Ressaut hydraulique
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CHAPITRE 15 Ressaut hydraulique 15.1 INTRODUCTION Le ressaut est le principal moyen qu’utilisent les ouvrages hydrauliques pour dissiper l’énergie. Ce ressaut est formé lors de la transition brusque d’un écoulement torrentiel à un écoulement fluvial. Durant cette transition une onde stationnaire se forme et l’énergie est alors dissipée par turbulence. Un rôle important des ouvrages sera donc d’amener l’écoulement du cours d’eau (généralement fluvial) à un écoulement torrentiel afin que le ressaut puisse se former. Ceci est obtenu soit par l’écoulement sur une pente inclinée supérieure à la pente critique (chute inclinée), soit par la chute libre de la nappe d’eau (chute verticale). Afin de bien dimensionner ces ouvrages hydrauliques, une bonne connaissance des caractéristiques des ressauts est essentielle. Celles--ci sont principalement les hauteurs d’eau en amont et en aval du ressaut (hauteurs conjuguées), l’efficacité en terme d’énergie et la longueur nécessaire pour l’accomplissement de ce ressaut. Ces caractéristiques seront d’abord évaluées pour un canal rectangulaire, puis une généralisation à d’autres types de canaux sera présentée. 15.2 RESSAUT DANS UN CANAL RECTANGULAIRE De façon générale, le ressaut nécessite que certaines conditions soient rencontrées afin qu’il se réalise. Ces conditions sont le respect de l’équation de continuité [15.1] et de l’équation de Newton sous la forme ”impulsion--quantité de mouvement” (équation15.2). De la figure 15.1a et pour un canal rectangulaire nous avons : V1 y1 = V2 y2 [15.1] 1 g y2 + q V = 1 g y2 + q V 1 2 1 2 2 2 [15.2] RESSAUT HYDRAULIQUE 200 V1 et V2 = vitesses moyennes en amont et en aval du ressaut (m/s). y1 et y2 = hauteurs d’eau en amont et en aval du ressaut (m) ρ = masse spécifique de l’eau (kg/m3) g = constante d’accélération gravitationnelle (m/s2) q = débit unitaire (m3/s--m) Figure 15.1 Ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire. La solution de ces équations est : y2 1 y1 = 2 1 + 8 F21 − 1 [15.3] F1 = nombre de Froude de l’écoulement torrentiel en amont du ressaut y1 et y2 = hauteurs conjuguées du ressaut. Le nombre de Froude est donné par l’équation suivante : F= V g Al V = vitesse d’écoulement (m/s) g = constante gravitationnelle (9,82 m/s2) l = largeur au miroir (m) A = section d’écoulement (m2) La figure 15.2 représente graphiquement la solution de l’équation 15.3. [15.4] RESSAUT DANS UN CANAL RECTANGULAIRE 201 30 28 26 24 22 20 y2 y1 18 16 14 12 10 y2 1 y1 = 2 8 1 + 8 F 2 1 −1 F 1 = V 1 g y 1 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 F1 16 18 20 22 Figure 15.2 Relation entre F1 et y2 /y1 pour un ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire horizontal. Il faut noter ici les points suivants : 1. Le ressaut ne se réalisera qu’à la condition que le niveau d’eau en aval y3 dans le canal soit supérieur à la hauteur conjuguée y2 . Ce niveau est souvent déterminé par l’ouvrage situé en aval du ressaut. 2. Dans les petits cours d’eau (Q < 10 m3/s), les nombres de Froude varient généralement de 2 à 6, ce qui entraîne des hauteurs y2 de deux à huit fois supérieures à y1 . La perte d’énergie et l’efficacité du ressaut sont calculés à partir de l’équation de l’énergie : V 21 V 22 y1 + = y 2 + + ∆E 2g 2g [15.5] ∆E = perte d’énergie. Des équations 15.1 et 15.5, nous trouvons : ∆E = E 1 − E 2 = y 2 − y 1 3 4 y1 y2 [15.6] RESSAUT HYDRAULIQUE 202 L’efficacité de la dissipation η est alors : E η = ∆E = 1 − 2 E1 E1 [15.7] Cette efficacité peut être évaluée de façon analytique et ne dépend que de F1 . En effet, dans le cas du canal rectangulaire, le rapport E2 /E1 peut s’exprimer ainsi : E2 = E1 8 F 1 2 + 1 32 − 4 F12 + 1 8 F 1 2 2 + F 1 2 [15.8] La figure 15.1b indique la transition effectuée sur le graphique d’énergie spécifique. La figure 15.3 donne graphiquement le rapport E2 /E1 en fonction de F1 (équation 15.8) ainsi que l’efficacité de dissipation η (équation 15.7). E2 E1 η F1 Figure 15.3 Efficacité du ressaut. Il est possible de distinguer différents types de ressaut. Pour 1 < F1 < 2,5, la turbulence est faible, et donc l’efficacité de la dissipation est faible. Pour 2,5 < F1 < 4,5, un ressaut oscillant se forme et produit des ondes de surface. Celles--ci rendent difficile la protection des berges en aval et ce, malgré une efficacité de l’ordre de 35%. Pour 4,5 < F1 < 9, un ressaut direct, stable, présentant une efficacité de 45 à 70% a lieu. Ce type de ressaut est recherché à cause de sa stabilité, de sa régularité et de la sécurité RESSAUT DANS UN CANAL RECTANGULAIRE 203 qu’il présente. Pour F1 > 9, le ressaut est très efficace (85%) mais produit également des ondes de surface nécessitant une protection importante des berges et ce, sur une grande distance. Finalement, la longueur L sur laquelle s’effectue le ressaut détermine la longueur de protection qu’il faut assurer aux berges du cours d’eau ou encore la longueur du bassin de dissipation. Cette valeur n’a pu être évaluée analytiquement, d’où l’utilisation de relations empiriques ou de courbes expérimentales. Ces dernières indiquent la variation du rapport L/y1 ou L/y2 ou L/(y2 - y1 ) en fonction de F1 . Les courbes obtenues par le U.S. Bureau of Reclamation (Peterka, 1964) sont les mieux connues. Elles donnent le rapport L/y1 ou L/y2 (figure 15.4) en fonction de F1 . La courbe L/y2 est plus utile et présente une portion presque constante dans la région des ressauts directs (4,5 < F1 < 9). L y2 F1 = V1 g y 1 Figure 15.4 Longueur du ressaut en terme de y2 (adapté de Peterka, 1964). Les hydrauliciens utilisent souvent une équation simplifiée représentant la longueur maximale Lmax du ressaut libre : L max = 6, 9 y 2 − y 1 [15.9] RESSAUT HYDRAULIQUE 204 15.3 RESSAUT DANS UN CANAL NON RECTANGULAIRE Les caractéristiques du ressaut se formant dans un canal non--rectangulaire sont sensiblement différentes de celles obtenues dans la section précédente. Silvester (1964) a déterminé des solutions analytiques pour calculer les hauteurs conjuguées et la dissipation d’énergie et une solution semi--empirique pour la longueur du ressaut. Cette section résume son travail pour les canaux rectangulaires, triangulaires, paraboliques et trapézoïdaux. Reprenant l’équation 15.2 de Newton et l’équation 15.1 de la continuité, il en résulte pour un canal quelconque : g A 1 k 1 y 1 + Q Q Q = g A 2 k 2 y 2 + Q A1 A2 [15.10] k1 ’ et k2 ’ = proportions des profondeurs y1 et y2 auxquelles se situent les centres de gravité des sections A1 et A2 .(figure 15.5) Figure 15.5 Caractéristiques de la section d’un canal. Cette équation nous amène à la solution générale pour les hauteurs conjuguées du ressaut : k 2 A2 y2 A − k 1 = F 1 2 1 − 2 y A1 1 A1 [15.11] F1 ’ = nombre de Froude modifié Le nombre de Froude F1’ modifié est évalué pour la profondeur d’eau y1 et non pour la profondeur hydraulique moyenne A1 /l1 : F 1 2 = Q2 A 21 g y 1 [15.12] L’équation 15.11 peut être exprimée en fonction de y1 , y2 et F1 ’ seulement pour les canaux rectangulaires, triangulaires et paraboliques. Dans le cas déjà connu du canal rectangulaire : RESSAUT DANS UN CANAL NON RECTANGULAIRE 205 k 1 = k 2 = 12 A1 y = y1 A2 2 et l’équation 15.11 peut alors se ramener à : y 22 y 21 y − 1 = 2 F 1 2 1 − y 1 2 [15.13] Il est à noter que pour le canal rectangulaire F1 ’= F1 . Cette dernière équation est équivalente à l’équation 15.3. Pour le canal triangulaire, k 1 = k 2 = 13 y2 A1 = 12 A2 y 2 et l’équation 15.11, s’écrit : y 32 − 1 = 3 F 1 2 3 y1 1− y 21 [15.14] y 22 Dans le cas du canal parabolique, k 1 = k 2 = 25 A1 y = y1 A2 2 32 et l’équation 15.11 s’écrit : yy21 52 y − 1 = 2, 5 F 1 21 − y 1 2 32 [15.15] Il est donc possible de déterminer le rapport des hauteurs conjuguées y2 /y1 de ces types de canaux en trouvant les racines des équations 15.13, 15.14 et 15.15. Dans le cas du canal rectangulaire, la solution à partir de l’équation 15.3 est explicite. Cependant, il est possible de déterminer ce rapport en traçant graphiquement ces équations en fonction de F1 ’ (figure 15.6). Le cas du canal trapézoïdal est plus complexe car le centre de gravité de la section d’écoulement, pour deux débits différents dans un canal donné, n’est pas toujours situé à la même fraction de la profondeur d’eau (k1 ’ et k2 ’ ne sont pas égaux pour le même canal). Se référant au diagramme de la figure 15.5, si b1 ’ et b2 ’ sont les largeurs équivalentes (ou largeurs moyennes), nous avons : RESSAUT HYDRAULIQUE 206 y2 y1 F 1 Figure 15.6 Rapport entre les hauteurs conjuguées du ressaut pour différents types de canaux (adapté de Silvester, 1964). A1 b y = 1 1 A2 b2 y2 [15.16] et l’équation 15.11 devient : k 2 y 22 b 2 = F 2 1 − b1 y1 − k 1 1 y 21 b 1 b 2 y 2 [15.17] Il est possible de montrer que : k 1 = 13 + 16 bb 1 k 2 = 13 + 16 bb 2 Massey (1961) a défini un facteur de forme k pour le canal trapézoïdal : k = z by 1 [15.18] RESSAUT DANS UN CANAL NON RECTANGULAIRE 207 b = largeur au fond du canal (m) z = fruit de la pente des talus Selon cette définition, le facteur de forme k tend vers l’infini (k → ∞) pour un canal rectangulaire et il est égal à zéro (k = 0) pour un canal triangulaire. Le nombre de Froude F1 ’ peut alors être évalué en terme de k : F 1 = Q 1 z g y 51 k + 1 [15.19] Étant donné que k1 ’, k2 ’, b1 ’ et b2 ’ sont fonction de y1 et y2 , l’évaluation numérique des racines de l’équation 15.17 est plus difficile à réaliser. Une résolution graphique à partir de la figure 15.6 s’avère donc satisfaisante. Sur cette figure, le rapport y2 /y1 est tracé en fonction de F1 ’ et ce pour différentes valeurs de k. L’efficacité de ces ressauts est évaluée analytiquement à partir de l’équation 15.7 qui devient sous sa forme généralisée : η = ∆E = E1 2− 2 y2 2 y1 + F 1 1 − A 21 A 22 [15.20] 2 + F 2 1 Dans l’équation 15.20, le rapport des hauteurs conjuguées y2 /y1 est déterminé par les équations 15.13, 15.14, 15.15 et 15.17 pour les différents types de canaux et le terme entre parenthèses par : 1− A 21 y 21 A2 y 22 =1− 2 =1− =1− =1− y 41 y 42 y 31 y 32 k + 1 y21 = 1 − k + y2 y2 b 2 y2 y1 2 2 2 b 2 y2 1 1 (rectangulaire) [15.21] (triangulaire) [15.22] (parabolique) [15.23] (trapézoïdal) [15.24] L’équation 15.20 est présentée graphiquementé à la figure 15.7 pour les divers types de canaux en fonction de F1’. Cependant, la figure 15.3 peut toujours être utilisée pour le canal rectangulaire. Contrairement aux rapports y2 /y1 , la longueur du ressaut ne peut être déterminée qu’à partir de relations semi--empiriques. La longueur du ressaut pour le canal trapézoïdal est difficile à évaluer à cause de courants qui remontent vers l’amont de chaque côté de la portion centrale du canal. RESSAUT HYDRAULIQUE 208 η ou ∆E E1 F1 Figure 15.7 Courbes théoriques de la perte d’énergie dans un ressaut selon différentes formes de canaux (adapté de Silvester, 1964). Pour des facteurs de forme de k de 4, 8 et 16, Sylvester (1964) a obtenu les équations suivantes pour la longueur du ressaut libre : L = 35 F − 1 0,836 1 y1 ; k=4 [15.25] L = 23 F − 1 0,885 1 y1 ; k=8 [15.26] 0,905 L y 1 = 17, 6 F 1 − 1 ; k = 16 [15.27] Suite aux résultats théoriques et semi--empiriques obtenus, plusieurs points importants sont à retenir : 1. Les résultats ont été obtenus à partir d’un ressaut hydraulique libre, donc en négligeant le frottement sur les parois et en l’absence de structures connexes dans le canal lui--même (blocs, déversoir, élévation ou abaissement du fond, etc.). 2. Pour une valeur de F1 ’ donnée : a) Le rapport y2 /y1 diminue en passant du canal rectangulaire au canal trapézoïdal et au canal triangulaire (figure 15.6). b) L’efficacité de la dissipation d’énergie augmente en passant du canal rectangulaire au canal triangulaire. LOCALISATION DU RESSAUT 209 c) La longueur du ressaut augmente du canal triangulaire, au canal rectangulaire et au canal trapézoïdal. 3. Dans un canal trapézoïdal, le facteur de forme (k = b/zy) indique le degré de similitude avec le canal rectangulaire. Quand b >> zy, k est grand et le canal trapézoïdal se comporte comme un canal rectangulaire. Silvester (1964) considère le canal comme rectangulaire lorsque k ≥ 25. 4. La longueur de ressaut obtenue dans un canal trapézoïdal peut être de 2 à 3,5 fois supérieure à celle obtenue dans un canal rectangulaire pour la même valeur de F1 ’. La présence des contre--courants de chaque côté du canal trapézoïdal en aval du ressaut explique ce phénomène. En effet, ceux--ci diminuent la force de pression disponible pour supporter le ressaut. 5. En conséquence du point 4, le ressaut libre dans un canal trapézoïdal sera très peu utilisé car il nécessite des protections sur de grandes longueurs. L’adjonction de structures connexes pour favoriser le ressaut sera préférée et le dimensionnement sera basé sur la longueur du ressaut dans un canal rectangulaire pour la même valeur de F1 ’. 6. La présence de surface rugueuse rend le ressaut plus efficace et également plus court (Leutheusser et Schiller; 1975 et Hughes et Flack; 1984). 15.4 LOCALISATION DU RESSAUT La connaissance de l’endroit exact où se produit le ressaut après l’ouvrage de chute (inclinée ou verticale) est très importante. Si le ressaut est libre, cette position est déterminée par la hauteur de l’écoulement y3 du cours d’eau en aval du ressaut. En effet, celui--ci ne peut avoir lieu que si la condition donnée par l’équation 15.3 ou par l’équation générale 15.11 est respectée. Trois cas peuvent alors se présenter (figure 15.8) : 1. Si la hauteur de l’écoulement aval y3 et la hauteur conjuguée du ressaut y2 sont égales, alors le ressaut s’effectue immédiatement après la chute et sa longueur L est calculée d’après les résultats des sections 15.2 et 15.3. Ce cas est idéal mais ne peut se présenter (sauf coïncidence) pour tous les débits rencontrés dans un cours d’eau. 2. Si la hauteur y3 en aval est inférieure à la hauteur conjuguée du ressaut y2 , le ressaut se déplace vers l’aval. Ainsi immédiatement après la chute, l’écoulement sera torrentiel et graduellement varié. La hauteur d’eau y1 avant le ressaut augmentera jusqu’à ce qu’elle respecte les équations 15.3 ou 15.11. La hauteur d’eau sera alors y1 ’ > y1 , la vitesse V1 ’ < V1 et le nombre de Froude sera également plus petit. Connaissant la hauteur d’eau de l’écoulement aval y3 (égale à y2 correspondant à la réalisation du ressaut), on calcule la hauteur y1 ’ à laquelle devrait s’initier le ressaut. À l’aide des courbes de remous et de la valeur de y1 immédiatement après la chute, la position à laquelle le ressaut s’effectue peut être calculée. Dans ce cas , la longueur totale nécessaire à la réalisation du ressaut est supérieure à celle obtenue dans le premier cas (y3 = y2 ). 3. Si la hauteur d’eau en aval y3 est supérieure à la hauteur conjuguée du ressaut y2 , le ressaut est submergé (partiellement ou totalement). Dans ce cas également, la longueur nécessaire à la réalisation du ressaut est supérieure à celle obtenue dans le premier cas (y3 = y2 ). Cependant, ce troisième cas est plus sécuritaire que le deuxième cas car le ressaut se forme en partie dans la région protégée du canal et n’est pas repoussée vers l’aval du canal. RESSAUT HYDRAULIQUE 210 Cas 1 : y3 = y2 Cas 2 : y3 < y2 Cas 3 : y3 > y2 Figure 15.8 Effet de la hauteur d’eau du canal en aval sur la position du ressaut (adapté de Chow, 1959). 15.5 DÉBIT VARIABLE Dans la section précédente, nous avons considéré une situation unique où le débit est fixe. Cependant, dans la majorité des cas qui nous intéressent, ce débit sera variable dans le temps. Il est utile de tracer les courbes de la hauteur y3 dans le canal aval et de la hauteur conjuguée du ressaut y2 en fonction du débit. Nous distinguons cinq cas (figure 15.9). Le cas 1 est le cas où la hauteur conjuguée est égale à la hauteur d’eau en aval (y2 = y3 ) quelque soit le débit. Il s’en suit que le ressaut se formera toujours immédiatement après la chute et qu’il ne sera jamais submergé. Cette condition n’est que très rarement rencontrée dans les cours d’eau naturels. Le cas 2 est celui pour lequel la hauteur conjuguée du ressaut est supérieure à la hauteur d’eau aval (y2 > y3 ) pour tous les débits. Le ressaut se déplace donc vers l’aval du cours d’eau. Afin de mainte- RESSAUT SUBMERGÉ 211 Q Figure 15.9 Courbe de y2 et y3 en fonction du débit Q (adapté de Chow, 1959).. nir celui--ci dans la zone de protection, la création d’un bassin de dissipation à l’aide d’un déversoir (bassin en devers) ou de l’élévation du lit (bassin en dépression) sera nécessaire. Le cas 3 présente une hauteur conjuguée toujours inférieure à la hauteur d’eau en aval (y2 < y3 ), donc des conditions de submersion à tous les débits. Bien que le ressaut sera initié plus en amont que dans le cas 1, sa longueur pour un même débit sera plus importante et son efficacité moindre. Afin d’améliorer la situation, l’utilisation du ressaut sur un plan incliné (section 15.7) ou l’abaissement du lit du cours d’eau permettra d’assurer un ressaut court et efficace. Les cas 4 et 5 présentent des situations mixtes. Dans le cas 4, un bassin de dissipation sera efficace à faible débit et un ressaut sur plan incliné assurera l’efficacité à haut débit. Dans le cas 5, malgré la submersion à faible débit, un bassin de dissipation pourrait suffire à assurer une efficacité convenable pour tous les débits. 15.6 RESSAUT SUBMERGÉ Un ressaut devient submergé lorsque la hauteur d’eau du canal en aval y3 est supérieure à la hauteur conjuguée de ressaut y2 . Afin de quantifier cette submersion, le facteur de submersion S suivant peut être défini : S= y3 − y2 y2 [15.28] RESSAUT HYDRAULIQUE 212 On notera que pour un ressaut libre, y3 égale y2 et S égal zéro. La submersion se produit fréquemment lorsque le rapport h/yc est petit (< 1), donc lorsque la chute est faible ou lorsque le débit est élevé. Malgré que le traitement analytique ne soit pas présenté, il importe de retenir à titre indicatif certaines conclusions auxquelles sont arrivés Rao et Rajaratnam (1963) relativement à la longueur et à l’efficacité du ressaut submergé. Ces auteurs ont d’abord montré que la longueur du ressaut submergé varie linéairement avec le degré de submersion. Pour un canal rectangulaire cette relation est donnée par : Ls y 2 = 6, 1 + 4, 9 S [15.29] Ls = longueur du ressaut submergé. On constate que pour un ressaut libre non submergé, Ls /y2 égale 6,1, soit la valeur observée sur la figure 15.4 pour des valeurs de F1 supérieures à 4,5. Un autre résultat obtenu par ces auteurs est que pour une submersion donnée (S fixe), le rapport Ls /y2 augmente avec une diminution de F1 . Ainsi, pour des petits cours d’eau où F1 est faible, l’augmentation relative de la longueur du ressaut submergé sera plus importante que pour un cours d’eau où l’on peut obtenir des valeurs F1 plus élevées. Finalement, bien que l’efficacité de dissipation du ressaut soit supérieure pour une légère submersion (S≅ 0,1 pour F1 > 5,0), les auteurs recommandent l’utilisation du ressaut libre à cause de sa plus faible longueur ou une légère submersion d’au plus 10% (S = 0,1). Cette submersion sera également une garantie supplémentaire pour que le ressaut soit confiné dans la structure. 15.7 RESSAUT SUR PLAN INCLINÉ L’utilisation d’un ressaut sur plan incliné est recommandé lorsque la hauteur d’eau en aval y3 est supérieure à la hauteur conjuguée y2 du ressaut. Le ressaut sur plan incliné a été décrit par Chow (1959) et Peterka (1964) mais ne sera pas présenté ici car il est peu utilisé. Seuls les points suivants concernant le ressaut sur plan incliné sont à retenir (Peterka, 1964): 1. Si les dimensions du bassin de dissipation obtenues sont respectées, la dissipation d’énergie sur plan incliné est aussi bonne que sur plan horizontal. 2. La hauteur conjuguée du ressaut sur plan incliné est supérieure à celle sur plan horizontal. 3. La longueur du ressaut sur plan incliné est supérieure à celle sur plan horizontal. 4. La longueur du ressaut effectué sur plan incliné et sur plan horizontal est la même que celle sur plan incliné seulement. BIBLIOGRAPHIE 213 BIBLIOGRAPHIE Argyropoulos, P.A. 1957. Theoritical and Experimental Analysis of the Hydraulic Jump in a Parabolic Flume. International Association for Hydraulic Research, 7th Conference, Paper D12, Vol. II. Argyropoulos, P.A. 1961. The Hydraulic Jump and Effect of Turbulence on Hydraulic Structures : Contribution to the Research of the Phenomenon. Proceedings of the 9th Conference of the International Association for Hydraulc Research, p. 173. Bakhmeteff, B.A. et N.V. Feodoroff. 1943. Energy loss at the base of a free overfall : discussion. ASCE Transactions, 108 (2204) : 1364--1373. Blaisdell, F.W. 1954. Equation of a free--falling nappe. 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