Correction BB le 17-4

BREVET BLANC N°2
DE
MATHEMATIQUES
Avril 2014
Durée de l’épreuve : 2 h
L’usage de la calculatrice est autorisé.
La rédaction et la présentation seront prises en compte pour 4 points.
Exercice n° 1 : vrai ou faux (6 pts)
Quatre affirmations sont données ci-dessous :(1.5×
Affirmation n°1 : 2
+ =
faux car 2
=
+ = + =
Affirmation n°2 : √16 + √9 = 5 faux car √16 + √9 =
Affirmation n°3 :vrai
)
=
4² + 3² = 4 + 3 = 7
−2√75 + 3√3 = −2 5² × 3 + 3√3 = −2 × 5√3 + 3√3 = −10√3 + 3√3 = −7√3
Affirmation n°4 :
− 1!
− 1!
− 2! − ² = 3 + 2 faux
− 2! − ² = ² − 2 −
+ 2 − ² = −3 + 2
Pour chacune d’entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la
réponse.
Exercice n° 2 : respecter la posologie (4 pts)
On peut lire au sujet d’un médicament :
« Chez les enfants (12 mois à 17 ans), la posologie doit être établie en fonction de la surface corporelle
du patient (voir la formule de Mosteller). »
« Une dose de 70mg par mètre carré (sans dépasser 70 mg par jour) devra être administrée. »
Pour calculer la surface corporelle en m² on utilise la formule de Mosteller suivante :
Surface corporelle en m² = "
taille en cm! × masse(en kg)
3 600
On considère les informations ci–dessous :
Patient
Lou
Joé
Âge
5 ans
15 ans
Taille
1,05
1,50
Masse(kg)
17,5
50
Dose administrée
50 mg
100 mg
1) La posologie a-t-elle été respectée pour Joé ? Justifier la réponse.
Il ne faut pas dépasser une dose de 70 mg par jour or la dose administrée à Joé est de 100 mg
Conclusion la posologie n’a pas été respectée pour Joé
2) Vérifier que la surface corporelle de Lou est environ de 0, 71 m .
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans
l’évaluation.
ML = "
105 × 17.5
3 600
≈ 0,71 m²
3) La posologie a-t-elle été respectée pour Lou ? Justifier la réponse
La dose doit être de 70 mg par m². Pour Lou cela correspond à 70× 0.71=49,7 mg.
Conclusion la posologie a été respectée pour Lou
Exercice n° 3 : utilisation d’un tableur (5pts)
La copie d’écran ci–dessous montre le travail qu’a effectué Camille à l’aide d’un tableur à propos des
fonctions g et h définies par :
g(x) = 5x² + x – 7
et
Formule rentrée en B2
A
h(x) = 2x – 7
= 5*B1*B1+ B1 − 7
1
x
B
–2
C
–1
D
0
E
1
F
2
2
g(x) = 5x² + x – 7
11
–3
–7
–1
15
3
h(x) = 2x – 7
–11
–9
–7
–5
–3
1) Donner un nombre qui a pour image –1 par la fonction g.
Le nombre cherché est 1 '() 1 ( *+,) -.(/0 −1 par g
2) Ecrire les calculs montrant que g(–2) = 11
g(-2)=5 × −2!1 + −2! − 7 = 20 − 2 − 7 = 11
3) Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?
La formule B3=2*B1-7
4) a) Déduire du tableau une solution de l’équation 5x² + x – 7 = 2x – 7
d’après le tableau on déduit que la solution est x=0
b) Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ?
oui
5x² + x – 7 = 2x – 7 cela veut dire que 5x²+x-7-2x+7=0 donc
5x²-x=0
=0
=0 6
5 − 1! = 0 2’+ù 5
7 = 6 donc il y a deux solutions
5 −1 =0
8
A
B
D
C
Exercice 4 (7 points)
Dans cet exercice, on considère le rectangle ABCD ci-contre tel que son
périmètre soit égal à 32 cm.
1)
a) Si ce rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur ? …
9( :()/0,) = :0 20.- − *é)-.è=)0! − :( :+>/,0,) =
32
− 10 = 16 − 10 = 6'.
2
b) Proposer une autre longueur et trouver la largeur correspondante
9( :()/0,) = :0 20.- − *é)-.è=)0! − :( :+>/,0,)
c) Que peut-on dire du rectangle ABCD lorsque sa longueur vaut 8 cm?
9( :()/0,) = :0 20.- − *é)-.è=)0! − :( :+>/,0,) =
Dans ce cas là ABCD est un carré de côté 8 cm
32
− 8 = 16 − 8 = 8
2
d) On appelle x la longueur AB. En utilisant le fait que le périmètre de ABCD est de 32 cm,
exprimer la longueur BC en fonction de x
@A =
32
−
2
= 16 −
e) En déduire l’aire du rectangle ABCD en fonction de x
Aire du rectangle ABCD =
2)
× 16 − ! = 16 − ² = − ² + 16
On considère la fonction f définie par f (x) = x (16 – x).
a) Calculer f (4)
B 4! = 4 × 16 − 4! = 4 × 12 = 48 '.²
b) Vérifiez qu’un antécédent de 55 est 5
Cherchons l’antécédent de 55 c'est-à-dire il faut chercher x tel que f(x)=55
C'est-à-dire –x²+16x=55 vérifiant que 5 est la solution
5−5 × 16 − 5! = −5 × 11 = 55 2C +ù:0 )éD,:=(=
Donc l’antécédent de 55 est 5par la fonction f.
3)
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l’aire du rectangle ABCD en fonction de la valeur
de x.
70
65
60
55
Aire de ABCD
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Valeur de x
À l’aide de ce graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées :
a) Quelle est l’aire du rectangle ABCD lorsque x vaut 10 cm?......
Lorsque x= 10cm alors aire de ABCD est égale à 60 cm²
b) Pour quelles valeurs de x obtient-on une aire égale à 55 cm2 ?
Pour x=5 où x= 11
c) Quelle est l’aire maximale de ce rectangle ? Pour quelle valeur de x est-elle obtenue ?
L’aire maximale de ce rectangle est égale à 64 cm² pour x=8 cm.
Exercice n°5 : La pirogue (4 pts)
17
Teva vient de construire lui-même sa pirogue
Pour vérifier que les deux bras du balancier sont parallèles entre eux, il place sur ceux-ci deux
bois rectilignes schématisés sur le dessin ci-dessus par les segments [OK] et [OL] avec
I ∈ [OK] et J ∈ [OL].
La mesure des longueurs OI, OJ, OK et OL donne les résultats suivants :
OI = 1,5 m OJ = 1,65 m OK = 2 m OL = 2,2 m.
1) Les deux bras sont-ils parallèles ? Justifier la réponse.
FG 1,5
=
= 0,75
FH
2
IJ
, 8
= 1,1 = 0,75 on peut conclure que
IK
FG
FL
=
FH FM
:0D *+>=D F, G, H D+>= (:-/>éD 2(>D :0 .ê.0 +)2)0 O,0 :0D *+->=D F, L, M
6 d’après la
7
IP
IJ
=
IQ
IK
réciproque du théorème de Thalès on déduit que les deux droites (IJ) et (KL) sont
parallèles
Conclusion les deux bras sont parallèles.
2) Pour vérifier que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier il mesure les longueurs
AB, AC et CB et obtient : AB = 15 cm
AC = 25 cm
CB = 20 cm
d) Peut-il affirmer que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier ? Justifier la réponse.
RA² = 25² = 625
@A² + @R² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625
S+>' RA 1 = @A 1 + @R1
2’(*)èD :( )é'-*)+O,0 2, =ℎé+)è.0 20 UV=ℎ(/+)0 , :0 =)-(>/:0 0D= )0'=(>/:0 0> @.
Exercice 6 (4 points)
Sur le schéma ci-dessous, la terrasse est représentée par le segment [DN] elle est horizontale et mesure
4 mètres de longueur. Elle est construite au-dessus d’un terrain en pente qui est représenté par le
segment [DP] de longueur 4,20 m. Pour cela, il a fallu construire un mur vertical représenté par le
segment [NP].
1. Quelle est la hauteur du mur ? Justifier. Donner l’arrondi au cm près.
Le triangle DNP est rectangle en N donc d’après le théorème de Pythagore
UW 1 + WS 1 = US 1 2+>' UW 1 = SU1 − SW 1 = 4,21 − 41 = 17,64 − 16 = 1,64
2+>' UW = 1,64 ≈ 1,28 '.
X
2. Calculer l’angle WSU compris entre la terrasse et le terrain en pente. (donner l’arrondi au
degré près)
Le triangle est rectangle en N. On peut utiliser le cosinus de l’angle D donc
X Z = [\ =
X = R)''+D ^ _ ≈ 18°
cos(YWSU
2+>'
WSU
[]
,1
,1
Exercice 7 (6 points)
Des élèves participent à une course à pied.
Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-contre.
•
•
•
Les droites (AE) et (BD) se coupent en C
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
ABC est un triangle rectangle en A.
Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE.
AC=400 m
CE= 1000 m
X = 53,1°
R@A
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en
compte dans la notation.
Calcul de la longueur AB
X )=ab
Le triangle ABC est rectangle en A donc tan(R@A
bc
ac
Tan(53,1°)=ab
Donc
R@ =
RA
400
=
≈ 300 '.
tan 53,1°! tan 53,1°!
Calcul de la longueur BC
Le triangle ABC est rectangle en A d’après le théorème de Pythagore
BC²=AC²+AB²= 300²+400²=90000+160000=250000 2+>' @A = √250000 = 500.
A ∈ h@Si
A@ AR R@
=
=
2+>'
g A ∈ h@Si 6 2C (*)éD :0 =ℎé+)è.0 20 lℎ(:éD +>
AS Ak kS
R@!// kS!
500
400
300
=
=
AS
1000 Sk
Calcul de la longueur CD
500
400
500 × 1000 500000 5000
=
2+>' AS =
=
=
= 1250 ..
AS
1000
400
400
4
Calcul de la longueur DE
400
300
300 × 1000 300000 3000
=
2+>' Sk =
=
=
= 750 .
1000 Sk
400
400
4
Donc la longueur réelle du parcours ABCDE est égale 750+1250+300+500=2800m