Examen de Juin 2010 Partie pratique – Question 1 – Correctif

Université de Liège Département ArGEnCo – Secteur MS²F Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques Eléments de Mécanique des Fluides (2ème BAC Ingénieurs Civils & Ingénieurs Civils Architectes) Examen de Juin 2010 Partie pratique – Question 1 – Correctif Le roi Hiéron, tyran de Syracuse, voulant offrir une couronne d'or à Jupiter, soupçonna l'orfèvre de l'avoir faite en alliage d'argent et d’or. C'est en cherchant à résoudre ce problème, sans détériorer la couronne, qu'Archimède découvrit la poussée à laquelle on a donné son nom. Pour fêter votre réussite aux examens (pour les filles), ou récompenser votre copine de ses bons résultats (pour les garçons), vous recevez (achetez…) un bijou dont le vendeur certifie qu’il est en or pur… Histoire de savoir si vous vous êtes fait arnaquer, vous décidez de reproduire l’expérience d’Archimède à l’aide d’un récipient rempli d’eau et d’une balance. Connaissant les densités1 des deux matériaux (19,3 pour l’or et 10,5 pour l’argent), vous mesurez la masse apparente du bijou dans l’air (soit 48,2 gr) et dans l’eau (soit 45,3 gr).  Vous êtes‐vous fait arnaquer ?  A quelle densité correspond le métal de votre bijou ? Quelle est la composition de ce métal en masse et en volume, et, plus particulièrement, le carat de l’or du bijou (or pur : 24 carats, 18 carats =18/24 (% en masse) d’or pur…) ?  A l’aide d’un seul récipient d’1dm³, d’une bouteille d’1,5l d’eau, du bijou et d’une masse d’or pur équivalente à celle du bijou, comment serait‐il possible de démontrer la supercherie sans effectuer aucune mesure ? Que faut‐il résoudre ? Equations en jeu ? Equilibre d’un corps (le bijou) dans un fluide (air ou eau), en utilisant un système de mesure (type dynamomètre,…) => equilibre statique des forces, poussée d’Archimède. Comment procéder ? Schéma global de résolution… En considérant le corps successivement dans les deux milieux, et en y exprimant à chaque fois l’équilibre statique des forces, on obtient un système de deux équations à deux inconnues. 1
Par définition, la densité d’un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d’un corps de référence, soit l’eau pure à 4°C dans le cas de liquides ou solides. Résolution On a successivement les équilibres suivants :  Dans l’air : (poussée d’Archimède négligeable2…) P  Fdyn ,air
  orVor   agVag  g  Fdyn ,air
 Dans l’eau : Vtot Vor Vag

  orVor   ag Vtot  Vor   g  Fdyn , air
éq . air
P  PA  Fdyn ,eau  Fdyn ,air  PA  Fdyn ,eau
 eauVtot g  Fdyn ,air  Fdyn ,eau Et finalement le système final suivant :    orVor   ag Vtot  Vor   g  Fdyn ,air






V
g
F
F
 eau tot
dyn , air
dyn , eau
Ce qui nous permet de calculer les différents volumes Fdyn ,air  Fdyn ,eau

Vtot 
 eau g


Vor   or   ag  g  Fdyn ,air   agVtot g

Vag  Vtot  Vor

 Fdyn ,air  48, 2 10 3 g [ N ]

 Fdyn ,eau  45, 3 10 3 g [ N ]

  eau  1000 [kg / m ³]
 g  9,81 [m / s ²]

Vtot  2,9 10 6 m ³
6
Vor  2, 017 10 m³

6
Vag  0.883 10 m³
On peut directement en déduire la masse volumique moyenne du métal du bijou…   orVor   agVag  g  Fdyn ,air
 bijouVtot g  Fdyn ,air
F
bijou  dyn , air
Vtot g
bijou  16620kg / m ³ Des volumes, on peut également déduire les proportions en volume… 2
La masse volumique de l’air étant d’environ 1,25kg/m³, elle est environ 10000 fois plus petite que celle des matériaux en présence… V

 or
 2, 017
 69, 6%
Vtot
2, 9
 or ,vol

 ag ,vol  Vag
 0,883
 30, 4%
Vtot
2,9

Ensuite les masses, et les proportions en masse…  M or   orVor  38, 9 g

 M ag   agVag  9, 3 g
M or

38,9
80,8%



48, 2
 or ,masse
M tot

 ag ,masse  M ag
 9,3
 19, 2%
M tot
48, 2

Et finalement les carats…
ncarats   or , masse  24  19, 4
Enfin, pour résoudre ce problème sans instrument de mesure, il suffit de plonger dans un premier temps le bijou en or pur dans un récipient, de remplir celui‐ci d’eau au maximum, avant de retirer le bijou et de plonger le second. Si l’eau déborde du récipient, c’est que le volume du corps est supérieur à celui supposé, et qu’il est donc fait d’un alliage avec un autre matériau moins dense.