Series de Fourier - moodle@insa

1
1. Séries de Fourier
1. Introduction
En physique, on rencontre souvent des problèmes faisant intervenir des vibrations ou des oscillations. La vibration d’un diapason est un exemple de mouvement harmonique simple. La note musicale produite est due au passage d’une
onde sonore à travers l’air, depuis le diapason jusqu’à l’oreille. Quand le diapason
vibre, il met les molécules d’air en mouvement. Si l’on mesure la pression en excès
en fonction de la distance x au diapason et du temps t, on trouve qu’elle est de la
forme :
2π(x − vt)
p = A cos
.
(1.1)
λ
L’onde sonore produite par le diapason est une onde sinusoı̈dale pure de fréquence
angulaire ou pulsation ω = 2πv/λ et de vecteur d’onde k = 2π/λ. On a :
p = A cos(kx − ωt).
(1.2)
Si l’on émet simultanément plusieurs sons de fréquence définie, la pression dans
l’onde sonore résultante n’est pas une fonction sinusoı̈dale, mais une somme de
plusieurs fonctions sinusoı̈dales. De même, si l’on joue une note de piano, on
n’obtient pas une onde sonore de fréquence bien définie, mais un son fondamental
accompagné d’autres sons (les harmoniques) de fréquences égales à 2 fois, 3 fois, 4
fois . . ., celle du son fondamental. Si sin ωt et cos ωt correspondent à la fréquence
fondamentale, sin nωt et cos nωt (n entier) correspondent aux harmoniques. La
combinaison du fondamental et des harmoniques est une fonction périodique compliquée dont la période est celle du fondamental.
On peut se poser la question suivante : étant donnée une fonction périodique,
comment l’écrire sous la forme d’une somme de termes correspondant aux différents
harmoniques? En général, il est nécessaire pour cela d’écrire tous les harmoniques,
c’est-à-dire une série infinie de termes. Cette série est appelée série de Fourier.
Développer une fonction en série de Fourier revient à la décomposer en ses différents
harmoniques.
2
Chapitre 1 : Séries de Fourier
2. Définition
On appelle série trigonométrique une série de la forme :
∞
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx).
2
n=1
(2.1)
Les constantes a0 , an et bn (n = 1, 2 . . . ) sont les coefficients de la série trigonométrique. Si la série (2.1) converge, sa somme est une fonction périodique f (x)
de période 2π :
f (x) = f (x + 2π).
(2.2)
Comme indiqué dans l’introduction, on se pose le problème suivant : étant
une fonction périodique f (x) de période 2π, on se demande pour quelles conditions
imposées à f (x) il existe une série trigonométrique convergeant vers f (x).
2.1. Détermination des coefficients de la série au moyen des formules
de Fourier
On suppose que la fonction f (x), périodique et de période 2π, peut être
représentée par une série trigonométrique convergeant vers f (x) dans l’intervalle
(−π, π), c’est-à-dire que l’on peut écrire :
∞
a0 X
f (x) =
+
(an cos nx + bn sin nx).
2
n=1
(2.3)
La série (2.1) (qui figure au second membre de l’équation (2.3)) est appelée série
de Fourier de f (x). Les coefficients an et bn sont les coefficients de Fourier de f (x).
• Calcul de a0
On suppose que la série (2.1) (second membre de l’équation (2.3)) peut être
intégrée terme à terme. C’est par exemple le cas si la série numérique formée avec
les coefficients de la série trigonométrique converge absolument, c’est-à-dire si la
série numérique positive suivante converge :
a 0
+ |a1 | + |b1 | + · · · + |an | + |bn | + · · · .
2
(2.4)
La série (2.1) est alors majorable et peut être intégrée terme à terme. On en déduit
l’égalité
Z
π
f (x) dx = πa0 ,
−π
(2.5)
Définition
3
qui fournit une expression de a0 :
1
a0 =
π
Z
π
f (x) dx.
(2.6)
−π
• Calcul des autres coefficients de Fourier
Pour obtenir les autres coefficients de la série, on calcule d’abord les intégrales
auxiliaires suivantes, dans lesquelles n et k sont des entiers strictement positifs :
Z π
0, n 6= k
cos nx cos kx dx =
π, n = k,
−π
Z π
cos nx sin kx dx = 0,
(2.7)
−π
Z π
0, n 6= k
sin nx sin kx dx =
π, n = k.
−π
Pour déterminer ak pour k > 0 donné, on multiplie les deux membres de l’égalité
(2.3) par cos kx :
∞
X
a0
f (x) cos kx =
cos kx +
(an cos nx cos kx + bn sin nx cos kx).
2
n=1
(2.8)
La série du second membre est majorable et peut donc être intégrée terme à terme.
On obtient ainsi l’égalité
Z π
f (x) cos kx dx = πak ,
(2.9)
−π
qui fournit une expression de ak :
1
ak =
π
π
Z
f (x) cos kx dx.
(2.10)
−π
De même, en multipliant les deux membres de l’égalité (2.3) par sin kx et en
intégrant sur x, on obtient l’égalité
Z π
f (x) sin kx dx = πbk ,
(2.11)
−π
d’où l’on déduit une expression de bk :
1
bk =
π
Z
π
f (x) sin kx dx.
−π
(2.12)
4
Chapitre 1 : Séries de Fourier
2.2. Conditions suffisantes pour qu’une fonction soit développable
en série de Fourier
Quelles sont les propriétés que doit posséder la fonction f (x) pour que sa
série de Fourier converge et que sa somme soit égale aux valeurs de la fonction aux
points considérés?
Nous allons énoncer un théorème donnant des conditions suffisantes pour
que la fonction f (x) soit représentable par une série de Fourier. Les fonctions
considérées sont monotones par morceaux et bornées sur l’intervalle considéré,
donc ne possèdent que des points de discontinuité de première espèce, c’est-àdire avec une limite à droite et une limite à gauche. On a le théorème : Si la
fonction périodique f (x) de période 2π est monotone par morceaux et bornée sur
le segment (−π, π), sa série de Fourier converge en tous les points. La somme de la
série obtenue s(x) est égale à la valeur de la fonction f (x) aux points de continuité.
Aux points de discontinuité de f (x), la somme de la série est égale à la moyenne
arithmétique des limites de la fonction à gauche et à droite, c’est-à-dire que, si c
est un point de discontinuité de f (x), on a :
s(x)|x=c =
f (c − 0) + f (c + 0)
.
2
(2.13)
Ce théorème montre que la classe des fonctions représentables par des séries de
Fourier est assez large.
3. Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier
Donnons des exemples de développements de fonctions en séries de Fourier.
3.1. Exemple 1
On se donne une fonction périodique f (x) de période 2π définie comme suit :
f (x) = x,
−π < x ≤ π.
Cette fonction est monotone par morceaux et bornée (Figure 1).
(3.1)
Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier
5
f(x)
-3π
-2π
-π
0
π
2π
3π
x
Figure 1
Elle admet donc un développement en série de Fourier. On trouve en appliquant les formules (2.6), (2.10) et (2.12) :
1
a0 =
π
Z
π
x dx = 0,
(3.2)
−π
Z
1 π
ak =
x cos kx dx = 0,
π −π
Z
1 π
2
bk =
x sin kx dx = (−1)k+1 .
π −π
k
(3.3)
(3.4)
On obtient ainsi le développement de f (x) en série de Fourier :
sin x sin 2x
k+1 sin kx
−
+ · · · + (−1)
+ ··· .
f (x) = 2
1
2
k
(3.5)
L’égalité a lieu partout sauf aux points de discontinuité. En de tels points, la
somme de la série est égale à la moyenne arithmétique des limites de la fonction à
gauche et à droite, c’est-à-dire à zéro.
3.2. Exemple 2
On se donne une fonction périodique de période 2π définie comme suit
f (x) = −x,
f (x) = x,
−π ≤ x ≤ 0,
0 < x ≤ π,
(3.6)
6
Chapitre 1 : Séries de Fourier
(c’est-à-dire f (x) = |x| dans l’intervalle (−π, π)). Cette fonction est monotone par
morceaux et bornée (Figure 2).
f(x)
-3!
-2!
-!
0
!
2!
3!
x
Figure 2
Elle admet donc un développement en série de Fourier. Déterminons ses coefficients de Fourier. On obtient
Z 0
Z π
1
a0 =
(−x) dx +
x dx = π,
(3.7)
π −π
0
1
ak =
π
Z
0
Z
(−x) cos kx dx +
−π
0
soit
ak =
et :
1
bk =
π
Z
π
2
(cos kπ − 1),
x cos kx dx =
πk 2
0,
k pair,
2
−4/πk , k impair,
0
Z
(−x) sin kx dx +
−π
π
x sin kx dx = 0.
(3.8)
(3.9)
(3.10)
0
On a donc le développement en série de Fourier :
4 cos x cos 3x
cos(2p + 1)x
π
+
+ ··· +
+ ··· .
f (x) = −
2
π 12
32
(2p + 1)2
(3.11)
La série (3.11) converge partout et sa somme est égale à la fonction considérée.
Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier
7
3.3. Exemple 3
On considère la fonction périodique de période 2π définie comme suit :
f (x) = −1,
f (x) = 1,
−π < x < 0,
0 ≤ x ≤ π.
(3.12)
Cette fonction est monotone par morceaux et bornée (Figure 3). Calculons ses
coefficients de Fourier. On obtient :
Z 0
Z π
1
(−1) dx +
dx = 0,
(3.13)
a0 =
π −π
0
1
ak =
π
et
1
bk =
π
Z
Z
0
π
Z
(−1) cos kx dx +
−π
π
Z
(−1) sin kx dx +
−π
0
bk =
(3.14)
0
0
soit :
cos kx dx = 0,
2
sin kx dx =
(1 − cos kπ),
πk
0,
4/πk,
(3.15)
k pair,
k impair.
(3.16)
f(x)
1
-3!
-2!
0
!
2!
3!
x
-1
Figure 3
La série de Fourier de la fonction considérée s’écrit donc :
4 sin x sin 3x
sin(2p + 1)x
f (x) =
+
+ ··· +
+ ··· .
π
1
3
2p + 1
(3.17)
8
Chapitre 1 : Séries de Fourier
L’égalité (3.17) est exacte partout sauf aux points de discontinuité. En ces points,
la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique des limites de la fonction
à gauche et à droite, c’est-à-dire à zéro.
3.4. Remarque sur le calcul des coefficients de Fourier
L’intégrale d’une fonction périodique f (x) sur un intervalle arbitraire de longueur égale à la période a toujours la même valeur. On peut donc par exemple,
dans le calcul des coefficients de Fourier d’une fonction périodique de période 2π,
remplacer l’intervalle d’intégration (−π, π) par l’intervalle (λ, λ + 2π), où λ est un
réel quelconque. Cette propriété peut, dans certains cas, simplifier le calcul.
4. Séries de Fourier des fonctions paires ou impaires
On considère une fonction f (x) définie sur l’intervalle (−π, π). Cette fonction
est paire si :
f (x) = f (−x).
(4.1)
Elle est impaire si :
f (x) = −f (−x).
(4.2)
Toute fonction peut être écrite comme la somme d’une fonction paire et d’une
fonction impaire.
Les intégrales sur des intervalles symétriques de fonctions de parité définie
peuvent être simplifiées. On a en effet, si f est paire,
Z
π
Z
f (x) dx = 2
−π
π
f (x) dx,
(4.3)
0
et, si f est impaire :
Z
π
f (x) dx = 0.
(4.4)
−π
4.1. Fonction paire : série de Fourier cosinus
Si f (x) est paire, f (x) sin kx est impaire et f (x) cos kx est paire. Par suite, on
a:
Z
2 π
a0 =
f (x) dx,
(4.5)
π 0
Z
2 π
f (x) cos kx dx,
(4.6)
ak =
π 0
Z
1 π
bk =
f (x) sin kx dx = 0.
(4.7)
π −π
Séries de Fourier des fonctions de période quelconque
9
Le développement en série de Fourier d’une fonction paire ne contient que des
cosinus (c’est le cas de la fonction de l’exemple 2). On dit alors que l’on a une série
de Fourier cosinus.
4.2. Fonction impaire : série de Fourier sinus
Si f (x) est impaire, f (x) sin kx est paire et f (x) cos kx est impaire. Par suite,
on a :
Z
1 π
a0 =
f (x) dx = 0,
(4.8)
π −π
Z
1 π
ak =
f (x) cos kx dx = 0,
(4.9)
π −π
Z
Z
2 π
1 π
f (x) sin kx dx =
f (x) sin kx dx,
(4.10)
bk =
π −π
π 0
Le développement en série de Fourier d’une fonction impaire ne contient que des
sinus (c’est le cas des fonctions des exemples 1 et 3). C’est une série de Fourier
sinus.
5. Séries de Fourier des fonctions de période quelconque
Soit f (x) une fonction périodique de période 2` (éventuellement différente de
2π). On cherche à la développer en série de Fourier.
Pour cela, on effectue le change`
ment de variable x = (`/π)u. La fonction f
u est une fonction périodique de
π
u de période 2π que l’on peut développer en série de Fourier :
∞
` a
X
0
f
u =
+
(an cos nu + bn sin nu).
π
2
n=1
Les coefficients de la série sont donnés par les formules :
Z
Z
1 π
`
1 `
a0 =
f
u du =
f (x) dx,
π −π
π
` −`
Z
Z
1 π
`
1 `
nπx
an =
f
u cos nu du =
f (x) cos
dx,
π −π
π
` −`
`
Z
Z
`
1 `
nπx
1 π
f
u sin nu du =
f (x) sin
dx.
bn =
π −π
π
` −`
`
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
Les formules (5.2)–(5.4) permettent d’obtenir les coefficients de Fourier d’une fonction périodique de période 2`.
Les remarques sur la possibilité de calculer les coefficients de Fourier en
intégrant sur un segment arbitraire de longueur égale à la période (paragraphe
3.4), et de simplifier le calcul des coefficients lorsque la fonction est paire ou impaire (paragraphe 5), restent valables pour une fonction de période quelconque.
10
Chapitre 1 : Séries de Fourier
6. Développement en série de Fourier d’une fonction définie sur
un intervalle fini
Soit une fonction monotone par morceaux f (x), donnée sur le segment (a, b).
Cette fonction peut être représentée aux points de continuité par une série de
Fourier. Pour le montrer, il suffit de considérer une fonction périodique monotone par morceaux f1 (x) de période supérieure ou égale à |b − a| et coı̈ncidant
avec la fonction f (x) sur le segment (a, b). La fonction f1 (x) est un prolongement
périodique de f (x). Cette fonction, étant périodique, peut être développée en série
de Fourier. La somme de la série coı̈ncide partout sur le segment (a, b) (sauf aux
points de discontinuité) avec la fonction donnée f (x). La fonction f (x) a ainsi été
développée en série de Fourier sur le segment (a, b).
Le prolongement périodique d’une fonction n’est pas unique. En particulier,
une fonction définie sur l’intervalle (0, `) peut être prolongée de plusieurs manières
sur le segment (−`, 0). On peut par exemple la prolonger de sorte que f (x) =
f (−x) (prolongement pair). La série de Fourier correspondante est une série de
Fourier cosinus. On peut aussi prolonger la fonction de sorte que f (x) = −f (−x)
(prolongement impair). La série de Fourier correspondante est une série de Fourier
sinus.
En reprenant l’exemple 1 et l’exemple 2 du paragraphe 3, on voit que la
fonction f (x) = x sur le segment (0, π) peut être prolongée, soit de façon paire
avec le développement en série de Fourier cosinus
4 cos x cos 3x
π
+
+ ··· ,
(6.1)
x= −
2
π
1
32
soit de façon impaire avec le développement en série de Fourier sinus :
sin x sin 2x sin 3x
x=2
−
+
− ··· .
1
2
3
(6.2)
Les égalités (6.1) et (6.2) sont valables, l’une comme l’autre, sur le segment (0, π).
7. Séries de Fourier complexes
7.1. Définition
Soit la série de Fourier d’une fonction périodique f (x) de période 2π :
∞
f (x) =
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx).
2
n=1
(7.1)
En exprimant cos nx et sin nx au moyen des exponentielles imaginaires, c’est-à-dire
en écrivant
einx + e−inx
cos nx =
,
2
(7.2)
einx − e−inx
sin nx =
,
2i
Séries de Fourier complexes
11
et en reportant ces expressions dans la série de Fourier (7.1), on obtient une série
de termes de la forme einx et e−inx . C’est la forme complexe de la série de Fourier
de f (x) :
f (x) =
∞
X
cn einx .
(7.3)
n=−∞
On a les relations :
a0
an − ibn
c0 = ,
cn =
,
2
2
c−n =
an + ibn
a−n − ib−n
=
2
2
(n ≥ 1).
(7.4)
7.2. Formules de Fourier
Comme les coefficients an et bn , les coefficients cn s’expriment par des intégrales. En remplaçant dans les formules (7.4) les coefficients a0 , an et bn par leurs
expressions (2.6), (2.10) et (2.12), on obtient :
1
cn =
2π
Z
π
f (x)e−inx dx,
n = 0, ±1, ±2 . . . .
(7.5)
−π
7.3. Cas d’une fonction de période quelconque
Si la fonction f (x) est périodique de période 2`, sa série de Fourier s’écrit :
∞ a0 X
nπx
nπx
f (x) =
+
an cos
+ bn sin
.
(7.6)
2
`
`
n=1
Dans ce cas, la forme complexe de la série est donnée par la formule
∞
X
nπx
f (x) =
cn exp i
,
`
n=−∞
avec :
1
cn =
2l
`
nπx
f (x) exp −i
dx,
`
−`
Z
(7.7)
n = 0, ±1, ±2 . . . .
(7.8)
7.4. Propriétés des coefficients cn
Si f est paire, alors cn = c−n . De façon analogue, si f est impaire, alors
cn = −c−n .
Si f est une fonction réelle, alors1 c∗n = c−n . Si f est imaginaire pure, alors
c∗n = −c−n .
1
Le symbole
∗
désigne l’opération de conjugaison complexe.
12
Chapitre 1 : Séries de Fourier
7.5. Un peu de physique
Considérons le cas où x représente une longueur. Les nombres kn = nπ/` sont
alors les nombres d’onde de la fonction périodique
∞
X
f (x) =
cn exp(ikn x).
(7.9)
n=−∞
L’ensemble des kn constitue le spectre des nombres d’onde de f (x). Si l’on porte
ces nombres sur un axe, on obtient un ensemble de points distincts. Le spectre
correspondant est dit discret.
Considérons le cas où x représente le temps. En changeant de notation de
manière à appeler la variable t, la série de Fourier complexe d’une fonction du
temps f (t) de période T = 2π/ω s’écrit
∞
X
f (t) =
cn exp(iωn t),
(7.10)
n=−∞
où les nombres ωn = nω sont les fréquences angulaires des différents harmoniques.
L’ensemble des ωn constitue le spectre de fréquences de f (t). La fonction considérée
étant périodique, son spectre de fréquences est discret.
Dans un cas comme dans l’autre, les coefficients cn du développement en série
de Fourier portent le nom d’amplitudes complexes.
8. Approximation d’une fonction par les sommes partielles de
Fourier
En pratique, la somme partielle sN (x) obtenue lorsque l’on se limite au N ème
terme de la représentation d’une fonction f (x) en série de Fourier constitue une expression approchée de la fonction que l’on développe. On peut démontrer que c’est
la meilleure expression approchée, au sens où elle minimise la déviation quadra2
définie par2 :
tique δN
2
δN
1
=
2π
Z
π
2
f (x) − sN (x) dx.
(8.1)
−π
2
Nous supposons ici f (x) réelle. Si f (x) peut prendre des valeurs complexes, la définition
2 doit être remplacée par :
(8.1) de δN
2
=
δN
1
2π
Z
π
−π
|f (x) − sN (x)|2 dx.
Approximation d’une fonction par les sommes partielles de Fourier
13
8.1. Inégalité de Bessel
Considérons les sommes partielles
N
a0 X
sN (x) =
+
(ak cos kx + bk sin kx),
2
(8.2)
k=1
où a0 , a1 , . . . , aN , b1 , . . . , bN sont les coefficients de Fourier de f (x) d’indice inférieur ou égal à N . On a :
2
δN
1
=
2π
N
π
a2
1X 2
f (x) dx − 0 −
(ak + b2k ).
4
2
−π
Z
2
(8.3)
k=1
2
Comme δN
≥ 0, on a, quel que soit N , l’inégalité : ,
1
2π
N
π
a2
1X 2
f (x) dx ≥ 0 +
(ak + b2k ).
4
2
−π
Z
2
(8.4)
k=1
Il s’ensuit que la série du second membre converge lorsque N → ∞. On en déduit
l’inégalité de Bessel :
1
2π
∞
π
1X 2
a2
(ak + b2k ).
f (x) dx ≥ 0 +
4
2
−π
Z
2
(8.5)
k=1
8.2. Égalité de Parseval
On peut démontrer que, pour toute fonction f (x) bornée monotone par mor2
obtenue lorsque l’on remplace cette fonction
ceaux, la déviation quadratique δN
par la somme partielle de Fourier sN (x) tend vers zéro lorsque N tend vers l’infini.
Il résulte alors de la formule (8.3) l’égalité
1
2π
∞
π
a2
1X 2
f (x) dx = 0 +
(ak + b2k ),
4
2
−π
Z
2
(8.6)
k=1
dite égalité de Parseval. En utilisant la forme complexe des séries de Fourier, on
montre que l’égalité de Parseval s’écrit aussi :
1
2π
Z
π
−π
f 2 (x) dx =
∞
X
k=−∞
2
|ck | .
(8.7)
14
Chapitre 1 : Séries de Fourier
Pour une fonction à valeurs complexes, les formules (8.6) et (8.7) doivent être
remplacées par :
1
2π
Z
∞
2
π
2
|f (x)| dx =
−π
|a0 |
1X
2
2
+
(|ak | + |bk | )
4
2
(8.8)
k=1
et :
1
2π
Z
π
2
|f (x)| dx =
−π
∞
X
2
|ck | .
(8.9)
k=−∞
8.3. Encore un peu de physique
Donnons une idée du sens de l’égalité de Parseval en physique. Considérons
par exemple la pression en excès p(t) de l’air en fonction du temps au voisinage
d’une source sonore. L’intensité du son est proportionnelle à la moyenne du carré
de la pression en excès. Lorsque la pression a une variation purement sinusoı̈dale
A cos ωt, l’intensité est proportionnelle à A2 . Dans la série de Fourier de p(t), les
intensités des différents harmoniques sont proportionnelles aux carrés des coefficients de Fourier correspondants. L’égalité de Parseval correspond donc dans
cet exemple au fait que l’énergie sonore totale est égale à la somme des énergies
associées aux différents harmoniques.
9. Propriété des coefficients de Fourier
On considère les fonctions continues par morceaux sur le segment (−π, π),
c’est-à-dire les fonctions dont les points de discontinuité de première espèce sont
en nombre fini sur ce segment (ou qui y sont partout continues).
On peut démontrer le théorème : Si la fonction f (x) est continue par morceaux sur le segment (−π, π), ses coefficients de Fourier tendent vers zéro lorsque
n→∞:
lim an = 0,
lim bn = 0.
(9.1)
n→∞
n→∞
En effet, si la fonction f (x) est continue par
R π morceaux sur le segment (−π, π), il en
est de même de f 2 (x). Donc l’intégrale −π f 2 (x) dx existe et est un nombre fini.
P∞
Il résulte alors de l’inégalité de Bessel (8.6) que la série n=1 (a2n + b2n ) converge,
ce qui entraı̂ne que son terme général tend vers zéro : limn→∞ (a2n + b2n ) = 0. On
démontre ainsi pour une fonction bornée continue par morceaux les égalités (9.1),
qui s’écrivent, compte tenu des formules de Fourier (2.10) et (2.11) :
Z
π
lim
n→∞
f (x) cos nx dx = 0,
−π
Z π
lim
n→∞
(9.2)
f (x) sin nx dx = 0.
−π
Propriété des coefficients de Fourier
15
Les propriétés (9.1) et (9.2) s’étendent à la forme complexe de la série de
Fourier. On a
lim cn = 0,
(9.3)
n→∞
soit, compte tenu de la formule de Fourier (7.5) :
Z
π
lim
n→∞
−π
f (x)e−inx dx = 0.
(9.4)