I Tribu et événements

ESPACES PROBABILISES INFINIS
I
Tribu et événements
1
Exemples d’univers infini
I Tribu et événements
Exemple 1 — On lance une pièce une infinité de fois : Ω =
Exemple 2 — On observe la distance réalisée par un sauteur en longueur : Ω =
2
Tribu d’événements
Dans ce qui suit, Ω est un univers (qui peut être infini).
Définition
Soit A un sous-ensemble de P (Ω).
• On dit que A est une tribu (ou σ -algèbre) si :
i)
∈A
ii) Si A ∈ A, alors
(A est « stable par passage au complémentaire »)
iii) Si (An )n∈N est une suite d’éléments de A, alors
(A est « stable par réunion dénombrable »)
• Le couple (Ω, A) est appelé
• Les éléments de A sont appelés
Exemple 3 — Le choix d’une tribu dépend de l’expérience à modéliser. Pour un lancer de dé, sur ~1 , 6 :
1. P (Ω) est une tribu
2. {∅, {6} , {1, 2, 3, 4, 5} , Ω} est une autre tribu
Proposition : Opérations sur les événements
Si A est une tribu, alors :
1.
∈A
2. Si A, B ∈ A, alors
3. Si A1 , A2 , . . . , An ∈ A, alors
4. Si (An )n∈N est une suite d’éléments de A, alors
3
Système complet d’événements
Définition
Soit I une partie de N (en particulier on peut avoir I = N).
Une famille d’événements (Ai )i∈I est un système complet d’événements si :
i)
ii)
Exemple 4 — On lance une pièce une infinité de fois.
Pour k ∈ N∗ , on considère l’événement, Ek : « le premier pile apparait au k e lancer ».
On note aussi E0 :
La famille (En )n∈N ainsi définie est un système complet d’événements.
Théorème – définition
Etant donné un s.c.e. (Ai )i∈I .
Il existe une unique plus petite tribu (au sens de l’inclusion) contenant tous les Ai .
Elle est appelée