Comment on mesure la masse des planètes

Comment mesure-t-on la masse des planètes ?
Evidemment, les planètes ne sont pas mises sur une balance. Ce sont les
mathématiques et les lois physiques qui nous permettent de connaître leur
masse. Encore faut-il trouver des points de repère.
C'est la troisième loi de Kepler qui permet d'effectuer ce
calcul. Kepler avait trouvé que la force s'exerçant entre
deux planètes dépend de leur masse et de leur distance, la
constante de proportionnalité étant la constante de
gravitation universelle.
Que dit cette loi ? Elle nous apprend que le cube du demi
grand axe "a" d'une orbite d'une planète est proportionnel au
carré de la période de révolution "T" pour toutes les planètes
T²
est une constante.
du système solaire. Autrement dit,
a³
Trouver la masse du soleil
Grâce à ses
satellites, on peut
calculer précisément
la masse d'une
planète comme
Jupiter. Photo ©
NASA
Newton a ensuite étendu cette formule grâce à sa loi de
T²
4 π²
gravitation universelle, soit 3 =
, où G est la
a
G(M1 + M2)
constante de gravitation universelle
G ≈ 6,67×10-11 m3×kg-1×s-2, M1 la masse du soleil, et M2 la masse de la planète.
Comme la masse des planètes est négligeable par rapport à celle du soleil, on
peut considérer que M1 ≈ M1 +M2 , et en déduire la masse du soleil. Voilà pour le
Soleil.
1) Exprimer alors la masse la masse M1 en fonction des autres grandeurs :
……………………………………………………………………………………………………………………………….
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1
2) Première application numérique : estimer la masse du soleil.
On rappelle que la distance moyenne Terre Soleil est de 149 000 000 km
et que la période de révolution de la Terre autour du soleil est environ 365
jours.
Attention : il faut exprimer les grandeurs dans les bonnes unités.
A savoir : les distances en mètres et les durées en secondes.
Calculer alors une valeur approchée de la masse du soleil :
(Penser à utiliser les nombres en écriture scientifique et à obtenir un
ordre de grandeur du résultat avant d'utiliser la calculatrice !)
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Et pour les planètes ?
Il suffit de trouver des satellites tournant autour de la planète et de considérer
ce système comme un "mini système solaire", la planète faisant office de Soleil
et le satellite étant considéré comme planète.
Pour mieux comprendre, nous allons prendre l'exemple de Jupiter. Ce dernier a
quatre satellites principaux : Io, Europe, Ganymède, et Callisto. On suppose que
leurs orbites sont à peu près circulaires. Europe tourne autour de Jupiter à une
distance a de 671 000 km en une période T de 3,55 jours.
On peut ainsi calculer la masse de Jupiter grâce à la formule précédente :
4×p²×a3
MJ =
.
GT²
3) Deuxième application numérique : estimer la masse de Jupiter.
Soit MJ ≈ ………………………………………………………………………………………………………………………………
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2
Avec la même méthode et le couple Terre – Lune, on peut estimer la masse de la
Terre.
MT ≈ 6×1024 kg
Donner un ordre de grandeur du rapport masse du Soleil sur masse de la Terre :
MS
≈ …………………………………………………………………………………………………………………………………………
MT
Estimer de même les rapports
MS
MJ
et
.
MJ
MT
MS
≈ …………………………………………………………………………………………………………………………………………
MJ
MJ
≈………………………………………………………………………………………………………………………………………….
MT
Et une planète isolée ?
Là où les choses se corsent, c'est quand la planète en question ne possède pas de
satellite (c'est par exemple le cas de Mercure et Vénus). Il reste alors trois
possibilités.
La première consiste à estimer la composition chimique de la planète, et d'en
déduire sa densité. En multipliant ce résultat par sa taille on obtient une masse
approximative. Cette méthode n'est pas vraiment fiable, car on ignore encore
beaucoup de choses sur la matière qui compose les planètes, en particulier le
cœur.
Deuxième possibilité : analyser les petites variations de trajectoires que les
planètes exercent entre elles, où la déviation qu'elles provoquent sur les orbites
des satellites qui passent à proximité. Ces variations sont en effet directement
liées à la masse des planètes. Mais là encore, ces mesures sont très délicates et
peuvent prendre beaucoup de temps.
Reste la solution la plus simple : envoyer un satellite artificiel et mesurer son
orbite pour utiliser notre première méthode.
3
CORRECTION
Trouver la masse du soleil
1) De la relation
T²
4 π²
avec M2 négligeable devant M2, on obtient :
3 =
a
G(M1 + M2)
T² 4 π²
≈
a3 GM1
En effectuant les produits en croix : T²×G×M1 = 4×p²×a3
4×p²×a3
D'où : M1 =
G×T²
2) Première application numérique : estimer la masse du soleil.
On a :
a ≈ 149 000 000 km = 1,49×108 km = 1,49×1011 m
T = 365 jours = 365 ×24 × 3600 s = 315360000 ≈ 3,15×107 s
D'où : M1 ≈
4×p²×(1,49×1011)3
(3,15×107)²×6,67×10-11
M1 ≈ 1,97×1030 kg
Rapport masse du Soleil sur masse de la Terre :
MS 1,97×1030
≈
≈ 328 000
6×1024
MT
3) Deuxième application numérique : estimer la masse de Jupiter.
On applique la relation MJ =
4×p²×a3
avec :
GT²
a ≈ 671 000 km = 6,71×105 km ≈ 6,71×108 m
4
CORRECTION
T ≈ 3,55 jours ≈ 3,55 × 24 ×3600 ≈ 306 720 s ≈ 3,07×105 s
On obtient :
4×p²×(6,71×108)3
MJ ≈.
(3,07×105)²×6,67×10-11
MJ ≈ 1,9 × 1027 kg
Estimer de même les rapports
MJ
MS
et
.
MJ
MT
MS 1,97×1030
≈
≈ 1000
MJ 1,9×1027
MJ 1,9×1027
≈
≈ 300
MT
6×1024
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