical (Figure 1.5), avant d’être adaptée au domaine de l’ingénierie
notamment pour le « Control Non-Destructif » (CND) des structures [Bra13].
Figure 1.5 – Echographie d’un fœtus humain [All11]
• Performances d’acquisition de l’Échographie
La vitesse d’acquisition est liée à la vitesse de propagation du son dans le milieu
étudié. Celle-ci est égale à 340 m.s-1 dans l’air mais dépasse 1000 m.s-1 dans la plupart
des matériaux solides ou liquides ce qui permet à l’imagerie ultrasonore d’être quasiment
instantanée. En fonction de la profondeur analysée et de la résolution spatiale choisie,
on adaptera la fréquence d’émission entre 1 MHz et 50 MHz. Plus la fréquence utilisée est élevée et plus le niveau de détail observé est important mais l’onde est d’autant
plus rapidement atténuée, perdant son pouvoir de pénétration dans la matière. Il faut
donc trouver un compromis entre la profondeur d’analyse et la résolution spatiale choisie.
D’autre part, cette onde ne comporte pas les mêmes dangers que les rayons X et peut donc
être utilisée pour différentes observations sur le corps humain notamment l’observation
d’un fœtus au cours de la grossesse. Le transducteur utilisé dans un système d’imagerie
ultrasonore renseigne sur les discontinuités dans le volume le long de la direction d’émission. Pour obtenir une image bidimensionnelle, le transducteur est mis en rotation pour
permettre le balayage d’une surface plus ou moins étendue selon l’angle du balayage, que
l’on aperçoit en général très nettement sur les échographies médicales (Figure 1.5). Les
ondes acoustiques sont soumises à une loi de transmission/réflexion comparable à celle
de Snell-Descartes, ce qui signifie qu’à chaque passage à travers une interface le trajet
de l’onde sonore est modifié. Cela provoque un certain nombre d’artefacts de reconstruction qui limitent souvent son utilisation à des observations qualitatives. Cette technique
est donc très utilisée pour l’observation du corps humain, notamment celle de l’abdomen
[GL75], mais également dans le domaine de l’ingénierie pour le contrôle non destructif
25
grâce à sa capacité à révéler des défauts internes tels que les fissures, notamment au
sein des matériaux composites [SL07]. Grâce à des mécanismes de plus en plus évolués
utilisant un grand nombre de transducteurs dans une seule sonde couplé à un système
de focalisation [Kos72], ou encore un balayage rotatif bidirectionnel, il est aujourd’hui
possible d’obtenir une représentation tridimensionnelle de l’intérieur d’une structure. Il
s’agit alors d’échographie 3D basée sur une géométrie multi-éventail [TPGB01]. Un autre
procédé d’échographie volumique consiste à réaliser plusieurs acquisitions pour différentes
positions du transducteur autour de la structure étudiée, on parle alors de tomographie
ultrasonore. Cette technique fait appel à une procédure de reconstruction comparable à
celle utilisée dans le cas de la tomographie rayons X. La tomographie ultrasonore permet
d’acquérir des volumes en quelques secondes mais le niveau de bruit est assez élevé.
1.2.3
Imagerie par résonance magnétique
Selon le type de rayonnement, la matière peut absorber des rayons (Rayons X), les
réfléchir (ultrasons), mais également relâcher de l’énergie sous forme de rayonnement vers
l’extérieur. C’est le phénomène de résonance magnétique nucléaire (RMN). Initialement
étudié par Felix Bloch [Blo53] dans les année 1950, ce phénomène est lié à la vibration
des atomes. En effet, lorsqu’ils reçoivent un rayonnement électromagnétique de type
radio-fréquence, ils absorbent l’énergie reçue avant de la relâcher progressivement.
Ce relâchement a lieu au cours d’une phase appelée « relaxation » et se traduit par
l’émission d’une onde électromagnétique dont la fréquence dépend du champ magnétique
environnant et de la nature de l’atome concerné. Par exemple les atomes d’hydrogène
(très présents dans les tissus biologiques) et de carbone sont tous deux concernés par
ce phénomène. En émettant des impulsions d’onde électromagnétique à une fréquence
spécifique sur ces atomes, ils se mettent à résonner et émettent un rayonnement. L’analyse
de ce rayonnement donne accès à la composition du matériau. Cette technique est très
utilisée en chimie pour caractériser les éléments présents dans une solution. On parle
dans ce cas de spectroscopie par résonance magnétique nucléaire.
• Développement de l’imagerie par résonance magnétique
Pour pouvoir utiliser le phénomène de résonance magnétique nucléaire, il convient
dans un premier temps d’appliquer un champ magnétique intense permettant d’aligner
l’ensemble des champs magnétiques des molécules possédant un spin nucléaire. Une fois
ces molécules orientées, l’émission d’une onde radio-fréquence particulière permet la mise
en résonance des atomes qui, durant leur phase de relaxation [NCNL50], émettront un
ensemble d’ondes radio-fréquence toutes orientées dans la même direction que l’on pourra
alors analyser. Ces ondes sont appelées les « échos des spins ». En 1971, Raymond Damadian postule que les « échos des spins » des tissus biologiques peuvent être utilisés pour
différencier les tumeurs cancéreuses des tissus sains [Dam71]. Il parvint alors à mettre au
point un dispositif [mC71] permettant de récupérer un champ de contraste dans une zone
composée de tissus cancéreux et de tissus sains jusqu’alors indissociables par microscopie
optique, imagerie par rayons X ou encore échographie. Au cours de leur relaxation, les
atomes émettent différents types de résonances que Damadian caractérisa au travers d’un
26
brevet [Dam74] déposé en 1974. Il affirme également que cette technique permet l’observation d’un corps humain vivant sans danger en comparaison à l’imagerie par rayons X.
En 1972, Paul Lauterbur réalise les premières acquisitions 2D en coupe de 2 tubes de
1mm de diamètre remplis d’eau et d’un mélange à base de manganèse [Lau73] puis en
1977 Damadian réalise la première observation du thorax sur un corps humain (Figure
1.6).
Figure 1.6 – Première image par résonance magnétique du thorax d’un corps humain
obtenue par Damadian en 1977 [DGM77]
• Performances d’acquisition de l’imagerie par résonance magnétique
Pour obtenir une image en trois dimensions, trois systèmes sont utilisés pour appliquer
des champs magnétiques selon les trois directions de l’espace. De plus, un gradient est
appliqué le long de chacune des directions pour permettre la différentiation des informations. De fait, l’appareillage utilisé pour ce type d’investigation, appelé scanner IRM, est
extrêmement complexe et très lourd à utiliser pour l’examen d’une structure. Cette technique d’investigation non-invasive et sans danger pour le corps humain permet l’analyse
des tissus mous notamment au niveau du cerveau, des muscles, et de la moelle épinière
ou encore des tumeurs cancéreuses [CVMA+ 08] avec une résolution spatiale pouvant aller
jusqu’à 30 µm. Néanmoins, l’acquisition d’une image 3D repose sur le déplacement de
l’objet, indispensable pour balayer l’intégralité de son volume, ce qui impose une durée de
scan généralement de plusieurs minutes. Elle est donc adaptée à l’étude du corps humain
ou encore à celle de toute structure statique composée de molécules d’eau ou de carbone,
mais est difficilement utilisable pour l’observation et l’analyse mécanique dans le volume
d’une structure mécanique.
1.2.4
Tomographie optique
Certaines applications ont recours à l’utilisation des rayonnements lumineux, notamment l’étude du comportement des fluides transparents ou encore celle des matériaux
transparents. Le comportement d’un fluide par exemple, adoptant généralement un
caractère fortement tridimensionnel, est à la fois trop rapide et dépourvu de contraste
pour être analysé par tomographie par rayons X, échographie ultrasonore ou encore
imagerie par résonance magnétique. Au début du XXème siècle, pour étudier l’écoulement
des fluides, Ludwig Prandtl eut l’idée de les ensemencer avec de fines particules éclairées
27
pour suivre les mouvements. Ces particules permettent de produire un contraste qui peut
être observé et enregistré. Grâce à l’utilisation de ce contraste, à la fin du XXème siècle
la technique de tomographie-PIV fut développée, permettant d’observer un fluide dans
le volume et au cours du temps.
En mécanique des solides, les difficultés liées à l’observation d’une structure par tomographie rayons X, échographie ultrasonore ou encore Imagerie par Résonance Magnétique,
ont motivé le développements de techniques alternatives d’observation basées sur l’utilisation de la lumière. Dans le domaine médical une technique comparable à l’échographie
ultrasonore fut développée en utilisant cette fois les rayons lumineux, il s’agit de l’optical
coherence tomoraphy (OCT). Cette technique basée sur le phénomène d’interférences de
la lumière, est très utilisée pour l’observation des tissus biologiques transparents. D’autre
part, l’observation au cœur de certaines structures solides transparentes peut être réalisée
par optical scanning tomography (OST) grâce au phénomène de diffusion de la lumière
similaire à celui utilisé par la tomographie-PIV. Cette technique est basée sur l’utilisation
du découpage optique via une nappe laser permettant de révéler la section d’une structure
d’un solide transparent composé de particules diffusantes.
1.2.4.1
Tomo-PIV
• Développement de la Tomo-PIV
Pour obtenir le champ complet des vitesses dans les trois directions, la Tomo-PIV pour
Tomographic Particle Image Velocimetry fut développée dans les années 2000 [ESWvO06].
L’acquisition d’un volume de particules éclairées est réalisée grâce à 4 voire 6 caméras
(Figure 1.7) qui capturent simultanément la scène sous différents points de vue. Cette
technique peut être comparée à la tomographie par rayons X dans la mesure où elle consiste
à obtenir différentes projections de l’intérieur d’une même structure. En tomographie par
rayons X, ces différentes images sont obtenues en faisant tourner l’objet sur lui-même
alors que la Tomo-PIV utilise autant de caméras que de points de vue. Dans les deux cas,
une procédure de reconstruction du volume est utilisée, et doit être adaptée à une faible
quantité de données avec la Tomo-PIV. Ces deux techniques utilisent une intégration
dans le volume, néanmoins, dans le cas de la Tomo-PIV il s’agit d’une intégration saturée
des données, ce qui signifie que les particules peuvent être masquées les unes par les
autres. En effet, chaque information lumineuse capturée localement par le récepteur (en
général un capteur CCD) correspond à l’intégration des intensités lumineuses rencontrées
sur le trajet optique. Du fait du faible nombre de projections, une méthode analytique
telle qu’un algorithme de rétroprojection filtrée ne peut être utilisé. Dans ce cas ce sont
des méthodes algébriques qui sont employées. Les deux algorithmes couramment utilisés
pour résoudre le problème de reconstruction sont ART pour "Algebraic Reconstruction
Tomographic" et MART pour "Multiplicative Algebraic Reconstruction Tomographic"
[MPW09][ESWvO06]. Ils permettent de reconstruire le domaine volumique avec la même
résolution dans les trois directions de l’espace. En revanche, alors que la tomographie
rayons X réalise ses radiographies les unes après les autres, la tomo-PIV capture tous les
points de vue au même instant, ce qui lui permet d’atteindre des vitesses d’acquisition
28
très élevées de plusieurs kHz.
Figure 1.7 – Schéma de principe de la Tomo-PIV [Ger07]
• Performances de la Tomo-PIV
La résolution spatiale est liée au grandissement du système de capture dans le plan
lui-même conditionné par la taille des particules. Effectivement, les particules utilisées
ne peuvent avoir une dimension inférieure à une dizaine de micromètres pour éviter
le phénomène de speckle, caractérisant les interférences avec la longueur d’onde de la
lumière. Dans la pratique, une taille de particules supérieure ou égale à 10 µm est
souvent utilisée [DHL+ 03][TBR+ 11]. Le nombre de points de vue est très limité (4 voire
6 maximum) ce qui conduit à reconstruire des volumes peu précis faisant apparaître un
certain nombre d’artefacts de reconstruction et un niveau de bruit important [ESWvO06].
Les volumes obtenus sont ainsi exploitables pour analyser les mouvements des fluides
mais la qualité locale est très limitée. De plus, cette technique nécessite une mise en
œuvre complexe liée à l’utilisation de plusieurs caméras rapides suivant différentes
orientations en évitant tout problème de réfraction à travers les bassins d’observation
(utilisation de prismes).
1.2.4.2
OCT : Optical Cohérence Tomography
• Développement de l’OCT
L’OCT, pour Optical Coherence Tomography, est une technique d’acquisition qui utilise les propriétés de cohérence de la lumière, en d’autres termes sa capacité à conserver ses propriétés de propagation dans le temps et dans l’espace (cohérence spatiale et
temporelle). Ces caractéristiques permettent à la lumière d’être sujette au phénomène
d’interférences dont la mise en application la plus célèbre est celle de l’interféromètre de
Michelson. L’OCT fonctionne sur le même principe que ce dernier système, mais dans la
profondeur de la matière. Le fonctionnement repose sur l’utilisation d’un seul faisceau initial de lumière cohérente dont le chemin est divisé en deux. Les deux faisceaux empruntent
29
des trajets spatialement différents avant de se rejoindre pour impacter un détecteur en
un même point (Figure 1.8). Le premier faisceau est appelé "faisceau de référence". Il
est simplement transmis vers le détecteur par un jeu de miroirs (Figure 1.8), alors que le
second appelé "faisceau de mesure" est envoyé sur l’objet étudié et est réfléchi par celui-ci
de manière à venir impacter le détecteur au même point que le faisceau de référence.
Figure 1.8 – Schéma de principe de l’OCT [Ger07]
Lorsque les distances des trajets optiques des deux faisceaux sont égales, un phénomène d’interférences se produit conduisant à un pic d’intensité lumineuse reçu par le
détecteur. Cela signifie que le faisceau de mesure a rencontré une interface à l’intérieur
de l’objet analysé. En considérant que la structure analysée est formée de plusieurs
interfaces successives à différentes profondeurs dans l’axe du faisceau de mesure, celui-ci
peut alors être réfléchi par chacune d’elles car la lumière est transmise dans la profondeur
du matériau. Pour connaître les distances relatives entre ces interfaces, il suffit alors de
faire varier la distance du chemin de référence en adaptant la position d’un des miroirs.
Dans ce cas, la mesure réalisée pour l’analyse des différentes couches de matière est
unidirectionnelle. Aussi en ajoutant une direction de balayage axiale au spot impactant
l’objet, il est possible d’acquérir une section de l’objet, et l’intégralité du volume est
capturée en ajoutant deux directions axiales de balayage perpendiculaires.
• Performances de l’OCT
Pour effectuer une acquisition volumique, la technique OCT repose sur trois
mouvements mécaniques différents, celui du miroir et deux déplacements axiaux perpendiculaires du faisceau de mesure. Par conséquent, l’analyse volumique complète nécessite
en général plusieurs minutes [WDG+ 05] en fonction de la taille du domaine étudié.
En ce qui concerne la résolution d’acquisition, celle-ci est donnée par l’incrément de
déplacement mécanique du miroir et du spot. Néanmoins, la résolution axiale dépend
en plus de la taille du spot lumineux. En général, la résolution obtenue dans les trois
directions est comprise entre 10 µm/voxel et 15 µm/voxel [SLL13]. Cependant, tandis
que les dimensions axiales du champ investigué ne sont limitées que par l’amplitude
30
du déplacement mécanique du spot lumineux, la profondeur d’investigation dépend elle
des performances de pénétration de la lumière. Dans la pratique, on constate que la
profondeur d’investigation ne peut excéder quelques millimètres. Pour ces raisons, cette
technique est principalement utilisée sur les tissus mous transparents, notamment dans le
domaine de l’ophtalmologie pour l’imagerie de la rétine (Figure 1.9). On trouve également
certaines applications sur les matériaux composites pour étudier la délamination interne
[LGB14] ou encore sur certains silicones [FPR13]. Finalement l’OCT fonctionne de
manière similaire à l’échographie, dans la mesure où cette technique utilise la réflexion
d’une onde par des interfaces au sein de la matière. Elle est donc adaptée à l’analyse des
milieux à interfaces mais est plus difficilement utilisable pour une analyse mécanique de
structure. Pour ce type d’applications, une autre technique a été développée, il s’agit de
l’Optical Scaning Tomography.
Figure 1.9 – Observation en trois dimensions de la rétine par OCT [Dre09]
1.2.4.3
OST : Optical Scanning Tomography
• Développement de l’OST
L’Optical Scanning Tomography (OST) est une technique d’acquisition volumique
dans les matériaux solides transparents qui repose sur le procédé de découpage optique
également utilisée en mécanique des fluides. Ce procédé utilisant une nappe laser mince
avait été utilisé en mécanique des fluides [LDF77][Bru95], puis dans les solides avec les
développements réalisés au sein de notre laboratoire [Ger07]. L’OST s’applique à des
structures pour l’analyse des déformations volumiques pour des problèmes statiques. La
structure étudiée doit être transparente et réagir de manière diffusante au passage d’une
nappe laser. Celle-ci permet d’obtenir le phénomène de diffusion au niveau d’une section
du matériau, généralement composé d’une résine transparente dans laquelle sont incluses
de fines particules diffusantes. La résine utilisée peut être de type silicone ou polyuréthane
et les particules de type polyamide pour garantir les meilleurs résultats de diffusion et de
pénétration de la lumière à travers la matière [Ger07]. Le choix de la taille des particules
31
est essentiel et permet d’obtenir un contraste représentatif des positions des particules, ou
bien un contraste d’interférences avec la lumière. En fonction du type de mesure réalisée,
on adaptera la taille des particules. L’acquisition de l’ensemble d’un volume est réalisée
grâce à une translation progressive de l’objet étudié, ce qui permet d’éclairer et de capturer
des sections successives de la structure, tout en considérant une nappe laser fixe.
Figure 1.10 – Schéma de principe de l’OST
Les différentes sections sont capturées au moyen d’une seule caméra et peuvent
être directement assemblées les unes à la suite des autres pour reconstruire une image
volumique en considérant que les effets de perspective et de distorsion optique sont
faibles (petit volume et optique adaptée).
• Performances de l’OST
L’OST se base sur un déplacement lent de la structure étudiée, par conséquent la durée d’acquisition d’un volume est de plusieurs minutes. Les problèmes mécaniques étudiés
sont donc purement statiques. Les dimensions du volume observé sont également limitées
par les capacités de pénétration de la lumière et par son pouvoir de diffusion à travers le
matériau. En effet, à mesure que la lumière du feuillet laser pénètre dans le volume, l’intensité lumineuse décroit ce qui tend à réduire le contraste observé. De la même manière,
lorsque le feuillet laser se situe en profondeur dans le volume par rapport à la caméra, la
lumière diffusée par les particules se trouve atténuée le long de son trajet en direction de
la caméra. Néanmoins l’OST permet d’analyser des structures d’une dimension de plusieurs centimètres dans les trois directions [Ger07] ce qui offre la possibilité d’aborder des
problèmes tels que la détermination des champs mécaniques sur une rotule aéronautique
32
(Figure 1.11). Cela dit, cet effet doit être quantifié et pirs en compte pour des géométries
de plus grandes dimensions.
Figure 1.11 – Analyse par OST d’une rotule aéronautique ([GDD06])
Figure 1.12 – Phénomène de traînée lié à l’OST [Ger07]
La résolution spatiale dans le plan est directement liée au grandissement du dispositif
de capture, et à l’épaisseur du feuillet dans la direction hors-plan. En adaptant les éléments
optiques du montage [Ger07], il est possible d’atteindre une épaisseur de feuillet de 60µm.
Néanmoins, la qualité des volumes reconstruits n’est pas tout fait homogène dans les trois
directions. Dans la direction hors-plan, on remarque en général un phénomène de traînée
33
des particules qui est dû à la diffusion lumineuse des particules de part et d’autre du
feuillet. L’information volumique est donc sensiblement moins localisée le long de l’axe z0
que dans le plan x0 y0 (Figure 1.12).
L’OST est basée sur la propagation des rayons lumineux et ceux-ci sont sujets au
phénomène de réfraction au moment de la pénétration dans l’objet. Or, l’OST est appliquée à des structures solides dont la géométrie n’est pas nécessairement parallélépipédique
comme nous l’avons vu avec l’étude d’une rotule aéronautique (Figure 1.11). C’est pourquoi, pour des géométries complexes, il est nécessaire d’immerger la structure dans une
cuve parallélépipédique remplie d’un liquide dont l’indice optique est semblable à celui
du matériau étudié. De cette façon, les effets de réfraction sont limités et le feuillet laser
peut se propager à l’intérieur du volume en conservant sa géométrie plane.
1.2.5
Bilan
L’observation volumique non-destructive d’une structure est possible dans différents
domaines grâce à un certain nombre de techniques d’acquisition développées au cours
du XXème siècle. Chacune d’elles utilise un phénomène physique spécifique lui offrant
une compatibilité avec différents types de matériaux (Tableau 1.1). Néanmoins, ces techniques diffèrent de part le type de contraste analysé, la résolution spatiale ou temporelle
d’acquisition, ou encore la profondeur d’investigation.
Table 1.1 – Synthèse des performances d’acquisition de 6 techniques non destructrices
On pourra par exemple observer très précisément la micro-structure d’un matériau
solide opaque (de densité variable) grâce à la tomographie rayons X avec une résolution
proche du micromètre, mais la durée d’acquisition de plusieurs dizaines de minutes limite
les études à des états statiques. A l’inverse l’analyse du comportement d’un fluide transparent peut se faire de manière dynamique grâce à la Tomo-PIV, mais les volumes obtenus
sont en général plus bruités. D’autres techniques telles que l’échographie ou encore l’OCT
permettent d’analyser les interfaces d’une structure mais essentiellement dans le domaine
médical grâce à la compatibilité avec les tissus organiques du corps humain. Finalement,
pour les six techniques présentées dans cette section, la résolution spatiale d’acquisition
34
peut aller du micromètre au millimètre et la résolution temporelle du millième de seconde
à plusieurs dizaines de minutes. D’autre part, la profondeur d’investigation est également
variable, de quelques millimètres à plusieurs dizaines de millimètres (Tableau 1.1).
Selon les applications, les acquisitions volumiques peuvent être utilisées soit pour l’observation d’une structure dans son volume, soit pour effectuer des mesures de grandeurs
mécaniques telles que les déplacements, les déformations ou encore les vitesses. Certaines
des techniques ci-avant offrent la possibilité de réaliser de telles mesures, mais elles doivent
alors être associées à des techniques de post-traitement capables d’extraire les champs
mécaniques. Dans ce qui suit, nous allons présenter les principales techniques de mesures
associées.
1.3
Mesure de grandeurs mécaniques au sein d’un volume
Nous avons décrit les différentes techniques d’acquisition volumique existantes, et dans
quelles situations elles peuvent éventuellement être utilisées. Ces techniques permettent
toutes d’obtenir une représentation tridimensionnelle de l’intérieur de la matière, et certaines permettent de calculer des grandeurs mécaniques à condition de les associer avec
une technique d’analyse adaptée. Aussi, nous présentons dans ce qui suit les principales
techniques de mesure qui peuvent être utilisées pour mesurer des champs mécaniques au
sein d’un fluide ou d’une structure solide.
1.3.1
Photoélasticimétrie 3D
Au début des années 1930 une technique d’analyse des contraintes dans les matériaux
appelée « Photoélasticimétrie » fut développée par E.G. Coker et L.N.G. Fillon. Cette
technique fait appel au phénomène de biréfringence que présentent certains matériaux
transparents lorsqu’ils sont chargés mécaniquement. La biréfringence, mise en évidence
par Brewster en 1816, caractérise la propagation anisotrope de la lumière, ou encore une
variation de l’indice optique au sein du matériau. En utilisant les équations de Maxwell
sur la propagation de la lumière, il est possible de relier les variations de l’indice optique
aux contraintes principales, et la direction des contraintes principales à la direction de
polarisation de la lumière transmise. Le montage développé au laboratoire (un polariscope
2D Figure 1.13) est constitué d’une source lumineuse (mono ou polychromatique), d’un
polariseur et d’un analyseur, la section étudiée se situant entre ces deux derniers. La
lumière en sortie du polariscope est constituée d’une série de franges (isochromes et
isoclines) que l’on peut relier aux contraintes [BD11][GH12].
En parallèle, l’analyse du champ des contraintes dans un volume a été développé en
couplant la photoélasticimétrie 2D avec le serial sectionning et le figeage des contraintes.
Oppel avait en effet observé une propriété intéressante de certains polymères qui, après
avoir été chargés mécaniquement dans un état visqueux à haute température (130˚C)
puis refroidis lentement, ont la capacité de conserver leur état de déformation et donc la
1.3. Mesure de grandeurs mécaniques au sein d’un volume
35
biréfringence interne [Cer80].
Figure 1.13 – Schéma de principe d’un polariscope 2D
Pour pouvoir analyser un matériau sans découpage mécanique, une autre technique
consiste à associer la photoélasticimétrie à la tomographie optique par balayage (OST).
Dans ce cas, ce sont les propriétés de polarisation de la lumière diffusée qui sont
utilisées. Ce phénomène de polarisation (diffusion de Rayleight) apparaît lorsque la
taille des particules diffusantes est proche de celle de la longueur d’onde de la lumière.
Le phénomène de diffusion peut être utilisé comme analyseur [Wel41][GJM+ 14], le
rôle de polariseur étant joué par la polarisation du faisceau d’entrée. On peut alors
obtenir un champ de franges, mais celles-ci sont complexes à mettre en relation avec
le champ de contraintes puisque les franges ainsi produites sont dues à l’intégration
le long de la propagation du faisceau dans la pièce. C’est pourquoi une autre technique a été développée [DL80][Plo96][Z9́8] consistant à utiliser le phénomène de diffusion
à la fois comme polariseur et analyseur en utilisant deux feuillets de lumière (Figure 1.14).
Comme la lumière diffusée par les deux feuillets est polarisée, le phénomène de biréfringence peut être employé à partir des interférences des deux faisceaux. Ces interférences
sont fonction des variations d’indices optiques dans la tranche isolée, de la même manière
que si l’on avait découpée mécaniquement une section pour l’observer avec un polariscope
2D. On obtient alors des franges identiques. Comme la lumière diffusée est un champ de
granularité laser, une analyse statistique des niveaux de gris des images capturées est cependant nécessaire ce qui implique l’acquisition de plusieurs images pour une seule section
du volume [Ger07].
36
Figure 1.14 – Schéma de principe de la photoélasticimétrie 3D [Ger07]
1.3.2
Suivi de marqueurs volumiques
Le suivi de marqueurs volumiques [AHV+ 12][HBNW08] est l’extension de la technique
de suivi de marqueurs 2D [BVD05] appliquée à un volume. Cette technique de mesure
consiste à identifier la position d’un ou de plusieurs marqueurs au sein d’un volume dans
le but de mesurer des champs de déplacements, de déformations ou encore de vitesses
pour différents états volumiques. Elle ne peut donc être utilisée que sur des volumes
contenant des particules distinctes comme ceux obtenus en mécanique des fluides par
exemple. Il est indispensable que le matériau possède un champ de particules internes
qui peut être soit naturel soit artificiel. Pour analyser les déplacements des particules,
il convient d’utiliser une résolution spatiale d’acquisition suffisamment élevée pour
que les particules soient suffisamment discrétisées sur plusieurs voxels. Cette stratégie
de mesure se base sur un suivi individuel de chaque particule du volume par une
analyse de différentes caractéristiques telles que la géométrie ou encore le centre de masse
[NPB+ 03][HNW07]. En mécanique des fluides, la technique utilisant le suivi de marqueurs
3D est la 3D Particle Tracking Velocimetry (3D-PTV). Un volume fluide est éclairé
de la même manière que pour la Tomo-PIV et la scène est capturée avec un minimum
de deux caméras. Grâce à une calibration du système et à l’analyse de la position des
particules par suivi de marqueurs 3D sur chacune des images capturées, il est possible de
calculer le champ de vitesses en considérant la durée entre deux acquisitions. Néanmoins
dans le cadre de la PTV cette technique souffre du manque de visibilité des particules
dont un grand nombre se trouve souvent masqué par d’autres [MGP93][MPW09] dû au
faible nombre de points de vue, ce qui limite la proportion de particules analysées. En
revanche, en utilisant des reconstructions obtenues par tomographie rayons X, le suivi
de marqueurs volumiques est une technique très utile pour analyser le déplacement local
des grains au sein de la matière [AHV+ 12][NPB+ 03].
37
Le principal atout de cette technique est sa capacité à fournir un champ de points de
mesures très localisé au cœur d’un volume fluide ou solide. Par contre il est en général
difficile voire impossible de contrôler leur répartition. Il n’est donc pas possible d’obtenir
une grille de marqueurs volumiques régulière comme on peut le faire en 2 dimensions
à la surface d’une structure. Cela signifie que dans le cas d’un calcul de déformation
de la matière, la base de mesure liée à la distance entre les marqueurs utilisés varie en
fonction de la position dans le matériau, ce qui fait que la précision n’est pas identique
pour chaque mesure de déformation. Par conséquent, il convient d’optimiser la proportion
et la distribution des particules au sein du domaine de manière à obtenir un champ de
résultats distribué de manière la plus homogène possible dans le volume.
1.3.3
Corrélation volumique
La corrélation volumique est une extension de la corrélation 2D [CRSP85] dans le
cas d’un volume et fonctionne de façon similaire. Initialement étudiée par Bay [BSFS99],
elle fut ensuite développée sous différentes formes [BPV+ 13] [FS09] [LRB+ 10] [FHM+ 07]
[BGG+ 09] [GDD08] [BDD+ 09] [TDD+ 12] [BGD+ 13] [GH11]. Dans le cadre de ce
mémoire, nous présenterons la corrélation volumique développée et utilisée au sein de
notre laboratoire.
La corrélation volumique permet de suivre spatialement un champ de points au cœur
d’un matériau pour en extraire les champs de déplacements, puis calculer les champs
de déformations ou encore de vitesses pour différents états. Cette technique peut être
utilisée aussi bien en mécanique des fluides qu’en mécanique des solides. Elle associe à
une coordonnée locale de la matière un petit volume appelé « domaine de corrélation
». La position de chaque domaine de corrélation est déterminée pour chaque état de
manière à calculer les champs des grandeurs mécaniques énoncées plus haut. Un domaine
de corrélation est identifié grâce à un motif de niveaux de gris composé de plusieurs
voxels qui caractérisent localement la composition de la matière. En utilisant un motif
3D adapté, qu’il soit naturel (porosité, granularité) ou artificiel (ajout de particules), il
est possible d’analyser la ressemblance d’un domaine de corrélation entre deux états. En
→
−
notant X (X,Y,Z) la position des voxels composant un domaine de corrélation pour un
→
− →
−
−
−
état initial et →
x (x,y,z) leur position pour un état déformé nous avons →
x = φ ( X ) avec
→
−
φ la transformation matérielle entre les deux états (Figure 1.15).
→
−
La fonction φ est généralement approchée par un développement limité à l’ordre
un [Dou00][Ger07] et se compose d’une translation et d’une déformation homogène du
domaine. La procédure de corrélation fonctionne en deux étapes. La première consiste à
rechercher une position du domaine dans l’état déformé au voxel près, en faisant varier
→
−
uniquement la translation de la fonction φ . La deuxième étape consiste à approcher la
solution à l’échelle subvoxel en faisant varier tous les paramètres de la transformation
→
−
φ (translation + gradient) en utilisant une interpolation de type trilinéaire [Ger07]. En
→
− →
→
−
−
notant f ( X ) et g( φ ( X )) les niveaux de gris pour chacun des voxels de deux états, le
38
calcul de la ressemblance d’un domaine de corrélation D s’effectue par le calcul d’un
coefficient de corrélation noté C donné par la relation 1.1. Dans cette relation, f et g
sont les intensités moyennes des niveaux de gris de l’ensemble des voxels d’un domaine de
corrélation dans les états initial et déformé.
Figure 1.15 – Transformation matérielle volumique [Ger07]
L’utilisation d’une telle formulation du coefficient C permet de tenir compte des variations lumineuses dans le volume. La position finale du domaine de corrélation qui sera
retenue est celle qui aura permis de calculer la plus petite valeur de C caractérisant ainsi
la meilleure ressemblance entre deux états. L’optimisation de la ressemblance pour la
seconde étape est réalisée par un algorithme de type premier gradient [Dou00][Ger07].
C =1− s
P
−
→
X ∈D
P
−
→
X ∈D
→
− →
→
−
−
(f ( X ) − f D )(g( φ ( X )) − g D )
→
−
(f ( X ) − f D )2
s
P
−
→
X ∈D
→
− →
−
(g( φ ( X )) − g D )2
(1.1)
La base de mesure par corrélation volumique est donnée par la valeur du pas de la
grille de corrélation représentant les positions des différents domaines de corrélation.
Cette technique a l’avantage de permettre l’utilisation d’une grille régulière dans un
volume, contrairement au suivi de marqueurs par exemple. La taille du domaine de
corrélation est un paramètre essentiel pour la méthode car il détermine la taille du
voisinage sur laquelle l’hypothèse liée à la transformation matérielle est utilisée. La
localité de la mesure influe également sur la précision [Ger07]. En fonction des situations,
il convient d’adapter la taille du domaine de corrélation en fonction du type de mouchetis
volumique utilisé, ou encore du comportement attendu au sein du matériau. Finalement,
la puissance de la corrélation volumique réside dans le fait de pouvoir utiliser une grille
de points de mesure régulière ce qui permet de réaliser une mesure plein champ avec
une résolution élevée à condition d’utiliser une taille de voxel, une taille et une densité
de particules adaptées. Sur des volumes capturés par OST avec une résolution spatiale
de 60 µm/voxel et une taille de particules comprise entre 150 µm et 300 µm, on pourra
utiliser un pas de 10 voxels et une taille de fenêtre de 313 voxels [Ger07]. Néanmoins,
cette technique repose sur l’hypothèse de conservation du mouchetis volumique au
39
cours des déplacements de la matière, tout comme en suivi de marqueurs. Lorsque cette
conservation est très bonne sur l’ensemble des états, les calculs peuvent être de type
0/n, ce qui signifie que chaque état est comparé à l’état initial de l’essai. En revanche,
dans le cas d’une évolution progressive du mouchetis au fil des états, le calcul sera de
type (n − 1)/n, ce qui signifie qu’un état est comparé avec le précédent. Dans ce cas, la
précision de la mesure est moins bonne à cause du cumul des erreurs entre chaque état.
En mécanique des fluides, la corrélation volumique est en général couplée à des
volumes capturés par Tomo-PIV [ESWvO06] car ils disposent d’un motif aléatoire fourni
par les particules incluses au sein du fluide. Ce type de motif se prête naturellement bien
à l’analyse de ressemblance par calcul du coefficient de corrélation, avec une erreur en
déplacement évaluée à 0.1 voxel [ESWvO06]. En mécanique des solides, la corrélation peut
être associée aux volumes obtenus par tomographie par rayons X [Ger07] ou encore par
OST [GDD07]. On rencontre également certaines applications à partir de volumes obtenus
par OCT [FPR13]. L’erreur de mesure par corrélation a été évaluée à différentes reprises
notamment à travers des acquisitions d’os capturés par tomographie rayons X [BSFS99]
ou encore sur des éprouvettes de résine polyuréthane avec des particules de polyamide
incluses [GDD08] capturées par OST. Pour ces deux cas, l’erreur de mesure en déplacements est évaluée à 0.035 voxel dans les directions du plan de capture et à 0.05 voxels
dans la direction du balayage. Comme nous l’avons vu dans la description sur l’OST,
le phénomène de traînée dans cette direction génère une erreur de mesure plus importante.
1.3.4
Bilan
Nous avons vu dans ce chapitre que deux types de champs mécaniques peuvent être
mesurés à partir des volumes capturés en utilisant les techniques présentées auparavant,
le champ des contraintes ainsi que le champ des déplacements (et des déformations). Le
champ 3D des contraintes ne peut être obtenu qu’à partir de la photoélasticimétrie 3D
sur des volumes capturés par découpage optique, une technique qui impose également
l’utilisation de la polarisation de la lumière (Tableau 1.2).
Table 1.2 – Confrontation entre les principales caractéristiques des techniques de mesure
dans le volume
40
Les champs de déplacements et de déformations peuvent être obtenus grâce à des
volumes capturés par différentes techniques notamment la tomographie par rayons X ou
encore l’OST en les associant au suivi de marqueurs ou à la corrélation volumique. Il est
alors possible de calculer le tenseur complet de Green-Lagrange en calculant les gradients
de déplacement en particulier pour des études de structures. D’autre part, en utilisant le
pas de temps entre les états, nous pouvons obtenir des champs de vitesses notamment
pour des applications en mécanique des fluides. On note toutefois un avantage pour la
corrélation volumique par rapport au suivi de marqueurs concernant le type de distribution
de la mesure (Tableau 1.2). En effet, la corrélation volumique offre plus de liberté au niveau
de la définition de la grille de mesure par rapport au suivi de marqueurs volumique. En
revanche, de nombreux calculs sont nécessaires ce qui rend cette technique relativement
coûteuse en temps.
1.4
Conclusion
Grâce à la découverte et à la maîtrise de différents phénomènes physiques, l’observation de l’intérieur d’un volume sans sa destruction est possible depuis le début du
XXème siècle, remplaçant peu à peu les techniques basées sur une découpe mécanique. Il
est aujourd’hui possible d’accéder à l’information au cœur d’un volume pour une grande
variété de matériaux rencontrés dans différents domaines. On peut citer notamment
l’observation cérébrale, celle de l’os, ou encore d’un fœtus dans le domaine médical,
mais également la détection de défauts au sein d’un matériau composite, l’analyse des
fissures internes dans une structure, ou le suivi des particules au sein d’un matériau
solide ou d’un écoulement fluide. Les techniques existantes possèdent des performances
très différentes notamment en termes de résolution d’acquisition, de taille du domaine
analysé, de vitesse d’acquisition ou encore de complexité de mise en œuvre du procédé.
La majeure partie des techniques d’acquisition présentées (Tableau 1.3) peut être
associée à la mesure par suivi de marqueurs ou corrélation volumique. Seule la photoélasticimétrie est liée à l’OST. Grâce à ces techniques il est possible de réaliser des mesures
de déformations, mais toutefois avec des précisions et des résolutions qui peuvent être
variables, en particulier dans le cas de l’échographie où les volumes obtenus sont très
bruités. D’autre part, la profondeur d’investigation est un facteur limitant pour analyser
une structure à cœur, particulièrement dans le cas de l’OCT, qui fait également partie des
techniques d’acquisition les plus lentes. En terme de rapidité, la tomo-PIV se distingue par
une vitesse d’acquisition très importante, mais les volumes reconstruits sont assez bruités
à cause du faible nombre de points de vue. Cette technique est également complexe à
mettre en œuvre, et inadaptée pour l’analyse d’un problème de structure solide, qui peut
nécessiter l’utilisation d’un système de chargement complexe.
L’objectif des travaux de recherche présentés dans ce mémoire est d’apporter une solution
nouvelle pour l’analyse mécanique résolue en temps au cœur d’une structure solide. C’est
pourquoi, en considérant les possibilités de mise en œuvre en laboratoire ainsi que les possibilités d’amélioration en terme de vitesse d’acquisition, nous avons choisi d’utiliser l’OST
comme technique de départ pour mettre au point une nouvelle méthode expérimentale.
1.4. Conclusion
41
Table 1.3 – Synthèse des techniques d’acquisition et de mesure adaptées à l’analyse
mécanique des structures dans le volume et dans le temps
L’OST a été développée dans le passé au sein de notre laboratoire et a montré tout son
potentiel en termes de qualité de reconstruction, mais également de précision de mesure
grâce à un couplage avec la corrélation volumique. De plus, il nous a semblé envisageable
de mettre au point un système similaire à celui de la scanning-PIV [Bru95], permettant
une étude plus accessible qu’avec l’utilisation d’un système complexe comme celui de la
tomographie rayons X. Des études de structures, comme celle d’une rotule aéronautique,
ont montré la capacité de l’OST à apporter des réponses à ce type de problème à caractère
tridimensionnel. Nous avons donc décidé de choisir la technique OST et d’améliorer sa
vitesse d’acquisition avec l’objectif de conserver sa qualité de reconstruction ainsi que la
précision de mesure obtenue par corrélation volumique. Nous souhaitons pouvoir acquérir
un volume de 50 × 50 × 50 mm3 avec une résolution inférieure à 0.1 mm/voxel en moins
d’une seconde, alors que l’OST requiert aujourd’hui plus de 5 minutes dans les mêmes
conditions. En développant cette nouvelle technique d’acquisition, nous envisageons de
pouvoir étudier des problèmes de structures pour lesquels l’évolution du chargement est
constante au cours du temps.
Développements de la tomographie
optique rapide pour l’analyse de
structures solides
Chapitre 2
Tomographie par découpage optique
translatif rapide
Le premier développement présenté dans ce mémoire pour la mise en œuvre de la
tomographie par découpage optique rapide repose sur un découpage rapide en sections
parallèles successives. Pour ce faire, nous souhaitons utiliser une nappe laser en translation alternative rapide, nécessitant le développement d’un banc de tomographie otique
adapté. En utilisant différents éléments optiques, ce montage doit générer une nappe laser
à partir d’un faisceau cylindrique collimaté (en sortie de la tête laser) tout en lui appliquant un mouvement de translation parallèle alternatif rapide. Nous utiliserons pour
cela un miroir oscillant et le piloterons en positions angulaires discrètes. Cela permettra
de contrôler la position du feuillet laser au sein d’un volume. D’autres systèmes auraient
pu être envisagés notamment l’utilisation d’un prisme rotatif [DD01], mais le contrôle
des positions du feuillet aurait été plus complexe à réaliser. Après avoir mis en place ce
banc de tomographie optique, puis caractérisé la zone d’étude, nous développerons une
procédure de synchronisation entre les positions spatiales du feuillet et les acquisitions
de la caméra rapide, et évaluerons la précision du positionnement spatial du feuillet. Ce
chapitre présente les différentes étapes de notre développement sur la tomographie par
découpage optique translatif rapide et s’achève par une analyse et une discussion des performances notamment en terme d’erreur de mesure en déplacement, au travers d’essais de
déplacements subvoxels sur un solide rigide.
2.1
2.1.1
Banc de tomographie par découpage optique translatif rapide
Problématique
Générer une nappe laser et lui transmettre un mouvement de translation alternatif
rapide, tout en maîtrisant sa géométrie, est la première étape de notre développement.
La connaissance de la géométrie du feuillet nous permettra de définir le domaine utile de
l’acquisition d’un volume. L’épaisseur du feuillet conditionnera la résolution d’acquisition
dans la direction du balayage. Nous rappelons la technique employée pour mettre en
place un feuillet laser fixe dans le cas de l’OST.
• Rappel : Mise en place d’un feuillet laser fixe dans le cas de l’OST [Ger07]
Dans le cadre de l’OST, la génération d’un feuillet laser fixe s’effectue grâce à deux
lentilles, une première de type sphérique convergente et une seconde de type cylindrique
46
Chapitre 2. Tomographie par découpage optique translatif rapide
convergente. Un faisceau laser collimaté de quelques millimètres de diamètre traverse la
première lentille formant un cône de lumière. On peut ajuster l’angle d’ouverture du
cône en choisissant la distance focale de la lentille sphérique, notamment l’utilisation d’un
objectif de microscope permet d’obtenir un angle d’ouverture important. Par ailleurs, une
courte distance focale permet d’améliorer la qualité du faisceau de lumière en sortie. Les
rayons lumineux sont ensuite focalisés dans le plan x0 z0 (Figure 2.2) grâce à la lentille
cylindrique ce qui permet de produire le feuillet (Figure 2.1).
Figure 2.1 – Génération d’un feuillet laser par la technique OST
En générant une nappe laser de cette manière, la géométrie obtenue au niveau de la
partie utile du feuillet n’est donc pas plane. Le feuillet laser atteint théoriquement son
épaisseur minimale au niveau de la ligne de focalisation (Figure 2.1 et 2.2). Le feuillet
laser est alors utilisé sur une partie dite "utile" dont l’épaisseur est inférieure à un critère
εep (Figure 2.2).
Figure 2.2 – Section du feuillet dans le plan x0 z0
Dans ses travaux, A. Germaneau [Ger07] avait montré qu’en utilisant un objectif de
microscope de grossissement ×63, l’épaisseur du feuillet obtenu était égale à 60 µm sur
2.1. Banc de tomographie par découpage optique translatif rapide
47
une distance de plusieurs centimètres dans la direction x0 . Pour obtenir une nappe en
translation parallèle, ce montage doit être modifié. C’est pourquoi nous avons mis en place
un nouveau montage optique capable de générer un feuillet laser de manière similaire, avec
un mouvement de translation produit grâce à l’utilisation d’un miroir oscillant.
2.1.2
Développement d’un nouveau montage optique produisant
un feuillet laser en translation
Pour définir ce nouveau montage optique de notre système, nous sommes partis des
caractéristiques d’entrée (un faisceau laser en rotation) et de sortie (feuillet en translation)
et avons déterminé les éléments optiques intermédiaires nécessaires. Le miroir oscillant doit
être positionné au début du montage de telle sorte que son axe de rotation coupe l’axe
optique du faisceau d’entrée (point M sur la Figure 2.3). Bien que l’influence d’un défaut
d’alignement n’est été quantifiée dans ces travaux, une rigueur de montage du banc optique
est indispensable. Le montage mis en place se compose donc d’un miroir oscillant, de deux
lentilles sphériques convergentes L1 et L2 et de deux lentilles cylindriques convergentes
L3 et L4 (Figure 2.3). Leurs distances focales sont respectivement notées f1 , f2 , f3 , et f4 .
Figure 2.3 – Schéma de principe du montage pour le découpage optique translatif
48
Le faisceau collimaté en sortie du laser est mis en rotation autour du point M situé
à la surface du miroir et confondu avec le point focal objet F1 de la lentille L1 (Figure
2.3). Dans sa position de référence le miroir est positionné de telle sorte que le faisceau
transmis soit aligné avec l’axe optique du montage. Aussi, lorsque la position angulaire du
miroir (par rapport à sa position de référence) est égale à θ, l’angle α du faisceau transmis
par rapport à l’axe optique est tel que :
α = 2θ
(2.1)
Le couple de lentille (L1 ; L2 ) permet d’amplifier le mouvement angulaire du faisceau et
d’obtenir un angle β > α. En sortie de L2 , la nappe laser est générée grâce à L3 positionnée
sur un point fixe du faisceau (F2′ ), puis L4 permet de faire converger le faisceau dans le
plan x0 z0 . Finalement, nous obtenons un feuillet dont la géométrie de la section dans le
plan x0 z0 est semblable à celle obtenue avec le montage de l’OST (Figure 2.2), et dont
la position zf dépend des optiques et de l’angle θ du miroir. Notons que l’amplification
produite par les lentilles L1 et L2 est nécessaire pour notre application car l’amplitude
maximale de rotation du miroir oscillant est de ±26,2 mrad. Sans amplification angulaire,
le montage reviendrait à positionner la lentille L3 en amont du miroir et la lentille L4
en sortie de telle sorte que son point focal objet F4 soit confondu avec le point M . Pour
obtenir une grande amplitude de balayage du feuillet il faudrait alors que la lentille L4
possède une grande distance focale. En pratique, celle-ci excède rarement 300 mm, ce qui
permet au mieux dans ces conditions d’atteindre une amplitude de balayage du feuillet
égale à 15 mm. Ce type de montage a déjà été mis en œuvre par [VBD+ 04] et permet
d’obtenir un feuillet dont l’épaisseur et l’amplitude de balayage valent respectivement
500 µm et 10 mm. Or pour notre application nous souhaitons obtenir une amplitude de
balayage de 50 mm et une épaisseur de feuillet inférieure à 100 µm.
A partir de ce montage avons exprimé les relations géométriques qui relient les caractéristiques des lentilles avec celles du feuillet laser, caractérisant par suite les dimensions
de la zone d’acquisition. Une description trigonométrique classique du montage permet
d’obtenir ces relations dont nous donnons seulement les relations finales.
La position zf du feuillet (Figure 2.3) définie comme la distance entre son axe optique
et celui du montage est donnée par la relation :
zf =
tan(2θ)f1 f4
.
f2
(2.2)
L’amplitude maximale Ampf de balayage dans la direction z0 est donc donnée par la
relation :
Ampf =
2tan(2θmax )f1 f4
f2
(2.3)
où θmax est la position angulaire maximale du miroir. La longueur de la partie utile
du feuillet (Figure 2.2), notée lf (Figure 2.3) en suivant le critère d’épaisseur, est donnée
par le relation :
2.1. Banc de tomographie par découpage optique translatif rapide
lf =
2f4 εep f1 cos(2θmax )
f2 df aisceau
49
(2.4)
où d est le diamètre du faisceau laser (Figure 2.3) en amont du miroir oscillant. Enfin
la hauteur du feuillet dans la direction y0 notée hf , considérée au début de la partie utile
(Figure 2.3), est donnée par la relation :
hf =
f4 εep
2d(2f4 − f3 )
− cos(2θmax )
f1 f3
f3
(2.5)
Pour déterminer les caractéristiques des lentilles à utiliser, nous avons réalisé et utilisé
un algorithme qui utilise les relations précédentes, permettant de tester plusieurs combinaisons sur les caractéristiques des lentilles, en tenant compte de leur existence. L’objectif
est d’obtenir une zone d’étude utile dont les dimensions sont voisines des 50×50×50 mm3
avec un critère d’épaisseur du feuillet εep égal à 100 µm. En considérant également le diamètre du faisceau d en sortie du laser (≃ 3 mm) ainsi que l’amplitude de rotation de notre
miroir oscillant (±26,2 mrad), nous avons obtenu une combinaison de caractéristiques optiques résumées dans le tableau suivant :
Table 2.1 – Caractéristiques des lentilles du banc de découpage optique translatif rapide
Le repère objet R0 {O; x0 ; y0 ; z0 } est positionné sur l’axe optique du montage (Figure
2.3), lu-même aligné avec x0 . z0 est aligné avec l’axe optique de la caméra. On a donc les
relations suivantes entre le repère objet et le repère caméra :
→
−
−
x0 = →
xc ,
→
−
−
y0 = →
yc ,
→
−
−
−
z0 = →
xc ∧ →
yc
(2.6)
où xc et yc sont les axes du capteur digital de la caméra.
La principale limitation de ce montage concerne la taille de la lentille cylindrique L4 .
En effet, celle que nous utiliserons possède une géométrie carrée de côté 40 mm. Il s’agit
là d’une des dimensions les plus importantes qui existent pour une lentille cylindrique de
grande focale (300 mm). Par conséquent cette dimension limitera l’amplitude de balayage
Ampf à une valeur inférieure à 40 mm.
Nous avons évalué l’épaisseur du feuillet laser et avons obtenu une épaisseur epf égale
à 110 µm sur une distance lf proche de 40 mm. La procédure permettant de mesurer
l’épaisseur d’une nappe laser est présentée en annexe (Annexe A). Il est essentiel de
connaître cette épaisseur car elle conditionnera la résolution spatiale d’acquisition dans
la direction z0 dans la mesure ou nous considérons des positions juxtaposées du feuillet.
Pour piloter le scan nous devons contrôler la position du feuillet grâce à un pilotage du
miroir oscillant.
50
2.2
2.2.1
Pilotage du scan
Contrôle de la position du feuillet
Après avoir obtenu un montage optique produisant un feuillet laser en translation, nous
allons mettre en place une procédure capable de piloter la position spatiale du feuillet en
fonction de la position angulaire du miroir à partir de la relation 2.2. Le miroir oscillant
que nous utilisons est composé d’un miroir circulaire fixé sur un support en croix. Celui-ci
est fixé sur quatre électroaimants (Figure 2.4), à chacune de ses extrémités. Ce dispositif
permet de piloter le miroir en position angulaire fixe en lui envoyant une tension continue.
Figure 2.4 – Miroir oscillant [New03]
Le miroir oscillant reçoit en entrée une consigne de positionnement sur une plage
de fonctionnement de ±10 V correspondant à une amplitude angulaire de ±26.2 mrad
(±1.5˚). L’envoi d’une tension fixe affecte une position angulaire fixe au miroir. Ainsi, en
envoyant une série de tensions, nous générons un mouvement de rotation incrémental.
Nous souhaitons synchroniser chacune des positions du miroir (donc du feuillet) avec la
capture d’une image via une caméra rapide. Le dialogue entre le miroir et la caméra est
piloté par un programme C++ qui envoie une tension de consigne au miroir et reçoit une
tension de retour de positionnement. Ce dialogue est réalisé grâce à une carte d’entrée
sortie numérique analogique contrôlée par notre programme.
Pour réaliser l’acquisition d’un volume grâce à une succession de position du feuillet,
le programme C++ calcule une liste de tensions de consigne en utilisant la relation 2.2.
Il utilise, de plus, une relation entre la position angulaire θ du miroir et la tension de
consigne Uc obtenue expérimentalement sous forme d’une série de valeurs, sur toute la
plage de fonctionnement du miroir, que nous définissions par l’expression :
Uc = f (θ).
(2.7)
L’obtention de cette relation est présentée en annexe (Annexe B). Dès réception d’une
tension de consigne, le miroir s’oriente jusqu’à atteindre la position angulaire souhaitée.
2.2. Pilotage du scan
51
Il renvoie en permanence une tension de retour permettant d’analyser en temps réel son
mouvement. Grâce à cette analyse, notre programme peut déterminer le moment où une
position angulaire est atteinte et envoyer une consigne à la caméra rapide. Là encore,
nous devons connaître la relation entre les tensions de consigne Uc envoyées et les tensions
de retour de positionnement Ur reçue par notre programme. Effectivement, la tension de
retour de positionnement ne correspond pas exactement à la tension de consigne. Cette
relation, obtenue expérimentalement est définie par l’expression :
Ur = g(Uc ).
(2.8)
Nous présentons en annexe (Annexe B) la procédure permettant de l’obtenir. Ce système de pilotage du scan (Figure 2.5) permet l’acquisition d’un volume dont la vitesse
dépend de la rapidité de capture de la caméra ainsi que de la fréquence à laquelle les
tensions de consigne sont envoyées au miroir.
Figure 2.5 – Diagramme de pilotage des appareils du banc de tomographie optique rapide
2.2.2
Calcul des tensions de consignes
Nous appelons Dimz la dimension d’acquisition dans la direction z0 . Le nombre de
positions du feuillet dépend de son épaisseur epf et en considérant qu’il n’y a pas de
recouvrement entre les positions successives, le nombre total N de positions est donné par
la relation :
52
N=
Dimz
.
epf
(2.9)
En considérant un nombre impair de feuillet ainsi que le feuillet médian centré sur
l’axe optique du montage, les positions zf (i) du feuillet sont obtenues grâce à la relation :
zf (i) =
1
−Dimz
+ (i − )epf ,
2
2
1≤i≤N
(2.10)
En utilisant la relation 2.2, la liste des positions angulaire correspondantes est obtenue
grâce à la relation :
1
zf (i)f2
θ(i) = tan-1(
),
2
f1 f4
1 ≤ i ≤ N.
(2.11)
Grâce aux relations 2.7 et 2.8, qui relient expérimentalement l’angle mécanique du
miroir θ, la tension de consigne Uc ainsi que la tension de retour Ur , nous pouvons calculer
la liste des tensions de consignes Uc (i) et les tensions de retour Ur (i) associées grâce à une
régression linéaire sur les intervalles expérimentaux concernés.
2.2.3
Détection des positions angulaires et synchronisation avec
la caméra rapide
Nous connaissons la liste des tensions de consignes à envoyer au miroir ainsi que les
tensions de retours correspondantes "attendues". L’analyse en temps réel des tensions de
retour permet de suivre le mouvement du miroir et de détecter, grâce à une comparaison
avec les tensions de retour "attendues", qu’un palier angulaire est atteint. A cet instant,
une consigne de capture est envoyée à la caméra rapide. Pour exécuter un incrément de
rotation, le miroir se met en mouvement sur une durée ∆Trot qui dépend de la valeur de
l’incrément angulaire et des caractéristiques intrinsèques du miroir. Comme l’incrément
de translation du feuillet est fixé à 110 µm (lié à la résolution d’acquisition), l’incrément
angulaire correspondant au niveau du miroir est de 0,114 mrad. Nous fixons la plage de
scan Dimz à 20 mm, ce qui donne en utilisant (2.9) un nombre total de positions spatiales
du feuillet N = 181. Nous souhaitons réaliser le balayage en une seconde donc la vitesse
d’acquisition Vacq doit être égale à 20 mm/s et chaque incrément angulaire doit s’effectuer
en 1/181ème de seconde. La fréquence d’envoi des positions doit être égale à 181 Hz. En
comparant cette valeur avec la plage de fonctionnement optimale du miroir (Figure 2.6)
donnée par le constructeur, on constate qu’en théorie on ne peut dépasser une vitesse scan
de 60 mm/s pour un incrément angulaire de 0.114 mrad.
2
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ue
-3V
d
é
t
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c
t
i
on x
éà5×1
0
.
54
Tension de retour de positionnement (v)
-3,75
-3,8
Δ�� ≈ 1.8��
-3,85
-3,9
-3,95
Détection d'un palier
et envoie d'une pulse
TTL à la caméra
-4
-4,05
0
10
20
1/181�� ≈ 5.5��
30
40
50
60
Temps (ms)
Figure 2.7 – Premiers paliers de tension de retour de positionnement à la vitesse de
20 mm/s
Les instants de détections sont indiqués sur le graphique 2.7 par des points rouges.
On constate que le graphique 2.7 nous permet de retrouver la valeur de la vitesse
max
maximale estimée auparavant soit Vacq
= 60 mm/s, car pour cette vitesse la fréquence
des déplacements imposés au miroir est égale à 543 Hz (Figure 2.6) ce qui correspond à
une période de 1.84 ms soit la durée estimée graphiquement (Figure 2.7) pour la mise en
position. On donne en annexe (Annexe C) l’allure des tensions de retour pour les vitesses
allant de Vacq = 10 mm/s jusqu’à Vacq = 60 mm/s.
2.2.4
Évaluation de la précision de positionnement du feuillet
Nous nous proposons maintenant d’évaluer l’erreur aléatoire de positionnement
spatial du feuillet en procédant de deux manières différentes. Dans un premier temps,
nous évaluons cette erreur à travers l’analyse de la tension de retour Ur , puis dans un
deuxième temps, nous analysons les positions des lignes projetées par le feuillet dans le
plan x0 z0 .
• Évaluation de l’erreur de positionnement du feuillet par une analyse de
la tension de retour Ur
En envoyant une série de tensions de consigne au miroir entre +9 V et −9 V, nous
réalisons l’acquisition de la tension de retour de telle manière que chaque palier soit
défini par 250 échantillons (Figure 2.8). Pour chaque palier de tension, nous calculons
2.2. Pilotage du scan
55
l’écart-type sur 100 valeurs prises sur la partie stable (Figure 2.8). Sur toute la plage de
fonctionnement du miroir, nous obtenons un écart-type sur les tensions de retour proches
de 0,015 V. En utilisant les relations expérimentale 2.7 et 2.8, nous en déduisons l’erreur
aléatoire de positionnement angulaire correspondante ∆θ. Nous obtenons ∆θ = 5,2 µrad.
Cette valeur est du même ordre de grandeur (sensiblement plus importante) que celle
donnée par le constructeur qui indique un bruit angulaire de 3 µrad [New03]. A partir
de la relation 2.2, nous pouvons procéder à une calcul d’incertitude sur la position du
feuillet. Nous obtenons la relation suivante :
∆zf (θ) =
2f1 f4
∆θ
f2 cos2 (2θ)
(2.13)
En prenant ∆θ = 5,2 µrad, nous obtenons une erreur aléatoire de positionnement ∆zf
quasi-constante égale à 10 µm sur toute la plage angulaire du miroir.
5,47
 250 échantillons
5,46
5,45
Tension de retour (V)
5,44
5,43
5,42
5,41
5,4
5,39
Calcul de l'écart-type sur 100 échantillons
5,38
5,37
0
200
400
600
800
1000
Echantillon utile
Figure 2.8 – Aperçu local de 4 paliers de tension de retour
• Évaluation de l’erreur de positionnement du feuillet par l’analyse d’une
ligne laser projetée par le feuillet
Nous allons maintenant évaluer l’erreur de positionnement du miroir par un suivi de
la projection du feuillet dans le plan x0 z0 . Pour ce faire, nous avons positionné la caméra
en contre-plongée (Figure 2.9) de telle manière que son axe optique soit aligné avec l’axe
y0 du repère objet.
56
Figure 2.9 – Montage pour le suivi d’une ligne laser projetée par le feuillet
En traversant la zone d’étude, le feuillet laser trace une ligne sur le plateau support
objet dans le champs de capture de la caméra. Nous avons réalisé l’acquisition de cette
ligne avec le protocole de synchronisation décrit plus haut en considérant une plage de
scan Dimz égale à 20 mm permettant de capturer 181 positions de lignes laser (Figure
2.10).
Figure 2.10 – Lignes laser tracées par le feuillet laser sur le support objet
Les 181 images capturées sont post-traitées pour être découpées en marqueurs (Figure
2.11). Cette étape permet d’analyser les positions de la ligne par suivi de marqueurs 2D.
Les lignes laser sont discrétisées en 6 marqueurs Mj avec j ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} grâce à un
algorithme de traitement d’images.
2.3. Caractérisation du procédé d’acquisition
57
Figure 2.11 – Lignes laser discrétisées par traitement d’image
En prenant en compte le grandissement du système d’acquisition, nous obtenons les
positions z j (i) de chacun des marqueurs Mj et pour chacune des positions (i) de la ligne.
Nous calculons ensuite l’incrément de translation p(i) pour chacune des position du feuillet
en utilisant les 6 marqueurs grâce à la relation suivante :
p(i) =
6
P
|z jf (i) − z jf (i − 1)|
j=1
6
.
(2.14)
En calculant la moyenne et l’écart-type sur les 181 valeurs p(i) obtenues, nous obtenons
un incrément moyen égal à 109 µm pour une valeur imposée égale à 110 µm, ainsi qu’une
erreur aléatoire égale à 10 µm qui correspond à celle déterminée par analyse de la tension
de retour. Ces résultats confirment donc ceux obtenus précédemment et nous permettent
de connaître l’erreur de positionnement spatiale du feuillet de manière fiable. Ainsi pour
un incrément de 110 µm, l’erreur aléatoire représente presque 10% de cet incrément,
ce qui est non négligeable. Cependant, nous ne pouvons améliorer ce résultat car il est
directement lié aux performances du miroir oscillant.
2.3
Caractérisation du procédé d’acquisition
La tomographie par découpage optique translatif rapide que nous avons mise en place
permet de réaliser des acquisitions volumiques pour lesquelles un compromis entre les
paramètres doit être trouvé. Effectivement, la vitesse ou encore la résolution spatiale
d’acquisition doivent être adaptées en fonction de l’étude réalisée, ce qui aura un impact
sur les images volumiques obtenues. Ci-après, nous discutons les paramètres de la méthode
et leurs impacts sur les performances de cette technique d’acquisition. Nous évaluerons
visuellement la qualité des images volumiques obtenues ainsi que l’erreur de mesure par
corrélation volumique au travers d’essais de déplacements subvoxel d’un solide rigide.
58
2.3.1
Paramètres de la méthode
• Résolution spatiale d’acquisition
Nous souhaitons associer les volumes capturés à la méthode de corrélation volumique
permettant de mesurer des champs de déplacements et de déformations. Comme nous
l’avons vu dans le chapitre 1, la résolution de mesure par corrélation volumique va
dépendre de la résolution spatiale d’acquisition. Pour cette technique d’acquisition, la
résolution spatiale dans les directions x0 et y0 est lié au grandissement de l’objectif et
de la taille des pixels du capteur. Or, la taille de ces derniers est en général assez élevée
(> 10 µm) dans le but de capter le maximum de lumière sur une courte durée. Pour
adapter la résolution spatiale dans les directions x0 et y0 , on devra alors adapter l’objectif.
En utilisant un objectif à courte focale, la caméra peut être positionnée proche de la zone
d’étude ce qui permet d’obtenir un meilleur grossissement. De plus, ce type d’objectif
possède une ouverture importante ce qui améliore la luminosité. Cette caractéristique
est importante dans le cas d’une acquisition rapide car le temps d’exposition est réduit.
Par contre ce type d’objectif génère plus de distorsions optiques ainsi qu’un effet de
perspective plus important ce qui peut conduire à des volumes reconstruits distordus.
D’autre part, avec un objectif à courte focale, la profondeur de champs est réduite ce qui
limite la taille du volume étudié dans la direction z0 . A l’inverse en utilisant un objectif
de grande focale, les phénomènes de distorsion et de perspective sont très réduits et
les volumes sont reconstruits de manière plus homogène. La profondeur de champs est
également plus importante qu’avec un objectif à courte focale. Par contre la luminosité
est limitée à cause de la distance minimale par rapport à la zone d’étude souvent
supérieur à 1 m, mais également à cause de la faible ouverture de ce type d’objectif. Il
faut dans ce cas adapter la puissance de la source laser. Le choix de l’objectif doit être
un compromis entre résolution spatiale, luminosité, distorsion et profondeur de champs.
La résolution spatiale dans la direction z0 est liée à l’épaisseur de notre feuillet laser en
considérant une juxtaposition des positions. Cette juxtaposition permet un balayage de
l’ensemble du volume sans espace vide ni superposition des feuillets. Nous considérons
que l’information capturée sur un pixel d’une image est identique sur toute l’épaisseur
du feuillet. Comme notre montage optique ne nous permet pas d’obtenir une épaisseur
de feuillet inférieure à 110 µm, nous utilisons une résolution homogène dans les trois
directions de 110 µm/voxel. Notons que comme nous l’avons vu précédemment, la
position du feuillet laser est précise à 10 % ce qui peut conduire à dégrader la résolution
dans la direction z0 .
• Vitesse d’acquisition
La vitesse d’acquisition est le point clé des travaux présentés dans ce mémoire. En
effet, nous voulons réaliser des acquisitions volumiques rapides ce qui, comme nous
l’avons vu jusqu’à maintenant, a nécessité d’adapter l’OST tant au niveau du montage
optique que du pilotage du système d’acquisition.
La vitesse d’acquisition de cette technique dépend de la vitesse de balayage du feuillet
ainsi que de la vitesse d’acquisition de la caméra. Dans ce chapitre, nous avons montré
59
que la vitesse de balayage est limitée à 60 mm/s à cause des performances du miroir.
D’autre part, la rapidité de capture de la caméra limite les performances de notre système
à 2000 images par seconde dans une définition de 640 × 480 pixel. Cela signifie qu’avec
la résolution actuelle de 110 µm/voxel (obtenue avec un objectif de 50 mm F/1.2) nous
pourrions acquérir, avec cette caméra, un volume de 70,4 × 52,8 × 220 mm3 en une
seconde, ou encore trois volumes de 70,4 × 52,8 × 60 mm3 par seconde (un peu moins en
réalité à cause du temps de retour en position initiale du miroir). Des caméras beaucoup
plus rapide que celle utilisée ici existent, c’est donc bien le miroir qui limite la vitesse
d’acquisition de notre système.
• Taille du domaine d’acquisition
La taille du domaine d’acquisition est liée aux caractéristiques du montage optique
ainsi qu’au système d’acquisition (caméra + objectif). Dans la description du montage
optique, nous avons défini trois relations donnant la longueur utile du feuillet (Equation
2.4) dans la direction x0 , sa hauteur utile (Equation 2.5) dans la direction y0 ainsi que
son amplitude de balayage (Equation 2.3) dans la direction z0 . Cela dit, ces relations ne
tiennent pas compte de certaines limitations supplémentaires. En ce qui concerne le plan
x0 y0 , pour une résolution spatiale d’acquisition donnée, la taille du domaine est liée au
nombre maximal de pixels de la caméra. En effet, après avoir réglé le grandissement de
capture pour obtenir la résolution spatiale d’acquisition souhaitée, sa définition limitera
la dimension d’observation dans le plan x0 y0 . Par exemple, dans notre cas, en utilisant
une définition de 640 × 480 pixels et une résolution de 110 µm/voxel, la taille maximale
du champ observé dans le plan x0 y0 est de 70 × 52 mm2. Dans la direction z0 , l’amplitude
de balayage est limitée par la taille de la lentille cylindrique L4 (Figure 2.3), soit 40
mm dans notre cas. Effectivement ce n’est pas l’amplitude des oscillations du miroir qui
limite l’amplitude de balayage car celle-ci peut être amplifiée grâce au couple de lentilles
L1 L2 . Néanmoins, il faut considérer le rapport entre l’amplitude angulaire du miroir et
sa résolution angulaire. Ce rapport donne le nombre de positions angulaires distinctes
utilisables quelle que soit l’amplification sur l’angle du faisceau. Par conséquent, une
amplification importante permettrait de balayer un large champ dans la direction z0 mais
la résolution dans cette direction serait dégradée. Par exemple, le miroir possède une plage
de rotation égale à ±26.2 mrad, en considérant un pas angulaire de 52 µrad soit 10 fois
supérieur à son erreur aléatoire de positionnement angulaire, 1007 positions angulaires
différentes pourraient être utilisées. Avec notre résolution actuelle et selon ce critère, la
dimension maximale théorique du balayage serait de 110,7 mm. Cette dimension n’est pas
envisageable à cause de la limitation par la taille de la lentille cylindrique L4 .
2.3.2
Reconstruction des volumes et analyse qualitative
A l’issue d’un scan volumique, N images sont récupérées et correspondent aux
sections successives du volume. Grâce à la juxtaposition des positions du feuillet laser
ainsi qu’au déplacement translatif, les volumes peuvent être reconstruits de manière
directe comme pour l’OST. Les intensités lumineuses contenues dans chaque pixel
de chaque image sont directement affectées aux voxels cubiques du volume dont la
60
géométrie est parallélépipédique. Pour tester notre dispositif de scan, nous avons réalisé
l’acquisition d’une éprouvette parallélépipédique rigide composée de résine époxy et
de poudre de polyamide, dont la taille des particules est comprise entre 150 µm et
300 µm permettant la diffusion de la lumière en limitant le phénomène de speckle. Ce
phénomène apparaît lorsque la taille des particules utilisées est trop petite, générant un
mouchetis d’interférences avec la lumière. Ce type de matériau (résine époxy + particules
de polyamide) a été étudié dans les travaux sur l’OST [Ger07] en montrant une bonne
compatibilité avec le découpage optique, c’est pourquoi nous le réutilisons ici.
Nous avons capturé et reconstruit un volume de 296 × 514 × 181 voxels à la vitesse
de 20 mm/sec. Les sections capturées (Figure 2.12) montrent une bonne répartition des
niveaux de gris caractérisant la diffusion de la lumière. On note cependant une légère
diminution de l’intensité lumineuse à mesure que le feuillet pénètre dans le volume.
Figure 2.12 – Sections capturées au sein d’un bloc parallélépipédique composé de résine
epoxy et de poudre de polyamide
En analysant le volume reconstruit, on retrouve une bonne distribution des particules
dans le plan x0 y0 mais on note que les particules apparaissent allongées dans la direction
z0 (Figure 2.13 (b)). Cela est dû à une diffusion lumineuse de part et d’autre du feuillet
par les particules éclairées au sein de la nappe. Elles paraissent donc logiquement moins
nettes dans le plan y0 z0 que dans le plan x0 y0 .
61
Figure 2.13 – Reconstruction d’un volume de 296 × 514 × 181 voxels avec visualisation
des coupes dans les plans xy (a) et yz (b)
Nous pouvons également observer la répartition des niveaux de gris par un seuillage
des intensités lumineuses comme suit :
Figure 2.14 – Visualisation du champs de particules par seuillage des intensités
On note que la résolution d’acquisition que nous utilisons, fixée à 110 µm/voxels,
limite le niveau de discrétisation des particules. Compte tenu de la qualité des volumes
obtenus, et notamment de la distribution des intensités lumineuses, nous utiliserons la
technique de corrélation volumique pour réaliser des mesures de déplacements. En effet,
les particules ne sont pas suffisamment définies pour envisager la technique de suivi de
marqueurs volumiques.
62
2.3.3
Analyse des erreurs systématiques et aléatoires par correlation volumique
L’évaluation qualitative visuelle des volumes reconstruits montre que ces derniers
semblent compatibles avec la réalisation de mesures de champs de déplacements. Dans ce
qui suit, nous allons évaluer l’erreur de mesure en déplacement liée à l’utilisation de la
corrélation volumique. Nous réaliserons pour cela deux essais de déplacements subvoxels
consistant à imposer des déplacements successifs d’un dixième de voxel à un solide rigide.
Les déplacement sont appliqués à l’aide d’une platine de translation micrométrique
manuelle et une acquisition est réalisée après chaque déplacement. L’éprouvette utilisée
est identique à celle utilisée précédemment. Cette essai est réalisé dans la direction x0
puis dans la direction z0 . Comme la capture s’effectue dans le plan x0 y0 on considèrera
que les résultats obtenus pour les déplacements dans la direction x0 sont équivalents à
ceux dans la direction y0 .
Après avoir capturé douze volumes par essai (deux états de référence puis dix
déplacements) nous les avons reconstruits dans une taille de 100 × 100 × 100 voxels puis
analysés par corrélation volumique, en prenant les premiers volumes de chaque essai
comme état de référence. La corrélation réalisée est de type 0/n, ce qui signifie que
chaque état est corrélé avec l’état de référence. Le pas de la grille de corrélation est fixé
à dix voxels et la taille de la fenêtre de corrélation est de 313 voxels. Les mesures dans le
volume sont réalisées sur un total de 343 points de corrélation.
Pour chaque essai, nous obtenons les déplacements U n(i), et W n(i) sur l’ensemble des
points de corrélation de la grille et pour chaque état, avec 1 ≤ i ≤ Npc et 0 ≤ n ≤ Ntats
où Npc est le nombre de points de corrélation de la grille et Netat le nombre d’états. Nous
calculons l’erreur de mesure par rapport au déplacement imposé Uimp en chaque point
de corrélation puis nous calculons l’erreur de mesure systématique grâce à la relation
suivante :
∆U (i) =
Npc
X
∆U n (i)
i=1
où :
Npc
n
∆U n (i) = U n (i) − Uimp
.
(2.15)
(2.16)
Nous calculons ensuite l’erreur aléatoire donnée par l’écart-type sur les erreurs, de la
forme :
v
u Npc
uX (∆U n(i) − ∆U n(i))
n
σU = t
(2.17)
Npc
i=1
Comme le montre le graphique 2.15, les courbes d’erreur ont une allure sinusoïdale,
avec leurs minima pour des déplacements de 0, 0,5 et 1 voxel, et leurs maxima à 0,25 et 0,75
voxel. Ce type d’allure [GPM+ 08][BBD+ 08] est caractéristique de la corrélation et résulte
2.4. Conclusion
63
de l’interpolation qui intervient lors du calcul à l’echelle sub-voxel. Or, ce phénomène ne
peut être observé que si la qualité des volumes est suffisamment bonne. Ces deux courbes
d’erreurs systématiques oscillent entre -0,02 voxel et 0,03 voxel, ce qui est semblable aux
valeurs obtenues avec l’OST [Ger07]. Les écarts-types sur les erreurs se situent globalement
autour de 0,02 voxels et augmentent progressivement avec le déplacement imposé, cet effet
est lié à la conservation du mouchetis qui diminue au cours du déplacement.
0,1
w
u,v
Erreur de mesure (voxels)
0,05
0
-0,05
-0,1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Déplacement imposé (voxels)
Figure 2.15 – Erreur de mesure par corrélation volumique en fonction du déplacement
imposé sur un solide rigide
2.4
Conclusion
En reprenant la technique OST, nous avons mis en place un nouveau procédé
d’acquisition dont l’objectif portait essentiellement sur l’amélioration de la vitesse
d’acquisition sans dégradation de la précision de mesure par corrélation d’images
volumiques. Pour cela, nous avons fait le choix de mettre en mouvement (rapide)
la nappe laser plutôt que d’appliquer un mouvement de translation rapide à l’objet.
Cela a nécessité le développement d’un nouveau banc de tomographie optique basé
sur l’utilisation d’un miroir oscillant permettant de produire une nappe laser d’une
épaisseur de 110 µm en translation rapide dont la position spatiale est contrôlée. Le
pilotage de l’acquisition volumique repose sur une analyse des positions angulaires
du miroir et une synchronisation de ses paliers de tensions avec une caméra rapide.
Nous avons évalué les performances de notre système notamment en terme d’erreur sur
le positionnement du feuillet et obtenu une erreur de 10 µm sur la position spatiale
du feuillet pour un pas de déplacement de 110 µm. Concernant la vitesse d’acquisi-
64
tion, celle-ci est limitée par les performances du miroir à 60 mm/s dans le meilleur des cas.
Les premières acquisitions volumiques ont montré un bon aspect de reconstruction,
caractérisé par une bonne distribution des particules dans le volume, une intensité
lumineuse suffisante et aucune distorsion visuelle notable. Nous avons alors évalué
l’erreur de mesure en déplacement en associant la technique de corrélation volumique
aux volumes capturés. Après avoir réalisé deux essais de déplacement subvoxel sur
un solide rigide dans les directions x0 et y0 , nous avons obtenu une erreur de mesure
systématique de l’ordre de 0,03 voxel ainsi qu’une erreur aléatoire de l’ordre de 0,02 voxel.
Ces valeurs correspondent à celles obtenues auparavant avec la technique OST et l’allure
en « S » des courbes d’erreurs est cohérente avec l’utilisation de la technique de corrélation.
Pourtant cette technique a révélé certaines limitations. La première concerne la
profondeur du volume étudié limité par les caractéristiques du banc optique, notamment
la taille de la lentille cylindrique L4 . La dimension du volume étudié dans la direction du
balayage ne peut excéder 40 mm. La vitesse d’acquisition est limitée par les performances
du miroir oscillant dont la précision de positionnement angulaire engendre une erreur
de positionnement du feuillet de quasiment 10% de l’incrément de déplacement. Cette
erreur limite la résolution spatiale d’acquisition. De plus la succession des éléments
optiques contribue à augmenter l’épaisseur du feuillet, et donc la résolution. Enfin le
pilotage du miroir en position ainsi que son déplacement de type alternatif génère des
perturbations sur le positionnement du feuillet à cause du phénomène d’inertie ce qui
empêche d’obtenir un mouvement de scan optique continu.
Pour toutes ces raisons, nous avons fait le choix d’étudier une autre possibilité de
tomographie par découpage optique rapide que nous présentons dans le chapitre suivant.
Chapitre 3
Tomographie par découpage optique
rotatif rapide (ORST)
Les travaux présentés dans le chapitre 2 ont montré un certain nombre de limitations
discutées à la fin du chapitre 1. On peut citer notamment la précision de positionnement
spatial du feuillet, la dimension de la zone d’étude limitée dans la direction du balayage,
mais surtout l’effet d’inertie lié au mouvement oscillant du miroir utilisé. C’est pourquoi
nous avons préféré développer une alternative présentée dans ce chapitre.
Pour cette nouvelle technique d’acquisition volumique rapide par découpage optique,
la caractéristique principale est d’utiliser un feuillet laser en rotation, nous permettant de
produire un mouvement de scan continu. Nous l’avons baptisée « Tomographie par découpage optique rotatif » ou « Optical Rotating Scanning Tomography » et la mentionnerons
dans la suite de ce mémoire par l’acronyme ORST.
3.1
Motivations initiales du découpage optique rotatif
Considérons un feuillet laser tournant autour d’un axe appartenant à son plan et
supposons qu’au cours de sa rotation, le feuillet soit utilisé sur une plage angulaire αscan
de quelques degrés (Figure 3.1). Pour une valeur αscan donnée, nous pouvons obtenir une
dimension de scan dans la direction du balayage d’autant plus importante que l’axe de
rotation du feuillet est éloigné de la zone d’étude.
Le domaine d’acquisition est capturé grâce à un découpage optique rotatif qui s’opère
au sein de la plage angulaire utile. Celle-ci est donc discrétisée en une série d’incréments
angulaires δθ constituant les positions du feuillet laser. Ainsi pour une valeur δθ donnée,
nous avons la possibilité d’obtenir une résolution spatiale très élevée en position avec le
domaine d’acquisition proche de l’axe de rotation (Figure 3.1). Cela qui implique par
conséquent de privilégier la résolution spatiale au détriment de la taille du domaine de
scan.
D’autre part, nous pouvons aisément produire un feuillet laser rotatif au moyen d’une
lentille cylindrique mise en rotation autour de son axe optique. C’est donc la vitesse de
rotation de la lentille cylindrique qu’il faut piloter pour contrôler la vitesse d’acquisition
volumique. Enfin, notons que cette technique de découpage optique reste théoriquement
compatible avec l’utilisation d’une cuve à liquide d’indice utilisée pour l’acquisition de
structure à géométrie complexe [Ger07]. Effectivement, si l’axe de rotation du feuillet est
perpendiculaire à la face d’entrée du feuillet dans la cuve (dont l’état de surface doit être
correct), le plan lumineux conserve sa géométrie plane à l’intérieur de l’objet au cours de
66
Chapitre 3. Tomographie par découpage optique rotatif rapide (ORST)
sa rotation (Figure 3.1).
Figure 3.1 – Schéma de principe du découpage optique rotatif
Nous présenterons dans un premier temps une description théorique dite "géométrique" que nous évaluerons expérimentalement à travers une calibration ainsi que des
acquisitions lentes d’un solide rigide. Puis nous mettrons en place une adaptation rapide
de l’ORST en développant un dispositif de mise en rotation rapide d’un feuillet laser dont
les incréments angulaires seront synchronisés avec une caméra rapide. Les résultats de
cette mise en œuvre rapide nous conduira à revoir la description de l’ORST. Nous présenterons alors une nouvelle formulation dite "globale" permettant d’intégrer l’ensemble des
paramètres optiques du système, notamment ceux liés à l’objectif utilisé. Les performances
de cette nouvelle description seront évaluées à travers des acquisitions volumiques rapides.
Pour valider expérimentalement cette technique, nous réaliserons des acquisitions
volumiques sur un solide rigide statique, puis pour des déplacements subvoxels. Ces essais
nous permettront d’effectuer une analyse qualitative de la reconstruction, et quantitative
en terme d’erreur de mesure par corrélation volumique. Les performances obtenues nous
permettront d’utiliser cette nouvelle technique pour réaliser des mesures de déformations
volumiques résolues en temps au cœur des structures solides que nous présenterons en
troisième partie de ce mémoire.
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→.
−
→ =−
→ −
→ =−
→ −
→ =−
→∧−
x
x
y
x
o
c y
o
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o
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o
(
3
.
1
)
V=φ(
Px,P
y)
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N
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y)
68
La fonction φ dépend des paramètres de grandissement et de distorsion de notre système optique. Cependant, en faisant le choix d’un objectif adapté, nous considérons dans le
cadre de cette formulation géométrique que le grandissement γ est constant et nous négligerons les effets de distorsion. Comme les axes des repères CCD et objets sont confondus,
nous pouvons écrire :
Vx = φx (Px ,Py ) = γPx
Vy = φy (Px ,Py ) = γPy
(3.3)
Nous faisons alors l’hypothèse d’un même facteur d’échelle pour les directions x et y.
La nappe laser tourne autour d’un axe T qui doit être perpendiculaire à la surface de
l’objet. Donc la coordonnée Vz d’un voxel appartenant au feuillet laser orienté d’un angle
θ par rapport à sa position initiale (θ0 = 0˚) (Figure 3.3) peut être obtenue en utilisant
l’équation du plan en fonction de son orientation θ tel que :
Vz (θ) = ψ1 (θ)Vx + ψ2 (θ)Vy + ψ3 (θ)
(3.4)
Figure 3.3 – Disposition des repères objet et caméra pour la description géométrique de
l’ORST
3.2. Description théorique de l’ORST par une approche géométrique
69
De plus la relation entre un voxel V (0) de coordonnées (Vx (0),Vy (0),Vz (0)) appartenant
au plan initial (θ0 = 0˚), et sa position correspondante V (θ) de coordonnées (Vx ,Vy ,Vz (θ))
après une rotation d’angle θ autour de T peut s’écrire sous la forme d’un produit matriciel
tel que :


 
Vx (0) − Ax
Rxx (θ) Rxy (θ) Rxz (θ)
V x − Ax
Ryx (θ) Ryy (θ) Ryz (θ)  Vy − Ay  = Vy (0) − Ay 
Vz (0) − Az
Vz (θ) − Az
Rzx (θ) Rzy (θ) Rzz (θ)

(3.5)
où les coefficients Rij sont ceux de la matrice de rotation R(θ) autour d’un axe T
→
−
passant par un point A(Ax ,Ay ,Az ) et porté par un vecteur unitaire T (Tx ,Ty ,Tz ) ∈ R0
(Figure 3.3). Elle est définie comme suit :

Tx2 + (1 − Tx2 )cosθ
Tx Ty (1 − cosθ) − Tz sinθ Tx Tz (1 − cosθ) + Ty sinθ
R(θ) = Tx Ty (1 − cosθ) + Tz sinθ
Ty2 + (1 − Ty2 )cosθ
Tz Ty (1 − cosθ) − Tx sinθ
Tx Tz (1 − cosθ) − Ty sinθ Ty Tz (1 − cosθ) + Tx sinθ
Tz2 + (1 − Tz2 )cosθ
(3.6)
Après avoir développé le système 3.5 nous obtenons :

Vz (θ) = ψ1 (θ)(Vx − Ax ) + ψ2 (θ)(Vy − Ay ) + ψ3 (θ) + Az
(3.7)
Où les coefficients ψ1 (θ), ψ2 (θ), ψ3 (θ) dépendent des 9 coefficients de la matrice R(θ)
ainsi que des trois coefficients de l’équation du plan initial. Ils sont donnés par les relations
suivantes :
ψ1 (θ) =
Rzx (θ) − ψ1 (0)Rxx (θ) − ψ2 (0)Ryx (θ)
Rzz (θ) − ψ1 (0)Rxz (θ) − ψ2 (0)Ryx (θ)
ψ2 (θ) =
Rzy (θ) − ψ1 (0)Rxy (θ) − ψ2 (0)Ryy (θ)
Rzz (θ) − ψ1 (0)Rxz (θ) − ψ2 (0)Ryx (θ)
ψ3 (θ) =
ψ3 (0)
Rzz (θ) − ψ1 (0)Rxz (θ) − ψ2 (0)Ryx (θ)
(3.8)
Nous pouvons alors calculer les coordonnées (en voxels) d’un point dans l’espace objet
en connaissant ses coordonnées sur le capteur (en pixels) ainsi que l’angle θ du plan laser
associé. Néanmoins, ce calcul nécessite de connaître les 9 paramètres ψ1 (0), ψ2 (0), ψ3 (0),
Tx , Ty , Tz , Ax , Ay , Az que nous allons déterminer grâce à une procédure de calibration.
3.2.2
Calibration théorique du procédé
Pour déterminer les 9 paramètres du système, nous allons établir un protocole de calibration ainsi que sa formulation mathématique. Considérons un plan de calibration dont
l’orientation par rapport à la caméra et la position dans le repère objet sont connues (Figure 3.4). L’intersection entre le plan de calibration et le feuillet laser forme une ligne dont
les caractéristiques dépendent des positions et orientations de chacun des deux éléments.
70
Aussi, pour une orientation donnée θ du feuillet laser, une translation du plan de calibration induit un déplacement de la ligne laser sur ce plan. En choisissant l’axe optique de
la caméra comme axe de translation et en négligeant les effets de distorsion optique dûs
a l’objectif, le capteur voit la ligne laser se déplacer dans la direction xc (Figures 3.4 et
3.5).
Figure 3.4 – Procédure de calibration pour la description géométrique de l’ORST utilisant une plaque de verre en translation
Nous définissons le plan de calibration comme étant orienté d’un angle de 45˚ avec
le plan x0 y0 (Figure 3.4). La position de l’origine O0 du repère objet R0 est définie à
l’intersection entre l’axe optique de la caméra et une position dite de référence du plan de
calibration (Figure 3.4). Ainsi, dans R0 , un voxel V p appartenant au plan de calibration
satisfait les relations suivantes :
Vxp = γPx
;
Vyp = γPy
(3.9)
π
(3.10)
Vzp = −tan( )Vxp + ∆z = Vxp + ∆z
4
où ∆z est la valeur de la distance translatée du plan de calibration le long de l’axe z0
par rapport à sa position de référence.
3.2. Description théorique de l’ORST par une approche géométrique
71
• Première étape : détermination des coefficients ψ1 (θ0 ), ψ2 (θ0 ), ψ3 (θ0 )
La mise en translation du plan de calibration nous permet de capturer plusieurs lignes
laser appartenant à un même feuillet laser. Ainsi en connaissant les coordonnées de plusieurs points du feuillet laser (extraits à partir des lignes) nous pouvons obtenir son
équation dans sa position initiale d’angle θ0 = 0. Pour cela nous effectuons une discrétisation des lignes laser en ajoutant numériquement un masque (Figure 3.5) pour obtenir
une série de marqueurs.
Figure 3.5 – Transformations des lignes laser en série de marqueurs
Les positions Pi (Pix ,Piy ) de ND marqueurs sont obtenues par suivi de marqueurs.
En utilisant les équations 3.9 et 3.10, nous pouvons obtenir les positions des voxels
Vi (θ0 )(Vix ,Viy ,Viz (θ0 )) avec 1 ≤ i ≤ ND appartenant à un même plan dont l’équation
dans ℜ0 est :
Viz (θ0 ) = ψ1 (θ0 )(Vix ) + ψ2 (θ0 )(Viy ) + ψ3 (θ0 )
(3.11)
Pour calculer les paramètres ψ1 (θ0 ), ψ2 (θ0 ), ψ3 (θ0 ) du plan laser, nous utilisons la
méthode des moindres carrés. Dans notre cas, cela consiste à minimiser la quantité I(θ)
définie par :
72
I(θ0 ) =
ND
X
(Vizp − Viz (θ0 ))2
(3.12)
i=1
où Vizp est obtenue à partir de l’équation 3.10. En résolvant ce système nous obtenons
les paramètres ψ1 (θ0 ), ψ2 (θ0 ), ψ3 (θ0 ) du plan laser initial. Nous répéterons cette procédure pour Np positions angulaires du plan laser (avec Np ≥ 2). Effectivement, plusieurs
équations du plan laser dans différents positions sont nécessaires pour pouvoir déterminer
les caractéristiques de son axe de rotation T . Nous obtenons Np équations de la forme :
Vz (θi ) = ψ1 (θi )Vx + ψ2 (θi )Vy + ψ3 (θi ) 1 ≤ i ≤ Np
→
−
• Seconde étape étape : détermination de l’axe T (A, T )
(3.13)
→
−
L’axe de rotation du feuillet laser est porté par le vecteur T et résulte de l’intersection des Np positions du feuillet laser définies par les Np équations 3.13. Nous utilisons
deux points A(Ax ,Ay ,Az ) et B(Bx ,By ,Bz ) pour déterminer les coordonnées du vecteur
→
−
T (Tx ,Ty ,Tz ). A et B sont définis comme appartenant aux frontières dans la direction x0
de la zone calibrée. Donc les coordonnées Ax et Bx sont égales aux positions des frontières
gauche et droite de la zone calibrée (Figure 3.6).
Figure 3.6 – Position du vecteur T , des points A, B, An et B n dans la zone de calibration
Dans un espace tridimensionnel, l’intersection de deux plans est une droite et l’intersection d’une droite avec un plan donne un point. Ainsi les Np plans laser fournissent N
points An (Ax ,Any ,Anz ) et B n (Bx ,Byn ,Bzn ) (Figure 3.6) avec 1 ≤ n ≤ N où N est le nombre
de combinaisons possibles entre deux plans laser et une face frontière, définie par :
Np (Np − 1)
(3.14)
2
Or les équations de plan vont être obtenues expérimentalement, par conséquent les
coordonnées Ay , Az , By et Bz sont calculées en effectuant la moyenne des coordonnées
des points An et B n tel que :
N=
3.3. Mise en œuvre expérimentale de l’ORST
N
X
1
×
An
Aξ =
N n=1 ξ
73
N
X
1
×
et Bξ =
Bn
N n=1 ξ
ξ = {y; z}
(3.15)
→
−
Nous obtenons ensuite les coordonnées du vecteur T par la relation :
−→
→
−
AB
T = −→
kABk
3.2.3
(3.16)
Reconstruction d’un volume
Pour reconstruire un volume parallélépipédique, nous devons calculer le niveau de gris
g(Vx ,Vy ,Vz (θ)) de chacun des voxels alignés le long d’une grille orthogonale régulière. Les
niveaux de gris sont obtenus à partir des données contenues dans les pixels des images
2D des sections illuminées θk avec 1 ≤ k ≤ K où K est le nombre total de sections.
Donc pour affecter un niveau de gris à un voxel V (θ) de coordonnées (Vx , Vy , Vz (θ)), il
faut déterminer la position du pixel P concerné de coordonnées (Px , Py ) ainsi que son
image d’indice k. Par définition (équation 3.3), les coordonnées Px et Py sont obtenues
via le grandissement transversal. L’angle θk correspondant sera calculé en utilisant
l’équation 3.7. Pour ce faire, nous réaliserons un calcul d’approximation numérique de
type Newton-Raphson.
Cette approximation nous fournit une valeur θ approchée donc différentes des valeurs
discrètes utilisées pendant le scan. La valeur θ est telle que :
θk ≤ θ ≤ θk+1
(3.17)
où θk et θk+1 sont les deux positions angulaires discrètes les plus proches de la valeur
calculée θ. Nous calculons alors le niveau de gris g(Vx ,Vy ,Vz (θ)) par une interpolation
linéaire entre les niveaux de gris g(Vx ,Vy ,Vz (θk )) et g(Vx ,Vy ,Vz (θk+1 )), issus des images
d’un scan. Cette interpolation est définie par la relation suivante :
g(Vx ,Vy ,Vz (θk+1 )) − g(Vx ,Vy ,Vz (θk ))
× (Vz (θ) − Vz (θk )) + g(Vx ,Vy ,Vz (θk )))
Vz (θk+1 ) − Vz (θk )
(3.18)
Notons que le choix d’une interpolation de type linéaire requiert un pas angulaire
relativement petit pour limiter la distance spatiale entre les 2 sections contenant les
niveaux de gris g(Vx ,Vy ,Vz (θk )) et g(Vx ,Vy ,Vz (θk+1 )).
g(Vx ,Vy ,Vz (θ)) =
3.3
Mise en œuvre expérimentale de l’ORST
Pour la mise en œuvre expérimentalement de l’ORST par une approche géométrique,
nous avons mis en place un système de scan lent permettant de contrôler les paramètres
du système (incrément angulaire, grandissement etc..). Nous souhaitons expérimenter la
74
procédure de calibration et réaliser des acquisitions et des reconstructions pour analyser
la qualité des volumes reconstruits. Dans ces conditions, l’acquisition des images se fera
à une image/s sur un champ de capture de la caméra défini sur 1392 × 1040 pixels.
3.3.1
Mise en forme du feuillet laser rotatif
La mise en rotation du feuillet laser se fera via un montage optique proche de celui
présenté dans le chapitre précédent. Cette fois, la lentille cylindrique de courte distance
focale utilisée pour générer la nappe laser sera mise en rotation autour de son axe de
symétrie (Figure 3.7). Les deux lentilles sphériques en amont permettront d’ajuster la
position de la zone utile du feuillet dans la direction z0 .
Figure 3.7 – Montage optique de l’ORST pour la mise en forme d’un feuillet laser
tournant
L’angle d’ouverture α0 en sortie de L2 dépend de ε tel que :
[O1 O2 ] = f1 + f2 + ε
(3.19)
Pour ajuster l’angle α0 , donc la position de la partie utile du feuillet au niveau de la
zone d’étude, nous ajustons manuellement la valeur de ε en déplaçant L1 .
Avec ce montage optique, la section du feuillet dans le plan x0 z0 a une géométrie
similaire à celle présentée dans le chapitre 4. Pour améliorer la qualité du feuillet et
diminuer son épaisseur dans sa partie utile, nous plaçons un trou de diamètre 30 µm au
niveau du point focal image F1′ de L1 (Figure 3.7). Ce montage nous permet d’obtenir un
feuillet laser rotatif de 250 µm d’épaisseur sur une distance de 50 mm dans la direction
x0 .
3.3.2
75
Mise en place du système d’acquisition
Le montage présenté ici a été développé avec pour objectif de piloter la rotation d’un
feuillet laser en incréments angulaires de faibles amplitudes. La lentille cylindrique L3 de
longueur focale f3 = 6,4 mm est fixée au centre d’un disque en aluminium de 234 mm
de diamètre. Elle reçoit en son centre le faisceau faiblement convergent transmis par L2
et peut tourner autour de son axe optique grâce à une fixation rotative supportant le
disque. Le mouvement de translation d’une platine micrométrique motorisée en contact
tangent avec l’extrémité du disque permet d’appliquer des incréments angulaires de faibles
amplitudes au feuillet laser (Figure 3.8). Pour limiter le glissement, nous appliquons une
faible pression sur les surfaces en contact et les recouvrons d’un revêtement rugueux.
Figure 3.8 – Première mise en œuvre expérimentale de l’ORST
Pour chaque position angulaire du feuillet, la caméra capture la section éclairée
à l’intérieur de l’objet grâce à une synchronisation pilotant à la fois les incréments
de translation de la platine et les prises d’images de la caméra. Avant de réaliser les
premières acquisitions volumiques, nous allons évaluer la précision de positionnement
angulaire du feuillet.
3.3.3
Évaluation de la précision de positionnement angulaire du
feuillet pour la mise en œuvre lente de l’ORST
• Procédure expérimentale
Au cours des rotations incrémentales successives, le mouvement du disque peut être
perturbé par plusieurs facteurs. Le retour sur sa position initiale après la fin d’une série
76
d’incréments angulaires n’est pas constant à cause du cumul des micro-glissements entre la
platine et le disque. Ces micro-glissements peuvent être causés par le changement de sens
de rotation à la fin d’un scan pour revenir à la position initiale, mais également par les «
à-coups » produits à chaque incrément de rotation. Nous devons évaluer le niveau de ces
fluctuations car elles peuvent induire une dégradation de la précision de positionnement
angulaire du feuillet. Pour cela, nous avons réalisé un suivi des incréments de rotation
du disque grâce à un marqueur déposé sur le disque proche de sa circonférence (Figure
3.9) à 114 mm du centre. La caméra est placée face au disque et capture la position du
marqueur pour chacun des incréments angulaires avec un grandissement de 12.8 µm/pixel.
L’incrément de translation fixé à 27 µm génère un incrément de rotation de 230 µrad.
Pour cette valeur d’incrément angulaire nous allons évaluer la précision de positionnement
du disque sur 10 essais de 200 incréments chacun à la vitesse d’un incrément par seconde.
Figure 3.9 – Montage pour l’analyse de la précision de positionnement angulaire du
disque par suivi de marqueurs
• Analyse des résultats
Nous avons analysé les images grâce au logiciel de suivi de marqueur DEFTAC et
obtenu les positions P n (i) du marqueur dans la direction xc avec 0 ≤ n ≤ 9 et 1 ≤ i ≤ 200.
En prenant comme référence le premier essai, nous avons calculé les écarts moyens des
positions pour chacun des essais, définis par :
∆P n =
200
P
i=1
|P n (i) − P 0 (i)|
(3.20)
200
Nous pouvons observer sur la Figure 3.10 que l’erreur systématique évolue au fur et
à mesure des essais, il s’agit probablement d’un glissement qui apparaît entre les scans
77
à chaque retour du disque dans sa position initiale. L’erreur aléatoire de positionnement
donnée par les écarts-types est de l’ordre de 0,1 pixel ce qui avec un grandissement de
12,8 µm/pixel donne une erreur en position dans la direction xc de 1,28 µm. L’erreur
systématique ou de glissement s’étend de 2,56 µm à -7,68 µm. A une distance de 114 mm
du centre du disque, cela génère une erreur aléatoire de positionnement angulaire de 11,2
µrad, et systématique qui s’étend de 44,9 µrad à -67,3 µrad pour des pas angulaires
imposés de 230 µrad.
0,4
Ecarts moyens (pixels)
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Essai
Figure 3.10 – Écarts moyens des positions du marqueur pour chaque essai
Pour tous les essais, nous avons également calculé l’incrément angulaire moyen ainsi
que son écart-type, nous résumons les valeurs dans le tableau suivant :
Table 3.1 – Récapitulatif des incréments angulaires moyens et de leurs écarts-types pour
le système de scan lent
L’incertitude relative sur l’incrément angulaire est égale au maximum à 4% de l’incrément angulaire. A l’issue de cette caractérisation en terme de précisions, nous allons
utiliser notre système pour réaliser des acquisitions volumiques.
78
3.3.4
Calibration du système expérimental
Nous allons calibrer le système en appliquant le principe théorique décrit auparavant. Le plan de calibration se présente sous la forme d’une plaque de verre grâce
à l’excellente planéité de ce matériau. Un revêtement blanc mat a été appliqué sur
cette plaque pour améliorer la qualité de la ligne laser produite. Nous avons choisi
d’utiliser deux positions de calibration du feuillet (Np = 2) écartées d’un angle de
20˚. Leurs positions absolues sont telles que leur plan médian fictif est proche du
plan x0 y0 dans l’espace objet et les positions angulaires du feuillet au cours d’un scan
seront contenues dans cet intervalle. Pour chaque position de calibration du feuillet,
la plaque de verre sera placée en trois positions successives le long de l’axe z0 (Figure 3.11).
Figure 3.11 – Aperçu dans le plan x0 z0 des positions de calibration de la plaque de verre
le long de l’axe z0
La première manipulation consiste à aligner l’axe de rotation W (Figure 3.4) de la
plaque de verre avec le feuillet laser en position verticale de façon à positionner le repère
objet entre les deux positions de calibration du feuillet. Effectivement, le repère sera situé
sur l’axe de rotation de la plaque. Nous alignons l’axe de rotation W avec yc passant
par le centre du capteur puis, par auto-colimation, la plaque de verre est positionnée
parallèlement au capteur CCD. Nous lui imposons ensuite une rotation de 45˚ autour de
W comme indiqué sur la Figure 3.4.
Les translations successives que nous imposerons à la plaque de calibration le long
de l’axe z0 seront assurées par une platine de translation motorisée (Figure 3.4) et sa
direction de translation forme un angle proche de 90˚ avec l’axe optique du feuillet laser
(Figure 3.4). La position de la caméra est ajustée le long de l’axe z0 pour obtenir le
grandissement souhaité dans le plan x0 y0 . Pour ajuster la hauteur de la caméra dans la
79
direction y0 en fonction de la résolution d’acquisition souhaitée dans la direction z0 , nous
devons définir une expression qui relie le pas angulaire du feuillet, la résolution souhaitée
dans la direction z0 et la position de la caméra le long de l’axe y0 . Comme le feuillet est en
rotation, la distance δzf euillet (y) qui sépare deux positions du feuillet dans la direction z0 est
fonction de la distance y à laquelle on se place par rapport à l’axe de rotation. A ce stade
de l’étude, nous considérons le critère suivant : à une distance h de l’axe de rotation du
feuillet, la distance dans la direction z0 entre le feuillet en position horizontale (parallèle
au plan x0 y0 ) et sa position voisine d’un pas angulaire doit être au maximum égale à la
résolution choisie dans la direction z0 (Figure 3.12). Ce critère traduit le fait que chaque
information capturée dans un pixel du capteur doit résulter d’un déplacement spatial du
feuillet dans la direction z0 inférieur à la résolution. Ainsi pour un grandissement γ et un
incrément angulaire δθ (Figure 3.12), nous avons la relation suivante :
h≤
γ
tan(δθ )
(3.21)
Il y aura donc du recouvrement sur les positions du feuillet dans la zone d’étude dès
l’instant où la résolution γ choisie sera inférieure à l’épaisseur du feuillet. Compte tenu
de l’épaisseur du feuillet (250 µm) nous faisons le choix d’utiliser une résolution élevée
au prix d’un recouvrement important.
Figure 3.12 – Représentation du critère de résolution dans la direction z0
80
Figure 3.13 – Six images de lignes laser obtenues à partir de trois positions de la plaque
de verre et deux feuillets laser écartées de 20˚
Figure 3.14 – Six images de lignes laser discrétisées en 21 marqueurs et obtenues à partir
de trois positions de la plaque de verre et deux feuillets laser écartées de 20˚
Nous reconstruirons des volumes à partir de voxels cubiques, ce qui impose d’avoir
une résolution spatiale homogène dans les trois directions. L’objectif 50 mm F/1.2 que
81
nous utilisons nous permet d’obtenir une résolution de 83,4 µm/voxel dans les directions
x0 et y0 avec une profondeur de champ de plusieurs centimètres. Nous utiliserons un
pas angulaire de 285 µrad pour réaliser les acquisitions. Nous avons alors placé l’axe
optique de la caméra à une distance ha de l’axe de rotation (Figure 3.12) égale à 249,3
mm en tenant compte de la taille du capteur CCD (Figure 3.12). Pour la capture des
lignes laser, nous choisissons deux orientations du feuillet et des positions de la plaque
de verre telles que les trois différentes lignes laser successivement vues par le capteur
CCD se trouvent sur les extrémités et au centre de l’image (Figure 3.13). Ces 6 images
sont discrétisées numériquement en 21 marqueurs par l’ajout d’un masque (Figure 3.14).
Grâce aux résultats fournis par une analyse de suivi de marqueurs nous avons calculé les
paramètres du montage (Tableau 3.2).
Table 3.2 – Résultats (en voxels) de la calibration géométrique de l’ORST
Ces résultats indiquent que les coefficients ψ3 (0) et ψ3 (20), caractérisant la pente dans
la direction z0 des deux positions de calibration du feuillet, sont assez différents en valeur
absolue. Cela signifie que le plan médian des deux plans laser n’est pas tout à fait parallèle
au capteur CCD. Effectivement, nous ne pouvions pas effectuer ce réglage avec précision
avec le système mis en place. Nous remarquons en revanche que le vecteur porteur de
l’axe de rotation est principalement orienté dans la direction x0 avec une coordonnée Tx
égale à 0,96 pixel, ce qui est cohérent avec le montage. Enfin, la coordonnée Ay du point
A positionné sur l’axe de rotation et définie comme l’intersection avec le plan d’équation
x = 0 est cohérente avec notre montage. En effet, nous avions placé l’axe optique de la
caméra à une hauteur ha de 249 mm par rapport à l’axe de rotation du feuillet laser. Or,
dans notre procédure de calibration, le point A se trouve sur l’axe de rotation du feuillet
et l’axe optique de la caméra coupe l’origine de notre repère objet. Il est donc logique de
retrouver une coordonnée Ay égale à -2998.6 voxels car :
| − 2998.6 × 0.0834| = 250.08mm ≃ ha
(3.22)
Nous pouvons considérer que la procédure de calibration fonctionne, ce qui nous amène
à présent à évaluer la qualité de reconstruction volumique à travers l’acquisition du volume
d’un solide rigide.
82
3.3.5
Acquisition d’un volume et analyse visuelle de la reconstruction
Pour tous les essais présentés ci-après, l’éprouvette utilisée est un parallélépipède rectangle de dimensions 34 × 41 × 25 mm3. Elle est composée de résine époxy dans laquelle
des particules de polyamide ont été incluses et dont la taille est comprise entre 150 µm
et 300 µm. Comme nous l’avons vu dans l’étape de calibration précédente, nous avons
fixé la résolution d’acquisition à 83,4 µm/voxel et nous avons choisi un pas angulaire du
feuillet de 285 µrad. Nous utilisons 300 positions de feuillet dont la première correspond
à la première position de calibration. A l’issue d’un scan, 300 images sont capturées pour
une acquisition volumique, permettant d’imager une partie de l’éprouvette dans le plan
y0 z0 avec un angle de scan αscan (Figure 3.1) de 4,9˚. Pour placer l’éprouvette dans la
zone d’étude, il suffit que celle-ci soit visible dans le champ de la caméra (Figure 3.15) et
que la zone d’étude soit juste devant le feuillet laser en position initiale.
Figure 3.15 – Exemple d’une section capturée par la caméra au cours du scan
Figure 3.16 – Histogramme d’une section capturée au centre de l’éprouvette
Figure 3.17 – Section du volume reconstruit dans le plan y0 z0
83
84
Sur la Figure 3.15, nous pouvons observer que le champ de la caméra couvre une zone
supérieure à la section de l’éprouvette. La caméra 10 bits utilisée permet d’obtenir un
histogramme correct sur les niveaux d’intensité (Figure 3.16). A l’issue des 300 captures
réalisées pour un scan, la procédure de reconstruction présentée de manière théorique
précédemment est mise en œuvre au sein d’un algorithme C++. Pour évaluer la qualité
de reconstruction dans le plan y0 z0 nous avons reconstruit une coupe de dimension
1 × 1040 × 300 voxels.
Comme le montre la Figure 3.17, le nombre de sections utilisées était trop faible pour
imager la totalité de l’éprouvette. Les positions angulaires initiale et finale du feuillet
laser traversent l’objet, il y a donc par conséquent une portion de volume non imagée
(zone hachurée sur la Figure 3.17). La section de volume reconstruite est représentée par
un encadré pointillé rouge sur la Figure 3.17, et la partie du volume utile par un contour
plein rouge. Au cours de la reconstruction, si le voxel est situé en dehors de la zone
balayée par le feuillet laser, un niveau d’intensité maximum est affecté au voxel. Cela se
caractérise par des zones blanches de part et d’autre de la section imagée sur la Figure 3.17.
Figure 3.18 – Volume reconstruit de 100 × 100 × 100 voxels et visualisation des coupes
dans les plans x0 y0 (a), x0 z0 (b) et y0 z0 (c)
85
Nous pouvons dire que la procédure de reconstruction fonctionne à travers notre
implémentation C++. Elle fournit une vue dans le plan y0 z0 sans déformation apparente
et avec une répartition cohérente des intensités lumineuses. De plus, la hauteur de
l’éprouvette calculée (41 mm sur la Figure 3.17) à partir de cette coupe reconstruite
est en accord avec sa dimension réelle. En observant plus en détails les particules, on
constate que la qualité dans la direction z0 est un peu moins bonne que dans les autres
directions et que la géométrie est proche d’une forme ovale du même type que celle
obtenue avec l’OST. Cet effet de traînée est dû au réglage de la puissance du laser ainsi
qu’à la diffusion des particules du feuillet laser de part et d’autre. Nous devons trouver
un compromis entre la puissance du laser utilisée et le mouchetis obtenu.
Le temps de calcul nécessaire à la reconstruction d’un volume peut être très important (plusieurs heures) en fonction de la taille des volumes reconstruits. Pour limiter ce
problème, la taille des volumes reconstruits pour nos visualisations sera généralement
fixée à 100 × 100 × 100 voxels.
La Figure 3.18 présente une reconstruction cubique de 100 × 100 × 100 voxels
provenant du cœur de l’éprouvette. Les résultats sont visuellement assez bons avec
une bonne répartition globale des intensités lumineuses et une bonne géométrie
apparente de particules. A partir des visualisations des coupes de ce volume, nous pouvons noter une moins bonne qualité dans la direction z0 pour les raisons évoquées ci-avant.
En observant la répartition dans le volume des intensités lumineuses au moyen d’un
seuillage du niveau d’intensité, nous constatons que la reconstruction à cœur suit la même
tendance que celle observée sur les coupes en termes de répartition des données et de
géométrie des particules reconstruites.
Figure 3.19 – Visualisation 3D représentant la diffusion lumineuse par les particules de
polyamide
Connaissant la qualité des volumes reconstruits nous allons à présent analyser l’erreur
de mesure par corrélation d’images volumiques.
86
3.3.6
Évaluation de l’erreur de mesure par Corrélation Volumique
L’acquisition de plusieurs images volumiques d’une structure est suivie d’une procédure de calcul des déplacements en chaque point lorsque l’objectif est d’étudier les
déformations internes. Notre technique est justement destinée à réaliser des mesures de
déformations volumiques et rapides. Les calculs de déplacements et déformations seront
réalisés par corrélation d’images volumiques, c’est pourquoi nous allons évaluer l’erreur de
mesure en déplacement sur des volumes capturés par ORST. Nous procéderons d’abord
à des mesures sur un solide statique.
• Analyse des erreurs de mesure sur un solide rigide statique
Pour cette première analyse, l’éprouvette est capturée sans qu’aucune contrainte ni déplacement ne lui soit appliqué. Nous réalisons un total de 11 acquisitions et reconstruisons
pour chacune d’elles un volume de 100 × 100 × 100 voxels positionné au cœur de l’éprouvette (Figure 3.20). Le premier volume constituant l’état de référence est corrélé avec les
dix suivants pour extraire les champs de déplacements volumiques u, v et w dans les trois
directions de l’espace x0 , y0 et z0 . Les calculs de corrélation volumique sont réalisés grâce
au logiciel CORRELVOL développé au sein du laboratoire. Le pas de la grille de corrélation est fixé à 10 voxels dans les trois directions, et la taille du domaine de corrélation
à 313 voxels. Notons que dans la suite de nos travaux nous utiliserons systématiquement
ces paramètres pour les calculs par corrélation.
Figure 3.20 – Organisation des points de mesure sur la grille de correlation
Nous avons choisi ces paramètres en nous basant sur les travaux de l’OST [Ger07],
bien que pour ces derniers, la résolution spatiale utilisée était de 60 µm/voxel contre
83,4 µm/voxel dans notre cas. Compte tenu de la dimension de reconstruction des volumes, la grille de corrélation obtenue offre un total de 343 points (Figure 3.20). Pour
évaluer l’erreur de mesure systématique, nous calculons les moyennes des déplacements
sur l’ensemble des points de corrélation pour chaque état et dans chacune des directions.
L’erreur de mesure aléatoire sera donnée par l’écart-type des déplacements moyens.
87
0.15
Déplacement moyen calculé (vx)
u moyen
v moyen
0.1
w moyen
0.05
0
-0.05
-0.1
0
2
4
6
8
10
Etat
Figure 3.21 – Déplacements calculés par corrélation volumique pour un solide rigide
statique
Ecart-type sur les déplacements (voxels)
0,05
�
σu
�
σv
0,04
�
σw
0,03
0,02
0,01
0
0
2
4
6
8
10
Etat
Figure 3.22 – Écarts-types des déplacements calculés par corrélation volumique pour un
solide rigide statique
88
Nous pouvons observer que les déplacements calculés (Figure 3.21) évoluent au cours
des acquisitions bien que l’éprouvette analysée soit fixe (Notons qu’un décalage horizontal
est appliqué sur chaque trio de résultat pour faciliter la visualisation des barres d’écarttype). Cette évolution est progressive et atteint un maximum proche de -0.08 voxel dans
la direction x0 , -0.06 voxel dans la direction y0 et 0.08 voxel dans la direction z0 . Compte
tenu des résultats de l’analyse de position angulaire du disque que nous avons obtenu précédemment, nous pouvons dire que ces déplacements sont causés par le décalage progressif
du disque. De plus, comme l’axe de rotation n’est pas parfaitement colinéaire avec l’axe
x0 , un défaut de positionnement du feuillet engendre des erreurs de mesure dans les trois
directions de R0 . Néanmoins, nous pouvons noter que l’erreur aléatoire (Figure 3.22) est
assez faible, caractérisée par un écart-type maximal sur les déplacements proche de 0.016
voxel dans la direction x0 , 0,028 voxel dans la direction y0 et 0.044 voxel dans la direction
z0 .
• Analyse des erreurs de mesure sur un solide rigide en translation subvoxel
Nous procédons maintenant à l’analyse des erreurs de mesure par corrélation volumique en fonction du déplacement imposé d’un solide rigide. Différentes études de mesure
du déplacement par corrélation sur des images 2D et 3D ont montré que l’erreur varie
en fonction du déplacement imposé [BBD+ 08][GDD08]. Aussi nous souhaitons étudier
l’allure de ces variations avec des volumes capturés par ORST. Pour cela, nous réalisons
plusieurs déplacements d’une fraction de voxel chacun en capturant un volume à chaque
déplacement. L’incrément de translation, fixé à un dixième de la résolution spatiale, est
appliqué à l’éprouvette à l’aide d’une platine de translation micrométrique manuelle (Figure 3.23). L’analyse est réalisée dans chacune des directions, il y a donc trois séries
d’essais. La reconstruction des volumes et les calculs de corrélation sont réalisés avec les
mêmes paramètres que ceux de l’analyse précédente.
Figure 3.23 – Montage expérimental pour l’analyse de l’erreur de mesure en fonction du
déplacement imposé dans la direction x0
89
0.15
u
v
Erreur de mesure (voxel)
0.1
w
0.05
0
-0.05
-0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Déplacement imposé (voxel)
Figure 3.24 – Erreur de mesure systématique et aléatoire par corrélation volumique sur
un solide rigide en translation subvoxel (Acquisition lente - Description géométrique)
Le graphique 3.24 présente les erreurs systématiques pour les composantes de
déplacement u, v et w en fonction des déplacements imposés pour chacune des directions
de translation x0 , y0 et z0 . Ces moyennes évoluent entre -0.01 et 0.03 voxel dans la
direction x0 , -0.03 et 0.05 voxel dans la direction y0 , -0.04 et 0.07 dans la direction z0 .
Ces valeurs plutôt faibles correspondent à celles obtenues à partir de volumes capturés
OST ou par micro-tomographie rayons X [GDD08]. Par ailleurs, on remarque que l’allure
des trois courbes suit une tendance en "S". Ce comportement est généralement observé à
l’issue des calculs de déplacements subvoxels par corrélation d’images 2D ou 3D comme
nous avons pu l’observer dans le chapitre 2.
On remarque que l’erreur de mesure la plus importante concerne la direction y0 . Ce
résultat est lié à l’orientation du balayage. En effet, l’axe de rotation est proche de l’axe x0
et le plan médian de scan est proche du plan x0 y0 . Ainsi la densité d’informations capturées
est d’autant plus faible que le volume est éloigné de l’axe de rotation, et particulièrement
dans la direction y0 (Figure 3.25). Lorsque l’éprouvette est translatée positivement dans la
direction y0 , la densité d’informations recueillie diminue provoquant une erreur de mesure
plus importante.
90
Figure 3.25 – Évolution de la densité d’informations dans la direction y0
Finalement, la densité d’informations capturée varie dans les directions y0 et z0 qui
sont dans notre cas les deux directions concernées par le balayage rotatif. Mais cette
évolution dépend également des positions relatives de l’axe de rotation, du repère objet
et de la zone de scan. Dans le cas présent, c’est la direction y0 qui est la plus concernée.
Pour diminuer cet effet, il faudrait diminuer l’angle de scan, conduisant à placer la zone
de scan très loin de l’axe de rotation et faisant tendre le découpage vers un découpage en
sections parallèles.
Les erreurs de mesure par corrélation présentées ci-dessus sont liées à des acquisitions
volumiques lentes, mais suffisent à montrer que la mesure de déplacements par corrélation
volumique sur des volumes capturés par ORST fonctionne. Nous avons donc poursuivi
l’étude pour adapter la technique à l’acquisition volumique rapide.
3.4
Adaptation du système pour l’acquisition volumique rapide
Pour adapter le système à l’acquisition volumique rapide, nous avons développé un
appareil capable d’appliquer un mouvement de rotation continu et précis au feuillet laser
et de synchroniser sa position avec une caméra rapide. L’étude précédente utilisant un
dispositif de rotation lente a montré que la précision sur le positionnement angulaire du
3.4. Adaptation du système pour l’acquisition volumique rapide
91
feuillet doit être élevée pour pouvoir réaliser des acquisitions volumiques précises. C’est
pourquoi nous porterons une attention toute particulière au système de détection des
positions angulaires, ainsi qu’à la synchronisation avec la caméra.
3.4.1
Conception d’un dispositif adapté
La conception du nouveau système de scan dépend essentiellement du dispositif
utilisé pour détecter les incréments de rotation. Nous partons du principe que l’ordre
de grandeur des incréments est de 285 µrad en se basant sur les essais précédents. Ce
niveau de variations angulaires nous a conduit vers l’utilisation d’un codeur angulaire
incrémental optique, capable d’offrir une résolution angulaire de quelques dizaines de
micros-radians. Il se compose en général d’une bague solidaire de la partie en rotation
et d’un capteur optique fixé sur le bâti. Le capteur analyse le déplacement d’un marquage gravé sur la bague et envoie une pulse pour chaque incrément angulaire détecté.
La valeur de l’incrément angulaire détecté dépend du diamètre de la bague, du pas
de gravure, ainsi que du niveau d’interpolation réalisée par le codeur (sur-échantillonnage).
A partir de là, nous avons orienté notre conception vers un appareil composé d’un arbre
creux en rotation sur lequel est fixé la lentille cylindrique avec son axe optique coïncidant
avec l’axe de rotation. En plaçant la bague du codeur sur l’arbre et le capteur sur le
bâti, nous pouvons suivre les incréments de rotation du feuillet laser. Par conséquent la
taille de la bague de codeur angulaire utilisée conditionne le dimensionnement de l’arbre
et par suite celui du système global. Pour obtenir la résolution souhaitée, nous avons
étudié différents dispositifs existants et avons choisi d’utiliser une bague de diamètre 200
mm gravée au pas de 20 µm offrant une résolution native de 200 µrad (Figure 3.26). En
pratique, l’incrément angulaire fourni par le codeur sera de 40 µrad car ce dernier suréchantillonne, on parlera de la résolution interpolée. Pour garantir une bonne précision
sur le codage angulaire, nous utiliserons systématiquement un pas angulaire supérieur à
la résolution native de 200 µrad.
Figure 3.26 – Caractéristiques du codeur angulaire [REN13]
Nous avons choisi de positionner la bague du codeur sur une extrémité de l’arbre au
92
plus proche de la lentille cylindrique. Pour optimiser la précision de centrage de l’axe de
rotation et ainsi limiter le "battement" de la bague, on choisira une longueur de l’arbre
importante par rapport à son diamètre au niveau de la liaison pivot. Celle-ci est assurée
grâce à quatre roulements à billes à contacts obliques dont le diamètre intérieur est de
30 mm. Pour résumer, l’arbre se compose d’une partie cylindrique dont le diamètre est
voisin de 30 mm sur 90% de sa longueur totale et d’une partie de grand diamètre (200
mm) sur les 10% restant (Figure 3.28 (a) et (b)).
Figure 3.27 – Dispositif réalisé pour l’ORST rapide
L’utilisation d’un codeur angulaire impose une précision élevée sur les cotations de
notre appareil, notamment en ce qui concerne la coaxialité entre la zone de fixation de
la bague (Figure 3.28) et les roulements. C’est pourquoi l’arbre a été usiné dans un
seul bloc (Figure 3.28). Pour limiter les perturbations sur la rotation et améliorer la
stabilité du système, le bâti supportant l’arbre est un bloc parallélépipédique plein, avec
un dégagement pour accueillir l’arbre (Figure 3.28). Un moteur à courant continu ainsi
qu’une liaison par courroie sont utilisés pour l’entraînement de l’arbre (Figure 3.27).
93
Figure 3.28 – Arbre (a)&(b) et bâti (c) du dispositif ORST rapide
Figure 3.29 – Vue en coupe du dispositif ORST rapide
Parmi les 3 lentilles utilisées pour l’ORST (Figure 3.7), seule la lentille cylindrique
94
L3 est présente dans cet appareil, les deux autres (L1 et L2 ) sont placées sur un support
indépendant en amont de l’appareil. Pour assurer le passage du faisceau jusqu’à L3 l’arbre
du système est creux sur toute sa longueur (Figure 3.28). Pour visualiser l’assemblage
interne de notre dispositif, nous proposons une vue en coupe dans le plan x0 y0 passant
par l’axe de rotation (Figure 3.29). L’arbre est placé à l’intérieur du bâti et supporté par
deux paires de roulements à billes (Parties A et B Figure 3.29). La conception classique
d’un arbre en rotation consiste à contraindre totalement la partie A en translation tandis
que la partie B garde un degré de liberté dans la direction x0 . Deux entretoises ainsi
qu’un écrou de serrage permettent de contraindre les paliers entre eux pour optimiser leur
coaxialité et donc la qualité de rotation de l’arbre. La lentille cylindrique est placée dans
un support fixé en bout de l’arbre du côté de la bague du codeur et de telle sorte que
son axe optique soit aligné avec l’axe de rotation. Nous fournissons en annexe (Annexe
D) les plans détaillés des différentes pièces de ce montage. Cet appareil met en rotation le
feuillet laser en indiquant chacun de ses incréments de rotation qu’il nous faut maintenant
synchroniser avec une caméra rapide.
3.4.2
Synchronisation des incréments de rotation du feuillet avec
une caméra rapide
Pour synchroniser les pulses renvoyées par le codeur avec la caméra rapide, nous avons
dans un premier temps mis en place une procédure de pilotage basée sur un algorithme
C++ dialoguant avec le codeur angulaire et la caméra par l’intermédiaire d’une carte
d’acquisition. Cependant dès les premières analyses de la position de l’arbre par suivi de
marqueurs (même procédure que celle décrite avec le système d’acquisition lent), nous
avons observé de multiples décalages entre les séries de positions du marqueur et avons
mis en cause la vitesse de dialogue de cette procédure. Effectivement, les variations de
positionnement peuvent être causées par l’utilisation du système d’exploitation (dont
nous ne maîtrisions pas parfaitement les priorités) ou encore des interactions entre la
carte d’acquisition (pilotée par sa propre horloge) et le programme C++.
Nous avons alors décidé de mettre au point une carte de synchronisation autonome
sur mesure reposant uniquement sur de l’électronique logique. Cette carte sera le seul
intermédiaire entre le codeur incrémental et la caméra. Pour réaliser cette carte, nous
devons définir le principe fonctionnel de la synchronisation que nous souhaitons obtenir
pour le fonctionnement de l’ORST rapide.
• Principe fonctionnel de la synchronisation pour l’ORST rapide
Nous devons détecter l’instant où le feuillet laser passe par sa position de référence
θ0 = 0˚ pour démarrer les acquisitions, puis à partir de cette position, chaque détection
d’un incrément angulaire (dont la valeur doit pouvoir être réglée) sera suivie d’une capture
d’image par la caméra. Lorsque le nombre total K de captures nécessaires pour couvrir
la zone d’étude est atteint, l’acquisition de la caméra est interrompue, mais le feuillet
continue de tourner. Elle ne reprend que lorsque le feuillet repasse par sa position de
95
référence et ainsi de suite.
Figure 3.30 – Synchronisation entre les positions utiles du feuillet et les captures de la
caméra
Sur la Figure 3.30 nous indiquons les positions utiles du feuillet (en vert) qui sont
associées à une série d’acquisitions. Toutes les positions angulaires suivantes ne sont pas
utilisées (en rouge). Nous pouvons remarquer que comme le feuillet laser n’est utilisé
que d’un seul côté de l’axe de rotation, on pourrait imaginer deux séries d’acquisitions
par rotation en utilisant le feuillet de chaque côté de son axe de rotation. Il faudrait
alors avoir deux positions de référence sur la bague placées en opposition. Cela dit, cette
amélioration nécessiterait de calibrer le système deux fois mais permettrait de réduire le
délai entre les acquisitions d’un facteur 2. Cette optimisation est envisageable mais n’a
pas été mise en œuvre dans le cadre de ce mémoire.
• Mise en pratique de la synchronisation
La bague du codeur angulaire que nous utilisons dispose d’un marquage (série de traits)
gravé sur l’intégralité de sa circonférence ainsi que d’une seule position de référence. Le
codeur est capable d’envoyer séparément l’information de détection de la position de
référence et les informations de détections des incréments angulaires. Cela nous permet
d’appliquer le principe de fonctionnement décrit ci-avant à ce codeur. Notre carte de
synchronisation aura les caractéristiques suivantes indiquées dans le tableau 3.3, et peut
être schématisé comme indiqué sur la Figure 3.32.
96
Table 3.3 – Cahier des charges de la carte de synchronisation
Figure 3.31 – Carte de synchronisation réalisée pour l’ORST rapide
La Figure 3.31 présente la carte réalisée en accord avec les opérations (A, B, C, D,
E, F) décrites dans le tableau 3.3. Elle sera utilisée dans la suite des travaux pour la
synchronisation du dispositif de scan rapide. Nous fournissons en annexe (Annexe E) ses
schémas électroniques de principes. Avant de l’utiliser pour réaliser des acquisitions, nous
allons évaluer la précision de synchronisation de notre système.
97
Figure 3.32 – Schéma fonctionnel de la carte de synchronisation de l’ORST
3.4.3
Analyse de la précision de synchronisation par suivi de marqueurs
Pour évaluer la précision de synchronisation entre les positions angulaires du feuillet
et les acquisitions de la caméra, nous réalisons la même expérience qu’avec le montage
lent (Figure 3.9) en suivant un marqueur positionné sur l’arbre proche de la bague du
codeur.
La carte de synchronisation que nous avons réalisée nous permet de diviser la fréquence
des pulses provenant du codeur par une puissance de 2 et donc d’ajuster l’incrément
angulaire utile sur un multiple d’une puissance de 2 par rapport à l’incrément angulaire
interpolé en sortie du codeur (résolution interpolée égale à 40 µrad, Figure 3.26). Ce
réglage est nécessaire pour ajuster l’incrément angulaire en fonction des caractéristiques
du scan. Nous utiliserons alors un pas angulaire de 320 µrad s’agissant de la première
valeur supérieure à la résolution native (200 µrad) que nous pouvons obtenir. Comme
pour la plupart des caméras rapides, la vitesse de capture et la définition de capture sont
deux paramètres qui varient en sens inverse, ce qui nous impose de trouver un compromis
entre vitesse et taille du champ capturé. Nous avons choisi d’utiliser notre caméra dans
une définition de 400 × 400 pixels ce qui offre une vitesse d’acquisition maximale de 3200
images/secondes. Notons par ailleurs que dans cette définition, la taille de la zone d’étude
dans le plan x0 y0 est de 33 × 33 mm2 en considérant une résolution de 83.4 µm/voxel.
La précision de synchronisation dépend probablement de la vitesse de rotation de
l’arbre, c’est pourquoi nous avons réalisé plusieurs essais de suivi de marqueurs pour
différentes vitesses de rotation. Ces vitesses sont indiquées dans le tableau 3.4 et mises en
relation avec les vitesses d’acquisition correspondantes pour la caméra rapide.
98
Table 3.4 – Vitesses de rotation testées pour l’analyse de la précision de synchronisation
de l’ORST rapide
La taille du champ de capture de la caméra couplée à la résolution d’acquisition et au
pas angulaire nous permet de fournir un total de 490 positions distinctes à chaque passage
du marqueur devant la caméra (Figure 3.33).
Figure 3.33 – Montage expérimental pour l’analyse de la précision de synchronisation
de l’ORST rapide par suivi de marqueurs
Pour chacune des vitesses de rotation étudiées, le marqueur effectue 6 passages devant
la caméra (soit 6 tours de l’arbre) sans interruption. Après avoir calculé les positions du
marqueur dans le repère image de la caméra (Figure 3.33) nous calculons la différence
de position du marqueur pour 5 séries par rapport à la première prise comme référence.
Comme le montre la Figure 3.33, le marqueur est suivi loin du centre de rotation de
l’arbre avec un rapport très important entre la distance parcourue par le marqueur et le
rayon de l’arbre. C’est pourquoi les différences de position sont calculées uniquement sur
la coordonnée x, la variation de la coordonnée y étant quasi nulle. Pour chaque vitesse de
rotation testée, les différences de positions sont calculées comme suit :
∆xji = xji − x0i
(3.23)
Avec 1 ≤ i ≤ 490 l’indice de positionnement par tour, et 2 ≤ j ≤ 6 l’indice du tour.
Nous présentons ci-après les résultats pour les 6 vitesses de rotations étudiées (Tableau
3.4).
99
0,12
0,1
Variations de position Δx (mm)
0,08
0,06
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
2e tour
3e tour
4e tour
5e tour
6e tour
-0,06
-0,08
-0,1
-0,12
0
100
200
300
400
500
Indice de position
Figure 3.34 – Variations de position ∆x pour une vitesse de rotation de 2,9 tr/min
0,12
2e tour
0,1
3e tour
0,08
4e tour
0,06
5e tour
0,04
6e tour
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
-0,12
0
100
200
300
400
500
Indice de position
Figure 3.35 – Variations de position ∆x pour une vitesse de rotation de 4 tr/min
100 Chapitre 3. Tomographie par découpage optique rotatif rapide (ORST)
0,12
0,1
2e tour
0,08
3e tour
0,06
4e tour
5e tour
0,04
6e tour
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
-0,12
0
100
200
300
400
500
Indice de position
0,12
2e tour
3e tour
4e tour
5e tour
6e tour
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
-0,12
0
100
200
300
400
500
Indice de position
101
0,12
2e tour
0,1
3e tour
0,08
4e tour
0,06
5e tour
0,04
6e tour
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
-0,12
0
100
200
300
400
500
Indice de position
0,12
2e tour
0,1
3e tour
0,08
4e tour
0,06
5e tour
0,04
6e tour
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
-0,12
0
100
200
300
400
500
Indice de position
Suite à ces essais réalisés pour différentes vitesses de rotation, on s’aperçoit que la
synchronisation est la meilleure pour la vitesse de 6,7 tr/min (Figure 3.37). En effet, les
5 autres vitesses étudiées indiquent des variations de position ∆x importantes au cours
des 490 positions, et cela pour chaque essai. Malgré un recalage au début de chaque
passage du marqueur grâce à la pulse de référence, des dérives progressives apparaissent
au fil des essais. Il peut s’agir de perturbations de nature électromagnétique ou liées à une
résonance du système perturbant la lecture optique du codeur angulaire. On peut supposer
que des pulses sont "ignorées" ou bien "doublées" ce qui aurait pour conséquence de
modifier ponctuellement la valeur de l’incrément angulaire. Pour s’en assurer, nous avons
alors calculé la valeur des incréments angulaires δij pour l’ensemble des essais précédents.
Comme les incréments de déplacement sont très petits par rapport au rayon Rm défini
comme la distance entre l’axe de rotation et le marqueur, nous pouvons utiliser la relation
suivante :
δθji =
xji − xji−1
Rm
(3.24)
avec Rm ∼ 95 mm (Figure 3.33). Voici les résultats obtenus :
360
Incrément angulaire δθ (µrad)
340
320
300
280
260
Séri
e1
Séri
e2
240
220
200
0
100
200
300
400
500
Indice de position
Figure 3.40 – Incréments angulaires δθ calculés pour une vitesse de rotation de 2,9 tr/min
103
360
340
320
300
280
260
240
Série
1
220
Série
2
200
0
100
200
300
400
500
Indice de position
Figure 3.41 – Incréments angulaires δθ calculés pour une vitesse de rotation de 4 tr/min
360
340
320
300
280
260
Série1
Série2
Série3
Série4
Série5
240
220
200
0
100
200
300
400
500
Indice de position
400
380
360
340
320
300
280
Série
1
Série
2
Série
3
260
240
220
200
0
100
200
300
400
500
Indice de position
360
340
320
300
280
260
Série
1
Série
2
240
220
200
0
100
200
300
400
500
Indice de position
105
360
340
320
300
280
260
Série
1
Série
2
240
220
200
0
100
200
300
400
500
Indice de position
Les résultats indiquent que les dérives des positions peuvent être mises en relation
avec une variation du pas angulaire. On remarque que celui-ci oscille la majeure partie du
temps autour de 320 µrad ce qui correspond à la valeur de l’incrément imposé. Néanmoins,
on remarque un certain nombre de valeurs proches de 280 µrad. L’écart entre ces deux
valeurs est de 40 µrad et correspond à l’incrément angulaire interpolé du codeur. Pour
nos essais, nous garderons la vitesse de 6.7 tr/min présentant les meilleurs résultats de
synchronisation. Pour cette vitesse, nous avons évalué la valeur moyenne ainsi que l’écarttype sur les séries d’incréments angulaires (Tableau 3.5).
Table 3.5 – Moyennes et écarts-types des incréments angulaires pour la vitesse de rotation
6.7 tr/min
Pour cette vitesse de rotation, l’incrément moyen calculé est de 318.7 µrad ce qui
correspond quasiment à l’incrément angulaire théoriquement imposé de 320 µrad. Par
ailleurs, le calcul de l’écart-type révèle une erreur aléatoire de 4.8 µrad, ce qui est du même
ordre de grandeur que la valeur donnée par le constructeur du codeur angulaire(5.4 µrad)
(Figure 3.26). Il est important de souligner que l’erreur relative est égale au maximum à
1.5% de l’incrément angulaire, ce qui est inférieur à l’erreur obtenue avec le montage lent
(Tableau 3.1). On peut donc considérer que la précision angulaire est très bonne et que
ce nouveau dispositif devrait nous permettre de réaliser des acquisitions comparables à
celles obtenues avec l’application lente.
3.4.4
Acquisition d’un solide rigide en translation continue et mesure du déplacement par corrélation volumique
Pour évaluer la qualité de reconstruction des volumes capturés par ORST rapide,
nous avons réalisé plusieurs acquisitions volumiques sur un solide rigide en translation
continue. L’éprouvette parallélépipédique (identique à celle employée pour les acquisitions
volumiques précédentes) est placée sur une platine de translation automatique puis mise
en mouvement à une vitesse constante.
Le protocole de l’essai va consister à mettre l’objet en translation continue à la vitesse
de 1 mm/min dans la direction z0 (direction la plus défavorable). Au cours du déplacement,
onze acquisitions successives seront réalisées. La caméra rapide utilisée pour la mise en
œuvre rapide de l’ORST possède un capteur dont la taille des pixels est plus importante
que dans le cas de la caméra lente utilisée dans l’application lente. Par conséquent, en
utilisant le même objectif qu’auparavant (50 mm F/1.2) la résolution spatiale obtenue
est proche de 123 µm/voxel contre 83 µm/voxel précédemment. Pour cette première mise
en œuvre rapide, nous garderons cet objectif du fait de son excellente luminosité. En
utilisant la relation 3.21 et en considérant une définition de capture de 400 × 400 pixels,
nous obtenons une distance entre l’axe optique de la caméra et l’axe de rotation d’environ
350 mm.
Figure 3.46 – Acquisition volumique rapide d’un solide rigide en translation continue
107
A cette distance, en réglant la carte de synchronisation sur un nombre total (K)
d’acquisitions égal à 256, nous obtenons un angle de scan de 4,7˚ et une distance de
balayage de 28 mm le long de l’axe optique de la caméra. Par conséquent, comme la
vitesse utilisée sera de 6,7 tr/min (induisant une vitesse d’acquisition caméra de 2200
images/s), la durée Tacq nécessaire pour acquérir un volume est égale à 0.12 s. De plus, le
feuillet laser doit effectuer un tour entier avant de réaliser le scan suivant, donc le délai
entre deux acquisitions ∆Tacq est de 8.95 s. Le temps d’intégration de la caméra est fixé
à 300 µs ce qui reste inférieur à la limite de 454 µs liée à la vitesse de capture de 2200
images/sec. A l’issue des acquisitions, les volumes sont reconstruits avec une taille de
100 × 100 × 100 voxels.
Sur la Figure 3.47, la qualité de reconstruction semble bonne et comparable à celle
obtenue avec le dispositif d’acquisition lent (Figure 3.18). En revanche, on remarque une
différence au niveau du contraste probablement liée aux caractéristiques du capteur de
la caméra rapide. On note également une perte de netteté liée à la résolution spatiale
d’acquisition utilisée (123 µm/voxel). La résolution précédente était de 83 µm/voxel et
permettait d’obtenir plus de détails que dans le cas présent. Malgré tout, nous pouvons
considérer que la reconstruction est correctement réalisée, ce qui confirme la qualité de
synchronisation et d’acquisition du système rapide.
Figure 3.47 – Volume capturé avec le dispositif rapide et reconstruit avec la description
géométrique de l’ORST
Enfin la Figure 3.48 présente la distribution des particules dans le volume et affiche une
bonne distribution, similaire à celle observée pour des acquisitions lentes (Figure 3.19).
Figure 3.48 – Distribution volumique des particules sur un volume capturé par ORST
rapide
Pour les 11 volumes capturés, nous avons effectué une analyse par corrélation volumique pour extraire les champs de déplacements volumiques sur une grille de 196 points
de corrélation définie comme suit :
Figure 3.49 – Organisation des points de mesure sur la grille de corrélation
Nous avons vu au début de ce chapitre que l’actuelle description de l’ORST néglige les
phénomènes liés à l’optique utilisée ainsi que l’effet de perspective (Relation 3.3). Pour
des petits déplacements, cette relation est acceptable, mais peut devenir inappropriée
pour des déplacements trop importants. C’est justement ce phénomène qui est observé sur
les graphiques 3.50, 3.51. En effet, ces graphiques montrent un déplacement pour chaque
section dans le plan x0 y0 qui augmente avec le déplacement du solide sur l’ensemble des
109
points de corrélation dont l’organisation est indiquée sur la Figure 3.49. Comme l’effet
de perspective n’est pas pris en compte, l’objet vu par la caméra grossit virtuellement ce
qui provoque des déplacements virtuels sur les extrémités du solide dans les directions x0
et y0 . On note que pour chaque position de l’éprouvette, les amplitudes des déplacements
dans les directions x0 et y0 sont semblables. Les courbes de déplacement dans la direction
x0 ne sont pas centrées sur 0, ce qui indique que l’éprouvette s’éloigne progressivement
du plan y0 z0 . En revanche, les déplacements dans la direction y0 sont quasiment centrés
sur 0 (Figure 3.51) ce qui indique que le déplacement du solide reste très voisin du plan
x0 z 0 .
Le graphique 3.52 montre que le déplacement calculé sur l’ensemble des points de
corrélation d’un volume dans la direction z0 est globalement homogène sur l’ensemble
des points de corrélation d’un état. Cela indique une vitesse d’acquisition suffisante par
rapport à la vitesse de déplacement du solide. Néanmoins, nous pouvons observer que
localement, le déplacement calculé dans la direction z0 varie en fonction de la position
du point de corrélation dans la direction x0 (série de pentes sur le graphique 3.52). Ce
phénomène est logique car le calcul de la coordonnée Vz d’un voxel dépend des coordonnées
Vx et Vy , elles-mêmes entachées d’erreurs de positionnement comme nous venons de le voir.
Pour confirmer ces observations, nous pouvons analyser l’évolution des écarts-types des
déplacements σx , σy et σz .
0,2
Déplacement mesué (voxel)
0,15
u1
u2
u3
0,1
u4
u5
0,05
u6
u7
0
u8
u9
-0,05
u10
Section a
Section b
Section d
Section c
-0,1
0
50
100
150
200
Point de corrélation
Figure 3.50 – Composante de déplacement u dans la direction x0 sur l’ensemble des
points de corrélation et pour tous les états
Déplacement mesuré (voxels)
0,1
v1
0,05
v2
v3
v4
0
v5
v6
-0,05
v7
v8
v9
-0,1
v10
Section a
Section b
Section d
Section c
-0,15
0
50
100
150
200
Figure 3.51 – Composante de déplacement v dans la direction y0 sur l’ensemble des
10
9
w1
Déplacement mesuré (voxel)
8
w2
7
w3
6
w4
w5
5
w6
4
w7
3
w8
w9
2
w10
1
Section a
Section c
Section b
Section d
0
0
50
100
150
200
Figure 3.52 – Composante de déplacement w dans la direction z0 sur l’ensemble des
111
0,07
�
σx
σy
�
0,06
�
σz
Ecarts-types (voxels)
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0
2
4
6
8
10
12
Etat
Figure 3.53 – Évolution des écarts-types de déplacements calculés pour les composantes
u, v et w en fonction de l’état du déplacement
0.124
Déplacement moyen calculé (mm)
0.122
0.12
0.118
0.116
0.114
0.112
0.11
0.108
0
2
4
6
8
10
12
Etat
Figure 3.54 – Incréments de déplacements moyens calculés entre chaque état (description
géométrique)
Le graphique 3.53 confirme l’évolution de l’effet de perspective avec le déplacement.
Par ailleurs, cette évolution s’observe dans les trois directions au cours du déplacement
de l’éprouvette. Observons à présent les incréments de translation moyens calculés. Nous
savons que la durée entre deux acquisitions est proche de 8,95 sec et que la vitesse
de déplacement du solide rigide est fixé à 1 mm/min. Nous devrions alors obtenir un
incrément de translation proche de 0.149 mm entre chaque volume. Nous avons calculé
les déplacements moyens sur l’ensemble des points de chaque volume (Figure 3.54) et les
valeurs s’étendent de 0.11 et 0.122 mm ce qui semble éloigné de la valeur théoriquement
attendu de 0.149mm.
Cet essai a révélé une limitation concernant la description mathématique de l’ORST.
La description actuelle de type géométrique repose sur des relations qui ne tiennent pas
compte des caractéristiques optique de l’objectif. Comme nous venons de le voir, cela se
traduit par des perturbations sur les composantes de déplacement calculées (Figure 3.50
et 3.51). Or, les applications liées à cette technique d’acquisition peuvent engendrer des
déplacements de plusieurs pixels notamment la direction z0 . Pour cette raison, nous avons
décidé de mettre en place une formulation améliorée de l’ORST capable de tenir compte
des caractéristiques optiques du système.
3.5
Formulation de l’ORST par une approche globale
La description géométrique de l’ORST permet d’obtenir la coordonnée Vz d’un voxel en
fonction des coordonnées Px et Py de sa projection sur un capteur, de l’angle θ du feuillet
laser et des paramètres intrinsèques au montage. En revanche, les coordonnées Vx et Vy
sont directement assimilées aux coordonnées de projection Px et Py (équation 3.3). Cette
description reste acceptable pour des petits déplacements mais génère des erreurs pour des
grands déplacements comme nous venons de le voir. C’est pourquoi nous avons développé
une description mathématique alternative de l’ORST dite "globale" permettant de mieux
prendre en compte les caractéristiques de l’optique utilisée et notamment le phénomène
de perspective.
3.5.1
Formulation du principe
Pour exprimer les paramètres recherchés, la description globale utilise trois équations
polynomiales indépendantes pour chacune des composantes Vx , Vy et Vz d’un voxel, de la
forme suivante :
Px = f1 (Vx , Vy , Vz )
(3.25)
Py = f2 (Vx , Vy , Vz )
(3.26)
θ = f3 (Vx , Vy , Vz )
(3.27)
3.5. Formulation de l’ORST par une approche globale
113
où f1 , f2 et f3 sont 3 polynômes dont le degré noté deg est identique pour chacun
d’eux. Nous aurions pu reprendre la description géométrique en ajoutant des paramètres
pour tenir compte des caractéristiques de l’objectif, mais nous avons préféré cette
solution qui englobe l’ensemble des paramètres du système. Ce type de description a
déjà été mis en œuvre pour la technique de projection de franges [LBV12] et a montré
de bons résultats, c’est pourquoi nous l’adaptons à l’ORST. Grâce à ces relations, nous
pouvons déterminer le pixel P (Px , Py ) et l’angle θ de la section qui contient le niveau
de gris à affecter au voxel V (Vx , Vy , Vz ). Le calcul des coefficients peut se faire par une
minimisation en associant les coordonnées d’un champ volumique de voxels dans l’espace
objet ℜ0 (x0 ,y0 ,z0 ) avec celles correspondantes dans un second espace appelé ℜ1 (xc ,yc ,θ).
Cet espace à trois dimensions est composé des deux dimensions du repère caméra et
d’une troisième représentant l’angle du feuillet. Les relations 3.25, 3.26 et 3.27 permettent
donc de passer d’un espace à trois dimensions à un autre espace à trois dimensions.
Pour déterminer les coefficients de ces trois polynômes, nous devons générer un champ
volumique de voxels répartis au sein du domaine d’acquisition, dont nous connaissons les
coordonnées à la fois dans ℜo et ℜ1 . Cela nécessite une étape de calibration présentée
ci-après.
3.5.2
Calibration théorique du système
Pour générer un champ de voxels, nous réutilisons la technique du plan de calibration
en translation proposée pour la description géométrique (Figure 3.4). Cette fois-ci la
plaque utilisée dispose d’une mire de M marqueurs formants une grille régulière carré
(Figure 3.55). En connaissant le pas de cette grille et sa position dans R0 , nous pouvons
générer, en utilisant plusieurs positions du plan de calibration, un champ de points dont
les positions dans R0 sont connues. La position absolue du repère objet R0 est définie au
centre de la mire de points pour une position de la plaque de calibration dite de référence
(Figure 3.55), et de telle sorte que z0 soit alignée avec la direction de translation.
Figure 3.55 – Calibration de l’ORST avec la description globale
En pratique, on pourra utiliser un nombre de positions Np supérieur à trois pour
densifier le champ de points dans la direction z0 . En prenant M = 25 et Np = 3, nous
obtenons un champ volumique de 75 points (Figure 3.56). Pour obtenir les coefficients
des polynômes 3.25, 3.26 et 3.27, nous allons devoir procéder en deux étapes.
Figure 3.56 – Nuage de 75 points de calibration obtenus en déplaçant une mire de points
et observé dans les plans x0 y0 , x0 z0 et y0 z0
• Première étape de calibration de la description globale de l’ORST
La première étape consiste à déterminer, pour chaque position de la plaque de calibration, deux polynômes qui mettent en relation les coordonnées Vx et Vy d’un voxel avec les
coordonnées Px et Py de sa projection sur le capteur de la caméra. Ces polynômes sont
de la forme suivante :
Vx = g1 (Px , Py )
(3.28)
Vy = g2 (Px , Py )
(3.29)
Leur degré noté deg2 est identique aux deux polynômes. Comme la mire est à la fois
alignée avec l’axe y0 et orientée de 45˚par rapport à l’axe x0 (Figure 3.56), la coordonnée
Vz d’un voxel dans ℜ0 peut être obtenue de la manière suivante :
Vz = zplaque − tan(45)Vx = zplaque − Vx
(3.30)
Grâce aux trois relations précédentes, nous pouvons connaître la position d’un voxel
V situé sur la plaque de calibration à condition qu’il soit situé sur une des positions de
calibration. Nous pouvons alors obtenir une série de points dont les coordonnées sont
connues à la fois dans le repère caméra avec P (Px ,Py ) ainsi que dans le repère objet
avec V (Vx ,Vy ,Vz ). Les coefficients des polynômes peuvent alors être déterminés par la méthode de moindres carrés qui conduit à la résolution d’un problème matriciel. Finalement,
nous obtenons Np relations de la forme suivante, en considérant uniquement les termes
prépondérants d’un polynôme de degré 3 :
Vx = a0 Px3 + a1 Py3 + a2 Px2 Py + a3 Px Py2
+ a4 P x P y + a5 P x + a6 P y + a7
Vy = b0 Px3 + b1 Py3 + b2 Px2 Py + b3 Px Py2
+ b 4 Px P y + b 5 Px + b 6 Py + b 7
115
(3.31)
(3.32)
• Deuxième étape de calibration de la description globale de l’ORST
Cette deuxième phase de calibration consiste à obtenir les coordonnées d’un voxel à
la fois dans l’espace objet ℜ0 avec V (Vx ,Vy ,Vz ) et dans l’espace ℜ1 avec P (Px ,Py ,θ). Pour
cela, nous réutilisons la technique développée pour la description géométrique de l’ORST
utilisant la ligne de projection d’un feuillet laser sur un plan (Figure 3.5). Effectivement, en
capturant l’image de l’impact d’une ligne laser sur la plaque de calibration, nous obtenons
une série de points P (Px ,Py ) le long de cette ligne et appartenant au feuillet laser. Ainsi,
grâce aux relations 3.30, 3.31 et 3.32 obtenues dans la première étape de calibration, nous
pouvons calculer les coordonnées des voxels situés sur une ligne de projection du feuillet.
En utilisant plusieurs positions du feuillet et plusieurs positions de la plaque de calibration
nous obtenons un champ volumique de points de calibration dont les coordonnées sont
connues dans les deux espaces ℜ0 et ℜ1 . Les coefficients des trois polynômes 3.25, 3.26 et
3.27 sont ensuite déterminés par moindres carrés. En prenant un degré de polynôme égal
à 3, nous obtenons les relations suivantes :
Px = c0 Vx3 + c1 Vy3 + c2 Vz3 + c3 Vx2 Vy + c4 Vx Vy2 + c5 Vx Vz2
+ c6 Vx2 Vz + c7 Vz Vy2 + c8 Vy Vz2 + c9 Vx Vy Vz + c10 Vx2 + c11 Vy2
(3.33)
+ c12 Vz2 + c13 Vx Vy + c14 Vx Vz + c15 Vy Vz + c16 Vx + c17 Vy + c18 Vz + c19
Py = d0 Vx3 + d1 Vy3 + d2 Vz3 + d3 Vx2 Vy + d4 Vx Vy2 + d5 Vx Vz2
+ d6 Vx2 Vz + d7 Vz Vy2 + d8 Vy Vz2 + d9 Vx Vy Vz + d10 Vx2 + d11 Vy2
+
d12 Vz2
(3.34)
+ d13 Vx Vy + d14 Vx Vz + d15 Vy Vz + d16 Vx + d17 Vy + d18 Vz + d19
θ = e0 Vx3 + e1 Vy3 + e2 Vz3 + e3 Vx2 Vy + e4 Vx Vy2 + e5 Vx Vz2
+ e6 Vx2 Vz + e7 Vz Vy2 + e8 Vy Vz2 + e9 Vx Vy Vz + e10 Vx2 + e11 Vy2
+
e12 Vz2
(3.35)
+ e13 Vx Vy + e14 Vx Vz + e15 Vy Vz + e16 Vx + e17 Vy + e18 Vz + e19
On remarque que grâce à cette description, il n’est pas nécessaire d’assimiler la composante θ à sa valeur angulaire. Nous pouvons utiliser l’indice de position du feuillet (entier
compris entre 0 et K).
3.5.3
Reconstruction d’un volume
De la même manière que pour la description géométrique de l’ORST, un volume
reconstruit est toujours parallélépipédique avec une distribution régulière des voxels. Ces
derniers sont reconstruits les uns après les autres dans les directions x0 , y0 puis z0 . Pour
déterminer le pixel et l’image de la section concernée permettant d’affecter un niveau
de gris à un voxel, nous utilisons les relations 3.33, 3.34 et 3.35. Comme ces dernières
fournissent des valeurs calculées non entières de Px , Py et θ, le niveau de gris affecté au
voxel reconstruit est calculé à partir d’une interpolation trilinéaire entre les huit sommets
de coordonnées entières dans ℜ1 , correspondant aux points les plus proches du point
calculé. Ces huit sommets forment un volume quasiment parallélépipédique car l’incrément
angulaire est très faible entre deux feuillets, c’est pourquoi l’interpolation réalisée est de
type trilinéaire et utilise les expressions analytiques classiques que l’on trouve dans la
littérature [Dou00][Ger07].
3.5.4
Confrontation avec l’approche géométrique à travers l’analyse du déplacement continu d’un solide rigide
Pour évaluer le fonctionnement de cette nouvelle description de l’ORST, nous allons
l’utiliser pour effectuer une seconde analyse des déplacements du solide rigide en mouvement continu, en utilisant les mêmes données d’acquisition. Nous avons mis en application
la procédure de calibration présentée au 2.5.2 avec une mire carrée de 25 points et 3 positions régulièrement espacées pour la plaque de calibration. Nous obtenons un volume
calibré de 30 × 30 × 30 mm3 comme indiqué sur la Figure 3.56. Notons qu’entre les acquisitions utilisant la description géométrique et cette nouvelle calibration, le montage
n’a subi aucun changement. Cela signifie que les relations de positions entre le feuillet
laser et la caméra n’ont pas changé et que par conséquent nous pouvons réutiliser les
données d’acquisition précédentes pour reconstruire les volumes avec la nouvelle description (globale). Les volumes ont été reconstruits dans une taille de 100 × 100 × 100 voxels
et les calculs de déplacements par corrélation volumique utilisent les mêmes paramètres
sur une grille de corrélation de 196 points. Nous retrouvons la même qualité de volume
que celle obtenue précédemment (Figure 3.47 et 3.48) et constatons que la reconstruction
utilisant la description globale fonctionne correctement. Grâce aux calculs par corrélation
volumique, nous pouvons analyser les résultats de déplacements dans les trois directions
de l’espace.
117
Figure 3.57 – Distribution volumique des particules sur un volume capturé rapidement
et reconstruit avec la description globale de l’ORST
Figure 3.58 – Volume capturé avec le dispositif rapide et reconstruit avec la description
globale de l’ORST
0,2
Déplacements mesrés (voxels)
0,15
u1
0,1
u2
u3
u4
0,05
u5
u6
0
u7
u8
u9
-0,05
u10
Section a
Section b
Section d
Section c
-0,1
0
50
100
150
200
Figure 3.59 – Résultats du calcul de la composante de déplacement dans la direction x0
sur l’ensemble des points de corrélation et pour tous les états
0,1
Déplacements mesurés (voxels)
0,05
v1
v2
v3
0
v4
v5
v6
-0,05
v7
v8
v9
-0,1
v10
Section a
Section b
Section d
Section c
-0,15
0
50
100
150
200
Figure 3.60 – Résultats du calcul de la composante de déplacement dans la direction y0
119
13
12
Déplacements mesurés (voxels)
11
w1
10
w2
9
w3
8
w4
7
w5
6
w6
5
w7
4
w8
3
w9
2
w10
1
Section a
Section b
Section c
Section d
0
0
50
100
150
200
Figure 3.61 – Résultats du calcul de la composante de déplacement dans la direction z0
Comme nous pouvons le constater sur les graphiques ci-dessus, la description globale
de l’ORST apporte une réduction de l’effet de perspective sur les déplacements calculés
dans les directions x0 (Figure 3.59) et y0 (Figure 3.60) par comparaison aux résultats
précédents (Figures 3.50 et 3.51). Les résultats dans la direction z0 (Figure 3.61) semblent
également meilleurs que les précédents (Figure 3.52). Observons maintenant les résultats
des écarts-types des déplacements (Figure 3.62) caractérisant l’effet de perspective et
comparons-les à ceux obtenus avec la description géométrique.
Le graphique 3.62 confirme la diminution de l’effet de perspective et cela pour les trois
composantes du déplacement, avec un écart-type maximal de 0.014 voxel alors que le
maximum était de 0,065 voxel avec la description géométrique soit quasiment un facteur
cinq. Nous avons également recalculé les déplacements moyens entre chaque acquisition
(Figure 3.63) et nous obtenons à présent une valeur qui oscille autour de 0,145 mm ce
qui est nettement plus proche de la valeur théorique attendue de 0,149 mm.
Nous pouvons conclure que la description globale de l’ORST permet de prendre en
compte les caractéristiques de l’optique et par conséquent l’effet de perspective et cela
grâce à une calibration globale de l’ensemble du volume de scan en utilisant une grille
de points volumiques. Pour cette raison nous avons choisi d’utiliser uniquement cette
description dans la suite de nos travaux. Nous garderons des polynômes de degré 2 et 3
respectivement pour les phases 1 et 2 de la calibration compte tenu des bons résultats
obtenus à ce stade du développement.
0,07
σx (globale)
σy (globale)
0,06
σz (globale)
σx (géométrique)
Ecart-type (voxels)
0,05
σy (géométrique)
σz (géométrique)
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0
2
4
6
8
10
12
Etat
Figure 3.62 – Évolution des écarts-types de déplacements calculés dans les directions x0 ,
y0 et z0 en fonction de l’état de déplacement (description globale)
0,16
Déplacement moyen calculé (mm)
0,155
0,15
0,145
0,14
0,135
0,13
0
2
4
6
8
10
12
Etat
Figure 3.63 – Incréments de déplacements moyens entre chaque état (description globale)
Notons que cette nouvelle description est plus simple à mettre en œuvre d’un point
121
de vue pratique et qu’elle tient compte de caractéristiques optiques. Avant de réaliser des
analyses mécaniques volumiques sur des problème précis, nous allons caractériser la zone
d’étude liée à ce procédé puis nous terminerons ce chapitre par une analyse de l’erreur de
mesure par corrélation avec la mise en œuvre rapide et la description globale.
3.5.5
Caractérisation des paramètres de l’ORST en fonction des
paramètres d’étude
Nous souhaitons caractériser géométriquement le domaine d’acquisition et en particulier sa position au sein d’une région dite "admissibile" en la mettant en relation avec
les paramètres de scan tels que l’incrément angulaire δθ ou encore la résolution spatiale
d’acquisition γ. Nous présentons dans cette section une description complète du domaine
de scan de l’ORST permettant ainsi de paramétrer le système en fonction de la taille
du domaine et de la résolution spatiale. Nous commençons par caractériser la région
admissible en fonction de la résolution spatiale d’acquisition, puis nous la mettrons en
relation avec la taille du domaine d’étude.
Nous faisons l’hypothèse que l’axe de rotation est parfaitement colinéaire à l’axe x0
du référentiel ℜ0 , c’est pourquoi cette description peut être faite en deux dimensions
dans le plan y0 z0 . Pour caractériser la région admissible, le critère que nous avons fixé
consiste à n’utiliser que la région dans laquelle la distance d entre deux feuillets dans
la direction z0 est inférieure à la résolution choisie γ (Figure 3.64). De cette manière,
nous voulons garantir que le niveau de gris de chaque voxel de cette région est obtenue à
partir de deux régions du volume dont la distance dans la direction z0 est inférieure ou
égale à la taille d’un voxel. En d’autres termes, nous interdisons l’utilisation d’une région
sous-échantillonnée et préférons travailler dans une région sur-échantillonnée (Figure
3.64).
Sur les schémas 3.64 et 3.65, la région verte respecte le critère d ≤ γ, à l’inverse de
la région rouge. Pour caractériser la région de scan admissible, il suffit de caractériser la
position de la limite entre les deux zones, que nous définissons comme la succession des
segments limites d = γ (segments rouges sur les schémas 3.64 et 3.65). La position de
l’extrémité droite d’un segment définit sa position par rapport à une origine ponctuelle
située au niveau de l’axe de rotation. Dans ce cas, le i ème segment limite (avec i > 0) a
comme abscisse zi et comme ordonnée yi .
Figure 3.64 – Schéma de description de la zone d’étude de l’ORST
Pour mettre en équation la région admissible, nous pouvons écrire la position de
quelques segments limites γ pour en déduire une expression générale.
• Segment limite n˚1 :
y1 =
γ
tan(δθ)
(3.36)
z1 = γ = y1 tan(δθ)
(3.37)
z1′ = y2 tan(δθ)
(3.38)
z2 = z1′ + γ = y2 tan(2δθ)
(3.39)
y2 =
γ
tan(2δθ) − tan(δθ)
123
(3.40)
z2′ = y3 tan(2δθ)
(3.41)
z3 = z2′ + γ = y3 tan(3δθ)
(3.42)
γ
tan(3δθ) − tan(2δθ)
(3.43)
y3 =
• nième segment limite : En généralisant, nous observons que les expressions des quantités zn et yn pour le nième feuillet sont de la forme :
zn = yn tan(nδθ)
yn =
zn
yn
γ
− tan((n − 1)δθ)
(3.44)
(3.45)
En sachant que :
tan(a − b) =
tan(a) − tan(b)
1 + tan(a)tan(b)
(3.46)
L’équation 3.45 nous donne :
zn
tan(nδθ) − tan(δθ)
γ
=
−
yn
yn 1 + tan(nδθ)tan(δθ)
(3.47)
Puis en utilisant 3.44, nous obtenons finalement :
γ = zn −
zn − yn tan(δθ)
1 + yznn tan(δθ)
(3.48)
Après arrangement, cette équation peut être mise sous la forme suivante :
γ 2
γ
γ 2 (1 + tan2 (δθ))
2
(zn − ) + (yn −
) =
2
2tan(δθ)
4tan2 (δθ)
(3.49)
Il s’agit d’une équation de cercle, ce qui signifie que la région
p admissible est délimitée
γ
γ
γ
par un cercle de centre ( 2 ; 2tan(δθ) ) et de rayon R = 2tan(δθ) 1 + tan2 (δθ) par rapport à
une origine prise au niveau de l’axe de rotation (Figure 3.65).
Figure 3.65 – Zone d’étude circulaire par ORST
Ce développement nous a permis de caractériser la limite du domaine d’acquisition
admissible, c’est-à-dire respectant un critère de distance maximale entre deux feuillets
dans la direction z0 . Cette zone admissible se trouve ainsi à l’intérieur d’un cercle dont
nous avons donné les caractéristiques ci-avant. Néanmoins comme γ2 est petit devant le
rayon du cercle, nous considérerons dans ce qui suit que le cercle est centré sur le feuillet
0.
Figure 3.66 – Domaine d’étude parallélépipédique
125
Figure 3.67 – Calibration d’une section rectangulaire dans le plan y0 z0
Nous allons maintenant confronter le domaine admissible avec le domaine d’étude
dont les caractéristiques sont définies par l’utilisateur. Nous considérons que ce dernier
est toujours un parallélépipède dont les dimensions dans le référentiel objet R0 (x0 ,y0 ,z0 )
sont L × h × b (Figure 3.66). La largeur L étant uniquement liée à la largeur du champ
de vision de la caméra, considérons la section rectangulaire de base b et de hauteur h
dans le plan y0 z0 (Figure 3.67). Nous allons mettre en relation cette section avec les
caractéristiques du domaine admissible.
La caractérisation géométrique du domaine d’étude présentée sur la Figure 3.67 nous
permet d’obtenir la distance Hc entre l’axe optique de la caméra et l’axe de rotation
définie par la relation :
r
b2 h
Hc = R + R 2 − −
(3.50)
4
2
Nous obtenons également l’angle de scan αscan défini par la relation :


b

q
(3.51)
αscan = 2tan−1 
b2
2
2(R + R − 4 − h)
Cette relation nous permet de calculer le nombre total K de feuillets nécessaires pour
capturer un volume de dimensions L × h × b. Ces relations ont été implémentées dans un
algorithme de calcul permettant d’obtenir directement les paramètres Hc et K en fonction
de la taille du domaine d’acquisition L × h × b, de la résolution spatiale d’acquisition γ et
de l’incrément angulaire utilisé δθ. Par exemple, pour acquérir un volume de 50 × 50 × 50
mm3 avec une résolution spatiale de 80 µm/voxel et en utilisant un pas angulaire de 320
µrad, nous obtenons une distance Hc égale à 223 mm, un angle de scan de 14.38˚ soit un
nombre total de 786 sections. Nous pouvons comparer le nombre de captures nécessaires
par rapport à un découpage optique translatif qui nécessiterait 625 sections. L’acquisition
par ORST requiert dans ces conditions 25% d’images supplémentaires à cause du procédé
de rotation. Cela dit, le nombre de coupes nécessaires par ORST dépend aussi de l’angle
de scan et donc du pas angulaire choisi. Nous pouvons analyser l’évolution du nombre
total K de sections en fonction du pas angulaire choisi, ainsi que des dimensions de la
zone d’étude pour une résolution fixée à 80 µm/voxel.
Figure 3.68 – Nombre de sections pour acquérir un volume avec une résolution de 80
µm/voxel en fonction de sa taille et de l’incrément angulaire
Sur la Figure 3.68, nous constatons que l’évolution du nombre de coupes en fonction
du pas angulaire choisi est non-linéaire et augmente à mesure que les dimensions de la
zone d’étude augmentent. Comme nous sommes à résolution constante, il est préférable
de rapporter notre analyse à la résolution γ. Aussi, nous pouvons conclure que le nombre
de sections nécessaires est d’autant plus important que le rapport entre la résolution et
les dimensions de la zone d’étude est grand. Également, nous avons vu précédemment
(équation 3.50) que la distance entre l’axe optique de la caméra et l’axe de rotation du
système dépend du pas angulaire.
127
Figure 3.69 – Hauteur de l’axe optique pour acquérir un volume avec une résolution de
80 µm/voxel en fonction de sa taille et de l’incrément angulaire
La Figure 3.69 nous montre que la distance Hc est inversement proportionnelle au
pas angulaire choisi. En revanche cette évolution est identique pour des dimensions de la
zone d’étude allant de 10 × 10 × 10 mm3 à 50 × 50 × 50 mm3.
Finalement, dans le cas d’un volume de 50 × 50 × 50 mm3, il est préférable de choisir
un pas angulaire situé entre 200 µrad et 300 µrad pour limiter le nombre de captures
nécessaires tout en gardant une distance "raisonnable" entre l’axe optique de la caméra et
l’axe de rotation. Par ailleurs, notons que pour une même valeur de l’angle d’ouverture du
feuillet (αli sur la Figure 3.7) en sortie de la lentille cylindrique, la distance entre celle-ci
et le dispositif ORST devra être d’autant plus importante que la valeur Hc est grande
pour que la zone d’étude soit balayée par le feuillet laser.
Désormais, nous pouvons utiliser l’ORST sur des applications mécaniques concrètes.
Mais avant cela, il nous reste à évaluer l’erreur de mesure par corrélation volumique sur
des volumes capturés rapidement au cours d’un essai de déplacement subvoxel.
3.5.6
Évaluation de l’erreur de mesure par Corrélation Volumique
A ce stade de notre développement, l’erreur de mesure par corrélation volumique a
été évaluée mais seulement à partir de volumes capturés lentement et reconstruits en
utilisant la description géométrique de l’ORST. Nous allons à présent l’évaluer à partir
de volumes capturés rapidement et reconstruits en utilisant la description globale de
l’ORST. Nous allons dans un premier temps évaluer les erreurs de mesure systématique
et aléatoire en déplacement à travers des acquisitions successives sur un solide rigide
statique. Puis dans un second temps, nous évaluerons ces erreurs à travers des essais de
translations subvoxel d’un solide rigide.
• Analyse des erreurs de mesure systématique et aléatoire à travers
l’acquisition d’un solide rigide statique
Nous avons repris exactement le même protocole que précédemment en utilisant la
même éprouvette. En revanche, nous avons vu plus haut que l’objectif 50 mm F/1.2 nous
limitait à une résolution de 0.123 mm/voxel. Bien que nous ayons utilisé cette résolution
pour la première mise en œuvre de l’ORST rapide, nous souhaitons à présent obtenir
une résolution inférieure à 0.1 mm/voxel et proche de celle utilisé par l’OST. C’est
pourquoi nous utilisons désormais un objectif Zeiss 100 mm F/2.8, moins lumineux, mais
permettant d’obtenir une résolution spatiale de 0,0825 mm/voxel.
Nous avons défini notre domaine d’acquisition avec les paramètres d’entrée suivants :
— γ = 0.0825 mm/voxel
— L = b = 30 mm
— h = 30 mm
— δθ = 320 µrad
En utilisant les résultats de la caractérisation de la zone d’étude, nous obtenons alors
les caractéristiques de scan suivantes :
— Hc = 242.5 mm
— K = 412 sections
La carte de synchronisation est réglée avec un pas angulaire égal à 320 µrad et un
nombre total d’acquisitions égal à 512. Nous avons réalisé 11 acquisitions successives à
la vitesse de 6.7 tr/min (vitesse validée précédemment) et les volumes sont reconstruits
dans des dimensions de 100 × 100 × 100 voxels. Les calculs par corrélation sont réalisés
sur une grille de 343 points (7 × 7 × 7).
129
0,1
Déplacement moyen calculé (voxels)
0,08
u
m
o…
0,06
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
0
2
4
6
8
10
Etat
Figure 3.70 – Déplacements calculés par corrélation volumique sur un solide rigide statique capturé par ORST rapide (δθ = 320 µrad)
0,025
σu
σv
Ecart-type (voxel)
0,02
σw
0,015
0,01
0,005
0
0
2
4
6
8
10
Etat
Figure 3.71 – Ecarts-types des déplacements calculés par corrélation volumique sur un
solide rigide statique capturé par ORST rapide (δθ = 320 µrad)
Le graphique 3.70 montre que les déplacements calculés dans les directions x0 et y0 sont
inférieurs à 0.01 voxel ce qui est extrêmement faible. Dans ces directions, nous obtenons
à présent des erreurs aléatoires, définies par les écarts-types σx et σy , inférieures à 0.005
voxel sur les 10 états, alors que nous avions atteint quasiment 0.03 voxel avec la mise en
application lente. Les résultats dans la direction z0 montrent des erreurs plus élevées que
dans les deux autres directions. Le déplacement calculé oscille toujours autour de 0 mais
cette fois entre -0.09 et 0.07 voxel. Les écarts-types sont également plus importants avec un
maximum de 0.02 voxel soit 5 fois plus que dans les directions x0 et y0 . Comme le feuillet
est en mouvement continu, il est normal d’obtenir des erreurs plus importantes dans cette
direction. L’amplitude de ces erreurs est en théorie liée à la précision du codeur angulaire
utilisé. Cela signifie que si l’on augmente le rapport entre l’erreur angulaire et l’incrément
du feuillet δθ, l’erreur de mesure dans la direction z0 est susceptible de diminuer car
nous diminuons la proportion entre l’erreur incrémentale et la valeur de l’incrément. Pour
vérifier cette hypothèse, nous avons renouvelé ce test en utilisant un pas angulaire 2
fois plus important soit δθ = 640 µrad. Dans ce cas, la valeur Hc diminue et devient
égale à 112 mm. On constate à l’issue de cet essai que les résultats dans les directions
x0 et y0 sont similaires tant en termes de valeur de déplacement que d’écart-type. Par
contre, le déplacement calculé dans la direction z0 a diminué de moitié avec une valeur
de déplacement absolue maximale de 0.04 voxel contre quasiment 0.09 voxel dans le cas
précédent. Également, la diminution de l’erreur aléatoire est très nette avec une valeur de
σz qui reste en dessous de 0.01 voxel sur les 10 états calculés, là encore la diminution est
d’un facteur 2. On peut donc conclure que la précision des calculs de corrélation dans la
direction z0 est directement liée à la précision angulaire du codeur.
Déplacement moyen calculé (voxels)
0,1
u
m
o…
0,05
0
-0,05
-0,1
0
2
4
6
8
10
12
Etat
Figure 3.72 – Déplacements calculés par corrélation volumique sur un solide rigide statique capturé par ORST rapide (δθ = 640 µrad)
131
0,025
σu
Ecart-type du déplacement (voxels)
σv
0,02
σw
0,015
0,01
0,005
0
0
2
4
6
8
10
12
Etat
Figure 3.73 – Ecarts-types des déplacements calculés par corrélation volumique sur un
solide rigide statique capturé par ORST rapide (δθ = 640 µrad)
• Analyse des erreurs systématique et aléatoire de mesure par corrélation volumique à travers des essais de déplacements subvoxel d’un solide rigide
Pour évaluer l’erreur en déplacement, nous avons repris le même protocole qu’avec
le montage lent. Dans le cas présent, l’acquisition est réalisée de manière rapide mais
toujours sur une éprouvette fixe lorsqu’elle est capturée. Cette dernière est translatée d’un
dixième de voxel entre chaque acquisition et les acquisitions sont réalisées en continu.
Les paramètres d’acquisition et de reconstruction sont identiques à ceux présentés
précédemment, en notant que l’incrément angulaire utilisé est fixé à 320 µrad. L’erreur
en déplacement a été étudiée dans les directions x0 et z0 , nous présentons les résultats
ci-après.
Le graphique 3.74 montre que l’erreur systématique dans la direction x0 est comprise
entre -0.01 et 0.01 voxel ce qui est très faible et sensiblement meilleur que dans le cas
des acquisitions lentes (Figure 3.24). On retrouve d’ailleurs le phénomène de courbe en
"S" déjà observé dans ces travaux et bien connu pour être causé par le processus de
corrélation. En ce qui concerne l’erreur aléatoire, celle-ci varie autour de 0.04 voxel ce
qui est, là, sensiblement plus élevé que pour les acquisitions lentes. L’erreur systématique
dans la direction z0 est plus élevée que pour les acquisitions lentes. Elle varie sur une
amplitude de 0.05 voxel, ce qui est semblable aux acquisitions lentes mais cette fois sans
suivre une allure en "S". L’erreur aléatoire dans cette direction oscille quand à elle autour
de 0.03 voxel. Malheureusement, un défaut de montage lors de l’essai dans la direction y0
ne nous a pas permis d’évaluer l’erreur de mesure dans cette direction.
0,05
u
Erreur de mesure (voxels)
w
0
-0,05
-0,1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Déplacement imposé (voxel)
Figure 3.74 – Erreur de mesure par corrélation volumique sur des déplacements subvoxels
(acquisitions rapides & description globale)
La principale différence avec la mise en œuvre lente concerne la zone éclairée "effective" pour une position du feuillet laser. Le montage de principe initial capture des
images pour une position fixe du feuillet tandis que dans le cas présent, le feuillet est en
mouvement. Ainsi la zone éclairée est plus étendue à cause du temps d’intégration de la
caméra. La zone éclairée dépend donc à la fois de ce temps d’intégration ainsi que de la
vitesse de rotation du feuillet. En négligeant les variations du temps d’intégration de la
caméra, cela implique que si la vitesse de rotation de l’arbre du système varie (friction au
niveau de la liaison pivot, perturbations sur le moteur etc.), alors le volume de la tranche
éclairée pour une position donnée du feuillet varie également. Nous connaissons l’erreur
de positionnement angulaire du feuillet comme cela a été montré précédemment mais à
cette erreur vient s’ajouter la variation de la vitesse de rotation. La conséquence est une
modification du mouchetis des images capturées induisant directement une variation du
mouchetis volumique dans la direction z0 compte tenu de l’orientation du balayage par
rapport à ℜ0 . Enfin, le dernier élément pouvant causer des écarts de mesure dans la direction z0 est la vitesse de rotation choisie. Nous avons constaté expérimentalement que
la vitesse de rotation pouvait produire des décalages sur la synchronisation du feuillet,
aussi les erreurs présentées ci-avant peuvent être liées à un mauvais réglage de la vitesse.
3.6. Conclusion
3.6
133
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté une nouvelle technique de tomographie optique
basée sur l’utilisation d’un découpage optique rotatif rapide. Ce développement était
initialement motivé par la recherche d’une technique expérimentale capable d’acquérir
un volume de plusieurs dizaines de millimètres de côté en moins d’une seconde avec
une résolution spatiale inférieure à un dixième de millimètre. Ces performances ont pu
être obtenues grâce à un procédé innovant repoussant ainsi les limites auxquelles nous
étions confrontés lors du développement de la tomographie par balayage translatif rapide,
notamment en termes d’amplitude de balayage, de précision de discrétisation spatiale ou
encore de vitesse de scan.
La solution mise en œuvre repose sur l’utilisation d’un balayage par un feuillet rotatif
contrôlé grâce à un codeur angulaire incrémental. La position de la zone d’étude ainsi
que l’angle de scan permettent d’ajuster la dimension de la zone de scan sans dépendre
de la taille des lentilles utilisées dans le montage optique. Bien que la précision de
positionnement angulaire du feuillet dépende de la précision du codeur angulaire utilisé,
la précision spatiale est aussi liée à l’incrément angulaire utilisé à cause du mouvement
de rotation. Cela offre la possibilité d’optimiser la précision de discrétisation spatiale du
volume en fonction du pas angulaire choisi. Dans ce cas, à résolution spatiale constante,
la distance entre la zone d’étude et l’axe de rotation se trouve modifiée. Enfin, concernant
la vitesse d’acquisition, c’est à dire le paramètre essentiel de ces travaux, elle dépend
seulement des vitesses de rotation de l’arbre du système et d’acquisition de la caméra
rapide. Nous pouvons alors envisager des acquisitions volumiques continues à vitesses
élevées, sans être limités par la performance mécanique d’un dispositif complexe tel que
le miroir oscillant.
Le développement de l’ORST a suivi un cheminement progressif avant d’obtenir le
dispositif final. Dans un premier temps, nous voulions réaliser une étude de faisabilité
en décrivant théoriquement le principe de manière géométrique puis en mettant en
application le procédé à travers un montage de principe. En réalisant des acquisitions
lentes, cette mise en pratique a permis de capturer et de reconstruire des volumes qui se
sont avérés compatibles avec l’utilisation de la corrélation volumique. Les résultats des
calculs de déplacements subvoxels par corrélation via des volumes expérimentaux nous
ont conduits à adapter le procédé pour réaliser des acquisitions rapides. Nous avons conçu
un dispositif spécifique qui s’est avéré conditionné par l’utilisation d’un codeur angulaire.
Un tel appareil requiert l’utilisation d’une bague de grand diamètre, égal à 200 mm dans
notre cas pouvant offrir une résolution native de 200 µrad. Néanmoins, contrairement
au miroir oscillant, la gamme de codeurs angulaires existants est très large et dépend
principalement du diamètre de la bague. Le deuxième choix réalisé concernant le codeur
est d’utiliser un fonctionnement incrémental pour détecter des positions angulaires
relatives. Pourtant, comme nous l’avons constaté lors de l’analyse de la qualité de
synchronisation du dispositif de scan rapide, des décalages progressifs peuvent apparaître
et sont impossibles à corriger avec ce mode de fonctionnement. Aussi, il serait judicieux
d’envisager l’utilisation d’un codeur de type absolu pour détecter des positions angulaires
absolues à chaque position du feuillet. En revanche, ce type de système pourrait réduire
la vitesse de scan en raison des délais de lecture et d’interprétation du codage. Enfin,
la rapidité des acquisitions nous a confrontée à la difficulté de synchronisation. Suite à
l’échec de la mise en œuvre d’une synchronisation de type "logicielle", nous avons préféré
un pilotage entièrement électronique, permettant d’obtenir une synchronisation rapide
entre le codeur angulaire et la caméra rapide.
Finalement, le système actuellement mis au point permet d’acquérir un volume
de 50 × 50 × 50 mm3 en 0.35 seconde avec une résolution spatiale de 83 µm/voxel.
Les premières acquisitions rapides réalisées ont révélé une qualité de reconstruction
comparable à celle obtenue avec le dispositif lent ou même avec l’OST. En revanche,
la mesure du déplacement d’un solide en translation continue a révélé une faiblesse du
modèle géométrique de l’ORST liée à la non-prise en compte des caractéristiques optiques
du montage. Aussi, nous avons développé une description alternative capable de prendre
en compte l’ensemble des paramètres d’acquisition de manière globale. Cette description
s’est révélée efficace et nous avons choisi de la garder. Cela dit, une étude approfondie
sur le degré des polynômes utilisés est à envisager. Par ailleurs, cette description offre
un intérêt pour notre procédé de tomographie. En effet, l’acquisition rapide d’un volume
par ORST impose un faible délai d’intégration lors de la capture d’une section par le
capteur de la caméra (réglé à 300 µsec pour notre application) ce qui limite la quantité
de lumière capturée. Pourtant, augmenter la vitesse de scan conduira à réduire encore
davantage cette quantité de lumière. Donc pour garder un maximum de luminosité il
convient de rapprocher la caméra de la zone d’étude ou encore d’utiliser un objectif à
grande ouverture. Dans ce cas, un objectif à courte focale est requis, ce qui augmente les
effets de distorsion optique et de perspective. C’est là que la description globale trouve
son intérêt car elle est capable de prendre en compte les caractéristiques de manière
globale à condition bien sûr d’adapter le champ volumique des points de calibration.
Enfin, l’ORST permet d’acquérir rapidement des structures volumiques transparentes
en fournissant des volumes compatibles avec une analyse par corrélation volumique.
L’erreur en déplacement est faible, seulement quelques centièmes de voxels, et correspond
à celle obtenue avec l’OST. Pourtant, les performances actuelles sont liées au codeur
angulaire, à la caméra et au système utilisé pour la mise en rotation. On pourrait
implémenter un codeur angulaire plus précis et plus résolu, une caméra plus rapide
ayant une définition de capteur plus élevée (augmentation de la résolution spatiale), et
même utiliser un moteur de forte puissance pour améliorer la stabilité de la vitesse de
rotation du feuillet. Enfin, le montage optique utilisé pour générer la nappe laser doit
être amélioré. En effet l’épaisseur du feuillet actuel est proche de 250 µm (Figure 3.7), ce
qui dans le cas d’une résolution d’acquisition élevée induit un phénomène de recouvrement.
En utilisant la technique d’acquisition ORST présentée en fin de chapitre, nous avons
réalisé deux applications mécaniques pour évaluer les capacité de notre technique à analyser l’évolution des déformations d’une structure au cœur du volume et dans le temps.
Ces deux applications sont présentées dans les chapitres 4 et 5 de ce mémoire.
Applications
Chapitre 4
Traction continue sur une éprouvette
Nous souhaitons, dans un premier temps, mettre en application l’ORST à travers un
problème mécanique simple tel qu’un essai de traction. Ce type d’essai constitue une première approche pour analyser la capacité de notre technique à étudier dans le volume une
structure sous chargement continu. Pour réaliser cet essai, un dispositif de chargement
mécanique a été conçu, nous le présentons en début de chapitre ainsi que l’éprouvette de
traction utilisée. Nous discutons ensuite notre protocole expérimental ainsi que la procédure d’acquisition et de reconstruction des volumes. Enfin nous présenterons les résultats
des champs de déformations volumiques obtenus puis nous concluons sur les performances
de cette technique au travers de cette première mise en application, notamment en termes
d’erreur de mesure en déformations.
4.1
Dispositif de chargement de traction continue
Pour réaliser cet essai de traction, nous avons développé un dispositif capable
d’appliquer un chargement en continu sur une éprouvette. De plus il a été conçu dans
l’objectif de pouvoir implémenter différents équipements tels qu’un vérin ou encore une
platine de translation motorisée pour pouvoir être utilisé sur d’autres applications de
structures.
• Conception du dispositif de traction
Le dispositif de traction a été conçu selon un critère de déformation du bâti inférieur
à 1% sour l’effet d’un chargement de 6 kN. Nous avons vu dans le chapitre 3 que la
distance entre la caméra et l’axe de rotation du feuillet doit être réglée en fonction des
paramètres de scan donc la position de l’éprouvette doit également pouvoir être ajustée
dans la direction verticale y0 .
Le chargement est appliqué grâce à un vérin électrique positionné au-dessus de la
structure (Figure 4.1), permettant d’appliquer la charge sur l’extrémité supérieure de
l’éprouvette, la seconde étant fixée au bâti de la machine de traction. L’éprouvette est
maintenue à ses extrémités grâce à deux mors auto-serrants et les défauts de mise en
position peuvent être corrigés grâce à l’utilisation d’une rotule placée entre le vérin et
l’éprouvette. Nous pilotons le vérin en vitesse de déplacement.
138
Chapitre 4. Traction continue sur une éprouvette
Figure 4.1 – Dispositif de traction continue adapté à l’ORST
• Réalisation d’une éprouvette de traction adaptée au découpage optique
La réalisation d’une éprouvette compatible avec le découpage optique est une étape
délicate pour plusieurs raisons. Tout d’abord le matériau utilisé doit être à la fois
transparent tout en permettant la diffusion de la lumière lors du passage du feuillet laser.
Ce contraste est indispensable pour la récupération des informations locales de chaque
section. On retrouve le même problème dans le cas de l’utilisation de la Tomographie
Rayons X sur des structures dont le matériau est naturellement peu absorbant aux rayons
X, ou à trop faibles variation du coefficient d’absorption. Celles-ci sont alors réalisées dans
un matériau dont la composition est artificiellement modifiée pour permettre d’obtenir un
contraste suffisant (injection de particules absorbantes aux rayon X) [HNW07][NPB+ 03].
Dans le cadre de la tomographie optique, le matériau est obtenu en mélangeant des
particules diffusantes au sein d’une résine transparente. Pour une éprouvette rigide telle
que celle utilisée pour les essais de déplacements subvoxels réalisés dans ces travaux, une
résine époxy peut être utilisée. En revanche, pour obtenir une éprouvette à plus faible
module d’Young, on pourra utiliser un polyuréthane. Dans tous les cas, pour permettre
la diffusion de la lumière, les particules incluses sont des particules de polyamide. L’étude
de l’OST a montré qu’elles permettaient d’obtenir de bons résultats de reconstruction
volumique en termes de contraste et de distribution des intensités lumineuses [Ger07].
Les particules se présentent sous forme de poudre et doivent être ajoutées dans une
proportion massique spécifique par rapport à la résine pour permettre à la fois une bonne
diffusion de la lumière et une bonne pénétration du feuillet laser. Une quantité de poudre
4.1. Dispositif de chargement de traction continue
139
trop importante limite la pénétration du feuillet laser dans le matériau et à l’inverse une
trop faible quantité réduit le phénomène de diffusion et produit un mouchetis peu dense.
C’est pourquoi un juste milieu doit être déterminé comme cela a été démontré lors de
l’étude de l’OST [Ger07].
Figure 4.2 – Schéma de l’éprouvette de traction utilisée
La fabrication de l’éprouvette requiert la fabrication d’un moule "empreinte" dans
lequel l’éprouvette sera ensuite coulée. Or cette dernière doit avoir un excellent état de
surface pour permettre au feuillet laser de pénétrer correctement et à la lumière émise
par les particules d’être diffusée sans que la qualité ne soit détériorée en sortant de
l’éprouvette. Sans un bon état de surface, le feuillet laser perd ses propriétés géométriques
planes en franchissant la surface de l’éprouvette, ce qui provoque une diffusion de lumière
de mauvaise qualité et l’impossibilité d’obtenir des volumes représentatifs de l’état
interne de la matière. C’est pour cela qu’un travail particulier est réalisé pour obtenir
un moule dont les faces aient une excellente qualité de surface. La technique utilisée est
identique à celle mise en œuvre lors de l’étude de l’OST [Ger07].
L’observation d’une éprouvette en traction est en général réalisée au centre de l’éprouvette dans le but d’utiliser le champ de déformations homogène obtenu pour caractériser
le matériau. Notre application ne concerne pas la caractérisation du matériau mais la
140
capacité de notre technique à observer l’évolution au cours du temps des champs de
déformation non homogènes dans le volume, c’est pourquoi nous avons fait le choix de
positionner la zone d’étude en partie basse de la zone de section constante.
4.2
Protocole expérimental de l’essai de traction continue
• Calibration du système d’acquisition
Le système de scan est mis en place en utilisant un pas angulaire δθ égal à 640 µrad
pour réduire les erreurs de mesure comme cela a été montré à la fin du chapitre 3. La
résolution est fixée à 0,0825 mm/voxel et la vitesse de rotation du feuillet de 6,7 tr/min.
Nous résumons les caractéristiques de calibration dans le tableau suivant :
Table 4.1 – Caractéristiques de calibration pour l’essai de traction continue
Nous présentons ci-après quelques échantillons des images obtenues au cours de la
procédure de calibration. Nous pouvons remarquer sur la Figure 4.3 que la profondeur de
champs de l’objectif utilisé ne permet pas d’obtenir une image nette sur toute la plage de
scan dans la direction z0 . Notons que nous pourrions fermer le diaphragme pour augmenter
la profondeur de champs, mais, comme nous souhaitons ensuite garder les mêmes réglages
lors de l’essai, cela réduirait de manière trop importante l’intensité de lumière capturée
au cours du scan. La focalisation est réalisée au centre de la mire de calibration et pour la
position intermédiaire (n˚10 dans notre cas) de la plaque de calibration. Pour obtenir un
champ volumique ayant une distribution des marqueurs de calibration la plus homogène
possible, nous avons sélectionné un certain nombre de positions angulaires, et donc les
images des lignes laser associées. Pour la même raison, le nombre de marqueurs a été fixé
à 20 pour chaque ligne laser. Finalement un champ volumique de 8160 marqueurs est
obtenu et utilisé pour résoudre le problème de la deuxième phase de calibration (Figure
4.4).
4.2. Protocole expérimental de l’essai de traction continue
141
Figure 4.3 – Échantillons d’images obtenues lors de la calibration
Figure 4.4 – Représentation virtuelle du champ volumique des marqueurs de calibration
142
On peut observer sur la Figure 4.4 (a) une bonne distribution des marqueurs volumiques au sein du domaine calibré. De plus la Figure 4.4 (b) indique les 21 positions de
la plaque de calibration dont l’incrément de translation entre chacune d’elles a également
été choisi pour optimiser l’homogénéité du champ de marqueurs. Par ailleurs, cette vue
laisse entrevoir une légère variation de densité des marqueurs dans le plan x0 y0 . Enfin,
sur les figures 4.4 (c) et 4.4 (d), on observe la discrétisation des lignes laser ainsi que
l’effet de perspective dans la direction z0 .
• Validation de la calibration à travers 6 acquisitions consécutives sans
déplacement
Après avoir calibré le système nous avons fixé l’éprouvette entre les mors et ajusté
la position de la machine de traction et celle de l’éprouvette de telle manière que
la zone d’étude (Figure 4.2) se trouve au sein du domaine calibré. Avant de réaliser
l’essai de traction, nous avons souhaité valider la calibration du système en effectuant 6
acquisitions consécutives sans déplacement de l’éprouvette. Cela nous permet également
d’évaluer la qualité de reconstruction des volumes ainsi que le niveau de bruit de mesure
liés notamment à cette nouvelle éprouvette. Pour optimiser la qualité des scans nous
avons fixé le temps d’intégration de la caméra à 100 µsec et la puissance du laser à 2
W. Nous réutiliserons l’objectif 100 mm Zeiss F/2.8 pour permettre une résolution de
0,0825 mm/voxel.
Après acquisition, les 6 volumes sont reconstruits dans une dimension de 100 × 100 ×
100 voxels puis corrélés sur une grille de 343 points dont le pas est fixé à 10 voxels,
avec une taille de fenêtre de corrélation de 313 voxels. La visualisation du volume sur la
Figure 4.5 (a) laisse apparaître un effet de traînée plus prononcé que sur les précédentes
acquisitions réalisées avec une éprouvette en résine époxy. Ces traînées peuvent être liées
à une diffusion et une propagation de la lumière différente propre à cette éprouvette.
Cela dit, le seuillage des intensités lumineuses 4.5 (b) montre une bonne répartition des
particules à l’intérieur du volume. Observons maintenant la moyenne des déplacements
calculés u, v et w ainsi que leurs écarts-types associés σu , σv et σw .
Figure 4.5 – Représentation du cœur de l’éprouvette de traction dans un état fixe
4.2. Protocole expérimental de l’essai de traction continue
143
0,08
Déplacement moyen calculé (voxel)
0,07
0,06
0,05
u
0,04
v
0,03
w
0,02
0,01
0
-0,01
0
1
2
3
4
5
6
Etat
Figure 4.6 – Déplacements u, v et w calculés dans les directions x0 , y0 et z0 au sein de
l’éprouvette de traction avant chargement
Ecart-type sur les déplacements calculés (voxel)
0,006
0,005
0,004
0,003
�
�
0,002
�
0,001
0
0
1
2
3
4
5
6
Etat
Figure 4.7 – Ecarts-types sur les déplacements calculés dans les directions x0 , y0 et z0
au sein de l’éprouvette de traction avant chargement
144
Les graphiques 4.6 et 4.7 indiquent que les erreurs de mesure ainsi que les écarts-types
sont comparables à ceux obtenus à la fin du chapitre 6 lors des acquisitions successives
d’un solide rigide statique en utilisant un pas angulaire de 640µrad. En revanche, on
note une légère évolution progressive du déplacement dans la direction z0 . L’éprouvette
de traction utilisée est souple et montée sur une rotule (Figure 4.1), par conséquent ce
déplacement est probablement dû à un mouvement de l’éprouvette associé à sa mise en
position progressive suite au pré-chargement appliqué.
• Essais de traction continue sur l’éprouvette
Nous avons choisi d’appliquer une déformation maximale de 35% (calculée en petites
déformations) suivant l’axe y0 . Aussi en considérant comme base de mesure la distance
dmors (Figure 4.1) entre les extrémités libres des mors maintenants l’éprouvette, nous
appliquerons au vérin une consigne de déplacement maximale égale à 33.6 mm. La vitesse
de déplacement du vérin est quant à elle fixée à 1.2 mm/min.
A l’issu de cet essai nous avons reconstruit les 155 volumes capturés en utilisant la
totalité du tronçon de l’éprouvette contenue dans le domaine de scan. La dimension de
reconstruction est de 261 × 421 × 121 voxels soit environ 21 × 34 × 10 mm3 (Figure 4.8).
Notons que la traction ne démarre qu’à partir de la septième acquisition.
Figure 4.8 – Représentation par seuillage d’un volume reconstruit et superposition des
particules des 6 volumes initiaux sans chargement
4.3. Analyse des déformations par corrélation d’images volumiques
145
Figure 4.9 – Représentation locale de la superposition de 5 acquisitions au cours du
chargement de traction continue
Comme le montre la Figure 4.8, la reconstruction possède une bonne distribution
des particules dans tout le volume. De plus la superposition locale des particules des 6
premiers volumes sans chargement (Figure 4.8) est excellente et confirme visuellement la
précision des acquisitions. On peut tout de même remarquer la présence de chacune des
particules pour différents états sur une même position à cause des très faibles variations
d’intensité lumineuse. Sur la Figure 4.9 nous pouvons observer la superposition locale
des particules pour 5 acquisition au cours du chargement continu et constater que le
déplacement des particules dans la direction y0 est visible entre les états.
4.3
Analyse des déformations par corrélation d’images
volumiques
La corrélation volumique analyse les ressemblances entre le volume initial et les
volumes déformés ce qui impose que la zone analysée soit commune à l’ensemble des
volumes reconstruits. Or, pour cet essai de traction réalisé en grandes déformations,
la proportion commune de volume entre l’état de référence et un état n diminue à
mesure que la déformation augmente. Aussi dans notre cas, entre l’état 155 et l’état
de référence, la proportion de volume commun n’est plus que d’environ 2/3 du volume
reconstruit. C’est pour cela que nous ne pouvons effectuer les calculs de corrélation que
sur une portion du volume. Nous avons réalisé dans ces travaux une analyse de type "0/n".
La grille de corrélation (Figure 4.10) est définie en partie basse de l’éprouvette pour la
raison évoquée précédemment concernant la zone commune sur chacun des volumes. Par
ailleurs, des temps de calculs très élevés (plusieurs jours) nous ont conduit à limiter la
taille de cette grille. Elle sera finalement fixée à 10 × 22 × 7 points de corrélation contenus
146
dans un volume de 110 × 230 × 80 voxels (Figure 4.10). Le pas de la grille reste fixé à
10 voxels dans chaque direction ce qui par conséquent nous donne une base de mesure de
20 voxels pour les calculs de déformations. Durant les calculs de corrélation, nous avons
été confrontés à un certain nombre de problèmes de décorrélation à partir de l’état 121
aussi nous ne présenterons que les résultats allant jusqu’à l’état n˚120 correspondant à
une déformation imposée proche de 28%. Pour des raisons de lisibilité des résultats sous
forme de représentation volumique, nous présentons une sélection de 12 états pour des
pas de temps allant de 89 sec à 1075 sec (états 10 à 120 par pas de 10).
Figure 4.10 – Grille de corrélation utilisée pour les calculs des champs mécanique pour
l’essai de traction
La Figure 4.11 nous permet d’observer le champ de déplacements dans le volume
de la zone corrélée dans la direction x0 . On constate un déplacement positif dans
cette direction qui évolue au cours du chargement ce qui peut traduire un déplacement
d’ensemble de l’éprouvette. Néanmoins, la contraction de l’éprouvette (effet de Poisson)
qui intervient lorsqu’elle est en tension provoque des déplacements locaux symétriques
dans la direction x0 . Ainsi par cumul du déplacement d’ensemble et des déplacement
locaux de contraction, la partie droite du domaine analysé a un déplacement quasiment
nul dans la direction x0 du repère objet global. Le déplacement maximal atteint 8.5
voxels sur la partie gauche du domaine analysé ce qui représente 0.7 mm. Par ailleurs,
l’analyse expérimentale nous indique une légère courbure des champs de déplacements,
probablement causée par un défaut de réglage du mors supérieur par rapport au mors
inférieur.
t = 179s
t = 89s
t = 268s
t = 258s
t = 537s
t = 448s
y0
x0
z0
t = 627s
t = 716s
t = 806s
t = 895s
t = 1074s
t = 985s
Figure 4.11 – Composante de déplacement u
t = 179s
t = 89s
t = 268s
t = 258s
t = 448s
t = 537s
y0
x0
z0
t = 627s
t = 716s
t = 806s
t = 895s
t = 985s
Figure 4.12 – Composante de déplacement v
t = 1074s
147
148
t = 179s
t = 89s
t = 268s
t = 258s
t = 448s
t = 537s
y0
x0
z0
t = 627s
t = 716s
t = 806s
t = 895s
t = 985s
t = 1074s
Figure 4.13 – Composante de déplacement w
Le chargement de traction imposé dans la direction y0 est confirmé par la Figure
4.12 qui présente une allure attendue du champ de déplacements dans cette direction
tout au long de l’essai. Le déplacement maximal atteint quasiment 90 voxels sur la
partie supérieure du domaine analysé, ce qui représente plus de 7 mm. L’analyse du
déplacement dans la direction z0 indique qu’il n’y a pas de déplacement d’ensemble dans
cette direction. En effet, les champs de valeurs donnés par le graphique 4.13 sont presque
symétriques. On observe alors simplement une contraction du domaine analysé.
Nous avons également calculé les composantes Exx , Eyy , Ezz , Exy , Exz et Eyz du
tenseur des déformations de Green-Lagrange. Rappelons que nous avons choisi d’analyser
une zone située sur le bas de l’éprouvette de manière à pouvoir observer des champs
de déformation volumique non uniformes. L’analyse expérimentale par ORST permet
effectivement d’observer ces résultats attendus comme l’attestent les graphiques 4.14,
4.17, 4.15 et 4.16 représentant respectivement les composantes Exx , Exy , Eyy et Ezz .
Visuellement la composante Eyy présente un maximum proche de 25% ce qui semble
cohérent avec la déformation maximale de 28% (calculée en petites déformations) imposée
pour l’état n˚120. Sur le bas de la zone d’étude, la composante de déformation Exy révèle
des amplitudes de déformations quasiment opposées entre les extrémités x positif et négatif
(Figure 4.17). Cet effet est lié à la géométrie de l’éprouvette proche du mors qui provoque
ce type de déformations non uniformes. En ce qui concerne les champs Exz et Eyz , les
valeurs sont trop faibles pour pouvoir être analysées.
4
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t = 716s
t = 627s
t = 806s
t = 895s
t = 985s
t = 1074s
Figure 4.18 – Composante Exz du tenseur des déformations
t = 179s
t = 89s
t = 268s
t = 258s
t = 448s
t = 537s
y0
x0
z0
t = 627s
t = 716s
t = 806s
t = 895s
t = 985s
t = 1074s
Figure 4.19 – Composante Eyz du tenseur des déformations
151
152
Nous allons évaluer l’erreur aléatoire de mesure en déformation à partir des résultats
des composantes Eyy , mais cela ne peut être réalisé sur l’ensemble des valeurs d’un même
état à cause de la non-uniformité du champ que nous venons d’observer. Aussi, nous
allons considérer que la déformation est quasiment homogène dans le plan x0 z0 . La taille
de la grille de corrélation dans la direction y0 est de 22 points, nous avons donc calculé
les moyennes et les écarts-types des composantes Eyy pour les 22 sections des 120 états
analysés (Figure 4.20).
Figure 4.20 – Organisation des sections analysées dans le plan x0 z0 au sein du domaine
corrélé
Le graphique 4.21 nous permet de retrouver le résultat de la Figure 4.15 mais cette
fois-ci sous forme de moyennes dans le plan x0 y0 pour les 120 états. On constate que
l’évolution de la déformation Eyy au cours du chargement est quasiment linéaire et
atteint un maximum supérieur à 27% ce qui est cohérent avec l’estimation de 28% de
déformation imposée pour le 120ème état. La déformation évolue bien à la fois dans le
volume et au cours du temps.
Nous avons calculé les erreurs aléatoires au sein de chaque section dans le plan x0 z0
pour l’ensemble des états, et présentons les résultats en fonction de la valeur moyenne
calculée (Figure 4.22). Les résultats montrent que l’incertitude sur les déformations évolue
progressivement avec la valeur de la déformation Eyy mesurée. On retrouve quasiment la
même tendance pour toutes les sections dans le plan x0 z0 à l’exception des deux premières.
Effectivement, celle-ci se trouvent dans la partie la moins homogène du domaine analysé
(en partie basse proche du mors) ce qui explique leurs tendances différentes. Ces résultats
nous permettent de connaître l’erreur aléatoire de mesure en déformation par corrélation
volumique à partir des volumes capturés par ORST, et nous constatons que la tendance
donnée par la Figure 4.22 est très similaire à celle qui avait été obtenue pour des voulmes
capturés par OST [Ger07]. L’évolution des valeurs des ecarts-types à partir de Eyy =0.2
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154
4.4
Conclusion
Au cours de ce chapitre nous avons utilisé l’ORST pour une application sur un cas
d’étude mécanique typique : l’essai de traction. Cet essai, lorsqu’il est couplé à une analyse du champ de déformation 3D, est généralement réalisé en statique alors que l’ORST
nous a permis une analyse 3D en continue dans le temps. Cette mise en pratique a prouvé
que l’ORST est une technique qui permet d’appréhender un problème mécanique dont
le comportement est tridimensionnel et dépend du temps. En effet, même sur un essai
de traction aussi simple que celui-ci, les effets de bords peuvent être visualisés et les déplacements et déformations peuvent être analysés en tous points d’un domaine résolu à
la fois spatialement et temporellement. Ce test a été réalisé avec une résolution spatiale
égale à 0.0825 mm/voxel, ce qui offre (en utilisant un pas de 10 voxels pour la grille de
corrélation) une résolution de mesure de 0.8 mm de type plein champ sur un domaine de
110×230×80 voxels soit environ 9×19×6.6 mm3. De plus, cette analyse a pu être réalisée
avec un temps d’acquisition de 0.1 seconde par volume nous permettant d’appliquer un
chargement de traction continu sur l’éprouvette à la vitesse de 1.2 mm/min. Cette vitesse,
courante pour des mesures surfaciques, peut désormais être envisagée pour une analyse
tridimensionnelle du cœur de la matière. De plus, la rapidité des acquisitions nous permet
d’enregistrer une grande quantité de volumes (154 pour notre exemple). Cela offre la possibilité d’étudier la réponse d’une structure de manière plus résolue du point de vue du
chargement appliqué. Enfin, les résultats expérimentaux sont cohérents avec les valeurs
théoriques de déformations imposées. De plus, l’évaluation de l’incertitude en fonction de
la déformation mesurée est du même ordre de grandeur que celle obtenue dans le cas de
l’OST [Ger07]), avec laquelle l’acquisition d’un seul état mécanique nécessitait plusieurs
minutes et, par conséquent, l’arrêt du chargement entre chaque état. Aussi nous pouvons
dire que cette nouvelle technique utilisant un découpage optique rotatif a permis de réduire la durée d’une acquisition volumique quasiment sans dégradation de l’incertitude
de mesure par rapport à l’OST tant en déplacements qu’en déformations.
Chapitre 5
Étude expérimentale d’un galet roulant
sur un bloc
Dans ce dernier chapitre, nous allons présenter une seconde application sur un problème de structure dont les déformations engendrées ont un caractère fortement tridimensionnel. De plus, cette application fait intervenir deux éléments en contact, un galet
roulant et un bloc parallélépipédique. Nous voulons mettre en pratique la capacité de
notre technique à analyser un tel problème à la fois au cœur de la matière et au cours
du temps. Le chargement du galet contre le bloc ainsi que son déplacement permettra de
générer des champs de déformations hétérogènes variables dans le temps. Dans un premier
temps une simulation numérique est réalisée pour caractériser les déformations internes
et garantir des amplitudes de déformations observables par corrélation volumique. Nous
présentons ensuite le protocole de l’essai ainsi que le déroulement de la manipulation. Enfin, nous analysons les résultats expérimentaux des déformations volumiques calculées par
corrélation et nous les confrontons aux les résultats fournis par la simulation numérique.
5.1
Présentation de l’essai et de la cinématique
Comme nous l’avons évoqué, l’essai va consister à faire rouler un galet sur un bloc
parallélépipédique rigide. Le bloc sera réalisé dans le même matériau que l’éprouvette de
traction et devra de la même manière avoir un excellent état de surface. Le galet utilisé
est un roulement à billes standard dont nous donnons les dimensions ainsi que celles du
bloc sous forme d’un modèle simplifié (Figure 5.1).
Figure 5.1 – Caractéristiques du bloc (a) et du galet (b)
La cinématique choisie consiste à imposer au galet une trajectoire dite en "U" par
rapport au bloc (Figure 5.2). Dans l’état initial, il n’y a pas contact entre le bloc et le
156
Chapitre 5. Étude expérimentale d’un galet roulant sur un bloc
galet. L’ensemble de l’essai est composé de trois phases. Au cours de la première, le galet
se translate à vitesse constante dans la direction y0 . La translation s’arrête lorsque le
déplacement à partir du contact est égal à 1.5 mm correspondant à "l’enfoncement du
galet". Au cours de la deuxième phase, le galet roule sur le bloc dans la direction opposée
à x0 sur une distance de 30 mm. Enfin il est translaté dans la direction opposée à y0 ,
permettant de réduire progressivement l’intensité du chargement sur le bloc jusqu’à la fin
du contact (Figure 5.2).
Figure 5.2 – Trois phases de la cinématique en "U" pour le déplacement relatif du galet
par rapport au bloc
Le calcul par éléments finis nous permet d’avoir une idée des grandeurs mécaniques
mesurées et de s’assurer que les dimensions choisies sont compatibles avec la corrélation
volumique. C’est pourquoi nous avons réalisé une simulation numérique de l’enfoncement
d’un galet sur un bloc, correspondant à la phase 1.
5.2
Simulation numérique de l’enfoncement d’un galet
sur un bloc
Pour réaliser la simulation, nous avons utilisé le code éléments finis "CODE ASTER".
Seule la phase 1 de la trajectoire en U a été modélisée. Comme le problème est symétrique
par rapport au plan x0 y0 , nous avons modélisé une moitié de la structure seulement
(Figures 5.3 et 5.4).
Comme le montrent les figures 5.3 et 5.4, le maillage utilisé est de type tétraédrique
régulier pour le galet et hexaédrique non-régulier pour le bloc. Un raffinement est appliqué
localement à proximité de la zone de contact avec le galet et le pas du maillage des éléments
cubiques obtenus dans cette zone est égal au pas de la grille de corrélation soit 0.82 mm.
Cette simulation tient compte du contact entre le galet et le bloc avec une hypothèse de
roulement sans frottement.
5.2. Simulation numérique de l’enfoncement d’un galet sur un bloc
157
Figure 5.3 – Modélisation du bloc et du galet pour la simulation par éléments finis
Figure 5.4 – Conditions aux limites du galet et du bloc pour la simulation
158
Concernant les conditions aux limites (Figure 5.4), la face supérieure du bloc est
totalement bloquée et un déplacement de 1,5 mm est appliqué à la face inférieure du
demi-galet dans la direction y0 (Uy = 1,5mm). Cette dernière est bloquée dans les autres
directions. Ces conditions sont ainsi choisies pour représenter l’état "milieu" du cycle en
U défini précédement (Figure 5.2). Les caractéristiques du matériau utilisé pour le galet
sont fixées à E = 210 GPa et ν = 0,3 et correspondent à celles de l’acier du galet qui sera
utilisé pour l’essai expérimental. Les caractéristiques du bloc sont E = 2 MPa et ν = 0,3
et correspondent au matériau utilisé pour le bloc parallélépipédique (mélange de résine
polyuréthane élastique avec de la poudre de polyamide)[Ger07].
Figure 5.5 – Composante Exx du tenseur des déformations
Figure 5.6 – Composante Exy du tenseur des déformations
5.2. Simulation numérique de l’enfoncement d’un galet sur un bloc
159
Figure 5.7 – Composantes Eyy du tenseur des déformations
Figure 5.8 – Composantes Eyy du tenseur des déformations vues en coupe dans le plan
y0 z 0
Les figures 5.5, 5.6, 5.7 et 5.8 indiquent que les champs de déformations ont bien un
caractère tridimensionnel et que leur intensité est supérieure à l’incertitude de mesure en
déformation évaluée dans le chapitre précédent. Par conséquent l’ORST et la corrélation
volumique doivent permettre de visualiser expérimentalement de tels champs de déformations. Par ailleurs les champs des déformations restent confinés dans une zone dont la
taille est inférieure à celle du domaine d’acquisition expérimental, soit 33 × 33 mm2 dans
le plan x0 y0 . Par conséquent, l’étendue de la distribution des déformations données par la
simulation devrait être visualisée expérimentalement. Compte tenu de ces résultats, nous
utiliserons bien une valeur d’enfoncement du galet de 1.5 mm pour notre essai expérimental. Nous présenterons d’autres résultats de la simulation lors de la confrontation avec les
résultats expérimentaux.
160
5.3
Protocole expérimental et mise en place de l’essai
• Mise en œuvre expérimentale
Les translations des phases 1 et 3 sont opérées grâce à un déplacement du bloc monté
en bout de vérin (Figure 5.10) de la machine de traction (développée pour l’essai de
traction continue). Le déplacement du galet dans la phase 2 est opéré grâce à une platine
de translation motorisée (Figure 5.9). En procédant de cette manière, nous obtenons une
cinématique en "U" relative entre le galet et le bloc.
Figure 5.9 – Système global du galet roulant sur le bloc
5.3. Protocole expérimental et mise en place de l’essai
161
Figure 5.10 – Positions relatives du galet et du bloc sur le montage expérimental
• Calibration du système d’acquisition
Les caractéristiques de calibration sont décrites dans le tableau 5.1. Comme pour
la calibration présentée dans le chapitre 4, on aperçoit les 10 positions de la plaque de
calibration dans le plan x0 z0 (Figure 5.11 (a) et (b)) ainsi que le passage du feuillet dans le
plan y0 z0 (Figure 5.11 (c)). On observe que le champ des marqueurs de calibration dépasse
le domaine de scan, ce qui montre qu’il y a suffisamment de marqueurs volumiques pour
décrire celui-ci.
Table 5.1 – Caractéristiques de calibration pour l’essai de roulement d’un galet sur un
bloc
162
Figure 5.11 – Champ volumique des marqueurs de calibration
5.4
Acquisition des volumes et analyse par corrélation
volumique
La vitesse de déplacement du galet dans la direction x0 est fixée à 10 mm/min
(platine de translation motorisée) et celle du bloc dans la direction y0 à 1,2 mm/min
(vérin). Nous conservons un temps d’intégration de la caméra de 100 µsec et réglons la
puissance du laser à 1,8 W pour obtenir un contraste suffisant sur les particules.
• Validation de la calibration à travers 6 acquisitions consécutives sans
déplacement
Avant de réaliser l’essai de roulement du galet sur le bloc, nous effectuons 6 acquisitions de celui-ci sans déplacement pour évaluer le niveau d’incertitude de mesure.
Le protocole est identique à celui réalisé préalablement à l’essai de traction, c’est
pourquoi nous présentons directement les résultats de reconstruction volumique ainsi
que les déplacements moyens et écarts-types calculés par corrélation volumique avec les
paramètres habituels, soit un pas de 10 voxels et une taille de fenêtre de corrélation de
313 voxels.
5.4. Acquisition des volumes et analyse par corrélation volumique
163
On note visuellement (Figure 5.12) peu d’effet de traînée (Figure 5.12 (a)). On
constate également que la précision d’acquisition au fil des scans est très bonne en
observant la bonne superposition des particules les unes sur les autres pour les 6
acquisitions (Figure 5.12 (b)). Les valeurs obtenues (Figures 5.13 et 5.14 confirment les
résultats habituels et valident l’utilisation de cette éprouvette pour l’essai à venir avec
une erreur de mesure statique très faible de l’ordre de 0,005 voxel dans les direction x0
et y0 , et de 0,015 voxel dans la direction z0 .
Figure 5.12 – Reconstruction d’un volume (a) et champs de particules de 6 volumes
superposés (b)
0,02
u
0,015
v
Déplacement moyen calculé (voxel)
w
0,01
0,005
0
-0,005
-0,01
-0,015
-0,02
0
1
2
3
4
5
6
Etat
Figure 5.13 – Déplacements calculés du cœur du bloc parallélépipédique dans les directions x0 , y0 et z0
164
0,006
σU
σV
Ecart-type sur le déplacement (voxel)
0,005
σW
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0
1
2
3
Etat
4
5
6
Figure 5.14 – Écarts-types des déplacements calculés du cœur du bloc parallélépipédique
dans les directions x0 , y0 et z0
• Essais de roulement d’un galet sur un bloc
L’acquisition dure quasiment 9 minutes durant lesquels 54 états sont capturés. Elle
est réalisée dans une définition de 400 × 400 pixels, et le champ capturé est situé au
milieu du bloc (Figure 5.15). Les volumes sont ensuite reconstruits dans une dimension
de 400 × 400 × 400 voxels, ce qui représente 33 × 33 × 33 mm3 (Figure 5.16).
Figure 5.15 – Champ capturé dans le plan x0 y0 au cours l’essai de roulement d’un galet
sur un bloc
5.4. Acquisition des volumes et analyse par corrélation volumique
165
Figure 5.16 – Représentation volumique par seuillage des niveaux de gris du premier
état reconstruit - vue globale
• Calculs des déformations par corrélation d’images volumiques
La grille de corrélation utilisée pour les calculs (Figure 5.17) a été définie au maximum
de la zone exploitable en considérant la limite de densité des particules. Les calculs de
corrélation sont effectués sur une grille de 22750 points (35 × 26 × 25) avec un pas de
10 voxels et une taille de fenêtre de 313 voxels, représentant un domaine d’analyse de
30 × 22 × 21 mm3.
Figure 5.17 – Grille de corrélation utilisée pour les calculs de l’essai de roulement d’un
galet sur un bloc
166
5.5
Analyse des résultats des déformations volumiques
• Visualisation des déformations volumiques
Pour visualiser les résultats, nous adoptons une vue en coupe dans le plan x0 y0 orientée
comme cela est indiqué sur la Figure 5.18. Les résultats sont obtenus pour 54 états,
néanmoins pour des questions pratiques nous ne présentons ici que les états indiqués dans
le tableau 5.2.
Figure 5.18 – Représentation de la vue adoptée pour l’affichage des résultats de déformations volumiques
Table 5.2 – Liste des états considérés pour la présentation des résultats de déformations
volumiques
L’analyse expérimentale de cet essai par ORST couplé à l’utilisation de la corrélation
volumique permet de visualiser l’évolution des 6 composantes du tenseur des déformations
dans le bloc. En effet, sur chacun des graphiques 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23 et 5.24,
nous pouvons observer l’évolution des déformations dans le bloc au cours de la phase
d’enfoncement du galet pour les états 5, 10, et 15, de la phase de déplacement pour les
états 20, 25, et 30, puis de la phase de retrait pour les états 35, 40 et 45. Les valeurs
des déformations calculées sur chaque point de corrélation sont positionnées à partir des
coordonnées dans l’espace déformé. Par conséquent, nous pouvons observer le déplacement
de la grille de corrélation dans R0 et plus particulièrement l’évolution de la courbure en
partie basse du domaine corrélé, directement lié à la forme arrondie du galet.
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.
2
7–C
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n
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l
y
s
ep
r
é
c
é
d
e
n
t
e
0
yz
172
(Figure 5.25) liée à l’effet de bord du galet. De plus, on constate que les états 20, 25 et 30
sont semblables alors qu’ils sont issus de différentes positions dans le volume à différents
instants.
5.6
Confrontation entre les résultats expérimentaux et
simulés
Pour finir, nous allons comparer les résultats expérimentaux présentés ci-avant avec
les résultats de simulation obtenus à l’issue de la modélisation par éléments finis présentée
dans la section 5.2. Le volume affiché pour les résultats de simulation est une sous-partie
du volume total positionné au niveau de la zone raffinée du maillage (Figure 5.28). Les
dimensions de cette sous-partie ont été définies de telle manière à correspondre avec les
dimensions du domaine corrélé des volumes expérimentaux de 360 × 270 × 260 voxels soit
environ 30×22×21 mm3. Les comparaisons sont réalisées pour l’état enfoncé du galet. On
prendra donc le résultat final de la simulation et le pas de temps 25 de l’essai expérimental
correspondant au milieu de la phase 2 (roulement du galet sur la bloc).
Figure 5.28 – Sous-partie considérée du volume de la simulation pour la confrontation
entre simulation et expérience
Nous adoptons la vue décrite sur la Figure 5.18 pour représenter les résultats. Comme
nous pouvons le constater (Figures 5.29, 5.30, 5.31, 5.32, 5.33, 5.34) les répartitions
volumiques des déformations expérimentales et simulées sont proches et cela pour
les 6 composantes du tenseur des déformations. Néanmoins, malgré une distribution
similaire des champs, on peut noter des valeurs sensiblement plus élevées dans le cas
de l’expérience. Ces différences peuvent provenir des caractéristiques du matériau, des
conditions de contact, ou encore de frottement. Cela dit, notre étude ne portait pas
5.6. Confrontation entre les résultats expérimentaux et simulés
173
spécifiquement sur la compréhension du phénomène en lui-même lié au roulement du
galet sur le bloc mais plutôt sur la validation de notre technique. A ce titre, nous pouvons
constater que les résultats fournis par notre analyse expérimentale et ceux fournis par la
simulation sont similaires dans les trois directions de l’espace et pour les 6 composantes
du tenseur des déformations de Green-lagrange. De plus, l’évolution des déformations a
pu être mise en évidence au cours du temps.
Figure 5.29 – Comparaison des résultats du champ de déformations Exx issus des calculs
de simulation et de l’essai expérimental pour le milieu de la phase 2
Figure 5.30 – Comparaison des résultats du champ de déformations Eyy issus des calculs
174
Figure 5.31 – Comparaison des résultats du champ de déformations Ezz issus des calculs
Figure 5.32 – Comparaison des résultats du champ de déformations Exy issus des calculs
Figure 5.33 – Comparaison des résultats du champ de déformations Exz issus des calculs
5.7. Conclusion
175
Figure 5.34 – Comparaison des résultats du champ de déformations Eyz issus des calculs
5.7
Conclusion
Ce dernier chapitre a présenté une mise en application de la technique ORST sur un
problème de structure associant un contact entre deux éléments et des déformations à
caractère tridimensionnel au cours du temps. L’essai expérimental réalisé a préalablement
été simulé grâce à un calcul par éléments finis de manière à évaluer les champs des déformations obtenus en termes de répartition spatiale et d’intensité. Cela a permis d’évaluer
la compatibilité de l’essai avec les performances de l’ORST et de la corrélation volumique.
Nous avons obtenu des résultats cohérents et exploitables que l’on a pu confronter avec
les ceux de la simulation. Cette étude montre des possibilités intéressantes pour l’analyse
des problèmes de structure notamment en terme de vitesse du chargement mécanique.
Pour rappel, une analyse réalisée par exemple à l’aide d’un micro-tomographe rayons X
de laboratoire permet d’atteindre des résolutions d’acquisition spatiales plus élevées, mais
se limite à des études de problèmes statiques à cause d’un procédé d’acquisition qui nécessite plusieurs minutes voire dizaines de minutes pour capturer un seul état mécanique.
Les acquisitions actuelles que nous réalisons sont effectuées en 0.1 seconde et cela sans
avoir utilisé une caméra plus rapide, qui aurait permis d’atteindre des vitesses plus élevées.
Pour aller plus loin dans les possibilités offertes par cette technique, l’utilisation
d’une cuve à liquide d’indice serait intéressante. En utilisant une cuve parallélépipédique
composée de parois en verre (dont la qualité de surface est excellente), il suffirait d’utiliser
un liquide dont l’indice optique soit identique à celui du matériau de la structure étudiée
pour analyser des structures à géométries complexes. L’utilisation d’une telle cuve
simplifierait le processus de fabrication des éprouvettes dont l’état de surface doit
actuellement être excellent. Ce type de mise en œuvre fonctionne bien avec le découpage
optique comme le montre une étude menée en statique sur l’analyse expérimentale d’une
rotule aéronautique par OST [GPM+ 10].
176
Ce dernier chapitre conclut sur la capacité de l’ORST à analyser un problème de
structure résolu à la fois dans l’espace et dans le temps, et montre qu’elle peut être
utilisée pour l’analyse d’un problème de contact entre plusieurs éléments.
L’objectif de ce travail était de développer une technique expérimentale permettant l’analyse mécanique volumique résolue en temps d’une structure solide. Trois
notions étaient concernées à savoir l’acquisition d’une structure solide à l’échelle du centimètre, l’acquisition rapide à l’échelle de la seconde, et la mesure de grandeurs mécaniques.
L’état de l’art réalisé au début de ces travaux a présenté un certain nombre de
techniques existantes capables d’acquérir un volume au sein d’une structure. Ces
techniques permettent d’obtenir l’image volumique de différents types de matériaux,
notamment les tissus mous du corps humain, les structures solides (roches, métaux),
ou encore les fluides. Les structures observées peuvent nécessiter l’ajout d’un contraste
artificiel en fonction de la technique employée et du phénomène analysé. On peut citer
l’utilisation de particules diffusantes pour l’imagerie par OST (Optical Scaning Tomography) ou Tomo-PIV (Tomographic Particle Image Velocimetry), ou encore des particules
absorbantes aux rayons X pour l’imagerie par tomographie rayons X. Parallèlement à
l’acquisition volumique, différentes techniques de mesure de grandeurs mécaniques ont
été développées grâce à l’arrivée d’outils de calcul, de stockage ou encore d’acquisition
numérique des données. Elles permettent de traiter les volumes reconstruits pour calculer
des champs de déplacements, de déformations ou encore de contraintes, par corrélation
volumique, suivi de marqueurs volumique ou encore photoélasticimétrie 3D. Selon les
techniques, les performances peuvent être très différentes en termes de résolution spatiale,
temporelle, de profondeur d’analyse dans le volume, de complexité de mise en œuvre, ou
encore de compatibilité avec la mesure de champs mécaniques appliquée à un problème
de structure. Le bilan réalisé grâce à cet état de l’art met en évidence les limitations des
techniques expérimentales capables d’analyser quantitativement un problème mécanique
de structure de manière tridimensionnel et au cours du temps.
En considérant les possibilités d’amélioration des techniques existantes et l’intérêt
des méthodes optiques pour ce type d’application, nous avons fait le choix de reprendre
la technique de découpage optique dans les solides (OST). Le but était d’étendre les
performances vers une acquisition plus rapide, capable de fournir le même type de
volume reconstruit que l’OST, et compatible avec la mesure de grandeurs mécaniques
par corrélation volumique. Les critères fixés pour cette nouvelle technique étaient de
pouvoir capturer un volume de 50 × 50 × 50 mm3 avec une résolution spatiale inférieure
à 100 µm/voxel et en moins d’une seconde. Par ailleurs, nous voulions que la qualité
des volumes obtenus soit suffisante pour que l’erreur de mesure en déplacement par
corrélation volumique reste proche de celle obtenue avec des volumes capturés par OST
ou encore par tomographie rayons X, avoisinant 0.05 voxel.
Pour cela, nous avons choisi de développer un système de mise en mouvement de la
nappe laser traversant une structure fixe en synchronisant ses positions avec les acquisitions d’une caméra rapide. Le premier développement réalisé visait à produire une nappe
178
laser en translation rapide. Nous sommes parvenus à mettre au point un premier système
permettant de capturer un volume de quelques cm3 en moins d’une seconde. Pourtant
un certain nombre de paramètres tels que la vitesse de scan ou encore l’amplitude de
balayage liés à ce développement limitaient les performances de notre système. D’autre
part nous souhaitions nous affranchir du problème d’inertie lié au mouvement saccadé du
miroir, et produire un mouvement de scan continu. C’est pourquoi nous avons développé
un second procédé d’acquisition volumique, basé sur un découpage optique rotatif que
nous avons baptisé « Optical Rotating Scanning Tomography » (ORST). Ce second
développement a conduit à mettre en place une description mathématique de l’acquisition
et de la reconstruction, d’abord fondée sur des relations dites « géométriques » entre les
positions du feuillet laser et de la caméra. Une seconde description fut développée pour
optimiser la prise en compte des paramètres optique du système. Celle-ci, dite « globale
» utilise des relations polynomiales. Une première mise en œuvre lente fut réalisée et a
montré que l’acquisition et la reconstruction par balayage rotatif fonctionnaient. Nous
avons alors procédé à l’adaptation rapide de la technique, nécessitant la conception d’un
système adapté du point de vue de la mise en rotation du feuillet et de la synchronisation
de ses positions avec une caméra rapide. Les premiers résultats nous ont permis de
reconstruire un volume sur une profondeur de 28 mm en moins d’une seconde. Avec
le montage actuel nous pouvons capturer un volume de 50 × 50 × 50 mm3 avec une
résolution de 83 µm/voxel en 0,35 seconde. Notons que ces performances dépendent
principalement de la caméra rapide utilisée ainsi que du système de codage angulaire.
L’ORST offre la possibilité de capturer des volumes comparables à ceux fournis par
l’OST, et compatibles avec la mesure par corrélation volumique. Nous avons alors mis
en application l’ORST sur des problèmes mécaniques qui permettent de visualiser une
évolution spatio-temporelle de champs de déformations au cœur d’une structure solide.
Nous avons tout d’abord utilisé l’ORST pour analyser un problème de traction sur
une éprouvette avec une vitesse de déplacement de 1,2 mm/min imposée sur un des
mors jusqu’à une déformation imposée de 28%. En analysant les 121 états capturés sur
une zone proche du mors inférieur nous avons pu observer l’évolution des déplacements
dans les trois directions ainsi que les six composantes du tenseur des déformations
de Green-Lagrange au cœur de l’éprouvette. Nous obtenons une évolution de l’erreur
aléatoire en déformation en fonction de la déformation qui correspond à celle obtenue
avec des volumes capturés par OST, et qui reste inférieure à 5.10-4 pour des déformations
mesurées de l’ordre de 1% (5.10-3 pour des déformations allant jusqu’à 10%). La deuxième
application concerne l’analyse des déformations induites au sein d’un bloc par le contact
d’un galet roulant à la vitesse de 10 mm/min. En confrontant les résultats expérimentaux
avec ceux d’une analyse par éléments finis, nous obtenons des résultats comparables.
Cette deuxième application nous a permis mettre en pratique l’ORST sur un problème
de structure de type industriel, faisant intervenir plusieurs éléments en contact dont la
vitesse de l’un d’eux (10 mm/min) permettait d’évaluer le potentiel en terme de rapidité
d’acquisition de notre procédé, de nombre de points de mesure (22750 points), et de taille
de volume analysé (30 × 22 × 21 mm3).
179
Suite à ces recherches, nous pouvons envisager différents types de perspectives
notamment celles liées au montage, à la méthode et aux calculs. Concernant le montage,
la première serait d’aller encore plus vite. Pour cela on pourrait utiliser le feuillet laser
de part et d’autre de l’axe de rotation, ce qui diminuerait d’un facteur deux la durée
entre deux acquisitions. On pourrait également utiliser une caméra plus rapide. Une
autre amélioration du dispositif concerne le système de codage angulaire utilisé, qui dans
notre cas est de type incrémental. Celui-ci peut être sujet à des décalages comme nous
l’avons constaté. Aussi, nous pourrions utiliser un codeur angulaire de type absolu pour
limiter ce problème. En ce qui concerne la méthode, une étude sur le degré des polynômes
du modèle utilisé pour la reconstruction est à envisager pour connaitre l’influence des
paramètres sur la qualité de reconstruction. Également, on pourrait étudier l’influence de
la valeur du pas angulaire sur les volumes reconstruits, ce qui permettrait aussi d’influer
sur la vitesse d’acquisition. L’analyse volumique résolue en temps révèle une difficulté
concernant la quantité de volume à reconstruire et à analyser. De nombreux calculs sont
nécessaires et pourraient être optimisés en terme de temps grâce à une parallélisation des
calculs. Les temps de calculs concernant la mesure par corrélation volumique sont très
importants à cause du grand nombre de pas de temps volumique. La aussi, un travail
pourrait être mené pour optimiser la procédure de corrélation volumique.
Au-delà des améliorations possibles, cette nouvelle technique offre dès lors des possibilités d’analyse nouvelles notamment sur les matériaux transparents. Elle offre la possibilité
de réaliser des études pour des problématiques industrielles avec une analyse volumique
résolue en temps sur un grand nombre de points de mesure pour des problèmes jusqu’alors
étudiés seulement de manière statique.
Annexes
Annexe A
Mesure de l’épaisseur d’une nappe laser
L’ORST utilise un feuillet laser, dont l’épaisseur participe à la qualité d’acquisition
dans la direction d’acquisition de la caméra. Aussi, il est important d’évaluer cette épaisseur pour chaque montage réalisé. Pour mesurer l’épaisseur d’une nappe laser nous avons
repris le protocole mis en place par Germaneau [Ger07]. Le principe consiste à diriger le
feuillet laser vers une caméra dépourvue d’objectif. Ainsi le feuillet impacte directement
le capteur CCD. Pour évaluer l’épaisseur de la nappe dans des conditions similaires à son
utilisation, la mesure se fait avec le montage optique utilisé pour les manipulations, et
la caméra est placée à l’endroit de la mesure. Effectivement, comme l’épaisseur n’est pas
constante le long de l’axe optique du feuillet, la mesure doit être réalisée dans la partie
utile du feuillet. Pour éviter d’endommager le capteur, des filtres polarisants sont utilisés
en sortie du laser et la puissance du laser est réglée à 0,01 W.
Figure A.1 – Schéma de principe pour la mesure de l’épaisseur d’une nappe laser
Ainsi lorsque le feuillet laser impacte directement la grille du capteur, l’image fournie
par celui-ci correspond à la zone physique éclairée par le feuillet laser. Dans un premier
temps nous traçons le profil de l’intensité lumineuse dans une direction perpendiculaire à
la ligne laser.
184
Annexe A. Mesure de l’épaisseur d’une nappe laser
Figure A.2 – Analyse du profil du trait de lumière sur l’image capturée
En analysant le profil du trait de lumière capturé (Figure A.2), nous déterminons la
largeur du trait en pixels puis nous en déduisons ensuite l’épaisseur réelle en utilisant
la taille physique des pixels du capteur généralement de quelques micromètres. Nous
effectuons préalablement un seuillage de l’intensité à partir de la valeur is donnée par :
is = if + 0,1im
(A.1)
où if correspond au bruit de fond de l’image et im l’intensité maximale mesurée (Figure A.2). Comme l’indique l’équation précédente, nous effectuons un seuillage à 10%
de l’amplitude utile. Pour optimiser les résultats, il convient de régler la position de la
caméra de telle manière que son capteur soit perpendiculaire au feuillet laser.
Annexe B
Calibration du miroir oscillant
Au cours du chapitre 2, nous présentons un développement pour la mise en œuvre
d’une technique de tomographie optique à balayage translatif rapide utilisant un miroir
oscillant. Nous souhaitons connaître précisément le comportement du miroir dans nos
conditions d’utilisation, c’est pourquoi nous réalisons une calibration.
Pour paramétrer nos acquisitions volumiques, nous avons besoin de connaître la relation
entre la position angulaire absolue et la tension de consigne appliquée aux bornes du
miroir. De plus nous devons connaître la relation entre cette tension de consigne et la tension retournée par le miroir. Or le constructeur indique uniquement la plage de tension de
consigne d’entrée admissible de ±10 V ainsi que la plage angulaire équivalente correspondant à ±26.2 mrad. Comme nous souhaitons piloter ce miroir de manière incrémentale
nous devons connaître son comportement sur toute la plage de tension de consigne.
Pour cela, nous mettons le miroir sous tension et nous le positionnons de manière à ce
que le faisceau laser de référence transmis soit perpendiculaire à une plaque dont nous
connaissons la distance exacte avec le miroir dmp > 2 m. A cet instant, pour une tension
de consigne égale à 0V, le miroir est en position neutre intermédiaire que nous définissons
comme position angulaire de référence à 0˚. Nous envoyons sur le miroir un faisceau laser
colimaté créant un spot lumineux transmis sur la plaque. Nous repérons la position du
spot de lumière, considérée comme la position de référence (Figure B.1).
Figure B.1 – Schéma de principe de calibration du miroir oscillant
186
Annexe B. Calibration du miroir oscillant
Puis, nous appliquons successivement aux bornes du miroir des tensions de consigne
comprises entre +9 V et −9 V par pas de 0,02 V, ce qui fait un total de 901 tensions
envoyées. Pour chacune d’elles, nous prenons soin d’acquérir la tension de retour du miroir et mesurons la distance entre la position du spot actuelle et la position du spot de
référence. Connaissant la distance entre la plaque et le miroir, nous en déduisons l’angle
du faisceau lumineux par rapport au faisceau de référence, et par suite la position angulaire absolue du miroir égale à la moitié de l’angle du faisceau transmis. Finalement
nous obtenons la relation entre la position angulaire absolue du miroir θmeca et la tension
de consigne Uconsigne à ses bornes, ainsi que la relation entre la tension de consigne et la
tension de retour Uretour renvoyée par le miroir. Ces deux relations seront utilisées pour
calculer les tensions de consignes à envoyer au miroir pour balayer une plage de scan
spécifique dépendant de l’angle mécanique du miroir, mais également pour analyser les
positions du miroir en temps réel au cours d’un scan. On peut noter une quasi-linéarité
entre la position angulaire absolue du miroir et la tension de consigne (Figure B.2). En
revanche on constate que la différence des tensions de consigne et de retour n’est linéaire
que sur une faible plage comprise entre -2.5 V et +2.5 V (Figure B.3).
0,03
Angle du miroir (rad)
0,02
0,01
0
-0,01
-0,02
-0,03
-10
-5
0
5
10
Tension de consigne (V)
Figure B.2 – Position angulaire absolue du miroir en fonction de la tension de consigne
187
Tension de retour - Tension de consigne (V)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-10
-5
0
5
10
Tension de consigne (V)
Figure B.3 – Différence entre la tension de consigne et la tension de retour en fonction
de la tension de consigne
Annexe C
Tensions de retour de positionnement
du miroir
Nous présentons ci-après les graphiques des tensions de retour pour six vitesses de
balayage du feuillet laser. Les vitesses élevées mettent en évidence les limitations en terme
de possibilité de synchronisation dues à une incapacité de détection des paliers de tension.
-3.75
-3.8
-3.85
-3.9
-3.95
-4
-4.05
10
20
30
40
50
60
70
80
Temps (ms)
Figure C.1 – Premiers paliers de tensions de retour de positionnement à la vitesse de
10mm/s
190
Annexe C. Tensions de retour de positionnement du miroir
-3.75
-3.8
-3.85
-3.9
-3.95
-4
-4.05
10
20
30
40
50
Temps (ms)
20mm/s
-3.75
Tension de retour de positionnement (V)
-3.8
-3.85
-3.9
-3.95
-4
-4.05
10
15
20
25
30
35
Temps (ms)
30mm/s
191
-3.75
-3.8
-3.85
-3.9
-3.95
-4
-4.05
20
25
30
35
40
Temps (ms)
40mm/s
-3.75
-3.8
-3.85
-3.9
-3.95
-4
-4.05
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Temps (ms)
50mm/s
192
Annexe C. Tensions de retour de positionnement du miroir
-3.75
-3.8
-3.85
-3.9
-3.95
-4
-4.05
40
50
60
70
80
90
100
110
Temps (ms)
60mm/s
Annexe D
Plans des pièces du dispositif ORST
rapide
C
A
200
183.75
51 H8
0.02 A
38
35 js4 15° ±0.20°
30 js4
0.02 A
28
10 A TRAVERS TOUT
4x
0.05 A
M
30°
4x
20
10
24
0.02 A
30 x1.5
A
30 ±0.10
194
12 x
2.50 A TRAVERS TOUT
M3 - 6H A TRAVERS TOUT
0.05 A
C
0.02 A
1X
45
°
R1
R 95
5
1
10
A
°
45 10
13
2
30
R 30
209
0.01
COUPE A-A
ECHELLE 1 : 2
D
X
7 min.
0.50
10
45
°
2.75
1
0.02 A
24.50
0.01
19.50
0
R4
4x
2.50 A TRAVERS TOUT
M3 - 6H A TRAVERS TOUT
0.05 A
X
5.50
21.50
COUPE C-C
ECHELLE 1 : 1
COUPE D-D
ECHELLE 1 : 1
D
tolérence générale ISO2768-mK
SAUF INDICATION CONTRAIRE:
LES COTES SONT EN MILLIMETRES
ETAT DE SURFACE:
TOLERANCES:
LINEAIRES:
ANGULAIRES:
NOM
AUTEUR
CASSER LES
ANGLES VIFS
FINITION:
SIGNATURE
DATE
NE PAS CHANGER L'ECHELLE
REVISION
TITRE:
MORANDI
VERIF.
APPR.
FAB.
QUAL.
Licence étudiante de SolidWorks
Utilisation universitaire uniquement
MATERIAU:
No. DE PLAN
Aluminium
MASSE:
ECHELLE:1:5
Axe
FEUILLE 1 SUR 1
A3
Annexe D. Plans des pièces du dispositif ORST rapide
8 max.
77.50
13
13
87
M5
M5
100
150
50
50
23 max.
A
A
10
C
40
0.05 A B
40
M5
47 H5
0.05 C
M5
55
40
47
M5
40
175
50
55 JS5
65
15
M5
16
B
A
15
COUPE A-A
130
M8
M8
85
ETAT DE SURFACE:
TOLERANCES:
LINEAIRES:
ANGULAIRES:
M8
M8
NOM
AUTEUR
CASSER LES
ANGLES VIFS
FINITION:
SIGNATURE
DATE
REVISION
TITRE:
MORANDI
VERIF.
APPR.
FAB.
QUAL.
No. DE PLAN
Aluminium
MASSE:
Bloc_support_axe
ECHELLE:1:2
FEUILLE 1 SUR 1
A3
195
Utilisation universitaire uniquement
MATERIAU:
196
23
38.50
10
10
B
60
39.75
5.75
26
A
2x
2.90 A TRAVERS TOUT
6
2.10
0.05 A B
13
74
100
13
C
2x
5.50 A TRAVERS TOUT
11
3.70
0.05 A B C
ETAT DE SURFACE:
TOLERANCES:
LINEAIRES:
ANGULAIRES:
NOM
AUTEUR
CASSER LES
ANGLES VIFS
FINITION:
SIGNATURE
DATE
REVISION
TITRE:
MORANDI
VERIF.
APPR.
FAB.
QUAL.
MATERIAU:
Aluminium
MASSE:
Utilisation universitaire
uniquement
A4
support_capteur_optique
No. DE PLAN
ECHELLE:1:2
FEUILLE 1 SUR 1
197
100
2
50
10
45
3 min.
55 e8
4x
COUPE A-A
5.50 A TRAVERS TOUT
11
3.70
0.1 A
A
A
80
A
55
50
80
ETAT DE SURFACE:
TOLERANCES:
LINEAIRES:
ANGULAIRES:
NOM
AUTEUR
CASSER LES
ANGLES VIFS
FINITION:
SIGNATURE
DATE
REVISION
TITRE:
MORANDI
VERIF.
APPR.
FAB.
QUAL.
MATERIAU:
Aluminium
MASSE:
uniquement
No. DE PLAN
ECHELLE:1:1
chapeau_axe
FEUILLE 1 SUR 1
A4
198
70
11.10
5.10 min.
43
4x
51 e8
COUPE A-A
ECHELLE 1 : 1
3.40 A TRAVERS TOUT
6.50
3.40
A
60
A
60
ETAT DE SURFACE:
TOLERANCES:
LINEAIRES:
ANGULAIRES:
NOM
AUTEUR
CASSER LES
ANGLES VIFS
FINITION:
SIGNATURE
DATE
REVISION
TITRE:
MORANDI
VERIF.
APPR.
FAB.
QUAL.
MATERIAU:
Aluminium
MASSE:
uniquement
No. DE PLAN
ECHELLE:1:2
chapeau_lentille
FEUILLE 1 SUR 1
A4
199
36
42
30 H8
35 H8
100
5
10
ETAT DE SURFACE:
TOLERANCES:
LINEAIRES:
ANGULAIRES:
NOM
AUTEUR
CASSER LES
ANGLES VIFS
FINITION:
SIGNATURE
DATE
REVISION
TITRE:
MORANDI
VERIF.
APPR.
FAB.
QUAL.
MATERIAU:
Aluminium
MASSE:
uniquement
grande_entretoise A4
No. DE PLAN
ECHELLE:1:2
FEUILLE 1 SUR 1
200
30 H8
35
10
ETAT DE SURFACE:
TOLERANCES:
LINEAIRES:
ANGULAIRES:
NOM
AUTEUR
CASSER LES
ANGLES VIFS
FINITION:
SIGNATURE
DATE
REVISION
TITRE:
MORANDI
VERIF.
APPR.
FAB.
QUAL.
MATERIAU:
Aluminium
MASSE:
uniquement
No. DE PLAN
ECHELLE:2:1
petite_entretoise
FEUILLE 1 SUR 1
A4
GND
2
G
14
CLK
5
A
10
C
d
iv_
f
req
74LS191
14
13
12
11
10
9
7
Vcc
8
9
10
1
2
GND
8
13
2
4
GND
1
1
N
O
P
Q
R
S
I O 2
74LS04
B2
se
t_comp
t_2
9 10 11 12 13 14 15 16
Vcc
VCC
I0
I1 GND
O
I0
2
I1 GND
7
GND
Bnc1
2
GND
74LS08
6O
&
GND
4
G
14
CLK
5
1
&
R4
O 3
74LS08
R3
R2
R1
11
10
C
GND
4
5
I1
5
I0
4
R8
R7
R6
R5
14
11
Vcc
I1
O
4
74LS08
8O
&
I1
10
I0
9
R10
R11
R12
G
DU
CLK
4
11
QA 3
QB 2
D
comp
t_2
74LS191
G
DU
CLK
QC 6
QD 7
VCC16
GND8
MXMN12
LOAD RCO13
A
10
C
9
VCC16
GND8
MXMN12
B
15
1
QC 6
QD 7
LOAD RCO13
C
14
R9
comp
t_1
74LS191
10
5
I0
D
A
9
QA 3
QB 2
B
15
1
VCC16
GND8
MXMN12
LOAD RCO13
A
1
Vcc
DU
15
9
Va
leu
r
1
74LS02
7
VCC
1
14
6
U
GND
8 7 6 5 4 3 2 1
14
GND
Vcc
5
T
B
D
comp
t_3
74LS191
QA 3
QB 2
QC 6
QD 7
AnnexeE
15
9 10 11 12 13 14 15 16
Vcc
14
VCC
B1
3
M
se
t_comp
t_1
Vcc
GND
7
2
L
8 7 6 5 4 3 2 1
B2
GND
5
K
Vcc
74LS02
14
J
B1
11
12
I
1 2 3 4 5 6 7 8
1
Vcc
6
2
H
1
61
51
4
1
3
s
e
l
ec
t
_d
iv
_
f
r
e
q1211109
QC 6
QD 7
7
3
G
QA 3
QB 2
D
15
F
Vcc
VCC16
B
9
6
E
LOAD RCO13
15
CN2
D
GND8
MXMN12
DU
1
4
5
4
11
3
C
S
ch
éma
sd
elaca
r
t
ed
esyn
ch
ron
i
sa
t
ion
1
B
•Schémadep
r
inc
ip
e
A
202
Annexe E. Schémas de la carte de synchronisation
• Schéma d’implantation côté composant
• Schéma d’implantation côté cuivre
Table des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
3.1
Section d’un corps humain pour le Visible Human Project : coupe axiale
du thorax [Fou89] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radiographie de la main de Bertha Ludwig Röntgen en 1895 [R9̈6] . . . .
Projections unidirectionnelles à partir d’une même section . . . . . . . .
Reconstitution virtuelle de l’intérieur d’un os capturé par tomographie
rayons X en laboratoire [Ger07] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Echographie d’un fœtus humain [All11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Première image par résonance magnétique du thorax d’un corps humain
obtenue par Damadian en 1977 [DGM77] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de principe de la Tomo-PIV [Ger07] . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de principe de l’OCT [Ger07] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observation en trois dimensions de la rétine par OCT [Dre09] . . . . . .
Schéma de principe de l’OST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse par OST d’une rotule aéronautique ([GDD06]) . . . . . . . . . .
Phénomène de traînée lié à l’OST [Ger07] . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de principe d’un polariscope 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de principe de la photoélasticimétrie 3D [Ger07] . . . . . . . . .
Transformation matérielle volumique [Ger07] . . . . . . . . . . . . . . . .
. 18
. 20
. 21
. 22
. 24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Génération d’un feuillet laser par la technique OST . . . . . . . . . . . . .
Section du feuillet dans le plan x0 z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de principe du montage pour le découpage optique translatif . . .
Miroir oscillant [New03] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramme de pilotage des appareils du banc de tomographie optique rapide
Plage de fonctionnement optimale du miroir oscillant en fonction de l’incrément angulaire et de la fréquence de déplacement [New03] . . . . . . . .
Premiers paliers de tension de retour de positionnement à la vitesse de
20 mm/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aperçu local de 4 paliers de tension de retour . . . . . . . . . . . . . . . .
Montage pour le suivi d’une ligne laser projetée par le feuillet . . . . . . .
Lignes laser tracées par le feuillet laser sur le support objet . . . . . . . . .
Lignes laser discrétisées par traitement d’image . . . . . . . . . . . . . . .
Sections capturées au sein d’un bloc parallélépipédique composé de résine
epoxy et de poudre de polyamide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reconstruction d’un volume de 296 × 514 × 181 voxels avec visualisation
des coupes dans les plans xy (a) et yz (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisation du champs de particules par seuillage des intensités . . . . . .
Erreur de mesure par corrélation volumique en fonction du déplacement
imposé sur un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de principe du découpage optique rotatif
26
28
29
30
31
32
32
35
36
38
46
46
47
50
51
53
54
55
56
56
57
60
61
61
63
. . . . . . . . . . . . . . 66
204
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
Table des figures
Principe global d’acquisition et de reconstruction par ORST . . . . . . . .
Disposition des repères objet et caméra pour la description géométrique de
l’ORST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Procédure de calibration pour la description géométrique de l’ORST utilisant une plaque de verre en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformations des lignes laser en série de marqueurs . . . . . . . . . . .
Position du vecteur T , des points A, B, An et B n dans la zone de calibration
Montage optique de l’ORST pour la mise en forme d’un feuillet laser tournant
Première mise en œuvre expérimentale de l’ORST . . . . . . . . . . . . . .
Montage pour l’analyse de la précision de positionnement angulaire du
disque par suivi de marqueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Écarts moyens des positions du marqueur pour chaque essai . . . . . . . .
Aperçu dans le plan x0 z0 des positions de calibration de la plaque de verre
le long de l’axe z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation du critère de résolution dans la direction z0 . . . . . . . . .
Six images de lignes laser obtenues à partir de trois positions de la plaque
de verre et deux feuillets laser écartées de 20˚ . . . . . . . . . . . . . . . .
Six images de lignes laser discrétisées en 21 marqueurs et obtenues à partir
de trois positions de la plaque de verre et deux feuillets laser écartées de 20˚
Exemple d’une section capturée par la caméra au cours du scan . . . . . .
Histogramme d’une section capturée au centre de l’éprouvette . . . . . . .
Section du volume reconstruit dans le plan y0 z0 . . . . . . . . . . . . . . .
Volume reconstruit de 100 × 100 × 100 voxels et visualisation des coupes
dans les plans x0 y0 (a), x0 z0 (b) et y0 z0 (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisation 3D représentant la diffusion lumineuse par les particules de
polyamide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Organisation des points de mesure sur la grille de correlation . . . . . . . .
Déplacements calculés par corrélation volumique pour un solide rigide statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Écarts-types des déplacements calculés par corrélation volumique pour un
solide rigide statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Montage expérimental pour l’analyse de l’erreur de mesure en fonction du
déplacement imposé dans la direction x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erreur de mesure systématique et aléatoire par corrélation volumique sur
un solide rigide en translation subvoxel (Acquisition lente - Description
géométrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la densité d’informations dans la direction y0 . . . . . . . . .
Caractéristiques du codeur angulaire [REN13] . . . . . . . . . . . . . . . .
Dispositif réalisé pour l’ORST rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbre (a)&(b) et bâti (c) du dispositif ORST rapide . . . . . . . . . . . . .
Vue en coupe du dispositif ORST rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Synchronisation entre les positions utiles du feuillet et les captures de la
caméra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carte de synchronisation réalisée pour l’ORST rapide . . . . . . . . . . . .
67
68
70
71
72
74
75
76
77
78
79
80
80
82
83
83
84
85
86
87
87
88
89
90
91
92
93
93
95
96
Table des figures
205
3.32 Schéma fonctionnel de la carte de synchronisation de l’ORST . . . . . . . . 97
3.33 Montage expérimental pour l’analyse de la précision de synchronisation de
l’ORST rapide par suivi de marqueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.34 Variations de position ∆x pour une vitesse de rotation de 2,9 tr/min . . . 99
3.35 Variations de position ∆x pour une vitesse de rotation de 4 tr/min . . . . 99
3.40 Incréments angulaires δθ calculés pour une vitesse de rotation de 2,9 tr/min 102
3.41 Incréments angulaires δθ calculés pour une vitesse de rotation de 4 tr/min 103
3.46 Acquisition volumique rapide d’un solide rigide en translation continue . . 106
3.47 Volume capturé avec le dispositif rapide et reconstruit avec la description
géométrique de l’ORST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.48 Distribution volumique des particules sur un volume capturé par ORST
rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.49 Organisation des points de mesure sur la grille de corrélation . . . . . . . . 108
3.50 Composante de déplacement u dans la direction x0 sur l’ensemble des points
de corrélation et pour tous les états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.51 Composante de déplacement v dans la direction y0 sur l’ensemble des points
3.52 Composante de déplacement w dans la direction z0 sur l’ensemble des points
3.53 Évolution des écarts-types de déplacements calculés pour les composantes
u, v et w en fonction de l’état du déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.54 Incréments de déplacements moyens calculés entre chaque état (description
géométrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.55 Calibration de l’ORST avec la description globale . . . . . . . . . . . . . . 113
3.56 Nuage de 75 points de calibration obtenus en déplaçant une mire de points
et observé dans les plans x0 y0 , x0 z0 et y0 z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.57 Distribution volumique des particules sur un volume capturé rapidement
et reconstruit avec la description globale de l’ORST . . . . . . . . . . . . . 117
3.58 Volume capturé avec le dispositif rapide et reconstruit avec la description
globale de l’ORST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.59 Résultats du calcul de la composante de déplacement dans la direction x0
sur l’ensemble des points de corrélation et pour tous les états . . . . . . . . 118
3.60 Résultats du calcul de la composante de déplacement dans la direction y0
3.61 Résultats du calcul de la composante de déplacement dans la direction z0
206
Table des figures
3.62 Évolution des écarts-types de déplacements calculés dans les directions x0 ,
y0 et z0 en fonction de l’état de déplacement (description globale) . . . . .
3.63 Incréments de déplacements moyens entre chaque état (description globale)
3.64 Schéma de description de la zone d’étude de l’ORST . . . . . . . . . . . .
3.65 Zone d’étude circulaire par ORST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.66 Domaine d’étude parallélépipédique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.67 Calibration d’une section rectangulaire dans le plan y0 z0 . . . . . . . . . .
3.68 Nombre de sections pour acquérir un volume avec une résolution de 80
µm/voxel en fonction de sa taille et de l’incrément angulaire . . . . . . . .
3.69 Hauteur de l’axe optique pour acquérir un volume avec une résolution de
80 µm/voxel en fonction de sa taille et de l’incrément angulaire . . . . . .
3.70 Déplacements calculés par corrélation volumique sur un solide rigide statique capturé par ORST rapide (δθ = 320 µrad) . . . . . . . . . . . . . . .
3.71 Ecarts-types des déplacements calculés par corrélation volumique sur un
solide rigide statique capturé par ORST rapide (δθ = 320 µrad) . . . . . .
3.72 Déplacements calculés par corrélation volumique sur un solide rigide statique capturé par ORST rapide (δθ = 640 µrad) . . . . . . . . . . . . . . .
3.73 Ecarts-types des déplacements calculés par corrélation volumique sur un
solide rigide statique capturé par ORST rapide (δθ = 640 µrad) . . . . . .
3.74 Erreur de mesure par corrélation volumique sur des déplacements subvoxels
(acquisitions rapides & description globale) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
Dispositif de traction continue adapté à l’ORST . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de l’éprouvette de traction utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Échantillons d’images obtenues lors de la calibration . . . . . . . . . . . . .
Représentation virtuelle du champ volumique des marqueurs de calibration
Représentation du cœur de l’éprouvette de traction dans un état fixe . . .
Déplacements u, v et w calculés dans les directions x0 , y0 et z0 au sein de
l’éprouvette de traction avant chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecarts-types sur les déplacements calculés dans les directions x0 , y0 et z0
au sein de l’éprouvette de traction avant chargement . . . . . . . . . . . .
Représentation par seuillage d’un volume reconstruit et superposition des
particules des 6 volumes initiaux sans chargement . . . . . . . . . . . . . .
Représentation locale de la superposition de 5 acquisitions au cours du
chargement de traction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grille de corrélation utilisée pour les calculs des champs mécanique pour
l’essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante de déplacement u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante de déplacement v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante de déplacement w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Exx du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Eyy du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Ezz du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . .
Composantes Exy du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Exz du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . .
120
120
122
124
124
125
126
127
129
129
130
131
132
138
139
141
141
142
143
143
144
145
146
147
147
148
149
149
150
150
151
Table des figures
4.19 Composante Eyz du tenseur des déformations . . . . . . . . . .
4.20 Organisation des sections analysées dans le plan x0 z0 au sein du
corrélé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.21 Moyennes des déformations dans le plan x0 z0 pour 120 états . .
4.22 Ecarts-types des déformations dans le plan x0 z0 pour 120 états .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
207
. . . . .
domaine
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Caractéristiques du bloc (a) et du galet (b) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trois phases de la cinématique en "U" pour le déplacement relatif du galet
par rapport au bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation du bloc et du galet pour la simulation par éléments finis . .
Conditions aux limites du galet et du bloc pour la simulation . . . . . . .
Composante Exx du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Exy du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . .
Composantes Eyy du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . .
Composantes Eyy du tenseur des déformations vues en coupe dans le plan
y0 z 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système global du galet roulant sur le bloc . . . . . . . . . . . . . . . . .
Positions relatives du galet et du bloc sur le montage expérimental . . . .
Champ volumique des marqueurs de calibration . . . . . . . . . . . . . .
Reconstruction d’un volume (a) et champs de particules de 6 volumes superposés (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Déplacements calculés du cœur du bloc parallélépipédique dans les directions x0 , y0 et z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Écarts-types des déplacements calculés du cœur du bloc parallélépipédique
dans les directions x0 , y0 et z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ capturé dans le plan x0 y0 au cours l’essai de roulement d’un galet
sur un bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation volumique par seuillage des niveaux de gris du premier état
reconstruit - vue globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grille de corrélation utilisée pour les calculs de l’essai de roulement d’un
galet sur un bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation de la vue adoptée pour l’affichage des résultats de déformations volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Exx du tenseur des déformations au cœur du bloc parallélépipédique pour 6 états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Eyy du tenseur des déformations au cœur du bloc parallélépipédique pour 6 états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Ezz du tenseur des déformations au cœur du bloc parallélépipédique pour 6 états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Exy du tenseur des déformations au cœur du bloc parallélépipédique pour 6 états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Exz du tenseur des déformations au cœur du bloc parallélépipédique pour 6 états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Composante Eyz du tenseur des déformations au cœur du bloc parallélépipédique pour 6 états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 151
. 152
. 153
. 153
. 155
.
.
.
.
.
.
156
157
157
158
158
159
.
.
.
.
159
160
161
162
. 163
. 163
. 164
. 164
. 165
. 165
. 166
. 167
. 167
. 168
. 168
. 169
. 169
208
Table des figures
5.25 Observation de la composante de cisaillement Eyz dans le plan x0 z0 sur la
partie inférieure du domaine analysé (vue de dessous) . . . . . . . . . . .
5.26 Représentation de la position des trois sections pour l’observation des déformations dans le plan y0 z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.27 Composantes de déformations Exx , Eyy , Ezz et Eyz dans le plan y0 z0 pour
trois pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.28 Sous-partie considérée du volume de la simulation pour la confrontation
entre simulation et expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.29 Comparaison des résultats du champ de déformations Exx issus des calculs
de simulation et de l’essai expérimental pour le milieu de la phase 2 . . .
5.30 Comparaison des résultats du champ de déformations Eyy issus des calculs
5.31 Comparaison des résultats du champ de déformations Ezz issus des calculs
5.32 Comparaison des résultats du champ de déformations Exy issus des calculs
5.33 Comparaison des résultats du champ de déformations Exz issus des calculs
5.34 Comparaison des résultats du champ de déformations Eyz issus des calculs
. 170
. 171
. 171
. 172
. 173
. 173
. 174
. 174
. 174
. 175
A.1 Schéma de principe pour la mesure de l’épaisseur d’une nappe laser . . . . 183
A.2 Analyse du profil du trait de lumière sur l’image capturée . . . . . . . . . . 184
B.1 Schéma de principe de calibration du miroir oscillant . . . . . . . . . . . . 185
B.2 Position angulaire absolue du miroir en fonction de la tension de consigne . 186
B.3 Différence entre la tension de consigne et la tension de retour en fonction
de la tension de consigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
C.1 Premiers
10mm/s
C.2 Premiers
20mm/s
C.3 Premiers
30mm/s
C.4 Premiers
40mm/s
C.5 Premiers
50mm/s
C.6 Premiers
60mm/s
paliers
. . . .
paliers
. . . .
paliers
. . . .
paliers
. . . .
paliers
. . . .
paliers
. . . .
de
. .
de
. .
de
. .
de
. .
de
. .
de
. .
tensions
. . . . .
tensions
. . . . .
tensions
. . . . .
tensions
. . . . .
tensions
. . . . .
tensions
. . . . .
de retour de positionnement à la
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vitesse de
. . . . . .
vitesse de
. . . . . .
vitesse de
. . . . . .
vitesse de
. . . . . .
vitesse de
. . . . . .
vitesse de
. . . . . .
. 189
. 190
. 190
. 191
. 191
. 192
Liste des tableaux
1.1
1.2
1.3
Synthèse des performances d’acquisition de 6 techniques non destructrices . 33
Confrontation entre les principales caractéristiques des techniques de mesure dans le volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Synthèse des techniques d’acquisition et de mesure adaptées à l’analyse
mécanique des structures dans le volume et dans le temps . . . . . . . . . . 41
2.1
Caractéristiques des lentilles du banc de découpage optique translatif rapide 49
3.1
Récapitulatif des incréments angulaires moyens et de leurs écarts-types
pour le système de scan lent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats (en voxels) de la calibration géométrique de l’ORST . . . . . .
Cahier des charges de la carte de synchronisation . . . . . . . . . . . . .
Vitesses de rotation testées pour l’analyse de la précision de synchronisation
de l’ORST rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Moyennes et écarts-types des incréments angulaires pour la vitesse de rotation 6.7 tr/min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
3.3
3.4
3.5
. 77
. 81
. 96
. 98
. 105
4.1
Caractéristiques de calibration pour l’essai de traction continue
5.1
Caractéristiques de calibration pour l’essai de roulement d’un galet sur un
bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Liste des états considérés pour la présentation des résultats de déformations
volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.2
. . . . . . 140
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• Communication nationale avec actes
P. Morandi, F. Brémand, P. Doumalin, A. Germaneau, J.C. Dupré, "Développement d’un procédé de tomographie optique adapté à l’acquisition volumique rapide dans
les structures mécaniques", Congrès Français de Mécanique, 26-30 août 2013, Bordeaux,
France
Développement d’une technique de tomographie par découpage optique rotatif
pour la mesure résolue en temps de champs cinématiques 3D par corrélation
d’images volumiques
Résumé : Pour l’étude d’une structure solide ou d’un matériau, l’analyse expérimentale permet
d’obtenir des grandeurs mécaniques qui permettent de comprendre leurs comportements ou encore de
valider des résultats issus d’une simulation numérique. Ces grandeurs peuvent être de différentes natures
(contraintes, déformations . . .) et être localisées de différentes manières dans l’espace (2D, 3D) et dans
le temps (statique, dynamique). Le bilan des techniques actuelles d’analyse expérimentale en mécanique
des solides révèle un besoin concernant l’acquisition d’une structure en tous points avec une résolution
élevée à la fois spatialement et temporellement. L’objectif des travaux menés au cours de cette thèse
est de développer une nouvelle technique d’acquisition volumique capable d’acquérir un volume de
matière de quelques centimètres de côté en moins d’une seconde avec une précision spatiale inférieure
à 0.1mm. Les volumes obtenus doivent avoir une qualité suffisamment élevée pour être couplés à la
technique de Corrélation d’Images Volumiques (DVC) permettant d’obtenir les déplacements ainsi que
le tenseur des déformations de Green-Lagrange complet au cœur de la matière. Un nouveau procédé
d’acquisition baptisé Optical Rotating Scanning Tomography (ORST) et basé sur le découpage optique
a été développé. Après l’avoir décrit mathématiquement, un système spécifique synchronisé avec une
caméra rapide a été conçu. La méthode a été appliquée sur deux essais mécaniques : une traction
continue et un contact entre un galet roulant et un bloc. L’analyse des résultats a montré que l’ORST est
capable d’étudier l’évolution des champs de déformations à la fois au cœur du volume et résolue en temps.
Mots clés : Tomographie, découpage optique, mesure résolue en temps, champs cinématiques 3D,
corrélation d’images volumiques.
Development of a new optical rotating scanning tomography method adapted to
time-resolved kinematic fields measurement by digital volume correlation
Abstract : To study a solid structure or a material, an experimental analysis can be used to get
mechanical fields in order to understand the mechanical behaviour or to validate simulation results.
Different kind of field can be obtain (stress, strain) in different spatial (2D, 3D) or temporal referential
(static, dynamic). Current techniques are not able to record the whole volume of a structure with a high
spatial and temporal resolution. The goal of this work is to developp a new volume acquisition technique
able to capture a volume with an edge size of several centimeters in less than 1 second with a spatial
accuracy lower than 0.1mm. Reconstructed volumes need to have a good quality to be used with the
Digital Volume Correlation (DVC) in order to provide displacement fields and the full Green-Lagrange
tensor in the whole volume. A new acquisition technique called Optical Rotating Scanning Tomography
(ORST) based on the optical scanning technique has been developped. A mathematical description has
been achieved and then a special device has been manufactured. This device is synchronized with a fast
camera in order to perform time-resolved acquisition. This new technique has been used to study two
mechanical tests. The first one is a tensile test with a continuous loading, and the second one concerns
a wheel rolling over a solid bloc. Experimental results of these two applications show that ORST
technique is able to analyze displacement and strain fields in the whole volume and in a time-resolved way.
Key words : Tomography, optical slicing, time-resolved measurement, 3D kinematic fields, digital
volume correlation.
Bibliographie
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Développement d`une technique de tomographie par découpage

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